二元一次方程组教案[下学期]
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文档简介
王鹏举 二元一次方程组教案 第20页
二元一次方程组和它的解
知识技能目标
1.理解二元一次方程、二元一次方程组和它的解的含义；
2.会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解.
过程性目标
1.在运用数据比较分析、作出推断的过程中，提高学生参与数学活动，乐于接触社会环境中数学信息的兴趣.
2.为学生创设学数学、用数学的情境，让学生体验用数学知识解决实际问题的方法．
教学过程设计
一、创设情境
问题的提出：暑假里, 《新晚报》组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛. 勇士队在第一轮比赛中共赛9场, 得17分. 比赛规定胜一场得3分, 平一场得1分, 负一场得0分. 勇士队在这一轮中只负了2场, 那么这个队胜了几场 又平了几场呢
二、探索归纳
问 能否用我们已经学过的知识来解决这个问题
答 可以用一元一次方程来求解. 设勇士队胜了x场, 因为它共赛了9场, 并且负了2场, 所以它平了(9-x-2) 场. 根据得分规则和它的得分, 我们可以列出一元一次方程: . 解这个方程可得. 所以勇士队胜了5场, 平了2场.
由上面解答可知, 这个问题可以用一元一次方程来求解, 而我们很自然地会提出这样一个问题: 既然要求胜的场数和负的场数，这其中有两个未知数，那么能不能同时设出这两个未知数呢
师生共同探讨: 不妨就设勇士队胜了x场, 负了y场. 在下表的空格中填入数字或式子.
根据填表的结果可知: ① 和 ②
引导学生观察方程①、②的特点, 并与一元一次方程作比较, 可知: 这两个方程都含有两个未知数, 并且未知数的次数都是1.
我们把上面这样的方程, 即把含有两个未知数, 并且未知数的次数是1的方程叫做二元一次方程(linear equation with two unknowns).
由题意可知两个未知数必须同时满足①、②这两个方程. 因此, 把两个方程合在一起,并写成.
把两个二元一次方程用一个大括号“{”合在一起, 就组成了一个二元一次方程组.
注意 方程组中的各方程中, 同一个字母必须代表同一个量.
问: 什么是方程的解
答: 能使方程左、右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解.
由问题的解法1我们已得到答案, 勇士队胜了5场, 平了2场, 即.与既满足方程①, 又满足方程②, 我们就说与是二元一次方程组的解, 并记作.
一般地, 使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值, 叫做二元一次方程组的解.
注意: (1) 未知数的值必须同时满足两个方程时, 才是方程组的解. 若取, 时, 它们能满足方程①, 但不满足方程②, 所以它们不是方程组的解.
(2) 二元一次方程组的解是一对数, 而不是一个数, 所以必须把与合起来, 才是方程组的解.
三、实践应用
例1 已知下面三对数值:
.
(1)哪几对是方程的解
(2)哪几对是方程的解
(3)哪几对是方程组 的解
分析 根据二元一次方程(组)的解的定义, 把每对数值中的x,y的值代入方程(组)来检验它们是否满足方程(组).
解 (1) 是方程的解.
(2) 是方程的解.
(3) 是方程组 的解.
例2 根据下列语句, 列出二元一次方程:
(1)甲数减去乙数的差是5；(2)甲数的与乙数的的和是13.
分析 要列出方程, 首先要设出适当的未知数来代表相应的对象.
解 设甲数为x, 乙数为y. (1) . (2).
例3 某校现有校舍20000, 计划拆除部分旧校舍, 改建新校舍, 使校舍总面积增加30% ,同时使建造新校舍的面积为被拆除的旧校舍面积的4倍. 若设应拆除旧校舍 , 建造新校舍, 请你根据题意列一个方程组.
分析 由建造新校舍的面积为被拆除的旧校舍面积的4倍, 我们马上可得出方程.拆除部分旧校舍, 改建新校舍后,校舍总面积仍增加30%, 其增加量应当对应到新校舍面积与拆除的旧校舍面积的差值, 所以我们可列出另一方程.
解 设应拆除旧校舍 , 建造新校舍,根据题意列出方程组
.
四、交流反思
师生共同回顾, 并总结归纳.
(1) 什么是二元一次方程 (含有两个未知数, 并且未知数的次数是1的方程叫做二元一次方程.)
(2) 什么是二元一次方程组 (把两个二元一次方程合在一起, 就组成了一个二元一次方程组.)
(3) 什么是二元一次方程组的解 (使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值, 叫做二元一次方程组的解.)
五、检测反馈
1.根据下列语句, 分别设适当的未知数, 列出二元一次方程或方程组:
(1)甲数的比乙数的2倍少7:____；(2)摩托车的时速是货车的倍，它们的速度之和是200千米/时:_____；
(3)某种时装的价格是某种皮装的价格的1.4倍, 5件皮装比3件时装贵700元:_________________.
2.已知下面的三对数值: , , .
(1)哪几对数值是方程左、右两边的值相等 (2)哪几对数值是方程组的解
3.(1)已知满足二元一次方程组 的的值是, 求方程组的解；
(2)已知满足二元一次方程组 的的值是，求方程组的解.
二元一次方程组的解法
代入法（一）
知识技能目标
1.了解解方程组的基本思想是消元, 即把较为复杂的多元一次方程组化为较简单的一元一次方程来解决；
2.了解代入法是消元的一个基本方法, 掌握代入法.
过程性目标
在积极参与探索二元一次方程组的解法的数学活动中，培养数学思维能力, 发展应用数学知识的意识．
教学过程设计
一、创设情境
1.复习提问: 什么叫做二元一次方程、二元一次方程组、二元一次方程组的解
2.回顾上节课中的问题2:
设应拆除旧校舍 , 建造新校舍, 那么根据题意可列出方程组:
(*)
问 怎样求出这个二元一次方程组的解
二、探索归纳
我们知道此题可以用一元一次方程来求解, 即设应拆除旧校舍, 则建造新校舍, 根据题意可得到 (**). 对于一元一次方程的解法我们是非常熟悉的. 那么我们如果能将解二元一次方程组转化为解一元一次方程, 我们的问题不就可以解决了吗 可是如何来转化呢
引导学生观察方程组(*)和相应的一元一次方程(**)间的联系.
在方程组(*)中的方程②, 把它代入方程①中的位置, 我们就可以得到一元一次方程.通过“代入”, 我们消去了未知数,得到了一元一次方程, 这样就可以求解了.
解方程(**)得:, 把代入②，得. 所以.
答 应拆除旧校舍 , 建造新校舍.
能否用同样的方法来求解问题1中的二元一次方程组.
三、实践应用
例1 解方程组:
与方程组(*)不同, 这里的两个方程中, 没有一个是直接用一个未知数表示另一个未知数的形式, 这时怎么办呢
由学生观察后得出结论: 可以将方程①变形成为用来表示的形式, 即, 然后再将它代入方程②, 就能消去, 得到一个关于的一元一次方程.
解 由①得 ③. 将③代入②, 得 . 即.
将代入③, 得 . 所以.
(可以在依据二元一次方程组的定义来验证得出的解是否正确.)
由上面的例题可看出, 我们是通过“代入”消去一个未知数, 方程转化为一元一次方程来解的. 这种解法叫做代入消元法, 简称代入法. 解方程组的基本思想方法就是“消元”.
例2 把下列方程写成用含的代数式表示的形式:
(1) ； (2)
分析 即将方程作适当的变形, 把含有y的项放在方程的一边, 其他的项移到方程另一边, 再把y的系数化1.
解 (1) ； (2).
课堂练习: 用代入法解下列方程组:
(1)； (2)；
(3)； (4).
四、交流反思
1.解二元一次方程组的问题可以转化为解一元一次方程的问题, 其基本的思想方法是消元. 通过使用“代入法”可实现消元.
2.代入法解二元一次方程组的一般步骤为: 如果方程组中有一个方程恰好是一个未知数表示另一个未知数的形式, 就可以直接把它代入另一个方程. 如果没有, 则需将其中一个方程作适当的变形后, 化为一个未知数表示另一个未知数的形式, 再把它代入另一个方程. 这样得到一个一元一次方程. 解这个一元一次方程, 求出一个未知数的值；将求得的值代入前一个方程中，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解.
五、检测反馈
解下列方程组:
(1)； (2).
(3)； (4).
二元一次方程组的解法
代入法（二）
知识技能目标
进一步了解代入消元法的原理和一般步骤,能够熟练地用代入法解一般形式的二元一次方程组.
过程性目标
在进一步探讨代入法解二元一次方程组的过程中, 培养学生的数学纵向思维能力和应用数学解决实际问题的意识.
教学过程设计
一、创设情境
复习代入法解二元一次方程组的一般步骤.
例1 解方程组.
(由学生来叙述解题过程, 教师加以板书.)
(1) 选取未知数系数比较简单的方程①, 作适当变形, 转化为用一个未知数表示另一个未知数的形式, 得方程 ③；
(2) 将③代入②消去, 得到关于的一元一次方程；
(3) 解这个一元一次方程，得；
(4) 把代入③，得；
(5) 所以方程组的解是.
二、探索归纳
例2 解方程组.
观察分析此方程组与例1中的方程组在形式上的差别. 易知例1的方程组中有未知数系数的绝对值是1的方程, 而此例2方程组中两个方程未知数的系数都不是1, 这时怎么办呢 能不能将其中一个方程适当变形, 用一个未知数来表示另一个未知数 显然, 这个变形是能够办到的. 我们有两个办法, 一个是某个方程两边同除以某个未知数的系数, 使这个未知数的系数化1, 化成例1的形式；另一个是将某个方程的某一个未知数移到方程的一边, 其他各项移到另一边,再把这个未知数的系数化1, 从而达到“用一个未知数来表示另一个未知数”的目的.
