第二十七章 证明 全章教案
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第27章 证 明
单元要点分析
1．通过具体例子，使学生体会证明的必要性；弄清推理证明需要的依据，掌握推理证明的方法，能用综合法证明的格式；了解定义，命题、定理的含义，能说出命题的题设和结论，会写出一道命题的逆命题，知道原命题正确，而它的逆命题不一定正确的事实。
2．应用推理证明的方法进一步研究等腰三角形等具体几何图形的性质定理和判定定理，并能应用这些定理证明其他的命题。
3．注重证明定理的过程性教学，力求通过研究具体几何图形的性质定理和判定定理，培养学生的逻辑思维能力，在证明过程中强调步步要有依据。
4．掌握三角形，梯形的中位线定理，并能应用定理解决相关问题，在证明这两个定理时，让学生体会“转化”的数学思想。
5．通过实例，体会反证法的含义，由具体的例子，理解反例的作用，知道用反例证明一个命题是错误的命题。
重点、难点与关键
重点：
1．熟练掌握初中阶段学过的公理、定义、等式、不等式的性质，因为这些是逻辑推理证明的依据。
2．从具体图形的判定定理和性质定理的证明过程中，培养学生的逻辑思维能力，拓宽同学解决问题的思路。
3．能够应用所学定理进行相关问题的证明，培养同学应用知识解决问题的能力。
4．使学生理解证明的基本要求，有条理地阐述自己的想法，推理必须有依据，表述必须条理清楚。
难点：
1．用推理证明研究具体几何图形时，引导学生添加恰当的辅助线，使命题得到证明；
2．证明命题时，有条理地阐述自己观点，正确地推理和表述。
3．学生逻辑思维能力的培养。
关键：
“巧妇难为无米之炊”，因此在本章的教学活动中，首先要让同学熟记所学过的公 理、定理、定义等，学生只有掌握了这些基本的事实，才能在证明命题过程中思路开拓，游刃有余；其二是证明思路的引导，正确阐述自己的观点。做到步步有依据；其三是正确表述。
课题 ：§27．1 证明的再认识
【教学目标】：
使学生理解推理证明是判断猜想正确与否的重要手段，明确推理证明所要依据的公理，掌握证明的方法，培养学生逻辑推理能力。
【重点难点】：
重点：推理证明的方法和学生逻辑推理能力的培养。
难点：学生逻辑推理能力的培养。
【教学过程】：
一、理解为何需要推理证明
同学们想一想，我们是如何知道三角形内角和等于180°呢 当时我们通过画不同的三角形，测量出它们的内角，然后算得各个三角形的三个内角和为180°，或将一个三角形的三个内角拼在一起(如图(1)，发现三角形的三个内角的和筹于180°。
用测量的方法能保证每次画出的三角形的内角和正好等于180°吗 用观察的方法能保证三个内角拼成的角一定是平角吗 为了确保精确无误，人们发现以下证明的方法。
二、如何证明一个命题
求证：三角形的内角等于180°。
已知：如图(2)，任意△ABC的内角为∠A、∠B、∠C。
求证：∠A+∠B+∠C＝180°。
证明：延长线段AB到D，过B点作BE∥AC。
∵AC＝BE
∴∠2＝∠C(两直线平行，内错角相等)
∠1＝∠A(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ABC＝180°(平角的定义)
∴∠A+∠ABC+∠C＝180°(等量代换)
上面的括号里的内容是这一步的依据，所谓推理、证明讲究的是依据，这些依据从哪里来呢
三、推理证明的依据
逻辑推理需要依据，我们试图用最少的几条基本事实作为逻辑推理的最原始的依据。上面，学习了一些公理(事实)。
(1)一条直线截两条平行线所得的同位角相等。
(2)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
(3)如果两个三角形的两边及其夹角(或两角及其夹边、或三边)分别对应相等，那么这两个三角形全等。
(4)全等三角形的对应边、对应角分别相等。
等式、不等式的有关性质以及等量代换也是逻辑推理的依据。
在以上这些基础上，用逻辑推理的方法去证明几何图形的有关命题，并将证得的可以作为进一步推理依据的真命题称为定理。凡是书上有写为定理的命题都可作为进一步推理的依据。
四、练习证明命题
1、求证：n边形的内角和等于(n－2)×180°。
老师画出上述图形，让学生完成证明过程。
2．求证：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
证明一道命题，首先应依据题意画出图形，而后写出已知、求证，最后加以证明。
已知：如图，∠CBD是△ABC的一个外角。
求证：∠CBD＝∠A＋∠C
证明：∵∠A+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)
∴∠A+∠C＝180°－∠ABC(等式的性质)
又∵∠ABC＋∠CBD＝180°(平角的定义)
∴∠CBD＝180°－∠ABC(等式的性质)
∴∠CBD＝∠A+∠C
由于上述命题也经常需要用来作为判断其他命题真假的依据，因此把上述命题也作为定理，在课本中如有特别黑体的命题，我们都可以把它当做定理使用。
练习：课本第33页的练习。
五、课堂小结
通过本节课的学习，同学们认识了推理证明的必要性，知道了证明的方法和步骤，希望同学们把以前学过的公理，定理等复习一遍，牢记在心，这对今后的推理证明的学习有极大的帮助。
六、作业
课本第33页习题27．1的第1、2、3、4题。
补充作业：
1．如图，AB∥CD，GE平分∠BEF，GF平分∠EFD。求证：∠G＝90°，
2．如图，F、C是线段BE上两点，BF＝CE，AB＝DE，∠B＝∠E，QR∥BE。求证：∠Q＝∠R。
3．如右图，已知CD是△ABC的外角∠ACE的平分线，BD平分∠ABC，请你猜想∠A与∠D之间的关系 并证明你的结论。
课题 ：§27.2 用推理方法研究三角形
第一课时 等腰三角形
【教学目标】：
使同学们用推理的方法证明等腰三角形的判定定理和性质定理，并能熟练应用等腰三角形判定定理和性质定理解决问题，进一步理解证明在数学学习中的必要性。
【重点难点】：
重点：等腰三角形的判定定理和性质定理的推理过程是教学重点。
难点：用推理的方法研究等腰三角形的判定和性质定理时，辅助线的添加以及对定理“HL”的证明。
【教学过程】：
一、给出问题，学习讨论，回忆
1．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等吗
(等角对等边)
如图(1)，∠B＝∠C，AB与AC相等吗
2．当时，我们怎样知道等腰三角形的这个识别方法的呢
当时是用刻度尺找出边BC的中点D，连结AD，然后沿AD对折，经过观察AB和AC完全重合，于是得到AB＝AC。
3．为什么当△ABC沿AD对折时，AB与AC完全重合呢 你们能否用逻辑推理的证明方法来说明这个问题
二、用逻辑推理方法证明等腰三角形的判定定理和性质定理
1．等腰三角形的判定定理。
已知：如图(1)，在△ABC中，∠B＝∠C；
求证：AB＝AC。
分析：要证明两条线段相等，可设法构造两个全等三角形，使AB、AC分别是这两个全等三角形的对应边。基于这种想法，同学们会想到画什么样的辅助线呢
同学的回答可能是以下三种；
(1)取BC的中点D，连结AD；
(2)画∠BAC的平分线AD；
(3)过顶点A作底边BC的高线AD。
老师就第(2)种给出以下证明：
证明：画∠BAC的平分线AD。
在△BAD和△CAD中
∵∠B＝∠C(已知)
∠1＝∠2(画图)
AD＝AD(公共边)
∴△BAD≌△CAD(AAS)
∴AB＝AC
请同学们给出第(3)种添加辅助线的证明过程，并就第(1)种的添加方法证明AB＝AC是否可行，展开讨论。
由于以上的等腰三角形的识别方法是经过逻辑推理证明它是正确的，而且在今后的其他命题证明中经常用到，所以我们把它称为等腰三角形的判定定理，即：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简称为(“等角对等边”)。
2．等腰三角形的性质定理
等腰三角形的两个底角相等(“等边对等角”)。
等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合。(“等腰三角形的三线合一”)
对以上命题的证明，让同学们画出相应图形，并写出已知、求证，写出证明过程。
已知：如图(2)，在△ABC中，AB＝AC。
求证：∠B＝∠C。
证明：画∠BAC的平分线
∵AB＝AC(已知)
∠1＝∠2(画图)
AD＝AD(公共边)
∴△BAD≌△CAD(SAS)
∴∠B＝∠C
3．如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。
已知：如图(3)，在△ABC和△A'B'C'中，∠ACB＝∠A'C'B'＝90°，AB=A'B'，AC=A'C'。
求证：△ABC≌△A'B'C'
分析：把△ABC和△A'B'C'拼在一起，使相等的的直角边AC和A'C'重合在一起，并使点B和点B'在A'C'的两旁，B、C(C')、B'在一条直线上，由上述图形，利用等腰直角三角形的性质与全等三角形的识别方法，即可证明这两个直角三角形全等。
证明：像图(3)一样，把△ABC和△A'B'C'拼在一起。
∵∠A'C'B'=∠ACB＝90°(已知)
∴∠B'C'B＝180°
∴点B'、C'、B在同一条直线上。
在△A'B'B中，因为
∵A'B'＝AB＝A'B(已知)
∴∠B=∠B'(等边对等角)
在△ABC和△A'B'C'中，
∵∠ACB=∠A'C'B'(已知)
∠B＝∠B'(已证)
AB=A'B'(已知)
∴△ABC≌△A'B'C'(AAS)
斜边、直角边定理：如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。
三、课堂练习
1. 求证；等边三角形的各角相等，并且每一个角都等于60°。
2．求证；三个角都相等的三角形是等边三角形。
四、小结
本节课我们用推理证明的方法证明了等腰三角形的性质定理、判定定理和直角三角形的判定定理“HL”，要求同学们初步掌握命题证明的步骤、方法。体会逻辑推理证明重要性。
五、作业
课本第44页，习题27．2的第1、2题。
补充作业：
1：如图，△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别是BC、AB、AC上的点，BD＝CF，CD＝BE，G为EF中点，连结OG，问DG与EF之间有何关系 证明你的结论。
2．已知点D为等边△ABC内一点，且AD＝CD，PC＝AC，DC平分∠BCP，求∠P的度数。
3．如图，点C在线段AB上，△ACM和△CBN是等边三角形，AN交MC于P，BM交CN于Q，连结PQ，试判断△PCQ的形状．并证明你的结论。
课题 ：§27.2 等腰三角形
第二课时 角平分线
【教学目标】：
使学生掌握用推理证明角平分线的性质定理和判定定理，进一步掌握证明命题的方法，能够运用角平分线的性质定理和判定定理解决问题，培养学生的逻辑思维能力。
【重点难点】：
重点：角平分线性质定理和判定定理的推理证明过程，运用角平分线的性质定理和判定定理解决问题。
难点：角平分线性质定理和判定定理的应用以及学生的逻辑思维能力的培养。
【教学过程】：
一、回忆，思考
如右图，OC平分∠AOB，那么OC上的点具备什么性质呢 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，这条性质是怎样得到的呢
如图(1)，在OC上任取一点P，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E，当时是在半透明纸上描出了这个图，然后沿着射线OC对折。通过观察，线段PD和PE完全重合。于是得到PD＝PE，由于P点的任意性，所以得到，角平分线上的点到角两边的距离相等。
二、推理证明角平分线的性质定理和判定定理
1．角平分线的性质定理
角平分线上的点到角两边的距离相等(让同学写出已知、求证)。
已知：如图(1)，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足。
求证：PD=PE。
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB(已知)
∴∠PDO=∠PEO=90°，(垂直定义)
在△PDO和△PEO中
∵∠DOP=∠EOP(已知)
∠PDO=∠PEO(已证)
PO＝PO(公共边)
∴△PDO≌△PEO(AAS)
∴PD＝PE(全等三角形的对应边相等)
2．角平分线的判定定理
求证：到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上。
请同学们根据上述命题的意思，画出图形，写出已知、求证，并写出证明的全过程。
