等比数列的前n项和(福建省漳州市平和县)

课件15张PPT。等比数列的前n项和(一)一个数学游戏问题： 甲、乙二人约定在一个月（按30天）内甲每天给乙100元钱，而乙则第一天给甲返还一分，第二天给甲返还二分，即后一天返还的钱是前一天的二倍.问谁赢谁亏？ 分析：数学建模
{an}：100 ，100 ，100……100 q=1
{bn}： 1 ， 2 ， 22 …… 229 q=2

S30 = 100+100+……+100 与 T30 = 1+2+ 22 +…… +229
比较大小 ，求和问题如何化简？
{an} ： q=1，等比数列求和问题化归成等差数列求和问题
{bn} ： q=2，如何求和?即:等比数列{an}一个数学游戏问题：探索等比数列求和公式 S1= a1
S2= a1 + a2 = a1+ a1q = a1（ 1+q）
S3= a1 +a2 +a3 = a1+ a1q + a1q 2= a1（ 1+q+ q2）
S4= a1+ a2 +a3 +a4 = a1+ a1q + a1q 2+ a1q 3= a1（ 1+q+ q2+ q3 ）设等比数列的前n项和为Sn，请写出S1、S2、S3、S4的表达式.我们在哪个公式见过这一项呢？发现q ≠1时,随着n的增大Sn的形式愈加复杂，能否用简洁的形式来表示Sn呢？探索等比数列求和公式在S3= a1（ 1+q+ q2）的分子分母同乘以1-q (q ≠1)会得到什么结论？S1 、S2 、S4是否有同样的变形？动手动脑才是硬道理!探索等比数列求和公式猜想得：证明等比数列求和公式两边同乘以公比q错位相减法证明等比数列求和公式由此可得: 等比数列{an}前n项和 : 数学游戏问题答案：230–1 (分)＝10737418. 23 (元)
远大于3000元证明等比数列求和公式公式的推导方法二：由等比数列的定义：根据等比的性质，有 即 ：（结论同上）说明：围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式．典例精析例1：“棋盘上的麦粒”（以2为底的幂）历史典故
大家都见过国际象棋吧！它的棋盘是正四方形，黑白
相间共64格，传说在很久以前，古印度舍罕王在宫廷单调
的生活苦恼中，发现了也就是现今的国际象棋如此的有趣
和奥妙之后，决定要重赏发明人——他的宰相西萨班?达依
尔，让他随意选择奖品，宰相要求的赏赐是：在棋盘的第
一格内赏他一粒麦子，第二格内赏他两粒麦子，第三格四
粒麦子……以此类推每一格上的麦子数都是前一格的两
倍，国王一听，几粒麦子，加起来也不过一小袋，他就答
应了宰相的要求。实际国王能满足宰相的要求吗？典例精析分析:由 可得=18 446 744 073 709 551 615 （粒）人们估计，如果把这些麦粒依次排列,它的长度就相当于地球到太阳距离的2万倍。若按万粒400克计算，可达7000亿吨。而我国现年产量在4亿吨左右.∴国王不能实现他的诺言。 等比数列｛ an｝中
① a1= 8，an=0.5 , q=0.5 ,求Sn；
② a1= 2，S3= 26 , 求a3 , q;
③ a1=2 , S3=6 , 求q.练一练1：2：已知等比数列的前5项和为10，前10项和为50，求前15项和是多少？结论例2.某商场第一年销售计算机5000台,如果平均每年的销售量比上一年增加10%,那么从第一年起,约几年内可使总销售量达到30000台(保留到个位)?答:约5年内可以使总销售量达到30000台.典例精析本节课你有哪些收获？1、等比数列求和公式（注意分类讨论）： 2、“错位相减法”求和。3、作业课本P69——1，2，3，4，5，6