显然第二种方法更为直接, 因而考虑方程中各项的系数, 选择一个系数比较简单的方程. 易见“2”比较简单, 所以将方程①中的用来表示.
解 由①, 得 ③.
将③代入②, 得 , .
将代入③, 得 .
所以 .
说明 这里是先消去,得到关于的一元一次方程,可不可以先消去呢 (让学生试一试, 并比较两种解法的优劣. 易知先消去使变形后的方程比较简单和代入后化简比较容易).
三、实践应用
课堂练习: 解下列方程组:
(1)； (2).
例3 学校文化艺术节需要制作一批小红花, 某班全体同学承担了这一任务. 如果每位同学做20朵, 则多出20朵；如果每位同学做19朵，则还差31朵. 那么这个班共有多少名同学 这批任务共需要多少朵小红花
分析 相等关系是: 实际完成量= 任务量+差额.
解 设这个班共有名同学, 这批任务共需朵小红花.
根据题意, 得, 解之, 得.
答 这个班共有51名同学, 这批任务共需要1000朵小红花.
四、交流反思
用代入法解一般形式的二元一次方程组时, 先观察系数的特点, 选取的原则是: 尽量选取一个未知数的系数是1的方程；未知数的系数不是1时，选取系数绝对值比较小的方程. 变形后的方程要代入没变形的方程, 不能将它代入变形前的方程. 运算的结果要进行检验.
五、检测反馈
1.把下列各方程变形为用一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式.
(1) ； (2).
2.解下列方程组：
(1)； (2)；
(3)； (4).
3.某校师生乘汽车春游, 如果每车坐50人, 则刚好坐满；如果每车坐60人，则余下一辆车且还多出40个座位. 求该校参加春游的人数和汽车的辆数.
用加减法解二元一次方程组（一）
知识技能目标
1.会阐述用加减法解二元一次方程组的基本思路：通过“加减”达到“消元”的目的，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程；
2.会用加减法解简单的二元一次方程组．
过程性目标
1.让学生在运用已掌握的方法解二元一次方程组时，体会到代入法的不足，引发寻找新方法的意愿．
2.在探究的过程中，获得用加减法解二元一次方程组的初步经验．
教学过程
一、创设情境
我们知道解二元一次方程组的关键是“消元”，那对于方程组
该如何进行消元呢？哪种是最简便的方法呢（组织学生进行讨论）？
结论 较简便方法是把(2)变形为3x=23 + 4y (3) ，再把(3)代入(1)直接消去“3x”．
想一想，还有其它方法可以直接消去“3x”吗？
二、探索归纳
看一看：上述方程组中，未知数x的系数有何特征？
做一做：把两个方程的左边与左边相减，右边与右边相减．
你得到了什么结果？
9y = －18 , (消去了未知数x，达到了消元的目的)
y = －2.
把y = －2代入（1），得
3x＋5×(－2) = 5,
x = 5.
.
从上面的解答过程中，你发现了二元一次方程组的新的解法吗？
三、巩固应用
例1 解方程组：
看一看：y的系数有什么特点？
想一想：先消去哪一个比较方便呢？用什么方法来消去这个未知数呢？
解 (1)+(2)得,
7x = 14,
x = 2.
把x = 2代入（1）得,
6 + 7y = 9,
7y = 3,
当方程组中同一未知数的系数互为相反数时，我们可以把两方程相加，从而达到消元的目的．那当方程组中同一未知数的系数相等时，如何达到消元的目的呢？
例2 解方程组：
解 (1)－(2)得，
x = 14．
把x = 14代入(1)得，
y=7．
归纳 将两个方程相加（或相减）消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解．这种解法叫做加减消元法，简称加减法．
例3 解方程组：
分析 注意到两方程中有相同的项，也有互为相反数的项，所以只要把两方程相加或相减，即可达到消元的目的．
解 (1)+(2)得，
x = 16．
(2)-(1)得，
y = 6．
练习
解下列方程组：
四、交流反思
用加减法消元的关键是根据方程组中同一未知数的系数的某种特点灵活消元；加减法、代入法都是解二元一次方程组的基本方法，虽然消元的途径不同，但是它们的目的相同，即把“二元”转化为“一元”，可谓“异曲同工”．
五、检测反馈
一、解下列方程组：
用加减法解二元一次方程组（二）
知识技能目标
1.能熟练、灵活地运用加减法解一般形式的二元一次方程组；
2.会把比较复杂的方程组化简成一般形式的方程组，并能熟练地求解．
过程性目标
1.让学生在学习的过程中主动寻找解题的方法，提高学生解决问题，获取知识的能力；
2.通过探求二元一次方程组的解法，体会消元的思想，使学生会把复杂问题转化为简单问题来处理；
3.培养学生一题多解的能力，增进学好数学的自信心．
教学过程
一、创设情境
下列各方程组，你觉得用哪一种方法消元较恰当呢？并说说你的理由（学生讨论）．
在求上述三个方程组的解时，你发现了什么？
看一看：这三个方程组之间有联系吗？有怎样的内在联系？
二、探索归纳
上述问题只要根据等式的基本性质，方程组(1)的两个方程变形成用x的代数式表示y的形式，就是方程组(2)；方程组(1)的方程“2x – y = 5”两边乘以4就是方程组(3)．
你能构造出与方程组解相同的方程组吗？请举例.
答 可以构造许多与原方程组的解相同的方程组，如等等.
现在你会求解方程组吗？
通过上面问题的讨论，实质是让学生参与新问题——对于相同未知数的系数的绝对值不相等的方程组如何用加减法来解的研究，并且开放式的问题有利于培养学生灵活、多角度的思维习惯．
三、巩固应用
例 解方程组：
方法一：利用加减消元法消去未知数y．
解 (1)×3，(2)×2得，
(3)+(4)得，
19x = 114， x = 6．
把x = 6代入(2)得，
30 + 6y = 42， y = 2．
所以
方法二：利用加减消元法消去未知数x．
解 (1)×5，(2)×3，得
(4)-(3)得
38y = 76
y = 2
把y=2代入(2)得
5x + 12=42
x = 6
所以
现在请你和你的同桌分别用加减法和代入法来解下面方程组,比较一下谁的方法更方便？
解方程组
通过交流让学生体会到学习加减法必要性，进一步感受到用加减法解二元一次方程组的基本思路是：通过“加减”，达到化“二元”为“一元”，即消元的目的．
你能说说用加减法解二元一次方程组的一般步骤是什么？
一般步骤是：
(1)方程组的两个方程中，如果同一未知数的系数既不互为相反数又不相等，就用适当的数去乘方程的两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等；
(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
(3)解这个一元一次方程；
(4)将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数，从而得到方程组的解．
练习
解下列方程组：
四、交流反思
你觉得用加减法解方程组时要注意些什么？你能说出用加减法解二元一次方程组的一般步骤吗？通过学习你觉得加减法和代入法有何异同点？与学生共同总结出两种方法实质是相同的即消元，只是消元的途径不同．
五、检测反馈
一．解下列方程组：
二元一次方程组的应用
知识技能目标
1.会找出简单问题中的相等关系，从而列出二元一次方程组解简单的实际问题；
2.培养学生用数学知识来解决实际问题的能力．
过程性目标
1.让学生在掌握了二元一次方程组的解法后，再次体验二元一次方程组与现实生活的联系和作用．
2.有的实际问题既可以用列一元一次方程也可以列二元一次方程组解，让学生从中体会它们之间的联系和区别．
教学过程
一、创设情境
小军买了80分与2元的邮票共16枚，花了18元8角．你知道小军80分与2元的邮票各买了多少枚？
这是一个大家熟悉的购物问题，你会用所学到的知识来解决吗(学生讨论)？
解 设80分的邮票买了x枚，则2元的邮票买了(16－x)枚
根据题意得0.8x + 2 (16 -x) = 18.8
解这个方程得x = 11
16－x = 5.
答 小军买了80分的邮票11枚, 买了2元的邮票5枚.
那如果设小军买了80分的邮票 x枚，2元的邮票y枚呢，如何来解呢？
二、探索归纳
引导学生发现两种面值的邮票的数量与数量之间、总价与总价之间的相等关系.考虑它们有什么样的相等关系呢？
在上述问题中数量与数量之间的相等关系：x + y = 16
总价与总价之间的相等关系：0.8x + 2y = 18.8
根据题意从而列出方程组，
答 小军买了80分的邮票11枚, 买了2元的邮票5枚.
我们可以发现在实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们可借助列方程或方程组的方法来处理这些问题.
三、巩固应用
例 某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工后上市销售．该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或者粗加工16吨．现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天粗加工，几天精加工，才能按期完成任务？如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元，精加工后为2000元，那么该公司出售这些加工后的蔬菜共可获利多少元？
分析 问题的关键是先解答前一半问题，即先求出安排精加工和粗加工的天数．我们不妨用列方程组的方法来解答．抓住“计划用15天完成加工任务”和“收购到某种蔬菜共140吨”这两个数量关系建立二元一次方程组．
解 设应安排x天精加工，y天粗加工，
，.
出售这些加工后的蔬菜一共可获利，
2000×6×10＋10×16×5＝200000元
答 应安排10天精加工，5天粗加工，加工后出售共可获利200000元.
处理这些实际问题的过程可以进一步概括为：
练习
1．22名工人按定额完成了1400件产品，其中三级工每人定额200件，二级工每人定额50件．若这22名工人中只有二级工与三级工．问二级工与三级工各有多少名
2. 为改善富春河的周围环境,县政府决定,将该河上游A地的一部分牧场改为林场,预计林场和牧场共有162公顷,牧场面积是林场面积的20%.请你算一算,完成后林场、牧场的面积各为多少公顷？
四、交流反思
列二元一次方程组和列一元一次方程解同一个实际问题，是用两种不同的表达形式揭示了问题中的相等关系；反过来，求解实际问题的实质是把问题中的相等关系翻译成数学表达式，从而把实际问题转化为数学问题.学习各类实际问题,不仅要熟悉各类问题的基本数量关系,而且还要弄清各类问题之间的本质联系.