已知：如图(2)，QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE。
求证：点Q在∠AOB的平分线上．
分析；为了证明点Q在∠AOB的平分线上，可以画射线OQ，而论证明∠QOD＝∠QOE，从(2)图中可以看出，∠QOD和∠QOE分别在△QOD和△QOE中，那么就要证明△QDD与△QOE全等。
证明： 作射线OQ，
∵QD⊥OA，QE⊥0B(已知)
∴∠OEQ=∠ODQ=90°(垂直定义)
又∵QE=QD(已知)
OQ=OQ(公共边)
∴Rt△OQD≌Rt△OQE(HL)
∴∠EOQ＝∠DOQ(全等三角形的对应角相等)
∴点Q在∠AOB的平分线上。
定理：到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上。
3．定理的应用
(1)三角形的三条角平分线交于一点吗 为什么 这一点称为三角形的 心。(让学生思考，回答后，老师再给出以下的证明。)
证明：如图(3)过O点分别作OP⊥AB，OG⊥BC，OH⊥AC，垂足分别为P、G、H。
∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC。
∴OP＝OH OP＝OG(角平分线上的到角两边的距离相等)
∴OG＝OH(等量代换)
∴O点在∠ACB的平分线上
∴三角形三条角平分线交于一点，这点称为三角形的内心。
(2)如图(4)，已知：△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，DE、DF分别垂直AB、AC，垂足为E、F。
求证：EB＝FC
证明：∵AD是△ABC的平分线。(已知)
DE⊥AB于E点，DF⊥AC于F点(已知)
∴DE＝DF(角平分线性质定理)
∠DEB＝∠DFC(垂直定义)
在Rt△DEB和Rt△DFC中
∵DE＝DF(已证)
BD＝CD(已知)
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)
∴BE＝CF(全等三角形的对应边相等)
三、课堂练习
1．如图，在直线l上找出一点P，使得点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等。
2。如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于F，求证，点F在∠DAE的平分线上。
四、课堂小结
本节课推理证明了角平分线的性质和判定定理，这两个定理是相反的过程，同学们可以想想它们的题设是什么 结论是什么 同时，要注意学习证明定理的思想方法，并能应用这些方法和定理本身内容解决问题。
五、作业
课本第44页，习题27．2的第3题。
补充作业：
1．如图，已知：∠BAC＝30°，G是∠BAC的平分线上一点，EG∥AC交AB于E，GD⊥AC于D，求CD∶GE的值。
2如图，在△ABC中，∠ABC＝100°，∠ACB＝20°，CE平分∠ACB交AB于E，，D在AC上，且∠CB0＝20°，求∠CED的度数。
3．如图，E是∠CAF内一点，D在AC上，E在AP上，且DC＝EF，△BCD与△BEF的面积相等，求证：AB平分∠CAF。
4. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E、F分别在AB、AC上．且∠EDF+∠EAF＝180°。求证：DE=DF。
课题 ：第三课时 线段的垂直平分线
【教学目标】：
使学生能够推理证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理，掌握命题证明的方法，能运用证明定理的方法和定理本身内容解决问题，培养学生的逻辑思维能力。
【重点难点】：
重点：线段垂直平分线性质定理和判定定理的推理证明过程，运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题。
难点：线段垂直平分线性质定理的应用以及逻辑思维能力的培养。
【教学过程】：
一、回忆与思考
我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，知道线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。
问题：当时同学们怎么知道以上这条性质呢 同学们能否通过逻辑推理证明这条性质呢
二、新课
1．线段垂直平分线的性质定理
在同学们回答问题后，老师给出以下证明：
已知：如图(1)，MN是线段AB的垂直平分线，C是垂足，点P是直线MN上任意一点。
求证：PA＝PB。
证明：∵MN是线段AB的垂直平分线(已知)
∴∠PCA＝∠PCB＝90°(垂直定义)
AC＝BC(中点定义)
在△PCA和△PCB中
∵AC＝BC(已证)
∠PCA＝∠PCB(已证)
PC＝PC(公共边)
∴△PCA≌△PCB(SAS)
∴PA＝PB(全等三角形的对应边相等)
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。
2．线段垂直平分线上的判定定理
问题：到一条线段的两个端点的距离相等的点是否一定在这条线段的垂直平分线上呢 同学们能否用“证明”回答这个问题。
已知：如图(2)，QA＝OB
求证：点Q在线段AB的垂直平分线上。
分析：为了证明点Q在线段AB的垂直平分线上，可以先经过点Q画线段AB的垂线，然后证明该垂线平分线段AB；也可以先平分线段AB，设线段AB的中点为点C，连结QC，然后证明QC垂直于线段AB。
请同学们根据老师分析的完成证明过程。
定理：到一条线段的两个端点的距离相等的点。在这条线段的垂直平分线上。
3．对定理的应用
(1)三角形的外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，为什么这三条垂直平分线就交于一点呢
待同学们思考、讨论后，老师给出解答。
证明：设AB、BC的垂直平分线l、m交于O点
则OA=OB，OB=OC
∴OA=OC
∴O点在线段AC的垂直平分线n上。
∴三角形的三条边的垂直平分线交于一点。
(2)如图(4)，在△ABC中，AB=AC，∠BAC＝120°，AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足，且BC=18cm，求DE的长。
分析：由DE垂直平分AC，同学们会想到添加哪条辅助线
显然，连结AD较合理，这样就得到DA=DC，从而∠1=∠C=30°，∠BAD=90°，然后根据已知条件即可求出DE的长度。
解：连结AD
∵DE垂直平分AC
∴DA=DC
∴∠1=∠C
又∵AB=AC ∠BAC=120°
∴∠B＝∠C=30°
∴∠BAD＝∠BAC-∠1=90°
设DE=x，则CD=2x
∴AD=2x
∴BD=4x
∵CD+BD=BC
∴4x+2x=18
∴x=3cm
答：DE的长度为3cm。
三、课堂练习
1．如图，在直线l上找出一点P，使得点P到已知点A、B的距离相等。
2．如图，已知AE=CE，BD⊥AC，求证：DA+BA=BC+DC
3。如图，在△ABC上，已知点D在BC上，且BD+AD=BC。求证：点D在AC的垂直平分线上。
四、小结
通过本节课的学习，同学们应进一步掌握线段垂直平分线的性质定理和判定定理，并能应用定理解决问题，在定理证明和运用定理解决问题的过程中不断地提高自己的推理能力。
五、作业
课本第44页至45页的第4、5题。
补充作业：
1．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝40°，AC的垂直平分线MN与AB交于D点，求∠BCD的度数。
2．如图，△ABC的周长为19cm，且AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，E为垂足，BC＝5cm，求△BCD的周长。
3．如图，MN垂直平分线段AB、CD，垂足分别为E、F，求证：AC＝BD，∠ACD＝∠BDC。
课题 ：第四课时 逆命题、逆定理
【教学目标】：
使学生知道命题的题设与结论，能正确写出命题的逆命题，理解原命题与逆命题的关系，培养学生的语言发达能力和逆向思维能力。
【重点难点】：
重、难点：正确写出原命题的逆命题，用反例说明命题是假命题。
【教学过程】：
一、引入
请同学们看以下两句话，并回答问题：
(1)马是吃草的动物；
(2)吃草的动物是马。
上面两句话是命题吗 它们之间有何关系
二、新课
1．弄清命题的题设和结论
我们知道，可以判断正确或错误的句子叫做命题；像上述两个句子都是命题。又如“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”都是命题。
问：命题是由哪两个部分组成的呢 (题设、结论)，请同学们说出以下几个命题的题设和结论。
(1)等腰三角形的底角相等。
(2)角平分线上的点到角两边的距离相等。
(3)线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；
(4)对顶角相等。
2．原命题和逆命题的关系
每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，使可得到原命题的逆命题。
让同学们试着写出上述四个命题的逆命题，而后让同学判断逆命题是否正确
从第四个命题与其逆命题可以看出，虽然每个命题都有其逆命题，原命题正确，但它的逆命题未必正确，这从刚开始的两句话中同学们也可以体会到。
又如：全等三角形的面积相等，然而面积相等的三角形不一定全等。
3．定理、逆定理
如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
让同学讨论举例有关互逆定理的内容。
4．勾股定理的逆定理。
问：勾股定理怎么叙述的 请说出它的逆命题．
勾股定理；直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的逆命题：如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那
么这个三角形是直角三角形。
已知：如右图，在△ABC中，AB＝c，BC＝d，CA＝b，且a2+b2=c2。
求证；△ABC是直角三角形。
分析：首先构造一个直角三角形A'B'C'，使得∠C'＝
90°，B'C'=a，C'A'＝b，然后可以证明△ABC≌△A'B'C，
从而可知△ABC是直角三角形。
证明：作Rt△A'B'C'，使得∠C=90°．B'C'＝a，
C'A'=b
则C'2=a2+b2
∵c＝a2+b2
∴c'=c
在△ABC和△A'B'C'中
∵AB=A'B'
BC=B'C'
CA=C'A'
∴△ABC≌A'B'C'
∴∠C=∠C=Rt∠
∴△ABC是直角三角形。
三、课堂练习
1．指出下列命题的题设和结论，并说出它们的逆命题；
(1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余。
(2)等边三角形的每个角都等于60°。
(3)全等三角形的对应角相等。
(4)到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
(5)线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。
2．举例说明下列命题的逆命题是假命题。
(1)如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数能被5整除。
(2)如果两个角都是直角，那么这两个角相等。
3．设三角形三边长分别是下列各组数，试判断各三角形是不是直角三角形，如果是直角三角形，请指出哪条边所对的角是直角。
(1)7，24，25；(2)12，35，37；(3)35，91，84。
四、小结
通过本节课的学习，同学们应知道一道命题的题设和结论，能正确写出命题的逆命题，知道原命题正确，它的逆命题不一定正确。
五、作业
课本第45页习题27．2的第6题。
课题 ：§27.3 用推理方法研究四边形
第一课时 平行四边形
【教学目标】：
使学生能够用推理证明平行四边形判定定理和性质定理，在证明这些定理的过程中，体会以前学过的定理不只是通过猜想、观察，比较得到，这些定理需要数学的严格推理论证，才能说明它们是否正确。
【重点难点】：
重点：进一步掌握平行四边形的判定定理和性质定理，掌握这些定理的证明过程以及运用这些定理的解决问题。
难点：运用这些定理证明有关命题。
【教学过程】：
一、回忆以前学习过的平行四边形的性质和判定定理
1．平行四边形的判定定理
