2022-2023学年第二学期第一次月考
高一级数学科试卷
满分：150分 考试时间：120分钟
一、单选题，8个小题，每小题5分共40分
1. 已知集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合的交并补运算，即可求解.
【详解】，且，
所以.
故选：C
2. 若，且，则角α的终边在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根据角的象限与余弦函数的函数值和正切函数的函数值的正负的关系判断.
【详解】因为，所以角α的终边在第二象限或轴的负半轴或第三象限，
因为，所以角α的终边在第一象限或第三象限，
所以角α的终边在第三象限，
故选：C.
3. 函数在区间上（ ）
A. 有最大值 B. 有最大值
C. 有最小值 D. 有最小值
【答案】A
【解析】
【分析】作出函数的图象，结合图象可得函数在上的单调性，从而即可得函数在上的最值.
【详解】解：因为，
所以函数的图象是开口向下的抛物线，对称轴为，如图所示：
由此可得函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，无最小值.
故选：A.
4. 已知函数，则“”是“是奇函数”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先由是奇函数求出的取值集合，再根据逻辑条件判断即可.
【详解】是奇函数等价于，
即，
故，
所以.
则“”是“是奇函数”的充分不必要条件.
故选：A.
5. 下列函数中最小正周期为且是奇函数的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正切函数的周期与奇偶性可判断AB，根据诱导公式化简CD的解析式，再根据正余弦函数的奇偶性可判断.
【详解】的最小正周期为,故A错误；
为非奇非偶函数，故B错误；
，易知为奇函数，且最小正周期为，故C正确；
为偶函数，故D错误.
故选:C.
6. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据函数的奇偶性，可排除BD，根据当时，即可排除C得出答案.
【详解】因为，
所以，
所以为偶函数，故排除BD；
当时，，，则，故排除C.
故选：A．
7. 若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】确定，，，代入计算得到答案.
【详解】，故，又，，
，
故选：C
8. 已知函数满足：.若函数在区间上单调，且，则当取得最小值时，（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据求出，得，求出对称中心为，，根据函数在区间上单调，且，推出为的对称中心，由，，可求出结果.
【详解】因，其中，，
因为，所以，即，解得，
所以，
令，，则，，
所以的对称中心为，，
因为函数在区间上单调，且，则为的对称中心，
所以，，即，，
当时，取得最小值，
所以.
故选：A
二、多选题，4个小题，每小题5分共20分，有错选不得分，少选且正确得2分
9. 下列说法正确的是（ ）
A. B. 第一象限的角是锐角
C. 1弧度的角比1°的角大 D. 锐角是第一象限的角
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于AC，将角度转化为弧度即可判断；对于B，根据象限角的概念判断；对于D，根据像限角的定义来判断.
【详解】对于A：，A正确；
对于B：第一象限的角不一定是锐角，比如，B错误；
对于C：1°的角为弧度，比1弧度的角小，C正确；
对于D：根据象限角的定义，可得D正确.
故选：ACD.
10. 下列大小关系中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据正弦函数的单调性及和0的大小关系来确定答案.
【详解】，
又，；
且.
故选：BC.
11. 已知函数的图象是由函数的图象向右平移个单位得到，则（ ）
A. 的最小正周期为π
B. 在区间上单调递增
C. 的图象关于直线对称
D. 的图象关于点对称
【答案】AD
【解析】
【分析】用二倍角公式化简，向右平移后得，分别代入正弦函数的单调区间，对称轴，对称中心分别对四个选项判断即可.
【详解】因，向右平移个单位得，则最小正周期为，故A选项正确；
令，解得，所以单调递增区间为，故B选项错误；
令解得，故C选项错误；
令解得所以函数的对称中心为，故D选项正确.
故选：AD
12. 已知函数，有下列四个结论，其中正确的结论为（ ）
A. 在区间上单调递增 B. 是的一个周期
C. 的值域为 D. 的图象关于轴对称
【答案】CD
【解析】
【分析】
代入特殊值检验，可得A错误；求得的表达式，即可判断B的正误；分段讨论，根据x的范围，求得的范围，利用二次函数的性质，即可求得的值域，即可判断C的正误；根据奇偶性的定义，即可判断的奇偶性，即可判断D的正误，即可得答案.
【详解】对于A：因为，所以，
，
所以，所以在区间上不是单调递增函数，故A错误；
对于B：，
所以不是的一个周期，故B错误；
对于C：，所以的周期为，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，；
综上：的值域为，故C正确；
对于D：，所以为偶函数，即的图象关于轴对称，故D正确，
故选：CD
【点睛】解题的关键是根据的解析式，结合函数的奇偶性、周期性求解，考查分类讨论，化简计算的能力，综合性较强，属中档题.
三、填空题，4个小题，每小题5分共20分
13. __________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可.
【详解】.
故答案为：.
14. __________.
【答案】1
【解析】
【详解】，
.
故答案为1
点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式 ；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.
15. 《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若图中所示的角为，且小正方形与大正方形面积之比为，则__________．
【答案】##0.75
【解析】
【分析】设大正方形和小正方形的边长分别为和，根据条件，可得，平方得，再求出即可.
【详解】设大正方形和小正方形的边长分别为和a，
则，所以．
所以，即，
解得或（舍去），又，
所以，所以.
故答案为：.
16. 已知满足，当，，若函数在上恰有八个不同的零点，则实数的取值范围为______
【答案】
【解析】
【分析】由已知可得，周期是8，然后根据函数周期性，作出函数在上的图象.然后由由可推得，或．根据根的个数，结合图象，即可得出实数的取值范围.