五、检测反馈
1．某船的载重为260吨，容积为1000立方米.现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为8立方米，乙种货物每吨体积为2立方米，若要充分利用这艘船的载重与容积，甲、乙两种货物应各装多少吨（设装运货物时无任何空隙）？
2．第一小组的同学分铅笔若干枝.若其中有4人每人各取4枝,其余的人每人取3枝,则还剩16枝；若有1人只取2枝，则其余的人恰好每人各可得6枝，问同学有多少人？铅笔有多少枝？
3．有一批机器零件共418个，若甲先做2天，乙再加入合作，则再做2天可超产2个；若乙先做3天，然后两人再共做2天，则还有8个未完成.问甲、乙两人每天各做多少个零件？
4.某厂第二车间的人数比第一车间的人数的少30人.如果从第一车间调10人到第二车间，那么第二车间的人数就是第一车间的.问这两个车间各有多少人？
实践与探索(一)
知识技能目标
1.通过对实际问题的探索与解决,逐步形成结合具体事例情境发现,提出数学问题的能力；
2.学会用二元一次方程组解决简单的实际问题.
过程性目标
1.通过学生积极思考、互相讨论，经历探索事物之间的数量关系，形成方程模型，解方程和运用方程解决实际问题的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型；
2.通过在解决实际问题的过程中同伴之间的讨论、交流与合作，体会与他人合作的重要性，逐步形成积极参与讨论、敢于发表见解并尊重与理解他人见解的合作意识．
教学过程
一、创设情境
1.通过前面的学习,你能说出列二元一次方程组解决实际问题的步骤吗 其中什么是关键
2.请同学们阅读教科书第35页实践与探索中的问题1.
二、探究归纳
请同学们独立思考,试解上面的问题,然后与你的同伴讨论、交流，探索解题的方法．
在学生探索解题方法的过程中，教师要鼓励学生多角度地思考，只要学生的方法有道理，就要给予肯定和鼓励．鼓励学生进行质问和大胆创新．
学生有困难，教师可加以引导：
1.本题有哪些已知量？
(1)共有白卡纸20张；
(2)一张白卡纸可以做盒身2个或盒底盖3个；
(3)1个盒身与2个盒底盖配成一套．
2.求什么？
用几张白卡纸做盒身？几张白卡纸做盒底盖？
3.若设用张白卡纸做盒身，张白卡纸做盒底盖，那么可做盒身多少个？盒底盖多少个？（个盒身，个盒底盖）
4.找出2个等量关系．
(1)用做盒身的白卡纸张数+用做盒底盖的白卡纸张数=20；
(2)由已知(3)可知盒底盖的个数应该是盒身的2倍，才能使盒身与盒底盖正好配套．
根据题意，得
解这个方程组，得
由于解为分数，所以如果不允许剪开，则只能做成16个包装盒，无法全部利用；如果允许剪开，则分法很多，例如可以将一张白卡纸一分为二，用8张半做盒身，11张半做盒底盖，可以做成盒身17个，盒底盖34个，正好配套成17个包装盒，较充分地利用了材料．
三、实践应用
课堂练习：
某服装厂计划生产某款运动服,已知每卷布料可做上装200件或裤子300条,一件上装与一条裤子为一套,仓库现有这种布料12卷,请你设计一个方案,分配给生产上装的车间和生产裤子的车间各几卷布料.要求：分配布料时,每卷布料不能拆零；尽可能多地安排生产任务.
要求:学生独立思考后与同伴讨论、交流，探索解题的方法．在师生交流的基础上板书解题过程．
解 设分配给生产上装的车间卷布料，分配给生产裤子的车间卷布料．根据题意，得
解这个方程组，得
由于不能拆零分配，且要配套，故选择．
答 分配给生产上装的车间6卷布料，生产裤子的车间4卷布料．
说明 (1)上面是先在12卷布全部用完的情况下讨论该问题的，由于不能拆零且生产产品要配套，所以只能取满足，则::的最接近的整数值；
(2)如果可以拆零分配，原方程组的解就符合题意了．
四．交流反思
通过上面对实际问题的探索与解决，你有什么感受吗？
(1)认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息，数学在现实世界中有着广泛的应用；
(2)每个实际问题的解决，都要经历“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的基本过程．
(3)面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学的知识和方法寻求解决问题的策略，自主探索与同伴合作讨论、交流是学习数学的重要方式．
五．检测反馈
1.教科书第36页习题7.3,第1题.
2.某木工厂有28人，2个工人一天可加工3张桌子，3个工人一天可加工10只椅子，现在如何安排劳动力使生产的桌子与椅子配套．（1张桌子与4只椅子配套）
3.某车间每天能生产甲种零件500只，或者乙种零件600只，或者丙种零件750只，甲、乙、丙三种零件各一只配成一套，现要在30天内生产最多的成套产品，问甲、乙、丙三种零件各应生产多少天？
4.某校师生乘车春游，准备了若干辆车，如果每辆车坐50人，刚好坐满所有汽车；如果每辆车坐60人，则余下一辆车还多40个座位，求该校参加春游的人数和汽车数．
实践与探索(二)
知识技能目标
让学生综合运用已有的知识,经过自主探索,互相交流,去尝试用二元一次方程组,解决与生活密切相关的问题,不断提高分析实际问题,运用方程组解决问题的能力．
过程性目标
1.在经历探索和解决实际问题的过程中，获得一些研究问题的方法和经验，学会新的东西，发展自己的思维能力；
2.通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学的自信心．
教学过程
一、创设情境
上一节课我们探索了2个与生活密切相关的问题，它们都可以利用二元一次方程组来解决．今天我们再来探索一个有趣的问题．
请同学们打开课本，阅读第35页上的问题2．
二、探究归纳
让同学充分思考，并与同伴讨论、交流，探索解题方法．对有困难的同学，教师可加以引导：
1.题中所讲的“其中的奥秘”你知道是指什么吗？
“奥秘”是指用这8块大小一样的矩形拼成正方形，为什么中间会留下一个边长为的小正方形的洞？其中的道理是什么？
2.观察小明的拼图你能发现小长方形的长与宽之间的数量关系吗？
（根据矩形的对边相等，得）
3.再观察小红的拼图，你能写出表示小长方形的长与宽之间的另一个关系式吗？
(显然有)
这样得到方程组，
解之得 ．
8个小矩形的面积和
大正方形的面积
因此小红拼出的大正方形中间还留下了一个恰好是边长为的小正方形．
三、实践应用
课堂练习：
1.上面讨论的问题，有没有这样的8个大小一样的小矩形，既能拼成像小明拼成的大矩形，又能拼成一个没有空隙的正方形呢？
请同学们先个人研究，而后全班交流．
根据题意可知8个小矩形的面积和恰好等于正方形的面积．所以可列方程：
即当矩形的长是宽的2倍时，就能拼成中间没有空隙的正方形．
2.一个长方形，它的长减少，宽增加，所得的正方形比原来的长方形面积大．求原来长方形的长与宽各是多少厘米？
学生练习后，教师评讲．
分析 本题要求原来长方形的长与宽，可利用题中的条件找出相等关系，列出方程组来解决，由于原来长方形的长减少，宽增加，就可得到一个正方形，据此有相等关系“原长方形的长-1=原长方形的宽+3”，而所得的正方形比原来的长方形面积大．据此又可以得相等关系“所得正方形的面积-原来的长方形的面积=21”．
解 设原来长方形的长为，宽为，根据题意，得
解这个方程组，得
答 原来长方形的长与宽分别是
3.做一做
请把教科书第六章实践与探索一节中提出的问题选一个，用本章的办法来处理，并比较一下两种方法，谈谈你的感受．
请同学们自主探索，而后交流．
四、交流反思
1.通过师生交流，对学生的解法给予鼓励，并引导学生比较用一元一次方程和用二元一次方程组来解的感受，从中体会到什么时候应用一元一次方程，什么时候应用二元一次方程组来解决实际问题比较方便．
2.本节课我们又一起探索解决了几个与生活密切相关的实际问题，使我们进一步体会到方程是刻画现实世界的有效数学模型．
五、检测反馈
1.某市为更有效地利用水资源，制定了用水标准：如果一户三口之家每月用水量不超过，按每水1.30元收费；如果超过，超过部分按每水2.90元收费,其余仍按每水1.30元计算，小红一家三人，一月份共用水12，支付水费22元，问该市制定的用水标准为多少？小红一家超标使用了多少的水？
2.一个50人的旅行团住满了某招待所20个房间,其中有3人间、双人间、单人间，现知道旅行团住的单人间是双人间的2倍．请求出这个旅行团分别住了多少个3人间、双人间、单人间．
3.4辆小货车和7辆大卡车一次能运货37吨；6辆小货车和3辆大卡车一次能运货18吨，问一辆小货车和一辆大卡车一次各能运货多少吨？
4.小强去年在某超市买了3本练习本和5袋食盐，正好用去5元；前天他又带5元去这个超市买同样的练习本和食盐，因为练习本每本比去年贵了0.1元，食盐每袋比去年贵了0.05元，小强只买了3本练习本和4袋食盐，并找回2角，问去年每本练习本和每袋食盐的价格是多少元？
单元复习（一）
知识技能目标
1.使学生对二元一次方程，二元一次方程的解，二元一次方程组以及二元一次方程组的解有进一步理解，能熟练准确地用代入法和加减法解二元一次方程组；
2.能较熟练地列出一次方程组解简单的应用题．
过程性目标
1.在经历归纳本章的知识要点和复习练习过程中，体会把“二元”转化为“一元”的消元思想，进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法；
2.通过对实际问题的探索与解决，使学生再次体验二元一次方程组与现实生活的联系和作用．
教学过程
一、创设情境
本章我们学习了二元一次方程，二元一次方程的解，二元一次方程组以及二元一次方程组的解和一次方程组的应用．通过今天的复习，相信同学们对本章的知识有更系统，更深刻的理解．
二．探索归纳
归纳知识结构：
在归纳知识结构的过程中,同时复习相关的知识要点，什么叫二元一次方程，二元一次方程的解，什么叫二元一次方程组，二元一次方程组的解等概念，且使学生再次体验以下几个要点:
(1)在实际问题中，常会遇到有多个未知量的问题，和一元一次方程一样，二元一次方程组也是反映现实世界数量之间相等关系的数学模型之一，要学会将实际问题转化为二元一次方程组，从而解决一些简单的实际问题.(2)二元一次方程组的解法较多，但它的基本思想都是消元，转化为一元一次方程来解的，最常见的消元方法有代入法和加减法.一个方程组用什么方法来逐步消元，转化应根据它的特点灵活选定.(3)通过列方程组来解实际问题，要注意检验和正确作答，检验不仅要检验求得的解是否适合方程组的每一个方程，更重要的是要考察所得的解答是否符合实际问题的要求.