(1)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
如图，若AB∥CD，AB＝CD，则四边形ABCD是平行四边形。
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
如图，若AB＝CD．AD＝BC，则四边形ABCD是平行四边形。
(3)两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
如图，若∠BAD＝∠DCB，∠ABC＝∠CDA，则四边形ABCD是平行四边形。
(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形。
如图，若OA＝OC，OB＝OD，则四边形ABCD是平行四边形。
2．平行四边形的性质定理
(1)平行四边形的对边相等
若四边形ABCD是平行四边形，则AB＝CD，AD＝BC
(2)平行四边形的对角相等
如图，若四边形ABCD是平行四边形，则∠ABC＝∠CDA，∠BAD＝∠DCB。
(3)平行四边形的对角线互相平分
如图，若四边形ABCD是平行四边形，则OA＝OC，OB＝OD
以上这些定理，通过两种表达方式，使同学加深对定理的理解。
二、选择部分定理进行证明
1．已知：四边形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD。
求证：四边形ABCD是平行四边形。
分析：要证明四边形ABCD是平行四边形，只要证明另一组对边平行，因此连结其中一条对角线，然后证明内错角相等。
证明；连结AC。
∵AB∥CD
∴∠BAC=∠DCA(两直线平行，内错角相等)
在△ABC和△CDA中
∵AB＝CD
∠DAC=∠DCA
AC=CA
∴∠BCA＝∠DAC(全等三角形的对应角相等)
∴BC∥DA(内错角相等，两直线平行)
∴四边形ABCD是平行四边形
2．已知：四边形ABCD是平行四边形。
求证；AB＝CD，BC＝DA
分析：要证明平行四边形的对边相等．可以连结其中一条对角线，把平行四边形分成两个三角形，然后利用全等三角形对应边相等得出结论。
证明：连结AC
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD
∴∠BAC=∠DCA(两直线平行，内错角相等)
同理∠BCA=∠DAC
在△ABC和△CDA中
∵∠BAC=∠DCA
AC=CA
∠BCA=∠DAC
∴△ABC≌△CDA(ASA)
因此AB＝CD，BC＝DA(全等三角形的对应边相等)
三、例题与练习
例题：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，且AE＝CF，求证：BF∥DE。
(通过同学们讨论，而后老师给予归纳，证明)
证明；∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD
AB＝CD
∵AE＝CF
∴BE＝DF
∴四边形BEDF是平行四边形，(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
∴BF∥DE
虽然这道题目并不难，但老师可以通过对这道题详细分析、讲解，使同学们可以对
平行四边形的所有判定法则做更深刻的理解，让同学们进一步掌握运用定理解决问题
的方法。
练习：
1．求证：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
2．求证：平行四边形的对角线互相平分。
3．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E、F分别是AB、DC的中点，求证：EF＝BC。
四、小结
1．总结平行四边形的判定定理和性质定理。
2．能应用这些定理证明一些相关命题。
五、作业
课本第57页习题27．3的第l、2题。
补充作业：
1．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F点在对角线AC上，且AE＝CF，求证：DE∥BF。
2．如图，已知：在平行四边形ABCD中，BE、DF分别是／ABC、／CDA的平分线，
求证：BD和EF互相平分。
3．如图，在平行四边形ABCD中，∠B的平分线交CD的延长线于E。
(1)求证，∠C的平分线垂直平分BE。
(2)若平行四边形ABCD的周长为30cm，DE＝3cm，求平行四边形ABCD的各边长。
课题 ：§27.3 第二课时 矩 形
【教学目标】：
使学生理解矩形与平行四边形区别与联系，能从矩形的定义出发，经过推理得出矩形的性质定理，掌握矩形的判定定理，并能应用所得到的定理证明有关命题，培养学生的逻辑思维能力。
【重点难点】：
重点：矩形的性质定理和判定定理及其得出这些定理的过程，应用这些定理进行有关命题的论证。
难点：应用定理进行有关命题的论证是教学难点。
【教学过程】：
一、针对问题进行讨论与回忆
问题1．矩形定义是什么
问题2．矩形与平行四边形有何区别与联系
问题3．矩形具有什么性质
问题4．判定一个四边形是矩形的方法有哪些
二、矩形的性质定理
根据学生讨论和回答的，老师归纳以下几个方面。
根据矩形的定义，矩形是有一个角是直角的平行四边形，因此，矩形是特殊的平行四边形，它除了具备平行四边形所有性质之外，还具备本身所特有的性质。
1．从角的方面：矩形的四个角都是直角。
2．从边的方面：矩形的对边平行且相等。
3．从对角线方面：对角线不仅平分，而且相等。
已知；如图(2)，四边形ABCD是矩形
求证：AC＝BD
让学生思考，请同学自己完成证明过程。
三、矩形的判定定理
1．有一个角是直角的平行四边形是矩形。
2．有三个角是直角的四边形是矩形。
3．对角线相等的平行四边形是矩形。
对上述的第3个命题进行证明。
如图(3)，已知：四边形ABCD是平行四边形，对角线AC＝BD。
求证：四边形ABCD是矩形。
分析：由于四边形ABCD是平行四边形，只要证明四边形中的一个内角是直角即可，考虑到∠ABC＋∠DCB＝180°，因此只要证△ABC≌△DCB。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形。
∴AB＝CD AB∥CD
∴∠ABC＋∠DCB＝180°
在△ABC和△DCB中
∵AB＝CD
BC＝CB
AC＝DB
∴△ABC≌△DCB
∴∠ABC＝∠DCB
∴∠ABC＝90°
∴四边形ABCD是矩形。
四、直角三角形的一个重要性质
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
已知：如图(4)，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边上的中线。
求证：CD＝AB。
分析：要证CD＝AB，可以延长CD到E，使DE＝CD，此时要证CE＝AB，因此，本题的关键在于证明四边形AEBC是矩形。
证明：延长CD到E，使DE＝CD
∵CD是AB边上的中线
∴BD＝AD
∴四边形ACBE是平行四边形
又∵∠BCA＝90°
∴四边形BCAE是矩形。
∴CE＝AB
∴CD＝AB
五、应用举例
例1：如图，平行四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的平分线分别交于G、F、H、E点。
求证：四边形GFHE是矩形。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD
∴∠ABC＋∠DCB＝180°
又∵BE、OE平分∠ABC、∠DCB
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠DCB
∴∠1＋∠2＝(∠ABC＋∠DCB)＝90°
∴∠E＝90°
同理可得∠EGF＝90°，∠F＝90°
∴四边形EGFH是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)
例2：如图，已知，△ABC中，D是BC的中点，你能比较线段AB＋AC与2AD的关系吗 试证明你的结论。
分析：根据上面添加辅助线的方法，我们可以延长AD到E，使得AD＝DE，连结BE、CE，则四边形ABEC是平行四边形，则AC＝BE，在△ABE中，AB＋BE＞AE，所以AB＋AC＞2AD。
证明：延长AD到E点，使得AD＝DE，连结BE、CE
∵AD是△ABC的中线
∴BD＝CD
∴四边形ABEC是平行四边形
∴AC＝BE
在△ABE中，
AE＋BE＞AE
∴AB＋AC＞2AD
六、课堂小结
引导学生归纳特殊的平行四边形——矩形的性质定理和判定定理以及直角三角形边上的中线等于斜边的一半。要求同学能应用这些定理论证相关命题。
七、作业
课本第57页第3、4题。
补充作业：
1，如图，四边形ABCD是矩形，P是AD上一点，过P点分别作PC⊥BD，PF⊥AC，垂足分别为E、F点。已知AB＝5cm，BC＝12cm，求PE＋PF的值。
2 如图，已知AB＝AE，DE＝DC，A、E、C三点共线，B、E、D三点共线，M、N分别是BE、CE的中点，G是AD的中点，求证：GM＝GN。
3. 如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三
个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题：
(1)四边形ADEF是什么四边形 (请证明)
(2)当△ABC是什么条件时，四边形是矩形，为什么
(3)当△ABC是什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在。
课题 ：§27.3第三课时 菱 形
【教学目标】：
使学生理解菱形与平行四边形的区别与联系，能从菱形的定义出发，经过推理得出菱形的性质定理。掌握菱形的判定定理，能应用所得到的定理证明有关命题，培养学生的逻辑思维能力。
【重点难点】：
重点：矩形的性质定理和判定定理及其得出这些定理的过程，应用所得到的定理解决相关的问题。
难点：应用所得到的定理进行有关命题的论证是教学难点。
【教学过程】：
一、针对问题进行讨论与回忆
问题1. 菱形的定义是什么
问题2．菱形与平行四边形有何区别与联系
问题3．菱形具有什么性质
问题4．判定一个四边形是矩形的方法有哪些
二、菱形的性质定理
根据学生讨论，回答的内容，教师归纳如下；
根据菱形的定义，菱形是有一组邻边相等的平行四边形，因此，菱形是特殊的平行四边形，它除了有平行四边形所有性质外，还具备本身所特有性质。
从图形可以观察，菱形是由两个全等的等腰三角形组合得到的。
1．从边来看：四边都相等，
2．从对角线来看：不但平分，而且互相垂直，并平分每一组对角。
以上两个定理的证明过程都极容易，可以让学生自行完成。
三、菱形的判定定理
1．有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
2．四条边相等的四边形是菱形。
3．对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
对上述的第3个命题进行证明，
已知：如下图所示，四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD。
求证：四边形ABCD是菱形。
分析：由于四边形ABCD是平行四边形，只要证明平行四边形中一组邻边相等即可，由于BO=DO，AC⊥BD，所以AB=AD，命题得证。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴OB=OD
又∵AC⊥BD
∴AC垂直平分BD
∴AB=AD
∴四边形ABCD是菱形。
四、例题讲解
例1：已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F。
求证：四边形AFCE是菱形。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AE∥FC
∴∠1=∠2
又∵∠AOE=∠COF
AO=CO
∴△AOE≌△COF
∴EO=FO
∴四边形AFCE是平行四边形
又∵EF⊥AC
∴四边形AFCE是菱形。
让同学们考虑用第一种判定方法证明上述命题。
五、课堂练习
1．已知菱形的周长为20cm，两邻角之比为1∶2，求较短对角线的长度。
2。如图．已知⊙O1和⊙O2是两个等圆，其中一个圆经过另一个圆的圆心，半径为6cm。
(1)求证：四边形AO1BO2是菱形。
(2)求菱形AO1BO2的面积。
六、小结
通过本节课的学习，同学们进一步掌握了菱形的性质定理和判定定理．希望同学们能应用这些定理解决问题。