【详解】因为，所以为周期是8的周期函数，
作出函数在上的图象，如图所示
因为，
所以由可得，或．
根据图象可知方程，有六个实根，
所以时，应该有两个实根，
根据图象可得，，得.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：已知复合函数零点的个数，需要综合考虑两个函数的零点.结合图象，根据函数取不同值时零点的个数，得出参数的取值范围即可.
四、解答题，6个小题，第17题10分，第18-22每题12分，共70分
17. 已知角的顶点为原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点．
（1）求的值；
（2）求．
【答案】（1）2； （2）3.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用三角函数定义计算作答.
（2）利用（1）的结论及诱导公式，结合齐次式法计算作答.
【小问1详解】
因为角的终边过点，所以.
【小问2详解】
由（1）知，.
18. （1）在中已知，求，的值
（2）在中已知，求的值．
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】(1)先根据同角平方关系可求，再用同角商数关系可求；
(2)两边平方整理即可求.
【详解】（1）在中，，
所以，
，；
（2）在中，，
，
所以，
19. 已知函数.
（1）求函数的单调增区间；
（2）当时，求的值域.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由正弦函数性质知在上递增，即可求增区间；
（2）应用整体法求的区间，再由正弦函数性质求值域.
【小问1详解】
由，
所以函数的单调增区间是.
【小问2详解】
由，可得
从而，所以.
所以的值域为.
20. 函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式;
（2）若函数在区间有5个零点,求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)根据图象可得,将代入解析式,结合即可得出解析式;
(2)由(1)的解析式,对相位进行换元,则函数在区间有5个零点即即在区间有5个零点,根据的图象,列出不等式求出范围即可.
【小问1详解】
解:因为由图象可知
且有所以,
因为图象过点所以
即解得,
因为所以故.
【小问2详解】
由(1)知,
因为所以,
由函数在区间上有5个零点,
即在区间有5个零点,
由的图象知,只需即可,
解得故.
21. 如图，扇形钢板POQ的半径为1，圆心角为60°.现要从中截取一块四边形钢板ABCO.其中顶点B在扇形POQ的弧PQ上，A，C分别在半径OP，OQ上，且AB⊥OP，BC⊥OQ.
（1）设∠AOB=θ，试用θ表示截取的四边形钢板ABCO的面积S（θ），并指出θ的取值范围；
（2）求当θ为何值时，截取的四边形钢板ABCO的面积最大.
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据三角函数和半径得到，，，的长度，然后利用面积公式求面积，并用和差公式、二倍角公式和辅助角公式化简即可；
（2）利用正弦型函数的性质求最值即可.
【小问1详解】
利用正弦函数可得，，，，所以
，.
【小问2详解】
因为，所以，
当，即时，四边形钢板的面积最大.
22. 已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）将函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程在上有四个根，从小到大依次为，求的值.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据三角函数的诱导公、二倍角公式以及差角公式，整理函数，利用辅助角公式，化简为单角三角函数，结合整体思想，建立不等式，可得答案；
（2）根据函数变换，写出新函数解析式，利用其对称性，可得答案.
【小问1详解】
，
令，解得，
所以的单调递增区间为.
【小问2详解】
由题意知：，∴，
因为和是在上的对称轴，
由对称性可知：，，
所以.2022-2023学年第二学期第一次月考
高一级数学科试卷
满分：150分 考试时间：120分钟
一、单选题，8个小题，每小题5分共40分
1. 已知集合，，，则（ ）
A B. C. D.
2. 若，且，则角α终边在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 函数在区间上（ ）
A. 有最大值 B. 有最大值
C. 有最小值 D. 有最小值
4. 已知函数，则“”是“是奇函数”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 下列函数中最小正周期为且是奇函数的为（ ）
A. B.
C. D.
6. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
7. 若，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数满足：.若函数在区间上单调，且，则当取得最小值时，（ ）
A B. C. D.
二、多选题，4个小题，每小题5分共20分，有错选不得分，少选且正确得2分
9. 下列说法正确的是（ ）
A. B. 第一象限的角是锐角
C. 1弧度的角比1°的角大 D. 锐角是第一象限的角
10. 下列大小关系中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知函数的图象是由函数的图象向右平移个单位得到，则（ ）
A. 的最小正周期为π
B. 在区间上单调递增
C. 的图象关于直线对称
D. 的图象关于点对称
12. 已知函数，有下列四个结论，其中正确的结论为（ ）
A. 在区间上单调递增 B. 是的一个周期
C. 的值域为 D. 的图象关于轴对称
三、填空题，4个小题，每小题5分共20分
13. __________.
14. __________.
15. 《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若图中所示的角为，且小正方形与大正方形面积之比为，则__________．
16. 已知满足，当，，若函数在上恰有八个不同的零点，则实数的取值范围为______
四、解答题，6个小题，第17题10分，第18-22每题12分，共70分
17. 已知角的顶点为原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点．
（1）求值；
（2）求．
18. （1）在中已知，求，的值
（2）在中已知，求的值．
19. 已知函数.
（1）求函数的单调增区间；
（2）当时，求的值域.
20. 函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式;
（2）若函数在区间有5个零点,求的取值范围.
21. 如图，扇形钢板POQ的半径为1，圆心角为60°.现要从中截取一块四边形钢板ABCO.其中顶点B在扇形POQ的弧PQ上，A，C分别在半径OP，OQ上，且AB⊥OP，BC⊥OQ.
（1）设∠AOB=θ，试用θ表示截取四边形钢板ABCO的面积S（θ），并指出θ的取值范围；
（2）求当θ为何值时，截取的四边形钢板ABCO的面积最大.
22. 已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程在上有四个根，从小到大依次为，求的值.