三、实践应用
以下例题采取学生先练习，然后教师讲评，也可以采取师生共同完成的方法进行教学.
例1 求二元一次方程的正整数解.
分析 求二元一次方程的解的方法通常是用一个未知数表示另一未知数，
如，然后先给定一个值，求出的一个对应值，就可得到二元一次方程的一个解，而此题对未知数、作了限制必须是正整数．
解 由得 当时，；
当时，； 当时，．
所以，二元一次方程的正整数解为
例2 已知，求、的值．
分析 本题求、的值，先根据条件得到一个关于、的方程组，再求出、的值，由于一个数的平方是非负数，一个数的绝对值也是非负数；两个非负数的和为零就只能是每个数都是零，因此原方程就转化为方程组
解 ， ≥0，
≥0，所以，
解这个方程组，得 答
例3 方程组与方程组有相同的解，求、的值．
分析 本题两个方程组有相同的解，可以将两个方程组中的四个方程重新组合，先得到方程组求其解，得出、的值，再把、的值代入方程组
得到一个关于、的方程组，求出、的值．
（解答过程略．答案）
例4 A、B两地相距150千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，同向而行,甲车3小时可追上乙车；相向而行，两车1.5小时相遇，求甲、乙两车的速度．
分析 这里有两个未知数：甲、乙两车的速度；有两个相等的关系：
(1)同向而行：甲车3小时的行程=乙车3小时的行程+150千米；
(2)相向而行：甲车1.5小时的行程+乙车1.5小时的行程=150千米．
解 设甲车的速度为千米/小时，乙车的速度为千米/小时．
根据题意，得 解这个方程组得
答 甲车的速度为75千米/小时，乙车的速度为25千米/小时．
课堂练习：
(1)已知是方程组的解，求的值．
(2)若单项式是同类项，求和的值．
(3)已知方程组的解是正整数，求的值．
(4)甲、乙两人同时绕的环形跑道行走，如果他们同时从同一起点背向而行，2分30秒首次相遇；如果他们同时由同一起点同向而行12分30秒首次相遇，求甲、乙二人每分钟各走多少米？
四、交流反思
1.小组交流上面练习的完成情况，评判正误；2.列一次方程组解应用题，关键是寻找相等关系，设几个求知数，就要找出几个相等关系，并把这些相等关系转化为方程组．
五、检测反馈
1.填空：
(1)在中，如果，那么；如果，那么；
(2)由，得到用表示的式子为．
2.解下列方程组：
(1) (2)(3) (4)(5) (6)
3.A、B两地相距36千米，甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行到A地，两人同时出发，4小时后相遇；6小时后，甲所余路程为乙所余路程的2倍．求两人的速度．
4.今年，小李的年龄是他爷爷的．小李发现，12年之后，他的年龄变成爷爷的．试求出今年小李的年龄．
5.两块试验田去年共产花生470千克，改用良种后，今年共产花生523千克．已知其中第一块田的产量比去年增产16﹪，第二块田的产量比去年增产10﹪．这两块田改用良种前每块田产量分别是多少千克？今年每块田各增产多少千克？
单元复习（二）
知识技能目标
1.系统掌握二元一次方程组的概念及解法；
2.能较熟练地用二元一次方程组的知识解决实际问题．
过程性目标
通过积极参与探索解决实际问题的过程中，体会相应的数学思想，数学与现实生活的紧密联系，不断培养学生的理解能力，分析能力和逻辑推理能力以及培养创造思维、用数学的意识．
教学过程
1、 创设情境
通过前面的学习，我们请一位同学来小结一下列二元一次方程组来解决实际问题的一般步骤有哪些？其中的关键步骤又是什么？
二、探索归纳
以下例题采取学生先练习，然后教师讲评，也可以采取师生共同完成的方法进行教学.
例1 方程组的解应为但是由于看错了系数，而得到的解为求的值．
解 因为是方程组的解
所以，把分别代入方程组中的每一个方程，得
由(4)得，
又因为 只是方程(1)的解，
所以，有
解由(3)，(5)组成的方程组得所以，.
例2 某旅行团从甲地到乙地游览．甲、乙两地相距100千米，团中的一部分人乘车先行，余下的人步行，先坐车的人到中途某处下车步行，汽车返回接先步行的那部分人，已知步行时速是8千米/时，汽车的速度是40千米/时，问要使大家在下午4:00同时到达乙地，必须在什么时候出发？
分析 这个问题实质上求的是如果按题设的行走方式，至少需要多少个小时？
(本题比较复杂，可引导学生用线路图帮助分析找出等量关系)．
(1)汽车从A到B到D所需的时间=先步行的一部分人从A到D所需的时间；
(2)汽车从B到D到C所需的时间=后步行的一部分人从B到C所需的时间．
解 设先坐车的一部分人下车地点距甲地x千米，这一部分人下车地点距另一部分人的上车地点相距y千米，由题意，得
化简得解之得
．
答 要使大家在下午4:00同时到达乙地，必须上午11:00出发．
说明 当直接设元不易列出方程时，应采用间接设元来列方程．
例3 某商场以每件元购进一种服装，如果规定以每件元卖出，平均每天卖出15件，30天共获利润22500元，为了尽快回收资金，商场决定将每件降价卖出，结果平均每天比降价前多卖出10件，这样30天仍可获利润22500元，试求、的值．
分析 本题要求、的值，只要根据条件列出一个关于、的二元一次方程组，题中的相等关系为“降价前每件售价与进价的差乘以降价前售出的件数=利润”；“降价后每件售价与进价的差乘以降价后售出的件数=利润”；“降价后售价=降价前售价”；“降价后每天售出的件数=降价前每天售出的件数+10”．利用这些关系可表示相应量并列出关于、的方程组．
解 根据题意，得
解这个方程组，得 答
三、实践应用
课堂练习：(先独立研究，而后交流．对有困难的学生，教师可加以引导)．
1.已知方程组由于甲看错了方程(1)中得到方程组的解为，乙看错了方程(2)中得到方程组的解为，若按正确的、来解，则方程组的解应为___________.
2.某个体商贩在一次买卖中同时卖出2件上衣，每件都以135元出售，按成本核算，其中一件盈利25%，另一件亏本25%，试猜想：
(1)在这一次买卖中，是赚是赔，还是不赚不赔？
(2)若将题中的135元改成任何正数，情况如何？
(3)若将题中的135元改成任何正数，再将题中的改写成(0﹤﹤10)情况又如何？
(4)若将每件上衣都以元出售，一件盈利20%，那么另一件至多亏本百分之几才可以保证这个商贩在这次买卖中不亏本？
四、交流反思
1.全班交流上面的练习情况，评判正误．
2.通过上面实际问题的探索与研究，使我们又一次体会到数学与现实生活的紧密联系，而方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．
五、检测反馈
1.小明与他的爸爸一起做投篮球游戏．两人商定规则为：小明投中1个得3分，小明爸爸投中1个得1分．结果两人一共投中了20个，一计算，发现两人的得分恰好相等．你能告诉我，他们两人各投中几个吗？
2.某检测站要在规定时间内检测一批仪器，原计划每天检测30台这种仪器，则在规定时间内只能检测完总数的；现在每天实际检测40台，结果不但比原计划提前了一天完成任务，还可以多检测25台．问规定时间是多少天？这批仪器共多少台？
3.客车和货车分别在两条平行的铁轨上行驶，客车长150米，货车长250米，如果两车相向而行，那么从两车车头相遇到车尾离开共需10秒钟；如果客车从后面追上货车，那么从客车车头追上货车车尾到客车车尾离开货车车头共需1分40秒．求两车的速度．
4.甲、乙两人同时加工一批零件，前3小时两人共加工126件，后5小时甲先化了1小时修理工具，因此甲每小时比以前多加工10件，结果在后一段时间内，甲比乙多加工了10件，甲、乙两人原来每小时各加工多少件？
5.二果问价（源于我国古代算书《四元玉鉴》）：
九百九十九文钱 甜果苦果买一千 甜果九个十一文
苦果七个四文钱 试问甜苦果几个 又问各该几个钱
6.李老师去一家文具店给美术小组的30名同学买铅笔和橡皮，到了商店后发现，按商店规定，如果给全组每人都买2枝铅笔和1块橡皮，那么要按零售价计算，共需付30元；如果给全组每人都买3枝铅笔和2块橡皮，那么可以按批发价计算，共需付40.50元，已知铅笔每枝批发价比零售价低0.05元，橡皮每块批发价比零售价低0.10元．这家文具店每枝铅笔和每块橡皮的批发价是多少元？
7.一张方桌由1个桌面，4条桌腿组成．如果1立方米木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿300条，现有5立方米木料，那么用多少立方米木料做桌面、多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好能配成方桌？能配成多少张方桌？
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二元一次方程组和它的解
知识技能目标
1.理解二元一次方程、二元一次方程组和它的解的含义；
2.会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解.