七、作业
课本第50页的练习的第2题，第57页习题27．3的第5题。
补充作业：
1．(1)菱形周长为1Ocm，一条对角线长为25cm，求菱形各角度数，(2)已知菱形的周长为52cm，一条对角线长是24cm，求它的面积。(3)已知菱形的两条对角线长分别为a、b，求它的周长和面积。
2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC的垂直平分线与底边AB、CD相交于E、F点，求证：四边形AECF是菱形。
3．如图，⊙O中，弦AB的长是半径的倍，C总是的中点，求证：四边形OACB是菱形。
课题 ：§27.3第四课时 正方形
【教学目标】：
使学生进一步理解平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的从属关系，进一步掌握正方形的性质与判定方法，会利用定理进行有关的谈论和计算，通过对正方形的讲解，使学生进一步掌握矩形、菱形的性质。
【重点难点】：
重点：正方形的性质定理和判定定理，应用这些定理进行有关问题的论证和计算。
难点：平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系。
【教学过程】：
一、针对问题，同学们回顾与讨论
问题1．正方形的定义是什么
问题2．正方形是菱形吗？正方形是矩形吗 为什么
问题3．正方形具有什么性质
问题4．你能说出(或画图说明)平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系吗
问题5．判定正方形的方法有哪些
二、正方形的性质
根据同学们的讨论和回答，老师作出以下总结。
1． 定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
从定义可以看出，正方形不仅具备矩形的一切性质，同时也具备有菱形的一切性质，它既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，是矩形、菱形的结合体。
2．性质：正方形的四个角都是直角．四条边都相等，正方形的两条对角线垂直平分，每一条对角线平分一组对角。
3．平行四边形、矩形、菱形；正方形的从属关系画出左边图形，让同学指出各个图以及阴影部分所代表的图形，从而使同学更加深刻理解它们之间的从属关系。
三、正方形的判定方法
问题(1)四条边相等并且四个角也相等的四边形是正方形吗 为什么
(2)四个角相等并且对角线互相垂直的四边形是正方形吗 为什么
(3)对角线垂直平分的四边形是正方形吗 如果不是，应该加什么条件
(4)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形吗 为什么
(5)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形吗 为什么
(6)对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形吗 为什么
通过以上问题的讨论、解答，同学们认识到识别是否是正方形的重要思路是判断它既是矩形，又是菱形。
定理，有一个角是直角的菱形是正方形。
定理：有一组邻边相等的矩形是正方形。
四、例题
例1：求证：依次连结正方形各边中点所成的四边形是正方形。
已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。
求证：四边形EFGH是正方形。
分析：要证四边形EFGH是正方形，可先证正方形EFGH是矩形，然后再证有一组邻边相等；也可以先证四边形EFGH是菱形，然后再证一个角是直角。
证明：∵四边形ABCD是正方形
∴∠B=∠C=90°
AB=BC=CD
∵点E、F、G分别是AB、BC、CD的中点
∵BE＝BF＝CF＝CG
∠BEF=∠BFE=∠CFG＝∠CGF=45°
∴∠EFG=90°
同理∠FGH=∠GHE＝90°
∴四边形EFGH是矩形
∵BE=CF，∠B＝∠C，BF＝CG
∴△BEF≌△CFG
∴EF=FG
∴四边形EFGH是正方形
五、课堂练习
1．如图，在平行四边形ABCD中，∠1=∠2＝45°，求证：四边形ABCD是正方形。
2．已知：如图，点E、F、G、H，分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AE=BF＝CG=DH．求证，四边形EFGH是正方形。
六、课堂小结
1．概括正方形的性质定理和判定定理。
2．平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系。
七、作业
补充作业：
1. 已知正方形的对角线的长为10厘米，求它的周长和面积。
2：如图，在已知锐角三角形ABC外面作正方形ABDE和正方形ACFG。
(1)求证；BG＝CE
(2)探索直线BG、CE具有怎样的位置关系，请说出理由。
3．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O是正方形A'B'C'O的一个顶点。如果两个正方形的边长相等，那么正方形A'B'C'O绕点O无论怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的．为什么
课题 ：§27.3第五课时 等腰梯形
【教学目标】：
使学生进一步掌握等腰梯形的性质定理和判定定理，能用推理证明这些定理，能应用这些定理证明、计算有关问题。
【重点难点】：
重点：等腰梯形的性质定理和判定定理的证明过程，应用这些定理解决问题。
难点：在证明这些定理的过程中，辅助线的添加是教学难点。
【教学过程】：
一、回顾等腰梯形的性质定理和判定定理
1．性质定理
(1)等腰梯形同一底上的两个内角相等。
(2)等腰梯形的两条对角线相等。
2．判定定理
(1)同一条底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。
(2)两条对角线相等的梯形是等腰梯形。
二、对上述的定理分别作出证明
练习1：已知：如图(1)，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，
求证；∠B=∠C，∠A=∠D
分析：我们知道等腰三角形的两个底角相等，因此，希望能通过添加辅助线把∠B、∠C放在一个三角形内，所以，可以过D点作DE∥AB，交BC于E点，这样，∠B＝∠1，而∠1=∠C．∴∠B=∠C，当然∠A=∠D。
在同学证明完毕后，让同学想想还有其他的添加辅助线的方法吗
提示：如图(2)分别过A、D点作AE⊥BC、DF⊥BC，垂足分别为E、F点。
练习2；已知：如图(3)，在梯形朋CD中，AD∥BC，AB=CD。
求证：AC＝BD
分析：同学们可以通过证明△ABC≌△DCB得到AC=BD。
练习3：已知：如图(4)，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C。求证：四边形ABCD是等腰梯形。
证明：过点D作DE∥AB，交DC于E，则∠B=∠DEC
∵∠B＝∠C
∴∠DEC=∠C
DE＝DC
∵AD∥BC，DE∥AB
∴四边形ABED是平行四边形。
∴AB=DE
∴AB＝DC
即四边形ABCD是等腰梯形。
练习4：已知：如图(5)，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC=BD，
求证：四边形ABCD是等腰梯形。
分析：过D点作DE∥AC交BC的延长线于E点，这样由AC=BD，可以推出DB=DE，所以∠1=∠2，而∠2=∠3，所以∠1=∠3，从而得出△ABC≌△DCB，所以AB=CD。
三、定理应用
例题：如图(6)已知：在梯形ABCD中，AB∥CD，E是底边AB的中点，∠A=∠B，求证：DE＝CE。
证明：∵∠A=∠B AB∥CD
∴AD＝BC(同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形)
又∵E是底边AB的中点
∴AE＝BE
在△AED和△BEC中
∵AC＝BE，∠A=∠B，AD=BC
∵△AED≌△BEC
∴DE=CE
四、课堂小结
本节课我们用推理证明的方法得出等腰梯形的性质定理和判定定理，在证明这些定理的过程中的辅助线的添加，是平时我们解决梯形问题时常用添加辅助线的方法，希望同学们能记住。同时要能应用所学到的知识解决相关的问题。
五、作业
1．课本第57页习题27．3的第6题。
补充作业：
第五课时作业优化设计
1．已知：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠A∶∠B=1∶2，AB＝1Ocm，BC＝15cm，求梯形的面积。
2．在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB=DC，BD⊥DC，求∠C的度数。
3．已知，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E是梯形外一点，且BE＝CE。
求证：EA=ED。
4．已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，延长CB到E，使EB=AD，连结AE．求证：AE=AC。
课题 ：§27.3第八课时 反证法
【教学目标】：
通过具体例子，使学生体会反证法证明命题的方法，了解反证法的步骤，能初步应用反证法证明一些简单的命题。
【重点难点】：
重、难点：体会反证法证明命题的思路方法，用反证法证明简单的命题既是教学重点又是教学难点。
【教学过程】：
一、用具体例子让学生体会反证法的思路
思考：在△ABC中，已知AB＝c，BC＝a，CA＝b，且∠C≠90°。
求证；a2＋b2≠c2。
有些命题想从已知条件出发，经过推理，得出结论是很困难的，因此，人们想出了一种证明这种命题的方法，即反证法。
假设a2＋b2＝c2，则由勾股定理的逆定理可以得到∠C＝90°，这与已知条件∠C≠90°产生矛盾，因此，假设a2＋b2＝c2是错误的。所以a2＋b2≠c2是正确的。
二、由上述的例子归纳反证法的步骤
1．假设命题的结论的反面是正确的；
2．从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、巳证的定理、定义或已知条件矛盾；
3．由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论是正确的。
三、例题与练习
例1．已知：如图，设点A、B、C在同一条直线l上。
求证：经过A、B、C三点不能作一个圆。
分析：按照反证法的步骤，先假设过A、B、C三点可以作一个圆，然后由这个假设出发推下去，得出矛盾．
证明：假设过A、B、C三点可以作圆，设这个圆的圆心为O，显然A、B、C三点在这个圆上，所以OA＝OB＝OC，由线段的垂直平分线的判定定理可以知道，O点既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，也就是说，O点是l1和l2的交点，这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾。
所以，过同一条直线上的三点不能作圆。
例2．求证；在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。
已知；△ABC。
求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°。
证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°，即∠A＞60°、∠B＞60°、∠C＞60°。于是∠A＋∠B＋∠C＞60°＋60°＋60°＝180°，这与三角形的内角和等于180°矛盾。
所以三角形中至少有一个内角小于或等于60°。
练习：
用反证法证明下列各题：
1．在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等。
2．在一个梯形中，如果同一条底边上的两个内角不相等，那么这个梯形是等腰梯形吗 请证明你的猜想。
四、课堂小结
通过本节课的学习，同学们体会了在证明命题另一种方法，即反证法，它是当有的命题从已知条件出发，经过推理，很难得出结论时，人们想出的一种证明命题的方法，希望同学们能运用这种方法证明一些简单的命题。
五、作业
课本第57页第27．3的第7题。
补充作业：
用反证法证明下列命题。
(1)求证：三角形内角中至多有一个内角是钝角。
(2)已知：如图，AB∥CD，AB∥EF。求证：CD∥EF。
(3)求证：圆内两条不是直径的弦不能互相平分。
