1.4 .3空间立体几何向量与夹角 测试练习题（含答案）

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2.4.3-1 空间向量与夹角测试练习题
班级:_________ 姓名：___________
一、选择题
1．已知异面直线的方向向量分别是，则夹角的大小是（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量分别是直线l与平面α的方向向量、法向量，若cos〈〉＝－，则l与α所成的角为（ ）
A．30° B．60° C．150° D．120°
3．在直三棱柱中，若，，，，M为的中点，P为BM的中点，Q在线段上，.则异面直线PQ与AC所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．（多选）将正方形沿对角线折成直二面角，则下列结论正确的是（ ）
A． B．是等边三角形
C．与平面所成的角为90° D．与所成的角为30°
6．（多选）在直三棱柱中，，，分别是的中点，在线段上，则下面说法中正确的有（ ）
A．平面 B．若是上的中点，则
C．直线与平面所成角的正弦值为
D．直线与直线所成角最小时，线段长为
二、填空题
7．三棱锥中，底面为等腰直角三角形，且，平面，，分别是，的中点，则直线与所成的角的正弦值为___________.
8． 和所在平面垂直，且，，则直线与平面所成的角的大小为________．
三、解答题
9．如图，在正三棱柱中，是的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）已知，求异面直线与所成角的大小．
10．如图，已知直四棱柱中，底面是菱形，，，是的中点，是的中点.
（1）求异面直线和所成角的余弦值；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
11．已知在四棱锥中，底面是边长为的正方形，是正三角形，平面，分别是的中点．
（1）求证：平面；
（2）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为？若存在，求线段的长度；若不存在，说明理由．
参考答案
1~4 CBDB 5. AB 6. ACD
7. 8.
9. 解：（1）因为正三棱柱，所以，又因为是的中点，所以，又因为平面平面，且平面平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面；
（2）取的中点，连接，由正三棱柱的几何特征可知两两垂直，故以为坐标原点，分以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，设，则，所以,则
所以
由于异面直线成角的范围是，所以异面直线与所成角的余弦值为，因此异面直线与所成角为.
10. （1）解：连结，使.因为底面是菱形，所以，
以为原点，的方向为轴 轴的正方向，以四棱柱上下底面的中心连线指向上底面的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.
设，由，底面是菱形，所以.
所以
，，，，
是的中点，是的中点，，
设异面直线和所成角为，则.
异面直线和所成角的余弦值为.
（2）解：由（1）可得，
设平面的法向量为，则
，令，得，
由（1）知，设直线与平面所成角为，则. 直线与平面所成角的正弦值为.
11. 解：（1）为正三角形，为中点，；
平面，平面，；
平面，，平面；
（2）连接，则，，
则以为原点，为轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
设线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为，且，
，，；
设平面的法向量，
则，令，则，，，
，
整理可得：，方程无解，不存在这样的点.
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