过程性目标
1.在运用数据比较分析、作出推断的过程中，提高学生参与数学活动，乐于接触社会环境中数学信息的兴趣.
2.为学生创设学数学、用数学的情境，让学生体验用数学知识解决实际问题的方法．
教学过程设计
一、创设情境
问题的提出：暑假里, 《新晚报》组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛. 勇士队在第一轮比赛中共赛9场, 得17分. 比赛规定胜一场得3分, 平一场得1分, 负一场得0分. 勇士队在这一轮中只负了2场, 那么这个队胜了几场 又平了几场呢
二、探索归纳
问 能否用我们已经学过的知识来解决这个问题
答 可以用一元一次方程来求解. 设勇士队胜了x场, 因为它共赛了9场, 并且负了2场, 所以它平了(9-x-2) 场. 根据得分规则和它的得分, 我们可以列出一元一次方程: . 解这个方程可得. 所以勇士队胜了5场, 平了2场.
由上面解答可知, 这个问题可以用一元一次方程来求解, 而我们很自然地会提出这样一个问题: 既然要求胜的场数和负的场数，这其中有两个未知数，那么能不能同时设出这两个未知数呢
师生共同探讨: 不妨就设勇士队胜了x场, 负了y场. 在下表的空格中填入数字或式子.
根据填表的结果可知: ① 和 ②
引导学生观察方程①、②的特点, 并与一元一次方程作比较, 可知: 这两个方程都含有两个未知数, 并且未知数的次数都是1.
我们把上面这样的方程, 即把含有两个未知数, 并且未知数的次数是1的方程叫做二元一次方程(linear equation with two unknowns).
由题意可知两个未知数必须同时满足①、②这两个方程. 因此, 把两个方程合在一起,并写成.
把两个二元一次方程用一个大括号“{”合在一起, 就组成了一个二元一次方程组.
注意 方程组中的各方程中, 同一个字母必须代表同一个量.
问: 什么是方程的解
答: 能使方程左、右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解.
由问题的解法1我们已得到答案, 勇士队胜了5场, 平了2场, 即.与既满足方程①, 又满足方程②, 我们就说与是二元一次方程组的解, 并记作.
一般地, 使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值, 叫做二元一次方程组的解.
注意: (1) 未知数的值必须同时满足两个方程时, 才是方程组的解. 若取, 时, 它们能满足方程①, 但不满足方程②, 所以它们不是方程组的解.
(2) 二元一次方程组的解是一对数, 而不是一个数, 所以必须把与合起来, 才是方程组的解.
三、实践应用
例1 已知下面三对数值:
.
(1)哪几对是方程的解
(2)哪几对是方程的解
(3)哪几对是方程组 的解
分析 根据二元一次方程(组)的解的定义, 把每对数值中的x,y的值代入方程(组)来检验它们是否满足方程(组).
解 (1) 是方程的解.
(2) 是方程的解.
(3) 是方程组 的解.
例2 根据下列语句, 列出二元一次方程:
(1)甲数减去乙数的差是5；(2)甲数的与乙数的的和是13.
分析 要列出方程, 首先要设出适当的未知数来代表相应的对象.
解 设甲数为x, 乙数为y. (1) . (2).
例3 某校现有校舍20000, 计划拆除部分旧校舍, 改建新校舍, 使校舍总面积增加30% ,同时使建造新校舍的面积为被拆除的旧校舍面积的4倍. 若设应拆除旧校舍 , 建造新校舍, 请你根据题意列一个方程组.
分析 由建造新校舍的面积为被拆除的旧校舍面积的4倍, 我们马上可得出方程.拆除部分旧校舍, 改建新校舍后,校舍总面积仍增加30%, 其增加量应当对应到新校舍面积与拆除的旧校舍面积的差值, 所以我们可列出另一方程.
解 设应拆除旧校舍 , 建造新校舍,根据题意列出方程组
.
四、交流反思
师生共同回顾, 并总结归纳.
(1) 什么是二元一次方程 (含有两个未知数, 并且未知数的次数是1的方程叫做二元一次方程.)
(2) 什么是二元一次方程组 (把两个二元一次方程合在一起, 就组成了一个二元一次方程组.)
(3) 什么是二元一次方程组的解 (使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值, 叫做二元一次方程组的解.)
五、检测反馈
1.根据下列语句, 分别设适当的未知数, 列出二元一次方程或方程组:
(1)甲数的比乙数的2倍少7:____；(2)摩托车的时速是货车的倍，它们的速度之和是200千米/时:_____；
(3)某种时装的价格是某种皮装的价格的1.4倍, 5件皮装比3件时装贵700元:_________________.
2.已知下面的三对数值: , , .
(1)哪几对数值是方程左、右两边的值相等 (2)哪几对数值是方程组的解
3.(1)已知满足二元一次方程组 的的值是, 求方程组的解；
(2)已知满足二元一次方程组 的的值是，求方程组的解.
二元一次方程组的解法
代入法（一）
知识技能目标
1.了解解方程组的基本思想是消元, 即把较为复杂的多元一次方程组化为较简单的一元一次方程来解决；
2.了解代入法是消元的一个基本方法, 掌握代入法.
过程性目标
在积极参与探索二元一次方程组的解法的数学活动中，培养数学思维能力, 发展应用数学知识的意识．
教学过程设计
一、创设情境
1.复习提问: 什么叫做二元一次方程、二元一次方程组、二元一次方程组的解
2.回顾上节课中的问题2:
设应拆除旧校舍 , 建造新校舍, 那么根据题意可列出方程组:
(*)
问 怎样求出这个二元一次方程组的解
二、探索归纳
我们知道此题可以用一元一次方程来求解, 即设应拆除旧校舍, 则建造新校舍, 根据题意可得到 (**). 对于一元一次方程的解法我们是非常熟悉的. 那么我们如果能将解二元一次方程组转化为解一元一次方程, 我们的问题不就可以解决了吗 可是如何来转化呢
引导学生观察方程组(*)和相应的一元一次方程(**)间的联系.
在方程组(*)中的方程②, 把它代入方程①中的位置, 我们就可以得到一元一次方程.通过“代入”, 我们消去了未知数,得到了一元一次方程, 这样就可以求解了.
解方程(**)得:, 把代入②，得. 所以.
答 应拆除旧校舍 , 建造新校舍.
能否用同样的方法来求解问题1中的二元一次方程组.
三、实践应用
例1 解方程组:
与方程组(*)不同, 这里的两个方程中, 没有一个是直接用一个未知数表示另一个未知数的形式, 这时怎么办呢
由学生观察后得出结论: 可以将方程①变形成为用来表示的形式, 即, 然后再将它代入方程②, 就能消去, 得到一个关于的一元一次方程.
解 由①得 ③. 将③代入②, 得 . 即.
将代入③, 得 . 所以.
(可以在依据二元一次方程组的定义来验证得出的解是否正确.)
由上面的例题可看出, 我们是通过“代入”消去一个未知数, 方程转化为一元一次方程来解的. 这种解法叫做代入消元法, 简称代入法. 解方程组的基本思想方法就是“消元”.
例2 把下列方程写成用含的代数式表示的形式:
(1) ； (2)
分析 即将方程作适当的变形, 把含有y的项放在方程的一边, 其他的项移到方程另一边, 再把y的系数化1.
解 (1) ； (2).
课堂练习: 用代入法解下列方程组:
(1)； (2)；
(3)； (4).
四、交流反思
1.解二元一次方程组的问题可以转化为解一元一次方程的问题, 其基本的思想方法是消元. 通过使用“代入法”可实现消元.
2.代入法解二元一次方程组的一般步骤为: 如果方程组中有一个方程恰好是一个未知数表示另一个未知数的形式, 就可以直接把它代入另一个方程. 如果没有, 则需将其中一个方程作适当的变形后, 化为一个未知数表示另一个未知数的形式, 再把它代入另一个方程. 这样得到一个一元一次方程. 解这个一元一次方程, 求出一个未知数的值；将求得的值代入前一个方程中，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解.
五、检测反馈
解下列方程组:
(1)； (2).
(3)； (4).
二元一次方程组的解法
代入法（二）
知识技能目标
进一步了解代入消元法的原理和一般步骤,能够熟练地用代入法解一般形式的二元一次方程组.
过程性目标
在进一步探讨代入法解二元一次方程组的过程中, 培养学生的数学纵向思维能力和应用数学解决实际问题的意识.
教学过程设计
一、创设情境
复习代入法解二元一次方程组的一般步骤.
例1 解方程组.
(由学生来叙述解题过程, 教师加以板书.)
(1) 选取未知数系数比较简单的方程①, 作适当变形, 转化为用一个未知数表示另一个未知数的形式, 得方程 ③；
(2) 将③代入②消去, 得到关于的一元一次方程；
(3) 解这个一元一次方程，得；
(4) 把代入③，得；
(5) 所以方程组的解是.
二、探索归纳
例2 解方程组.
观察分析此方程组与例1中的方程组在形式上的差别. 易知例1的方程组中有未知数系数的绝对值是1的方程, 而此例2方程组中两个方程未知数的系数都不是1, 这时怎么办呢 能不能将其中一个方程适当变形, 用一个未知数来表示另一个未知数 显然, 这个变形是能够办到的. 我们有两个办法, 一个是某个方程两边同除以某个未知数的系数, 使这个未知数的系数化1, 化成例1的形式；另一个是将某个方程的某一个未知数移到方程的一边, 其他各项移到另一边,再把这个未知数的系数化1, 从而达到“用一个未知数来表示另一个未知数”的目的.
显然第二种方法更为直接, 因而考虑方程中各项的系数, 选择一个系数比较简单的方程. 易见“2”比较简单, 所以将方程①中的用来表示.