PAGE
单元要点分析
1．通过具体例子，使学生体会证明的必要性；弄清推理证明需要的依据，掌握推理证明的方法，能用综合法证明的格式；了解定义，命题、定理的含义，能说出命题的题设和结论，会写出一道命题的逆命题，知道原命题正确，而它的逆命题不一定正确的事实。
2．应用推理证明的方法进一步研究等腰三角形等具体几何图形的性质定理和判定定理，并能应用这些定理证明其他的命题。
3．注重证明定理的过程性教学，力求通过研究具体几何图形的性质定理和判定定理，培养学生的逻辑思维能力，在证明过程中强调步步要有依据。
4．掌握三角形，梯形的中位线定理，并能应用定理解决相关问题，在证明这两个定理时，让学生体会“转化”的数学思想。
5．通过实例，体会反证法的含义，由具体的例子，理解反例的作用，知道用反例证明一个命题是错误的命题。
重点、难点与关键
重点：
1．熟练掌握初中阶段学过的公理、定义、等式、不等式的性质，因为这些是逻辑推理证明的依据。
2．从具体图形的判定定理和性质定理的证明过程中，培养学生的逻辑思维能力，拓宽同学解决问题的思路。
3．能够应用所学定理进行相关问题的证明，培养同学应用知识解决问题的能力。
4．使学生理解证明的基本要求，有条理地阐述自己的想法，推理必须有依据，表述必须条理清楚。
难点：
1．用推理证明研究具体几何图形时，引导学生添加恰当的辅助线，使命题得到证明；
2．证明命题时，有条理地阐述自己观点，正确地推理和表述。
3．学生逻辑思维能力的培养。
关键：
“巧妇难为无米之炊”，因此在本章的教学活动中，首先要让同学熟记所学过的公 理、定理、定义等，学生只有掌握了这些基本的事实，才能在证明命题过程中思路开拓，游刃有余；其二是证明思路的引导，正确阐述自己的观点。做到步步有依据；其三是正确表述。
课题 ：§27．1 证明的再认识
【教学目标】：
使学生理解推理证明是判断猜想正确与否的重要手段，明确推理证明所要依据的公理，掌握证明的方法，培养学生逻辑推理能力。
【重点难点】：
重点：推理证明的方法和学生逻辑推理能力的培养。
难点：学生逻辑推理能力的培养。
【教学过程】：
一、理解为何需要推理证明
同学们想一想，我们是如何知道三角形内角和等于180°呢 当时我们通过画不同的三角形，测量出它们的内角，然后算得各个三角形的三个内角和为180°，或将一个三角形的三个内角拼在一起(如图(1)，发现三角形的三个内角的和筹于180°。
用测量的方法能保证每次画出的三角形的内角和正好等于180°吗 用观察的方法能保证三个内角拼成的角一定是平角吗 为了确保精确无误，人们发现以下证明的方法。
二、如何证明一个命题
求证：三角形的内角等于180°。
已知：如图(2)，任意△ABC的内角为∠A、∠B、∠C。
求证：∠A+∠B+∠C＝180°。
证明：延长线段AB到D，过B点作BE∥AC。
∵AC＝BE
∴∠2＝∠C(两直线平行，内错角相等)
∠1＝∠A(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ABC＝180°(平角的定义)
∴∠A+∠ABC+∠C＝180°(等量代换)
上面的括号里的内容是这一步的依据，所谓推理、证明讲究的是依据，这些依据从哪里来呢
三、推理证明的依据
逻辑推理需要依据，我们试图用最少的几条基本事实作为逻辑推理的最原始的依据。上面，学习了一些公理(事实)。
(1)一条直线截两条平行线所得的同位角相等。
(2)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
(3)如果两个三角形的两边及其夹角(或两角及其夹边、或三边)分别对应相等，那么这两个三角形全等。
(4)全等三角形的对应边、对应角分别相等。
等式、不等式的有关性质以及等量代换也是逻辑推理的依据。
在以上这些基础上，用逻辑推理的方法去证明几何图形的有关命题，并将证得的可以作为进一步推理依据的真命题称为定理。凡是书上有写为定理的命题都可作为进一步推理的依据。
四、练习证明命题
1、求证：n边形的内角和等于(n－2)×180°。
老师画出上述图形，让学生完成证明过程。
2．求证：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
证明一道命题，首先应依据题意画出图形，而后写出已知、求证，最后加以证明。
已知：如图，∠CBD是△ABC的一个外角。
求证：∠CBD＝∠A＋∠C
证明：∵∠A+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)
∴∠A+∠C＝180°－∠ABC(等式的性质)
又∵∠ABC＋∠CBD＝180°(平角的定义)
∴∠CBD＝180°－∠ABC(等式的性质)
∴∠CBD＝∠A+∠C
由于上述命题也经常需要用来作为判断其他命题真假的依据，因此把上述命题也作为定理，在课本中如有特别黑体的命题，我们都可以把它当做定理使用。
练习：课本第33页的练习。
五、课堂小结
通过本节课的学习，同学们认识了推理证明的必要性，知道了证明的方法和步骤，希望同学们把以前学过的公理，定理等复习一遍，牢记在心，这对今后的推理证明的学习有极大的帮助。
六、作业
课本第33页习题27．1的第1、2、3、4题。
补充作业：
1．如图，AB∥CD，GE平分∠BEF，GF平分∠EFD。求证：∠G＝90°，
2．如图，F、C是线段BE上两点，BF＝CE，AB＝DE，∠B＝∠E，QR∥BE。求证：∠Q＝∠R。
3．如右图，已知CD是△ABC的外角∠ACE的平分线，BD平分∠ABC，请你猜想∠A与∠D之间的关系 并证明你的结论。
课题 ：§27.2 用推理方法研究三角形
第一课时 等腰三角形
【教学目标】：
使同学们用推理的方法证明等腰三角形的判定定理和性质定理，并能熟练应用等腰三角形判定定理和性质定理解决问题，进一步理解证明在数学学习中的必要性。
【重点难点】：
重点：等腰三角形的判定定理和性质定理的推理过程是教学重点。
难点：用推理的方法研究等腰三角形的判定和性质定理时，辅助线的添加以及对定理“HL”的证明。
【教学过程】：
一、给出问题，学习讨论，回忆
1．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等吗
(等角对等边)
如图(1)，∠B＝∠C，AB与AC相等吗
2．当时，我们怎样知道等腰三角形的这个识别方法的呢
当时是用刻度尺找出边BC的中点D，连结AD，然后沿AD对折，经过观察AB和AC完全重合，于是得到AB＝AC。
3．为什么当△ABC沿AD对折时，AB与AC完全重合呢 你们能否用逻辑推理的证明方法来说明这个问题
二、用逻辑推理方法证明等腰三角形的判定定理和性质定理
1．等腰三角形的判定定理。
已知：如图(1)，在△ABC中，∠B＝∠C；
求证：AB＝AC。
分析：要证明两条线段相等，可设法构造两个全等三角形，使AB、AC分别是这两个全等三角形的对应边。基于这种想法，同学们会想到画什么样的辅助线呢
同学的回答可能是以下三种；
(1)取BC的中点D，连结AD；
(2)画∠BAC的平分线AD；
(3)过顶点A作底边BC的高线AD。
老师就第(2)种给出以下证明：
证明：画∠BAC的平分线AD。
在△BAD和△CAD中
∵∠B＝∠C(已知)
∠1＝∠2(画图)
AD＝AD(公共边)
∴△BAD≌△CAD(AAS)
∴AB＝AC
请同学们给出第(3)种添加辅助线的证明过程，并就第(1)种的添加方法证明AB＝AC是否可行，展开讨论。
由于以上的等腰三角形的识别方法是经过逻辑推理证明它是正确的，而且在今后的其他命题证明中经常用到，所以我们把它称为等腰三角形的判定定理，即：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简称为(“等角对等边”)。
2．等腰三角形的性质定理
等腰三角形的两个底角相等(“等边对等角”)。
等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合。(“等腰三角形的三线合一”)
对以上命题的证明，让同学们画出相应图形，并写出已知、求证，写出证明过程。
已知：如图(2)，在△ABC中，AB＝AC。
求证：∠B＝∠C。
证明：画∠BAC的平分线
∵AB＝AC(已知)
∠1＝∠2(画图)
AD＝AD(公共边)
∴△BAD≌△CAD(SAS)
∴∠B＝∠C
3．如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。
已知：如图(3)，在△ABC和△A'B'C'中，∠ACB＝∠A'C'B'＝90°，AB=A'B'，AC=A'C'。
求证：△ABC≌△A'B'C'
分析：把△ABC和△A'B'C'拼在一起，使相等的的直角边AC和A'C'重合在一起，并使点B和点B'在A'C'的两旁，B、C(C')、B'在一条直线上，由上述图形，利用等腰直角三角形的性质与全等三角形的识别方法，即可证明这两个直角三角形全等。
证明：像图(3)一样，把△ABC和△A'B'C'拼在一起。
∵∠A'C'B'=∠ACB＝90°(已知)
∴∠B'C'B＝180°
∴点B'、C'、B在同一条直线上。
在△A'B'B中，因为
∵A'B'＝AB＝A'B(已知)
∴∠B=∠B'(等边对等角)
在△ABC和△A'B'C'中，
∵∠ACB=∠A'C'B'(已知)
∠B＝∠B'(已证)
AB=A'B'(已知)
∴△ABC≌△A'B'C'(AAS)
斜边、直角边定理：如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。
三、课堂练习
1. 求证；等边三角形的各角相等，并且每一个角都等于60°。
2．求证；三个角都相等的三角形是等边三角形。
四、小结
本节课我们用推理证明的方法证明了等腰三角形的性质定理、判定定理和直角三角形的判定定理“HL”，要求同学们初步掌握命题证明的步骤、方法。体会逻辑推理证明重要性。
五、作业
课本第44页，习题27．2的第1、2题。
补充作业：
1：如图，△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别是BC、AB、AC上的点，BD＝CF，CD＝BE，G为EF中点，连结OG，问DG与EF之间有何关系 证明你的结论。
2．已知点D为等边△ABC内一点，且AD＝CD，PC＝AC，DC平分∠BCP，求∠P的度数。
3．如图，点C在线段AB上，△ACM和△CBN是等边三角形，AN交MC于P，BM交CN于Q，连结PQ，试判断△PCQ的形状．并证明你的结论。
课题 ：§27.2 等腰三角形
第二课时 角平分线
【教学目标】：
使学生掌握用推理证明角平分线的性质定理和判定定理，进一步掌握证明命题的方法，能够运用角平分线的性质定理和判定定理解决问题，培养学生的逻辑思维能力。
【重点难点】：
重点：角平分线性质定理和判定定理的推理证明过程，运用角平分线的性质定理和判定定理解决问题。
难点：角平分线性质定理和判定定理的应用以及学生的逻辑思维能力的培养。
【教学过程】：
一、回忆，思考
如右图，OC平分∠AOB，那么OC上的点具备什么性质呢 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，这条性质是怎样得到的呢
如图(1)，在OC上任取一点P，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E，当时是在半透明纸上描出了这个图，然后沿着射线OC对折。通过观察，线段PD和PE完全重合。于是得到PD＝PE，由于P点的任意性，所以得到，角平分线上的点到角两边的距离相等。
二、推理证明角平分线的性质定理和判定定理
1．角平分线的性质定理
角平分线上的点到角两边的距离相等(让同学写出已知、求证)。
已知：如图(1)，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足。
求证：PD=PE。
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB(已知)
∴∠PDO=∠PEO=90°，(垂直定义)
在△PDO和△PEO中
∵∠DOP=∠EOP(已知)
∠PDO=∠PEO(已证)
PO＝PO(公共边)
∴△PDO≌△PEO(AAS)
∴PD＝PE(全等三角形的对应边相等)
2．角平分线的判定定理
求证：到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上。
请同学们根据上述命题的意思，画出图形，写出已知、求证，并写出证明的全过程。
已知：如图(2)，QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE。
