四川省宜宾市高县2022-2023学年高二下学期期中考试数学（理）试题（含答案）

高县2022-2023学年高二下学期期中考试
理科数学
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟；
2.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡相应的位置；
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效；
4.考试结束后，交回答题卡. 　　
第Ⅰ卷
选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1.命题：“ ，”的否定是( )
A. ， B. ，使得
C. ，使得 D. ，使得
2. 已知，向量，则“”是“”的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件 D. 即不充分也不必要条件
3. 已知多项式，当时的函数值时用秦九韶算法计算的值是( )
A. B. C. D.
4.已知命题空间中两条直线没有公共点，则这两条直线平行命题空间中三个平面，，，若，，，则则下列命题为真命题的是( )
A. B. C. D.
5. 若函数，则( )
A. B.
C. D.
6..曲线与直线所围成的封闭图象的面积是( )
A. B. C. D.
7.“天津之眼”摩天轮是一座跨河建设、桥轮合一的摩天轮，兼具观光和交通功用，是天津地标建筑之一，摩天轮的整体高度为如图，摩天轮底座中心为，过点且距离处有一标志点，之间距离处有一遮挡物，高为将旋转轮看成圆，把游客看成圆上的点，若游客乘坐座舱旋转一周，则能看到标志点的概率为
A. B. C. D.
8.中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”现给出该问题算法的程序框图，其中表示正整数除以正整数后的余数为，例如表示除以后的余数是执行该程序框图，则输出的等于( )
A. B. C. D.
9. 函数 在区间的图象大致为( )
A. B. C. D.
10.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
11.已知抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于，两点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
12.已知函数，若时，恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填在答题卡相应横线上。
13. 命题“若，都是实数，则”的否命题是______．
14.某莲藕种植塘每年的固定成本是万元，每年最大规模的种植量是万千克，每种植万千克莲藕，成本增加万元销售额单位：万元与莲藕种植量单位：万千克满足为常数，若种植万千克，销售利润是万元，则要使销售利润最大，每年需种植莲藕___________万千克．
15.若函数在处取得极小值，则实数的取值范围是________．
16.已知定义在上的函数，其导函数为，，，则不等式的解集为________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题10分）
已知函数在处取得极值．
求实数的值；
当时，求函数的最小值．
18.（本小题12分）
已知．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若对恒成立，求的取值范围．
19.（本小题12分）如图，已知平面，平面平面，，分别是，的中点．求证：；
若，直线与平面所成角为，求二面角的余弦值．
20.（本小题12分）中国在第届联合国大会上承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于年之前使二氧化碳的排放达到峰值，努力争取年之前实现碳中和简称“双碳目标”，此举展现了我国应对气候变化的坚定决心，预示着中国经济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化新能源汽车电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量单位：万台关于年份的线性回归方程为，且销量的方差为，年份的方差为．
求与的相关系数，并据此判断电动汽车销量与年份的相关性强弱；
该机构还调查了该地区位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：
性别 购买非电动汽车 购买电动汽车 总计
男性
女性
总计
在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取人，再从这人中随机抽取人，求人中至少有1位男性的概率。
参考数据：；
参考公式：线性回归方程：，其中；
相关系数：，若，则可判断与线性相关较强．
21.（本小题12分）已知椭圆：的一个焦点与抛物线的焦点相同，且椭圆过点
Ⅰ求椭圆的标准方程；
Ⅱ若椭圆的右顶点为，与轴不垂直的直线交椭圆于，两点与点不重合，且满足，若点为中点，求直线与的斜率之积的取值范围．
22.（本小题12分）
已知，其中．
讨论的单调性；
取，，其中，求最小的，使有两个零点．
数学参考答案与评分标准
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B B C D A A A B A C D C
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
题号 答 案 题号 答 案
13 14 8
15 16
三、解答题（本大题共6小题，共74分．）
17．（本小题满分10分）
解：，
在处取得极值，
，
解得：；……………5分
经检验，当时满足题意，所以．
由得：，，解得：，
和随的变化情况如下表：

单调递增 单调递减
所以的最小值为． …………………10分
18.（本小题满分12分）
当时，，，
，，
所以切线方程为：，即．
恒成立，即在上恒成立，
设，，
令，得，
在上，，
所以函数在上单调递减，
所以，，
故有．
（本小题满分12分）
证明：过作于，
平面平面，平面平面，
平面，
平面，
，
平面，平面，
，
又，
平面，
平面，
．
以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
由知在平面内的射影为，即为直线与平面所成角，
，，，，
，，，，
，，，
设面的法向量，
由，令，则，，即，
设面的法向量，
由，
令，则，，即
设二面角的平面角为，由图知为钝角，
所以，
即二面角的余弦值为．
20.（本小题满分12分）
解：相关系数为

故 y 与 x 线性相关较强．
(2)抽样比 ，男性车主选取2人，女性车主选取5人，这7人中随机抽取3人，则3人中至少有1位男性的概率为+=
21.（本小题满分12分）
解：抛物线的焦点为，
，
又椭圆过点，即，
解得：，，
椭圆的标准方程为：．
题意的右顶点为，由题意可知直线的斜率存在且不为，
设的方程为，由与轴不垂直，故．
联立方程组，消元可得：，
设，，
由根与系数的关系可得：，故，，
，故直线的方程为，
用替换可得：，，
点坐标为，
直线的斜率，
直线的斜率，
，
且，，
．
即
直线与的斜率之积的取值范围是
22.（本小题满分12分）
因为，所以，
时，，即在单调递增；
时，当时，，所以单调递增；
当时，，所以单调递减．
时，，
则，
设，，所以在单调递增，
又因为，，
所以存在，满足，
即，化简得，解得，，
当时，，即，则单调递减；
当时，，即，则单调递增；
要使得有两个零点，则必要条件为，
即，即，
因为，所以最小值为，
再证当时，有两个零点，
因为，，，
所以存在，，满足，即此时有两个零点．
综上所述，最小的为．