解 由①, 得 ③.
将③代入②, 得 , .
将代入③, 得 .
所以 .
说明 这里是先消去,得到关于的一元一次方程,可不可以先消去呢 (让学生试一试, 并比较两种解法的优劣. 易知先消去使变形后的方程比较简单和代入后化简比较容易).
三、实践应用
课堂练习: 解下列方程组:
(1)； (2).
例3 学校文化艺术节需要制作一批小红花, 某班全体同学承担了这一任务. 如果每位同学做20朵, 则多出20朵；如果每位同学做19朵，则还差31朵. 那么这个班共有多少名同学 这批任务共需要多少朵小红花
分析 相等关系是: 实际完成量= 任务量+差额.
解 设这个班共有名同学, 这批任务共需朵小红花.
根据题意, 得, 解之, 得.
答 这个班共有51名同学, 这批任务共需要1000朵小红花.
四、交流反思
用代入法解一般形式的二元一次方程组时, 先观察系数的特点, 选取的原则是: 尽量选取一个未知数的系数是1的方程；未知数的系数不是1时，选取系数绝对值比较小的方程. 变形后的方程要代入没变形的方程, 不能将它代入变形前的方程. 运算的结果要进行检验.
五、检测反馈
1.把下列各方程变形为用一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式.
(1) ； (2).
2.解下列方程组：
(1)； (2)；
(3)； (4).
3.某校师生乘汽车春游, 如果每车坐50人, 则刚好坐满；如果每车坐60人，则余下一辆车且还多出40个座位. 求该校参加春游的人数和汽车的辆数.
用加减法解二元一次方程组（一）
知识技能目标
1.会阐述用加减法解二元一次方程组的基本思路：通过“加减”达到“消元”的目的，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程；
2.会用加减法解简单的二元一次方程组．
过程性目标
1.让学生在运用已掌握的方法解二元一次方程组时，体会到代入法的不足，引发寻找新方法的意愿．
2.在探究的过程中，获得用加减法解二元一次方程组的初步经验．
教学过程
一、创设情境
我们知道解二元一次方程组的关键是“消元”，那对于方程组
该如何进行消元呢？哪种是最简便的方法呢（组织学生进行讨论）？
结论 较简便方法是把(2)变形为3x=23 + 4y (3) ，再把(3)代入(1)直接消去“3x”．
想一想，还有其它方法可以直接消去“3x”吗？
二、探索归纳
看一看：上述方程组中，未知数x的系数有何特征？
做一做：把两个方程的左边与左边相减，右边与右边相减．
你得到了什么结果？
9y = －18 , (消去了未知数x，达到了消元的目的)
y = －2.
把y = －2代入（1），得
3x＋5×(－2) = 5,
x = 5.
.
从上面的解答过程中，你发现了二元一次方程组的新的解法吗？
三、巩固应用
例1 解方程组：
看一看：y的系数有什么特点？
想一想：先消去哪一个比较方便呢？用什么方法来消去这个未知数呢？
解 (1)+(2)得,
7x = 14,
x = 2.
把x = 2代入（1）得,
6 + 7y = 9,
7y = 3,
当方程组中同一未知数的系数互为相反数时，我们可以把两方程相加，从而达到消元的目的．那当方程组中同一未知数的系数相等时，如何达到消元的目的呢？
例2 解方程组：
解 (1)－(2)得，
x = 14．
把x = 14代入(1)得，
y=7．
归纳 将两个方程相加（或相减）消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解．这种解法叫做加减消元法，简称加减法．
例3 解方程组：
分析 注意到两方程中有相同的项，也有互为相反数的项，所以只要把两方程相加或相减，即可达到消元的目的．
解 (1)+(2)得，
x = 16．
(2)-(1)得，
y = 6．
练习
解下列方程组：
四、交流反思
用加减法消元的关键是根据方程组中同一未知数的系数的某种特点灵活消元；加减法、代入法都是解二元一次方程组的基本方法，虽然消元的途径不同，但是它们的目的相同，即把“二元”转化为“一元”，可谓“异曲同工”．
五、检测反馈
一、解下列方程组：
用加减法解二元一次方程组（二）
知识技能目标
1.能熟练、灵活地运用加减法解一般形式的二元一次方程组；
2.会把比较复杂的方程组化简成一般形式的方程组，并能熟练地求解．
过程性目标
1.让学生在学习的过程中主动寻找解题的方法，提高学生解决问题，获取知识的能力；
2.通过探求二元一次方程组的解法，体会消元的思想，使学生会把复杂问题转化为简单问题来处理；
3.培养学生一题多解的能力，增进学好数学的自信心．
教学过程
一、创设情境
下列各方程组，你觉得用哪一种方法消元较恰当呢？并说说你的理由（学生讨论）．
在求上述三个方程组的解时，你发现了什么？
看一看：这三个方程组之间有联系吗？有怎样的内在联系？
二、探索归纳
上述问题只要根据等式的基本性质，方程组(1)的两个方程变形成用x的代数式表示y的形式，就是方程组(2)；方程组(1)的方程“2x – y = 5”两边乘以4就是方程组(3)．
你能构造出与方程组解相同的方程组吗？请举例.
答 可以构造许多与原方程组的解相同的方程组，如等等.
现在你会求解方程组吗？
通过上面问题的讨论，实质是让学生参与新问题——对于相同未知数的系数的绝对值不相等的方程组如何用加减法来解的研究，并且开放式的问题有利于培养学生灵活、多角度的思维习惯．
三、巩固应用
例 解方程组：
方法一：利用加减消元法消去未知数y．
解 (1)×3，(2)×2得，
(3)+(4)得，
19x = 114， x = 6．
把x = 6代入(2)得，
30 + 6y = 42， y = 2．
所以
方法二：利用加减消元法消去未知数x．
解 (1)×5，(2)×3，得
(4)-(3)得
38y = 76
y = 2
把y=2代入(2)得
5x + 12=42
x = 6
所以
现在请你和你的同桌分别用加减法和代入法来解下面方程组,比较一下谁的方法更方便？
解方程组
通过交流让学生体会到学习加减法必要性，进一步感受到用加减法解二元一次方程组的基本思路是：通过“加减”，达到化“二元”为“一元”，即消元的目的．
你能说说用加减法解二元一次方程组的一般步骤是什么？
一般步骤是：
(1)方程组的两个方程中，如果同一未知数的系数既不互为相反数又不相等，就用适当的数去乘方程的两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等；
(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
(3)解这个一元一次方程；
(4)将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数，从而得到方程组的解．
练习
解下列方程组：
四、交流反思
你觉得用加减法解方程组时要注意些什么？你能说出用加减法解二元一次方程组的一般步骤吗？通过学习你觉得加减法和代入法有何异同点？与学生共同总结出两种方法实质是相同的即消元，只是消元的途径不同．
五、检测反馈
一．解下列方程组：
二元一次方程组的应用
知识技能目标
1.会找出简单问题中的相等关系，从而列出二元一次方程组解简单的实际问题；
2.培养学生用数学知识来解决实际问题的能力．
过程性目标
1.让学生在掌握了二元一次方程组的解法后，再次体验二元一次方程组与现实生活的联系和作用．
2.有的实际问题既可以用列一元一次方程也可以列二元一次方程组解，让学生从中体会它们之间的联系和区别．
教学过程
一、创设情境
小军买了80分与2元的邮票共16枚，花了18元8角．你知道小军80分与2元的邮票各买了多少枚？
这是一个大家熟悉的购物问题，你会用所学到的知识来解决吗(学生讨论)？
解 设80分的邮票买了x枚，则2元的邮票买了(16－x)枚
根据题意得0.8x + 2 (16 -x) = 18.8
解这个方程得x = 11
16－x = 5.
答 小军买了80分的邮票11枚, 买了2元的邮票5枚.
那如果设小军买了80分的邮票 x枚，2元的邮票y枚呢，如何来解呢？
二、探索归纳
引导学生发现两种面值的邮票的数量与数量之间、总价与总价之间的相等关系.考虑它们有什么样的相等关系呢？
在上述问题中数量与数量之间的相等关系：x + y = 16
总价与总价之间的相等关系：0.8x + 2y = 18.8
根据题意从而列出方程组，
答 小军买了80分的邮票11枚, 买了2元的邮票5枚.
我们可以发现在实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们可借助列方程或方程组的方法来处理这些问题.
三、巩固应用
例 某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工后上市销售．该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或者粗加工16吨．现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天粗加工，几天精加工，才能按期完成任务？如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元，精加工后为2000元，那么该公司出售这些加工后的蔬菜共可获利多少元？
分析 问题的关键是先解答前一半问题，即先求出安排精加工和粗加工的天数．我们不妨用列方程组的方法来解答．抓住“计划用15天完成加工任务”和“收购到某种蔬菜共140吨”这两个数量关系建立二元一次方程组．
解 设应安排x天精加工，y天粗加工，
，.
出售这些加工后的蔬菜一共可获利，
2000×6×10＋10×16×5＝200000元
答 应安排10天精加工，5天粗加工，加工后出售共可获利200000元.
处理这些实际问题的过程可以进一步概括为：
练习
1．22名工人按定额完成了1400件产品，其中三级工每人定额200件，二级工每人定额50件．若这22名工人中只有二级工与三级工．问二级工与三级工各有多少名
2. 为改善富春河的周围环境,县政府决定,将该河上游A地的一部分牧场改为林场,预计林场和牧场共有162公顷,牧场面积是林场面积的20%.请你算一算,完成后林场、牧场的面积各为多少公顷？
四、交流反思
列二元一次方程组和列一元一次方程解同一个实际问题，是用两种不同的表达形式揭示了问题中的相等关系；反过来，求解实际问题的实质是把问题中的相等关系翻译成数学表达式，从而把实际问题转化为数学问题.学习各类实际问题,不仅要熟悉各类问题的基本数量关系,而且还要弄清各类问题之间的本质联系.
