人教版八年级下册18.2.3 正方形 同步练习（含答案）

18.2.3 正方形 同步练习
班级：_________ 姓名：_________ 学号：__________
选择题（本大题共10小题，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．下列命题正确的是（　　）
A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 B．对角线相等的平行四边形是正方形
C．对角线互相平分的矩形是正方形 D．对角线相等的菱形是正方形
2．如图，在中，，，，以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（ ）
A．13 B．12 C．6 D．3
3．如图，正方形ABCD的边长为3cm，∠ABE=，且AB=AE，则DE的长度为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．七巧板是我国古代的一种拼板玩具，它已经有两千五百多年的历史了．如图所示的七巧板中，若平行四边形BEFG的周长等于10，则△BCD的周长等于（　　）
A．10 B．15 C．20 D．25
5．如图，在正方形中，平分交于点，点是边上一点，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形：
a.两组对边分别相等 b.一组对边平行且相等
c.一组邻边相等 d.一个角是直角
顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c
则正确的是：（ ）
A．仅① B．仅③ C．①② D．②③
7．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的坐标为（1，），则点C的坐标为（　　）
A．（﹣1，﹣） B．（，﹣1） C．（﹣1，） D．（﹣，1）
8．如图，点P是线段AB上任意一点，在AB同侧作正方形ACDP、正方形PEFB，连接DF、PF，已知AB＝10，当△PDF的面积为8时，AP的长为（　　）
A．2 B．8 C．2或8 D．4
9．如图，正方形ABCD边长为1，以AC为边作第2个正方形ACEF，再以CF为边作第3个正方形FCGH，…，按照这样的规律作下去，第6个正方形的边长为（　　）
A．（2）5 B．（2）6 C．（）5 D．（）6
10．如图，正方形的边长为8，点M在上，且，N是上一动点，则的最小值为（ ）．
A．8 B． C． D．10
二、填空题（本大题共5小题，在横线上填上合理的答案）
11．如图，在矩形中，有以下结论：①是等腰三角形；②；③；④；⑤当时，矩形会变成正方形．正确的结论是_____．
12．如图所示的正方形的方格中，∠1＋∠3﹣∠2＝___度．
13．如图，正方形ABCD中，点E、F分别是BC、AB边上的点，且AE⊥DF，垂足为点O，△AOD的面积为，则图中阴影部分的面积为_____．
14．如图．将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的大小为_____．
15．如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为_____cm．
三、解答题（本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．如图，E、F、M、N分别是正方形四条边上的点，且，
(1)求证：四边形是正方形；
(2)若，，求四边形的周长．
17．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．
（1）求证：CE=CF；
（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？
18．如图，在正方形外取一点E，连接，，，过点A作的垂线交于P，若
（1）求证：；
（2）求证：．
19．如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE＝BF，EF与BC交于点G．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若∠ABE＝62°，求∠GFC+∠BCF的值．
20．如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
（1）试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论．
（2）对角线AC与DB满足怎样的关系时，四边形EFGH是菱形，并说明理由．
（3）对角线AC与DB满足怎样的关系时，四边形EFGH是矩形，并说明理由．
（4）对角线AC与DB满足怎样的关系时，四边形EFGH是正方形，直接给出结论．
21．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.
（1）求证：EF=FM
（2）当AE=1时，求EF的长．
答案：
1．D 2．A 3．A 4．C 5．C 6．C 7．D 8．C 9．C 10．D
11．①②③⑤ 12．45 13． 14．45° 15．.
16（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴四边形是菱形，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是正方形；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴正方形EFMN的周长为：．
17．解：（1）在正方形ABCD中，BC=CD，∠B=∠CDF=90°，
∵，
∴△CBE△CDF（SAS）．
∴CE=CF．
（2）GE=BE+GD成立．
理由：∵由（1）得：△CBE△CDF，
∴∠BCE=∠DCF，
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，
又∵∠GCE=45°，
∴∠GCF=∠GCE=45°，CE＝CF．
∵∠GCE＝∠GCF， GC＝GC，
∴△ECG△FCG（SAS）．
∴GE=GF．
∴GE=DF+GD=BE+GD．
18．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵AE⊥AP，
∴∠EAP=90°，
∴∠EAB=∠PAD，
在△ABE和△ADP中，，
∴△ABE≌△ADP；
（2）证明：∵△ABE≌△ADP，
∴∠APD=∠AEB，
又∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，
∴∠BEP=∠PAE=90°，
∴BE⊥DE．
19．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵°，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵BE⊥BF，
∴，
又∵，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴的值为．
20．（1）连接AC、BD，
∵ E，F分别是AB、BC的中点，
∴EF// AC， EF=AC，
同理HG∥AC，GH =AC，
∴EF// HG， EF= HG，
∴四边形EFGH是平行四边形；
(2)当AC = BD时，四边形EFGH是菱形，
∵G、H是CD和AD的中点，
∴GH=AC，GH//AC
∵EH=BD，
∴GH = EH，
又∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是菱形；
（3）AC⊥BD，平行四边形EFGH就是矩形．
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴EH//BD， FG// BD，EF//AC，HG// AC；
当AC⊥BD时，
∵EH∥BD，FG∥BD，EF∥AC，HG// AC；
∴.EH⊥EF，EF⊥GF，HG⊥FG，HG⊥EH，
∴∠GHE=∠HEF=∠EFG=90°
∴EFGH就是矩形．
(4)当AC= BD且AC⊥BD时，四边形EFGH是正方形，
∵AC⊥BD，GH//AC，
∴GH⊥BD，
∵EH//BD，
∴GH⊥EH，
又∵四边形EFGH是菱形，
∴四边形EFGH是正方形；
故答案为： AC= BD且AC⊥BD．
21．(1)∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴DE=DM ，∠EDM=90°，
∴∠EDF + ∠FDM=90°，
∵∠EDF=45°，
∴∠FDM =∠EDM=45°，
∵ DF= DF，
∴△DEF≌△DMF，
∴ EF=MF
（2） 设EF=x，
∵AE=CM=1 ，
∴ BF=BM-MF=BM-EF=4-x，
∵ EB=2，
在Rt△EBF中，由勾股定理得，
即，
解得，.