求证：点Q在∠AOB的平分线上．
分析；为了证明点Q在∠AOB的平分线上，可以画射线OQ，而论证明∠QOD＝∠QOE，从(2)图中可以看出，∠QOD和∠QOE分别在△QOD和△QOE中，那么就要证明△QDD与△QOE全等。
证明： 作射线OQ，
∵QD⊥OA，QE⊥0B(已知)
∴∠OEQ=∠ODQ=90°(垂直定义)
又∵QE=QD(已知)
OQ=OQ(公共边)
∴Rt△OQD≌Rt△OQE(HL)
∴∠EOQ＝∠DOQ(全等三角形的对应角相等)
∴点Q在∠AOB的平分线上。
定理：到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上。
3．定理的应用
(1)三角形的三条角平分线交于一点吗 为什么 这一点称为三角形的 心。(让学生思考，回答后，老师再给出以下的证明。)
证明：如图(3)过O点分别作OP⊥AB，OG⊥BC，OH⊥AC，垂足分别为P、G、H。
∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC。
∴OP＝OH OP＝OG(角平分线上的到角两边的距离相等)
∴OG＝OH(等量代换)
∴O点在∠ACB的平分线上
∴三角形三条角平分线交于一点，这点称为三角形的内心。
(2)如图(4)，已知：△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，DE、DF分别垂直AB、AC，垂足为E、F。
求证：EB＝FC
证明：∵AD是△ABC的平分线。(已知)
DE⊥AB于E点，DF⊥AC于F点(已知)
∴DE＝DF(角平分线性质定理)
∠DEB＝∠DFC(垂直定义)
在Rt△DEB和Rt△DFC中
∵DE＝DF(已证)
BD＝CD(已知)
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)
∴BE＝CF(全等三角形的对应边相等)
三、课堂练习
1．如图，在直线l上找出一点P，使得点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等。
2。如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于F，求证，点F在∠DAE的平分线上。
四、课堂小结
本节课推理证明了角平分线的性质和判定定理，这两个定理是相反的过程，同学们可以想想它们的题设是什么 结论是什么 同时，要注意学习证明定理的思想方法，并能应用这些方法和定理本身内容解决问题。
五、作业
课本第44页，习题27．2的第3题。
补充作业：
1．如图，已知：∠BAC＝30°，G是∠BAC的平分线上一点，EG∥AC交AB于E，GD⊥AC于D，求CD∶GE的值。
2如图，在△ABC中，∠ABC＝100°，∠ACB＝20°，CE平分∠ACB交AB于E，，D在AC上，且∠CB0＝20°，求∠CED的度数。
3．如图，E是∠CAF内一点，D在AC上，E在AP上，且DC＝EF，△BCD与△BEF的面积相等，求证：AB平分∠CAF。
4. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E、F分别在AB、AC上．且∠EDF+∠EAF＝180°。求证：DE=DF。
课题 ：第三课时 线段的垂直平分线
【教学目标】：
使学生能够推理证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理，掌握命题证明的方法，能运用证明定理的方法和定理本身内容解决问题，培养学生的逻辑思维能力。
【重点难点】：
重点：线段垂直平分线性质定理和判定定理的推理证明过程，运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题。
难点：线段垂直平分线性质定理的应用以及逻辑思维能力的培养。
【教学过程】：
一、回忆与思考
我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，知道线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。
问题：当时同学们怎么知道以上这条性质呢 同学们能否通过逻辑推理证明这条性质呢
二、新课
1．线段垂直平分线的性质定理
在同学们回答问题后，老师给出以下证明：
已知：如图(1)，MN是线段AB的垂直平分线，C是垂足，点P是直线MN上任意一点。
求证：PA＝PB。
证明：∵MN是线段AB的垂直平分线(已知)
∴∠PCA＝∠PCB＝90°(垂直定义)
AC＝BC(中点定义)
在△PCA和△PCB中
∵AC＝BC(已证)
∠PCA＝∠PCB(已证)
PC＝PC(公共边)
∴△PCA≌△PCB(SAS)
∴PA＝PB(全等三角形的对应边相等)
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。
2．线段垂直平分线上的判定定理
问题：到一条线段的两个端点的距离相等的点是否一定在这条线段的垂直平分线上呢 同学们能否用“证明”回答这个问题。
已知：如图(2)，QA＝OB
求证：点Q在线段AB的垂直平分线上。
分析：为了证明点Q在线段AB的垂直平分线上，可以先经过点Q画线段AB的垂线，然后证明该垂线平分线段AB；也可以先平分线段AB，设线段AB的中点为点C，连结QC，然后证明QC垂直于线段AB。
请同学们根据老师分析的完成证明过程。
定理：到一条线段的两个端点的距离相等的点。在这条线段的垂直平分线上。
3．对定理的应用
(1)三角形的外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，为什么这三条垂直平分线就交于一点呢
待同学们思考、讨论后，老师给出解答。
证明：设AB、BC的垂直平分线l、m交于O点
则OA=OB，OB=OC
∴OA=OC
∴O点在线段AC的垂直平分线n上。
∴三角形的三条边的垂直平分线交于一点。
(2)如图(4)，在△ABC中，AB=AC，∠BAC＝120°，AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足，且BC=18cm，求DE的长。
分析：由DE垂直平分AC，同学们会想到添加哪条辅助线
显然，连结AD较合理，这样就得到DA=DC，从而∠1=∠C=30°，∠BAD=90°，然后根据已知条件即可求出DE的长度。
解：连结AD
∵DE垂直平分AC
∴DA=DC
∴∠1=∠C
又∵AB=AC ∠BAC=120°
∴∠B＝∠C=30°
∴∠BAD＝∠BAC-∠1=90°
设DE=x，则CD=2x
∴AD=2x
∴BD=4x
∵CD+BD=BC
∴4x+2x=18
∴x=3cm
答：DE的长度为3cm。
三、课堂练习
1．如图，在直线l上找出一点P，使得点P到已知点A、B的距离相等。
2．如图，已知AE=CE，BD⊥AC，求证：DA+BA=BC+DC
3。如图，在△ABC上，已知点D在BC上，且BD+AD=BC。求证：点D在AC的垂直平分线上。
四、小结
通过本节课的学习，同学们应进一步掌握线段垂直平分线的性质定理和判定定理，并能应用定理解决问题，在定理证明和运用定理解决问题的过程中不断地提高自己的推理能力。
五、作业
课本第44页至45页的第4、5题。
补充作业：
1．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝40°，AC的垂直平分线MN与AB交于D点，求∠BCD的度数。
2．如图，△ABC的周长为19cm，且AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，E为垂足，BC＝5cm，求△BCD的周长。
3．如图，MN垂直平分线段AB、CD，垂足分别为E、F，求证：AC＝BD，∠ACD＝∠BDC。
课题 ：第四课时 逆命题、逆定理
【教学目标】：
使学生知道命题的题设与结论，能正确写出命题的逆命题，理解原命题与逆命题的关系，培养学生的语言发达能力和逆向思维能力。
【重点难点】：
重、难点：正确写出原命题的逆命题，用反例说明命题是假命题。
【教学过程】：
一、引入
请同学们看以下两句话，并回答问题：
(1)马是吃草的动物；
(2)吃草的动物是马。
上面两句话是命题吗 它们之间有何关系
二、新课
1．弄清命题的题设和结论
我们知道，可以判断正确或错误的句子叫做命题；像上述两个句子都是命题。又如“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”都是命题。
问：命题是由哪两个部分组成的呢 (题设、结论)，请同学们说出以下几个命题的题设和结论。
(1)等腰三角形的底角相等。
(2)角平分线上的点到角两边的距离相等。
(3)线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；
(4)对顶角相等。
2．原命题和逆命题的关系
每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，使可得到原命题的逆命题。
让同学们试着写出上述四个命题的逆命题，而后让同学判断逆命题是否正确
从第四个命题与其逆命题可以看出，虽然每个命题都有其逆命题，原命题正确，但它的逆命题未必正确，这从刚开始的两句话中同学们也可以体会到。
又如：全等三角形的面积相等，然而面积相等的三角形不一定全等。
3．定理、逆定理
如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
让同学讨论举例有关互逆定理的内容。
4．勾股定理的逆定理。
问：勾股定理怎么叙述的 请说出它的逆命题．
勾股定理；直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的逆命题：如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那
么这个三角形是直角三角形。
已知：如右图，在△ABC中，AB＝c，BC＝d，CA＝b，且a2+b2=c2。
求证；△ABC是直角三角形。
分析：首先构造一个直角三角形A'B'C'，使得∠C'＝
90°，B'C'=a，C'A'＝b，然后可以证明△ABC≌△A'B'C，
从而可知△ABC是直角三角形。
证明：作Rt△A'B'C'，使得∠C=90°．B'C'＝a，
C'A'=b
则C'2=a2+b2
∵c＝a2+b2
∴c'=c
在△ABC和△A'B'C'中
∵AB=A'B'
BC=B'C'
CA=C'A'
∴△ABC≌A'B'C'
∴∠C=∠C=Rt∠
∴△ABC是直角三角形。
三、课堂练习
1．指出下列命题的题设和结论，并说出它们的逆命题；
(1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余。
(2)等边三角形的每个角都等于60°。
(3)全等三角形的对应角相等。
(4)到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
(5)线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。
2．举例说明下列命题的逆命题是假命题。
(1)如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数能被5整除。
(2)如果两个角都是直角，那么这两个角相等。
3．设三角形三边长分别是下列各组数，试判断各三角形是不是直角三角形，如果是直角三角形，请指出哪条边所对的角是直角。
(1)7，24，25；(2)12，35，37；(3)35，91，84。
四、小结
通过本节课的学习，同学们应知道一道命题的题设和结论，能正确写出命题的逆命题，知道原命题正确，它的逆命题不一定正确。
五、作业
课本第45页习题27．2的第6题。
课题 ：§27.3 用推理方法研究四边形
第一课时 平行四边形
【教学目标】：
使学生能够用推理证明平行四边形判定定理和性质定理，在证明这些定理的过程中，体会以前学过的定理不只是通过猜想、观察，比较得到，这些定理需要数学的严格推理论证，才能说明它们是否正确。
【重点难点】：
重点：进一步掌握平行四边形的判定定理和性质定理，掌握这些定理的证明过程以及运用这些定理的解决问题。
难点：运用这些定理证明有关命题。
【教学过程】：
一、回忆以前学习过的平行四边形的性质和判定定理
1．平行四边形的判定定理
(1)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
如图，若AB∥CD，AB＝CD，则四边形ABCD是平行四边形。