五、检测反馈
1．某船的载重为260吨，容积为1000立方米.现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为8立方米，乙种货物每吨体积为2立方米，若要充分利用这艘船的载重与容积，甲、乙两种货物应各装多少吨（设装运货物时无任何空隙）？
2．第一小组的同学分铅笔若干枝.若其中有4人每人各取4枝,其余的人每人取3枝,则还剩16枝；若有1人只取2枝，则其余的人恰好每人各可得6枝，问同学有多少人？铅笔有多少枝？
3．有一批机器零件共418个，若甲先做2天，乙再加入合作，则再做2天可超产2个；若乙先做3天，然后两人再共做2天，则还有8个未完成.问甲、乙两人每天各做多少个零件？
4.某厂第二车间的人数比第一车间的人数的少30人.如果从第一车间调10人到第二车间，那么第二车间的人数就是第一车间的.问这两个车间各有多少人？
实践与探索(一)
知识技能目标
1.通过对实际问题的探索与解决,逐步形成结合具体事例情境发现,提出数学问题的能力；
2.学会用二元一次方程组解决简单的实际问题.
过程性目标
1.通过学生积极思考、互相讨论，经历探索事物之间的数量关系，形成方程模型，解方程和运用方程解决实际问题的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型；
2.通过在解决实际问题的过程中同伴之间的讨论、交流与合作，体会与他人合作的重要性，逐步形成积极参与讨论、敢于发表见解并尊重与理解他人见解的合作意识．
教学过程
一、创设情境
1.通过前面的学习,你能说出列二元一次方程组解决实际问题的步骤吗 其中什么是关键
2.请同学们阅读教科书第35页实践与探索中的问题1.
二、探究归纳
请同学们独立思考,试解上面的问题,然后与你的同伴讨论、交流，探索解题的方法．
在学生探索解题方法的过程中，教师要鼓励学生多角度地思考，只要学生的方法有道理，就要给予肯定和鼓励．鼓励学生进行质问和大胆创新．
学生有困难，教师可加以引导：
1.本题有哪些已知量？
(1)共有白卡纸20张；
(2)一张白卡纸可以做盒身2个或盒底盖3个；
(3)1个盒身与2个盒底盖配成一套．
2.求什么？
用几张白卡纸做盒身？几张白卡纸做盒底盖？
3.若设用张白卡纸做盒身，张白卡纸做盒底盖，那么可做盒身多少个？盒底盖多少个？（个盒身，个盒底盖）
4.找出2个等量关系．
(1)用做盒身的白卡纸张数+用做盒底盖的白卡纸张数=20；
(2)由已知(3)可知盒底盖的个数应该是盒身的2倍，才能使盒身与盒底盖正好配套．
根据题意，得
解这个方程组，得
由于解为分数，所以如果不允许剪开，则只能做成16个包装盒，无法全部利用；如果允许剪开，则分法很多，例如可以将一张白卡纸一分为二，用8张半做盒身，11张半做盒底盖，可以做成盒身17个，盒底盖34个，正好配套成17个包装盒，较充分地利用了材料．
三、实践应用
课堂练习：
某服装厂计划生产某款运动服,已知每卷布料可做上装200件或裤子300条,一件上装与一条裤子为一套,仓库现有这种布料12卷,请你设计一个方案,分配给生产上装的车间和生产裤子的车间各几卷布料.要求：分配布料时,每卷布料不能拆零；尽可能多地安排生产任务.
要求:学生独立思考后与同伴讨论、交流，探索解题的方法．在师生交流的基础上板书解题过程．
解 设分配给生产上装的车间卷布料，分配给生产裤子的车间卷布料．根据题意，得
解这个方程组，得
由于不能拆零分配，且要配套，故选择．
答 分配给生产上装的车间6卷布料，生产裤子的车间4卷布料．
说明 (1)上面是先在12卷布全部用完的情况下讨论该问题的，由于不能拆零且生产产品要配套，所以只能取满足，则::的最接近的整数值；
(2)如果可以拆零分配，原方程组的解就符合题意了．
四．交流反思
通过上面对实际问题的探索与解决，你有什么感受吗？
(1)认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息，数学在现实世界中有着广泛的应用；
(2)每个实际问题的解决，都要经历“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的基本过程．
(3)面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学的知识和方法寻求解决问题的策略，自主探索与同伴合作讨论、交流是学习数学的重要方式．
五．检测反馈
1.教科书第36页习题7.3,第1题.
2.某木工厂有28人，2个工人一天可加工3张桌子，3个工人一天可加工10只椅子，现在如何安排劳动力使生产的桌子与椅子配套．（1张桌子与4只椅子配套）
3.某车间每天能生产甲种零件500只，或者乙种零件600只，或者丙种零件750只，甲、乙、丙三种零件各一只配成一套，现要在30天内生产最多的成套产品，问甲、乙、丙三种零件各应生产多少天？
4.某校师生乘车春游，准备了若干辆车，如果每辆车坐50人，刚好坐满所有汽车；如果每辆车坐60人，则余下一辆车还多40个座位，求该校参加春游的人数和汽车数．
实践与探索(二)
知识技能目标
让学生综合运用已有的知识,经过自主探索,互相交流,去尝试用二元一次方程组,解决与生活密切相关的问题,不断提高分析实际问题,运用方程组解决问题的能力．
过程性目标
1.在经历探索和解决实际问题的过程中，获得一些研究问题的方法和经验，学会新的东西，发展自己的思维能力；
2.通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学的自信心．
教学过程
一、创设情境
上一节课我们探索了2个与生活密切相关的问题，它们都可以利用二元一次方程组来解决．今天我们再来探索一个有趣的问题．
请同学们打开课本，阅读第35页上的问题2．
二、探究归纳
让同学充分思考，并与同伴讨论、交流，探索解题方法．对有困难的同学，教师可加以引导：
1.题中所讲的“其中的奥秘”你知道是指什么吗？
“奥秘”是指用这8块大小一样的矩形拼成正方形，为什么中间会留下一个边长为的小正方形的洞？其中的道理是什么？
2.观察小明的拼图你能发现小长方形的长与宽之间的数量关系吗？
（根据矩形的对边相等，得）
3.再观察小红的拼图，你能写出表示小长方形的长与宽之间的另一个关系式吗？
(显然有)
这样得到方程组，
解之得 ．
8个小矩形的面积和
大正方形的面积
因此小红拼出的大正方形中间还留下了一个恰好是边长为的小正方形．
三、实践应用
课堂练习：
1.上面讨论的问题，有没有这样的8个大小一样的小矩形，既能拼成像小明拼成的大矩形，又能拼成一个没有空隙的正方形呢？
请同学们先个人研究，而后全班交流．
根据题意可知8个小矩形的面积和恰好等于正方形的面积．所以可列方程：
即当矩形的长是宽的2倍时，就能拼成中间没有空隙的正方形．
2.一个长方形，它的长减少，宽增加，所得的正方形比原来的长方形面积大．求原来长方形的长与宽各是多少厘米？
学生练习后，教师评讲．
分析 本题要求原来长方形的长与宽，可利用题中的条件找出相等关系，列出方程组来解决，由于原来长方形的长减少，宽增加，就可得到一个正方形，据此有相等关系“原长方形的长-1=原长方形的宽+3”，而所得的正方形比原来的长方形面积大．据此又可以得相等关系“所得正方形的面积-原来的长方形的面积=21”．
解 设原来长方形的长为，宽为，根据题意，得
解这个方程组，得
答 原来长方形的长与宽分别是
3.做一做
请把教科书第六章实践与探索一节中提出的问题选一个，用本章的办法来处理，并比较一下两种方法，谈谈你的感受．
请同学们自主探索，而后交流．
四、交流反思
1.通过师生交流，对学生的解法给予鼓励，并引导学生比较用一元一次方程和用二元一次方程组来解的感受，从中体会到什么时候应用一元一次方程，什么时候应用二元一次方程组来解决实际问题比较方便．
2.本节课我们又一起探索解决了几个与生活密切相关的实际问题，使我们进一步体会到方程是刻画现实世界的有效数学模型．
五、检测反馈
1.某市为更有效地利用水资源，制定了用水标准：如果一户三口之家每月用水量不超过，按每水1.30元收费；如果超过，超过部分按每水2.90元收费,其余仍按每水1.30元计算，小红一家三人，一月份共用水12，支付水费22元，问该市制定的用水标准为多少？小红一家超标使用了多少的水？
2.一个50人的旅行团住满了某招待所20个房间,其中有3人间、双人间、单人间，现知道旅行团住的单人间是双人间的2倍．请求出这个旅行团分别住了多少个3人间、双人间、单人间．
3.4辆小货车和7辆大卡车一次能运货37吨；6辆小货车和3辆大卡车一次能运货18吨，问一辆小货车和一辆大卡车一次各能运货多少吨？
4.小强去年在某超市买了3本练习本和5袋食盐，正好用去5元；前天他又带5元去这个超市买同样的练习本和食盐，因为练习本每本比去年贵了0.1元，食盐每袋比去年贵了0.05元，小强只买了3本练习本和4袋食盐，并找回2角，问去年每本练习本和每袋食盐的价格是多少元？
单元复习（一）
知识技能目标
1.使学生对二元一次方程，二元一次方程的解，二元一次方程组以及二元一次方程组的解有进一步理解，能熟练准确地用代入法和加减法解二元一次方程组；
2.能较熟练地列出一次方程组解简单的应用题．
过程性目标
1.在经历归纳本章的知识要点和复习练习过程中，体会把“二元”转化为“一元”的消元思想，进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法；
2.通过对实际问题的探索与解决，使学生再次体验二元一次方程组与现实生活的联系和作用．
教学过程
一、创设情境
本章我们学习了二元一次方程，二元一次方程的解，二元一次方程组以及二元一次方程组的解和一次方程组的应用．通过今天的复习，相信同学们对本章的知识有更系统，更深刻的理解．
二．探索归纳
归纳知识结构：
在归纳知识结构的过程中,同时复习相关的知识要点，什么叫二元一次方程，二元一次方程的解，什么叫二元一次方程组，二元一次方程组的解等概念，且使学生再次体验以下几个要点:
(1)在实际问题中，常会遇到有多个未知量的问题，和一元一次方程一样，二元一次方程组也是反映现实世界数量之间相等关系的数学模型之一，要学会将实际问题转化为二元一次方程组，从而解决一些简单的实际问题.(2)二元一次方程组的解法较多，但它的基本思想都是消元，转化为一元一次方程来解的，最常见的消元方法有代入法和加减法.一个方程组用什么方法来逐步消元，转化应根据它的特点灵活选定.(3)通过列方程组来解实际问题，要注意检验和正确作答，检验不仅要检验求得的解是否适合方程组的每一个方程，更重要的是要考察所得的解答是否符合实际问题的要求.
