福建省华安县2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷（Word版含答案）

华安县2022-2023学年高二下学期期中考试
数学试卷
满分：150分 考试时间：120分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、座号等信息;2．请将答案填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分。把答案填在答题卡上。）
1．已知函数，则的极小值为（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
2．直线的方向向量，直线的方向向量，则直线与的位置关系是（ ）
A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能确定
3．曲线在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．直三棱柱中，若，，，
则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，则直线与平面BDE所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．若函数为增函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．若，且，则必有（ ）
A． B． C． D．
8．函数，若关于的方程恰有四个不同的实数根，则实数范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，每题5分，共20分。全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。）
9．已知为直线的方向向量，，分别为平面，的法向量（，不重合），那么下列说法中，正确的有（ ）
A． B． C． D．
10．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．在棱长为2的正方体中，E为的中点F为的中点，如图建系，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．向量与所成角的余弦值为
C．平面的一个法向量是
D．点D到直线的距离为
12．下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分。把答案填在答题卡上。）
13．已知在处有极值-2，则______．
14．已知，，，点，若平面，则点的坐标为________．
15．已知函数是函数的导函数，，对任意实数都有，则不等式的解集为______．
16．已知函数，其单调增区间为_______；若对于，都有，则的取值范围是______.
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤。）
17．(本小题满分10分）已知函数f（x）＝x3+ax+b的图象是曲线C，
直线y＝kx +1与曲线C相切于点（1，3）.
(1)求函数f（x）的解析式；(2)求函数f（x）的递增区间.
18．(本小题满分12分）如图，四棱锥中，为等边三角形，，E为的中点，平面平面.
(1)求点D到平面的距离；
(2)求平面与平面夹角的正弦值.
19.(本小题满分12分) 已知函数，.
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数与有相同的极值点，求函数在区间上的最值.
20.(本小题满分12分）如图，在长方体中，，．若在上存在点，使得平面．
(1)求线段的长；(2)求直线与平面所成角的正弦值．
21.(本小题满分12分）如图，在三棱锥中，是正三角形，平面平面，，点，分别是，的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)若，点是线段上的动点，问：点运动到何处时，平面与平面所成的锐二面角最小.
22.(本小题满分12分）已知函数.
(1) 若，判断在区间上是否存在极小值点，并说明理由；
(2)已知，设函数.若在区间上存在零点，求实数m的取值范围.
高二数学期中考试卷参考答案
一．B B D A D C B D
二．9. AB 10. BC 11.BCD 12.BCD
三．(13)3 (14) (15) (16) ,
7．解：因为，且，
所以，，令，，
由于，所以，为偶函数，
因为，当时，，所以函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以.故选：B
8．解：作出函数的图像如下所示，当，时，，所以时递增，当时递减，所以当时，
在处取最大值为：（如下图所示平行于直线）；
因为，即，解得或，
当时，观察图像易知此时只有一个交点，即有一个根，要使关于的方程恰有四个不同的实数根，则需要与图像有三个不同交点，只需要，即.
12．解：选项A：，
选项B：，
选项C：，
选项D：，
构造函数 ，则，则得；由得，所以在上单调递增，在上单调递减，
由知，，故A错误；由知，，故B正确；
由知，，知C正确；由知，，
16．解：，，令，得出，故的单调增区间为.时，，单调递减，设，即可转化为，令，在上单调递增，不等式才能恒成立，则，解得.
令，时单调递增，时单调递减，，.故答案为：，.
四．解答题：
17．解：(1)∵切点为（1，3），∴k+1＝3，得k＝2，
∵f'（x）＝3x2+a，∴f'（1）＝3+a＝2，得a＝﹣1，
则f（x）＝x3﹣x+,由f（1）＝3得b＝3.∴f（x）＝x3﹣x+3.
(2)因为，可得f′（x）＝3x2﹣1，令3x2﹣1＞0，解得x或x.
所以函数f（x）的递增区间（﹣∞，），（，+∞）.
18.解：（1）取的中点O，连接，因为为等边三角形，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
∴平面，又，E为的中点，∴，∵，∴，分别以所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，
，
设平面的法向量为，则，可取，
又，所以点D到平面的距离；
（2），设平面的一个法向量为，
则，即，令，得平面的一个法向量为
则，∴，故平面与平面夹角的正弦值为.
19．解：解：(1)的定义域：，
由得，由得，
∴的单增区间为，单减区间为.
(2)，由（1）知的极值点为1.
∵函数与有相同的极值点，∴，即，∴，
从而，在上单调递减，在上递增,
又，,∴在区间上，，.
20．(1)解：以为原点，以、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如图所示：
设，其中，则、、、、，
，，，
若平面，则，，
则，解得，则.
(2)解：由（1）可知平面的一个法向量为，且，
，因此，直线与平面所成角的正弦值为.
21．解：(1)因为△ABC是正三角形，点E是BC中点，所以AEBC，
又因为平面ABC平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，AE平面ABC，
所以AE平面BCD，又因为CD平面BCD，所以CDAE，
因为点E，F分别是BC，CD的中点，所以EF//BD，
又因为BDCD，所以CDEF，又因为CDAE，AE∩EF，
AE平面AEF，EF平面AEF，所以CD平面AEF，
又因为CD平面ACD，所以平面ACD平面AEF.
(2)在平面BCD中，过点E作EH⊥BD，垂足为H,
设BC=4，则，DF=FC=l，.
以为正交基底，建立如图空间直角坐标系E-xyz,
则,
设，则,，
设平面AEG的法向量为,
由，得，令，故，
设平面ACD的法向量为，
则,即，令，则,
设平面AEG与平面ACD所成的锐二面角为,
则，
当最大，此时锐二面角最小，
故当点G为BD的中点时，平面AEG与平面ACD所成的锐二面角最小.
22．解：(1)，则，则.
令，则，由单调递增，且
，得在上恒成立，所以在上单调递增，
所以当时，，则在上单调递增，不存在极小值点.
(2)令，则.又，
所以.
令，即可转化为有解.
设，则由可得，
则在上单调递减，在上单调递增.
又，所以有唯一的零点.
若在区间上存在零点，则在有解.整理得.
设，由，知在上单调递减，在上单调递增，又当时，，则，
所以，得.故实数m的取值范围是.
答案第1页，共2页