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
如图，若AB＝CD．AD＝BC，则四边形ABCD是平行四边形。
(3)两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
如图，若∠BAD＝∠DCB，∠ABC＝∠CDA，则四边形ABCD是平行四边形。
(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形。
如图，若OA＝OC，OB＝OD，则四边形ABCD是平行四边形。
2．平行四边形的性质定理
(1)平行四边形的对边相等
若四边形ABCD是平行四边形，则AB＝CD，AD＝BC
(2)平行四边形的对角相等
如图，若四边形ABCD是平行四边形，则∠ABC＝∠CDA，∠BAD＝∠DCB。
(3)平行四边形的对角线互相平分
如图，若四边形ABCD是平行四边形，则OA＝OC，OB＝OD
以上这些定理，通过两种表达方式，使同学加深对定理的理解。
二、选择部分定理进行证明
1．已知：四边形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD。
求证：四边形ABCD是平行四边形。
分析：要证明四边形ABCD是平行四边形，只要证明另一组对边平行，因此连结其中一条对角线，然后证明内错角相等。
证明；连结AC。
∵AB∥CD
∴∠BAC=∠DCA(两直线平行，内错角相等)
在△ABC和△CDA中
∵AB＝CD
∠DAC=∠DCA
AC=CA
∴∠BCA＝∠DAC(全等三角形的对应角相等)
∴BC∥DA(内错角相等，两直线平行)
∴四边形ABCD是平行四边形
2．已知：四边形ABCD是平行四边形。
求证；AB＝CD，BC＝DA
分析：要证明平行四边形的对边相等．可以连结其中一条对角线，把平行四边形分成两个三角形，然后利用全等三角形对应边相等得出结论。
证明：连结AC
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD
∴∠BAC=∠DCA(两直线平行，内错角相等)
同理∠BCA=∠DAC
在△ABC和△CDA中
∵∠BAC=∠DCA
AC=CA
∠BCA=∠DAC
∴△ABC≌△CDA(ASA)
因此AB＝CD，BC＝DA(全等三角形的对应边相等)
三、例题与练习
例题：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，且AE＝CF，求证：BF∥DE。
(通过同学们讨论，而后老师给予归纳，证明)
证明；∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD
AB＝CD
∵AE＝CF
∴BE＝DF
∴四边形BEDF是平行四边形，(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
∴BF∥DE
虽然这道题目并不难，但老师可以通过对这道题详细分析、讲解，使同学们可以对
平行四边形的所有判定法则做更深刻的理解，让同学们进一步掌握运用定理解决问题
的方法。
练习：
1．求证：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
2．求证：平行四边形的对角线互相平分。
3．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E、F分别是AB、DC的中点，求证：EF＝BC。
四、小结
1．总结平行四边形的判定定理和性质定理。
2．能应用这些定理证明一些相关命题。
五、作业
课本第57页习题27．3的第l、2题。
补充作业：
1．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F点在对角线AC上，且AE＝CF，求证：DE∥BF。
2．如图，已知：在平行四边形ABCD中，BE、DF分别是／ABC、／CDA的平分线，
求证：BD和EF互相平分。
3．如图，在平行四边形ABCD中，∠B的平分线交CD的延长线于E。
(1)求证，∠C的平分线垂直平分BE。
(2)若平行四边形ABCD的周长为30cm，DE＝3cm，求平行四边形ABCD的各边长。
课题 ：§27.3 第二课时 矩 形
【教学目标】：
使学生理解矩形与平行四边形区别与联系，能从矩形的定义出发，经过推理得出矩形的性质定理，掌握矩形的判定定理，并能应用所得到的定理证明有关命题，培养学生的逻辑思维能力。
【重点难点】：
重点：矩形的性质定理和判定定理及其得出这些定理的过程，应用这些定理进行有关命题的论证。
难点：应用定理进行有关命题的论证是教学难点。
【教学过程】：
一、针对问题进行讨论与回忆
问题1．矩形定义是什么
问题2．矩形与平行四边形有何区别与联系
问题3．矩形具有什么性质
问题4．判定一个四边形是矩形的方法有哪些
二、矩形的性质定理
根据学生讨论和回答的，老师归纳以下几个方面。
根据矩形的定义，矩形是有一个角是直角的平行四边形，因此，矩形是特殊的平行四边形，它除了具备平行四边形所有性质之外，还具备本身所特有的性质。
1．从角的方面：矩形的四个角都是直角。
2．从边的方面：矩形的对边平行且相等。
3．从对角线方面：对角线不仅平分，而且相等。
已知；如图(2)，四边形ABCD是矩形
求证：AC＝BD
让学生思考，请同学自己完成证明过程。
三、矩形的判定定理
1．有一个角是直角的平行四边形是矩形。
2．有三个角是直角的四边形是矩形。
3．对角线相等的平行四边形是矩形。
对上述的第3个命题进行证明。
如图(3)，已知：四边形ABCD是平行四边形，对角线AC＝BD。
求证：四边形ABCD是矩形。
分析：由于四边形ABCD是平行四边形，只要证明四边形中的一个内角是直角即可，考虑到∠ABC＋∠DCB＝180°，因此只要证△ABC≌△DCB。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形。
∴AB＝CD AB∥CD
∴∠ABC＋∠DCB＝180°
在△ABC和△DCB中
∵AB＝CD
BC＝CB
AC＝DB
∴△ABC≌△DCB
∴∠ABC＝∠DCB
∴∠ABC＝90°
∴四边形ABCD是矩形。
四、直角三角形的一个重要性质
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
已知：如图(4)，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边上的中线。
求证：CD＝AB。
分析：要证CD＝AB，可以延长CD到E，使DE＝CD，此时要证CE＝AB，因此，本题的关键在于证明四边形AEBC是矩形。
证明：延长CD到E，使DE＝CD
∵CD是AB边上的中线
∴BD＝AD
∴四边形ACBE是平行四边形
又∵∠BCA＝90°
∴四边形BCAE是矩形。
∴CE＝AB
∴CD＝AB
五、应用举例
例1：如图，平行四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的平分线分别交于G、F、H、E点。
求证：四边形GFHE是矩形。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD
∴∠ABC＋∠DCB＝180°
又∵BE、OE平分∠ABC、∠DCB
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠DCB
∴∠1＋∠2＝(∠ABC＋∠DCB)＝90°
∴∠E＝90°
同理可得∠EGF＝90°，∠F＝90°
∴四边形EGFH是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)
例2：如图，已知，△ABC中，D是BC的中点，你能比较线段AB＋AC与2AD的关系吗 试证明你的结论。
分析：根据上面添加辅助线的方法，我们可以延长AD到E，使得AD＝DE，连结BE、CE，则四边形ABEC是平行四边形，则AC＝BE，在△ABE中，AB＋BE＞AE，所以AB＋AC＞2AD。
证明：延长AD到E点，使得AD＝DE，连结BE、CE
∵AD是△ABC的中线
∴BD＝CD
∴四边形ABEC是平行四边形
∴AC＝BE
在△ABE中，
AE＋BE＞AE
∴AB＋AC＞2AD
六、课堂小结
引导学生归纳特殊的平行四边形——矩形的性质定理和判定定理以及直角三角形边上的中线等于斜边的一半。要求同学能应用这些定理论证相关命题。
七、作业
课本第57页第3、4题。
补充作业：
1，如图，四边形ABCD是矩形，P是AD上一点，过P点分别作PC⊥BD，PF⊥AC，垂足分别为E、F点。已知AB＝5cm，BC＝12cm，求PE＋PF的值。
2 如图，已知AB＝AE，DE＝DC，A、E、C三点共线，B、E、D三点共线，M、N分别是BE、CE的中点，G是AD的中点，求证：GM＝GN。
3. 如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三
个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题：
(1)四边形ADEF是什么四边形 (请证明)
(2)当△ABC是什么条件时，四边形是矩形，为什么
(3)当△ABC是什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在。
课题 ：§27.3第三课时 菱 形
【教学目标】：
使学生理解菱形与平行四边形的区别与联系，能从菱形的定义出发，经过推理得出菱形的性质定理。掌握菱形的判定定理，能应用所得到的定理证明有关命题，培养学生的逻辑思维能力。
【重点难点】：
重点：矩形的性质定理和判定定理及其得出这些定理的过程，应用所得到的定理解决相关的问题。
难点：应用所得到的定理进行有关命题的论证是教学难点。
【教学过程】：
一、针对问题进行讨论与回忆
问题1. 菱形的定义是什么
问题2．菱形与平行四边形有何区别与联系
问题3．菱形具有什么性质
问题4．判定一个四边形是矩形的方法有哪些
二、菱形的性质定理
根据学生讨论，回答的内容，教师归纳如下；
根据菱形的定义，菱形是有一组邻边相等的平行四边形，因此，菱形是特殊的平行四边形，它除了有平行四边形所有性质外，还具备本身所特有性质。
从图形可以观察，菱形是由两个全等的等腰三角形组合得到的。
1．从边来看：四边都相等，
2．从对角线来看：不但平分，而且互相垂直，并平分每一组对角。
以上两个定理的证明过程都极容易，可以让学生自行完成。
三、菱形的判定定理
1．有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
2．四条边相等的四边形是菱形。
3．对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
对上述的第3个命题进行证明，
已知：如下图所示，四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD。
求证：四边形ABCD是菱形。
分析：由于四边形ABCD是平行四边形，只要证明平行四边形中一组邻边相等即可，由于BO=DO，AC⊥BD，所以AB=AD，命题得证。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴OB=OD
又∵AC⊥BD
∴AC垂直平分BD
∴AB=AD
∴四边形ABCD是菱形。
四、例题讲解
例1：已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F。
求证：四边形AFCE是菱形。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AE∥FC
∴∠1=∠2
又∵∠AOE=∠COF
AO=CO
∴△AOE≌△COF
∴EO=FO
∴四边形AFCE是平行四边形
又∵EF⊥AC
∴四边形AFCE是菱形。
让同学们考虑用第一种判定方法证明上述命题。
五、课堂练习
1．已知菱形的周长为20cm，两邻角之比为1∶2，求较短对角线的长度。
2。如图．已知⊙O1和⊙O2是两个等圆，其中一个圆经过另一个圆的圆心，半径为6cm。
(1)求证：四边形AO1BO2是菱形。
(2)求菱形AO1BO2的面积。
六、小结
通过本节课的学习，同学们进一步掌握了菱形的性质定理和判定定理．希望同学们能应用这些定理解决问题。
七、作业
课本第50页的练习的第2题，第57页习题27．3的第5题。
补充作业：