三、实践应用
以下例题采取学生先练习，然后教师讲评，也可以采取师生共同完成的方法进行教学.
例1 求二元一次方程的正整数解.
分析 求二元一次方程的解的方法通常是用一个未知数表示另一未知数，
如，然后先给定一个值，求出的一个对应值，就可得到二元一次方程的一个解，而此题对未知数、作了限制必须是正整数．
解 由得 当时，；
当时，； 当时，．
所以，二元一次方程的正整数解为
例2 已知，求、的值．
分析 本题求、的值，先根据条件得到一个关于、的方程组，再求出、的值，由于一个数的平方是非负数，一个数的绝对值也是非负数；两个非负数的和为零就只能是每个数都是零，因此原方程就转化为方程组
解 ， ≥0，
≥0，所以，
解这个方程组，得 答
例3 方程组与方程组有相同的解，求、的值．
分析 本题两个方程组有相同的解，可以将两个方程组中的四个方程重新组合，先得到方程组求其解，得出、的值，再把、的值代入方程组
得到一个关于、的方程组，求出、的值．
（解答过程略．答案）
例4 A、B两地相距150千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，同向而行,甲车3小时可追上乙车；相向而行，两车1.5小时相遇，求甲、乙两车的速度．
分析 这里有两个未知数：甲、乙两车的速度；有两个相等的关系：
(1)同向而行：甲车3小时的行程=乙车3小时的行程+150千米；
(2)相向而行：甲车1.5小时的行程+乙车1.5小时的行程=150千米．
解 设甲车的速度为千米/小时，乙车的速度为千米/小时．
根据题意，得 解这个方程组得
答 甲车的速度为75千米/小时，乙车的速度为25千米/小时．
课堂练习：
(1)已知是方程组的解，求的值．
(2)若单项式是同类项，求和的值．
(3)已知方程组的解是正整数，求的值．
(4)甲、乙两人同时绕的环形跑道行走，如果他们同时从同一起点背向而行，2分30秒首次相遇；如果他们同时由同一起点同向而行12分30秒首次相遇，求甲、乙二人每分钟各走多少米？
四、交流反思
1.小组交流上面练习的完成情况，评判正误；2.列一次方程组解应用题，关键是寻找相等关系，设几个求知数，就要找出几个相等关系，并把这些相等关系转化为方程组．
五、检测反馈
1.填空：
(1)在中，如果，那么；如果，那么；
(2)由，得到用表示的式子为．
2.解下列方程组：
(1) (2)(3) (4)(5) (6)
3.A、B两地相距36千米，甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行到A地，两人同时出发，4小时后相遇；6小时后，甲所余路程为乙所余路程的2倍．求两人的速度．
4.今年，小李的年龄是他爷爷的．小李发现，12年之后，他的年龄变成爷爷的．试求出今年小李的年龄．
5.两块试验田去年共产花生470千克，改用良种后，今年共产花生523千克．已知其中第一块田的产量比去年增产16﹪，第二块田的产量比去年增产10﹪．这两块田改用良种前每块田产量分别是多少千克？今年每块田各增产多少千克？
单元复习（二）
知识技能目标
1.系统掌握二元一次方程组的概念及解法；
2.能较熟练地用二元一次方程组的知识解决实际问题．
过程性目标
通过积极参与探索解决实际问题的过程中，体会相应的数学思想，数学与现实生活的紧密联系，不断培养学生的理解能力，分析能力和逻辑推理能力以及培养创造思维、用数学的意识．
教学过程
1、 创设情境
通过前面的学习，我们请一位同学来小结一下列二元一次方程组来解决实际问题的一般步骤有哪些？其中的关键步骤又是什么？
二、探索归纳
以下例题采取学生先练习，然后教师讲评，也可以采取师生共同完成的方法进行教学.
例1 方程组的解应为但是由于看错了系数，而得到的解为求的值．
解 因为是方程组的解
所以，把分别代入方程组中的每一个方程，得
由(4)得，
又因为 只是方程(1)的解，
所以，有
解由(3)，(5)组成的方程组得所以，.
例2 某旅行团从甲地到乙地游览．甲、乙两地相距100千米，团中的一部分人乘车先行，余下的人步行，先坐车的人到中途某处下车步行，汽车返回接先步行的那部分人，已知步行时速是8千米/时，汽车的速度是40千米/时，问要使大家在下午4:00同时到达乙地，必须在什么时候出发？
分析 这个问题实质上求的是如果按题设的行走方式，至少需要多少个小时？
(本题比较复杂，可引导学生用线路图帮助分析找出等量关系)．
(1)汽车从A到B到D所需的时间=先步行的一部分人从A到D所需的时间；
(2)汽车从B到D到C所需的时间=后步行的一部分人从B到C所需的时间．
解 设先坐车的一部分人下车地点距甲地x千米，这一部分人下车地点距另一部分人的上车地点相距y千米，由题意，得
化简得解之得
．
答 要使大家在下午4:00同时到达乙地，必须上午11:00出发．
说明 当直接设元不易列出方程时，应采用间接设元来列方程．
例3 某商场以每件元购进一种服装，如果规定以每件元卖出，平均每天卖出15件，30天共获利润22500元，为了尽快回收资金，商场决定将每件降价卖出，结果平均每天比降价前多卖出10件，这样30天仍可获利润22500元，试求、的值．
分析 本题要求、的值，只要根据条件列出一个关于、的二元一次方程组，题中的相等关系为“降价前每件售价与进价的差乘以降价前售出的件数=利润”；“降价后每件售价与进价的差乘以降价后售出的件数=利润”；“降价后售价=降价前售价”；“降价后每天售出的件数=降价前每天售出的件数+10”．利用这些关系可表示相应量并列出关于、的方程组．
解 根据题意，得
解这个方程组，得 答
三、实践应用
课堂练习：(先独立研究，而后交流．对有困难的学生，教师可加以引导)．
1.已知方程组由于甲看错了方程(1)中得到方程组的解为，乙看错了方程(2)中得到方程组的解为，若按正确的、来解，则方程组的解应为___________.
2.某个体商贩在一次买卖中同时卖出2件上衣，每件都以135元出售，按成本核算，其中一件盈利25%，另一件亏本25%，试猜想：
(1)在这一次买卖中，是赚是赔，还是不赚不赔？
(2)若将题中的135元改成任何正数，情况如何？
(3)若将题中的135元改成任何正数，再将题中的改写成(0﹤﹤10)情况又如何？
(4)若将每件上衣都以元出售，一件盈利20%，那么另一件至多亏本百分之几才可以保证这个商贩在这次买卖中不亏本？
四、交流反思
1.全班交流上面的练习情况，评判正误．
2.通过上面实际问题的探索与研究，使我们又一次体会到数学与现实生活的紧密联系，而方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．
五、检测反馈
1.小明与他的爸爸一起做投篮球游戏．两人商定规则为：小明投中1个得3分，小明爸爸投中1个得1分．结果两人一共投中了20个，一计算，发现两人的得分恰好相等．你能告诉我，他们两人各投中几个吗？
2.某检测站要在规定时间内检测一批仪器，原计划每天检测30台这种仪器，则在规定时间内只能检测完总数的；现在每天实际检测40台，结果不但比原计划提前了一天完成任务，还可以多检测25台．问规定时间是多少天？这批仪器共多少台？
3.客车和货车分别在两条平行的铁轨上行驶，客车长150米，货车长250米，如果两车相向而行，那么从两车车头相遇到车尾离开共需10秒钟；如果客车从后面追上货车，那么从客车车头追上货车车尾到客车车尾离开货车车头共需1分40秒．求两车的速度．
4.甲、乙两人同时加工一批零件，前3小时两人共加工126件，后5小时甲先化了1小时修理工具，因此甲每小时比以前多加工10件，结果在后一段时间内，甲比乙多加工了10件，甲、乙两人原来每小时各加工多少件？
5.二果问价（源于我国古代算书《四元玉鉴》）：
九百九十九文钱 甜果苦果买一千 甜果九个十一文
苦果七个四文钱 试问甜苦果几个 又问各该几个钱
6.李老师去一家文具店给美术小组的30名同学买铅笔和橡皮，到了商店后发现，按商店规定，如果给全组每人都买2枝铅笔和1块橡皮，那么要按零售价计算，共需付30元；如果给全组每人都买3枝铅笔和2块橡皮，那么可以按批发价计算，共需付40.50元，已知铅笔每枝批发价比零售价低0.05元，橡皮每块批发价比零售价低0.10元．这家文具店每枝铅笔和每块橡皮的批发价是多少元？
7.一张方桌由1个桌面，4条桌腿组成．如果1立方米木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿300条，现有5立方米木料，那么用多少立方米木料做桌面、多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好能配成方桌？能配成多少张方桌？
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