1．(1)菱形周长为1Ocm，一条对角线长为25cm，求菱形各角度数，(2)已知菱形的周长为52cm，一条对角线长是24cm，求它的面积。(3)已知菱形的两条对角线长分别为a、b，求它的周长和面积。
2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC的垂直平分线与底边AB、CD相交于E、F点，求证：四边形AECF是菱形。
3．如图，⊙O中，弦AB的长是半径的倍，C总是的中点，求证：四边形OACB是菱形。
课题 ：§27.3第四课时 正方形
【教学目标】：
使学生进一步理解平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的从属关系，进一步掌握正方形的性质与判定方法，会利用定理进行有关的谈论和计算，通过对正方形的讲解，使学生进一步掌握矩形、菱形的性质。
【重点难点】：
重点：正方形的性质定理和判定定理，应用这些定理进行有关问题的论证和计算。
难点：平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系。
【教学过程】：
一、针对问题，同学们回顾与讨论
问题1．正方形的定义是什么
问题2．正方形是菱形吗？正方形是矩形吗 为什么
问题3．正方形具有什么性质
问题4．你能说出(或画图说明)平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系吗
问题5．判定正方形的方法有哪些
二、正方形的性质
根据同学们的讨论和回答，老师作出以下总结。
1． 定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
从定义可以看出，正方形不仅具备矩形的一切性质，同时也具备有菱形的一切性质，它既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，是矩形、菱形的结合体。
2．性质：正方形的四个角都是直角．四条边都相等，正方形的两条对角线垂直平分，每一条对角线平分一组对角。
3．平行四边形、矩形、菱形；正方形的从属关系画出左边图形，让同学指出各个图以及阴影部分所代表的图形，从而使同学更加深刻理解它们之间的从属关系。
三、正方形的判定方法
问题(1)四条边相等并且四个角也相等的四边形是正方形吗 为什么
(2)四个角相等并且对角线互相垂直的四边形是正方形吗 为什么
(3)对角线垂直平分的四边形是正方形吗 如果不是，应该加什么条件
(4)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形吗 为什么
(5)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形吗 为什么
(6)对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形吗 为什么
通过以上问题的讨论、解答，同学们认识到识别是否是正方形的重要思路是判断它既是矩形，又是菱形。
定理，有一个角是直角的菱形是正方形。
定理：有一组邻边相等的矩形是正方形。
四、例题
例1：求证：依次连结正方形各边中点所成的四边形是正方形。
已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。
求证：四边形EFGH是正方形。
分析：要证四边形EFGH是正方形，可先证正方形EFGH是矩形，然后再证有一组邻边相等；也可以先证四边形EFGH是菱形，然后再证一个角是直角。
证明：∵四边形ABCD是正方形
∴∠B=∠C=90°
AB=BC=CD
∵点E、F、G分别是AB、BC、CD的中点
∵BE＝BF＝CF＝CG
∠BEF=∠BFE=∠CFG＝∠CGF=45°
∴∠EFG=90°
同理∠FGH=∠GHE＝90°
∴四边形EFGH是矩形
∵BE=CF，∠B＝∠C，BF＝CG
∴△BEF≌△CFG
∴EF=FG
∴四边形EFGH是正方形
五、课堂练习
1．如图，在平行四边形ABCD中，∠1=∠2＝45°，求证：四边形ABCD是正方形。
2．已知：如图，点E、F、G、H，分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AE=BF＝CG=DH．求证，四边形EFGH是正方形。
六、课堂小结
1．概括正方形的性质定理和判定定理。
2．平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系。
七、作业
补充作业：
1. 已知正方形的对角线的长为10厘米，求它的周长和面积。
2：如图，在已知锐角三角形ABC外面作正方形ABDE和正方形ACFG。
(1)求证；BG＝CE
(2)探索直线BG、CE具有怎样的位置关系，请说出理由。
3．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O是正方形A'B'C'O的一个顶点。如果两个正方形的边长相等，那么正方形A'B'C'O绕点O无论怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的．为什么
课题 ：§27.3第五课时 等腰梯形
【教学目标】：
使学生进一步掌握等腰梯形的性质定理和判定定理，能用推理证明这些定理，能应用这些定理证明、计算有关问题。
【重点难点】：
重点：等腰梯形的性质定理和判定定理的证明过程，应用这些定理解决问题。
难点：在证明这些定理的过程中，辅助线的添加是教学难点。
【教学过程】：
一、回顾等腰梯形的性质定理和判定定理
1．性质定理
(1)等腰梯形同一底上的两个内角相等。
(2)等腰梯形的两条对角线相等。
2．判定定理
(1)同一条底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。
(2)两条对角线相等的梯形是等腰梯形。
二、对上述的定理分别作出证明
练习1：已知：如图(1)，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，
求证；∠B=∠C，∠A=∠D
分析：我们知道等腰三角形的两个底角相等，因此，希望能通过添加辅助线把∠B、∠C放在一个三角形内，所以，可以过D点作DE∥AB，交BC于E点，这样，∠B＝∠1，而∠1=∠C．∴∠B=∠C，当然∠A=∠D。
在同学证明完毕后，让同学想想还有其他的添加辅助线的方法吗
提示：如图(2)分别过A、D点作AE⊥BC、DF⊥BC，垂足分别为E、F点。
练习2；已知：如图(3)，在梯形朋CD中，AD∥BC，AB=CD。
求证：AC＝BD
分析：同学们可以通过证明△ABC≌△DCB得到AC=BD。
练习3：已知：如图(4)，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C。求证：四边形ABCD是等腰梯形。
证明：过点D作DE∥AB，交DC于E，则∠B=∠DEC
∵∠B＝∠C
∴∠DEC=∠C
DE＝DC
∵AD∥BC，DE∥AB
∴四边形ABED是平行四边形。
∴AB=DE
∴AB＝DC
即四边形ABCD是等腰梯形。
练习4：已知：如图(5)，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC=BD，
求证：四边形ABCD是等腰梯形。
分析：过D点作DE∥AC交BC的延长线于E点，这样由AC=BD，可以推出DB=DE，所以∠1=∠2，而∠2=∠3，所以∠1=∠3，从而得出△ABC≌△DCB，所以AB=CD。
三、定理应用
例题：如图(6)已知：在梯形ABCD中，AB∥CD，E是底边AB的中点，∠A=∠B，求证：DE＝CE。
证明：∵∠A=∠B AB∥CD
∴AD＝BC(同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形)
又∵E是底边AB的中点
∴AE＝BE
在△AED和△BEC中
∵AC＝BE，∠A=∠B，AD=BC
∵△AED≌△BEC
∴DE=CE
四、课堂小结
本节课我们用推理证明的方法得出等腰梯形的性质定理和判定定理，在证明这些定理的过程中的辅助线的添加，是平时我们解决梯形问题时常用添加辅助线的方法，希望同学们能记住。同时要能应用所学到的知识解决相关的问题。
五、作业
1．课本第57页习题27．3的第6题。
补充作业：
第五课时作业优化设计
1．已知：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠A∶∠B=1∶2，AB＝1Ocm，BC＝15cm，求梯形的面积。
2．在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB=DC，BD⊥DC，求∠C的度数。
3．已知，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E是梯形外一点，且BE＝CE。
求证：EA=ED。
4．已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，延长CB到E，使EB=AD，连结AE．求证：AE=AC。
课题 ：§27.3第八课时 反证法
【教学目标】：
通过具体例子，使学生体会反证法证明命题的方法，了解反证法的步骤，能初步应用反证法证明一些简单的命题。
【重点难点】：
重、难点：体会反证法证明命题的思路方法，用反证法证明简单的命题既是教学重点又是教学难点。
【教学过程】：
一、用具体例子让学生体会反证法的思路
思考：在△ABC中，已知AB＝c，BC＝a，CA＝b，且∠C≠90°。
求证；a2＋b2≠c2。
有些命题想从已知条件出发，经过推理，得出结论是很困难的，因此，人们想出了一种证明这种命题的方法，即反证法。
假设a2＋b2＝c2，则由勾股定理的逆定理可以得到∠C＝90°，这与已知条件∠C≠90°产生矛盾，因此，假设a2＋b2＝c2是错误的。所以a2＋b2≠c2是正确的。
二、由上述的例子归纳反证法的步骤
1．假设命题的结论的反面是正确的；
2．从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、巳证的定理、定义或已知条件矛盾；
3．由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论是正确的。
三、例题与练习
例1．已知：如图，设点A、B、C在同一条直线l上。
求证：经过A、B、C三点不能作一个圆。
分析：按照反证法的步骤，先假设过A、B、C三点可以作一个圆，然后由这个假设出发推下去，得出矛盾．
证明：假设过A、B、C三点可以作圆，设这个圆的圆心为O，显然A、B、C三点在这个圆上，所以OA＝OB＝OC，由线段的垂直平分线的判定定理可以知道，O点既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，也就是说，O点是l1和l2的交点，这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾。
所以，过同一条直线上的三点不能作圆。
例2．求证；在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。
已知；△ABC。
求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°。
证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°，即∠A＞60°、∠B＞60°、∠C＞60°。于是∠A＋∠B＋∠C＞60°＋60°＋60°＝180°，这与三角形的内角和等于180°矛盾。
所以三角形中至少有一个内角小于或等于60°。
练习：
用反证法证明下列各题：
1．在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等。
2．在一个梯形中，如果同一条底边上的两个内角不相等，那么这个梯形是等腰梯形吗 请证明你的猜想。
四、课堂小结
通过本节课的学习，同学们体会了在证明命题另一种方法，即反证法，它是当有的命题从已知条件出发，经过推理，很难得出结论时，人们想出的一种证明命题的方法，希望同学们能运用这种方法证明一些简单的命题。
五、作业
课本第57页第27．3的第7题。
补充作业：
用反证法证明下列命题。
(1)求证：三角形内角中至多有一个内角是钝角。
(2)已知：如图，AB∥CD，AB∥EF。求证：CD∥EF。
(3)求证：圆内两条不是直径的弦不能互相平分。
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