第六章平面向量及其应用 单元练（含解析）

第六章平面向量及其应用单元练习
2022-2023学年下学期高一数学人教A版（2019）必修第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图所示，在中，点是线段上靠近A的三等分点，点是线段的中点， 则（ ）
A． B．
C． D．
2．对于非零向量、，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的命题是（ ）
A．若，则一定是等边三角形
B．若，则一定是等腰三角形
C．若，则一定是等腰三角形
D．若，则一定是锐角三角形
4．已知，则（ ）
A．三点共线 B．三点共线
C．三点共线 D．三点共线
5．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图"中，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．在中，若，则－定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
7．在中，角、、的对边分别为、、，若，，则是（ ）
A．钝角三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
8．若非零向量，满足，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
9．若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
10．在中，已知，，且满足，，若线段和线段的交点为，则（ ）.
A． B． C． D．
11．在中，，，若与线段交于点，且，，则的最大值为（ ）.
A． B． C． D．
12．在中，内角所对的边分别为.若，，且，则的外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
13．如图所示的方格纸中有定点O、P、Q、E、F、G、H，则（ ）
A． B． C． D．
14．人们通常把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，因为它的底边和腰长的比值等于黄金分割比，我们熟悉的五角星就是由5个黄金三角形和1个正五边形组成的，如图，三角形ABC就是一个黄金三角形，根据以上信息，可得=（ ）
A． B． C． D．
15．下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若与是单位向量，则
二、填空题
16．已知在边长为的正三角形中，、分别为边、上的动点，且，则的最大值为_________．
17．在锐角三角形中，内角的对边分别为.若，则的取值范围是_______
18．已知，则在方向上的投影为___________.
19．如图所示，在中，已知，为边上的一点，且满足，，则______
20．已知，若存在，使得与夹角为，且，则的最小值为___________.
三、解答题
21．如图所示，是△ABC的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于，两点.
(1)若，求的值；
(2)设，，，，求的值；
22．已知在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足.
(1)求角A；
(2)若D点在线段上，且平分，若，且，求的面积.
23．如图，在直角△ABC中，点D为斜边BC的靠近点B的三等分点，点E为AD的中点，，.
(1)用表示和；
(2)求向量与夹角的余弦值.
24．如图，在平行四边形中，，，，，分别为，上的点，且，．
(1)若，求，的值；
(2)求的值；
(3)求．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．B
【分析】由向量线性运算的几何意义即可计算
【详解】.
故选：B
2．A
【分析】根据向量共线的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】对于非零向量、，
若，则，∴由向量共线定理可知，
若，则，不一定成立，
∴是的充分不必要条件，
故选：A
3．A
【分析】由正弦定理化边为角变形判断AB，举特例判断C，由余弦定理及锐角三角形的定义判断D．
【详解】由正弦定理，若，则，为三角形内角，所以，三角形是等边三角形，A正确；
若，由正弦定理得，即，
，则或，即或，三角形为等腰三角形或直角三角形，B错；
例如，，，满足，但此时不是等腰三角形，C错；
时，由余弦定理可得，即为锐角，但是否都是锐角，不能保证，因此该三角形不一定是锐角三角形，D错．
故选：A．
【点睛】易错点睛：本题考查三角形形状的判断，解题时利用正弦定理、余弦定理进行边角转换后再进行变形判断是常用方法，解题时注意三角函数性质的正确应用，如选项B，在由得结论时不能直接得出，否则会出现漏解，在判断三角形形状时，锐角三角形需要三个内角都是锐角，直角三角形只有一个角是直角，钝角三角形只有一个角是钝角，它们判断方法有一些区别，这些是易错点．
4．C
【分析】根据向量共线定理，考查选项中两个向量之间是否有倍数关系即可判断.
【详解】对于A:不存在实数 ，使得，故 三点不共线；
对于B: 不存在实数 ，使得，故 三点不共线；
对于C: ,故 ，所以三点共线；
对于D: 不存在实数 ，使得，故 三点不共线；
故选：C
5．D
【分析】利用平面向量的线性运算及平面向量的基本定理求解即可.
【详解】由题意
，
所以，，
.
故选：D.
6．C
【分析】根据向量的数量积的运算公式，求得，得到为钝角，即可求解.
【详解】由向量的数量积的运算公式，可得，即，
因为，所以为钝角，所以－定是钝角三角形.
故选：C.
7．B
【分析】利用正余弦定理可确定边角关系，进而可判定三角形形状.
【详解】在中，由正弦定理得，而，
∴ ，即，
又∵、为的内角，∴，
又∵，∴，
∴由余弦定理得：，∴，
∴为等边三角形.
故选：B.
8．A
【分析】根据平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.
【详解】由，
因为，所以，因为不是零向量，
所以，
故选：A
9．C
【分析】先求得的值，根据数量积的运算法则求得以及的模，再根据向量的夹角公式，即可求得答案.
【详解】由题意可得，
故
，
，
，
故 ，
由于 ，故，
故选：C
10．B
【分析】待定系数法将向量分解，由平面向量共线定理求出系数，然后代回原式计算
【详解】设，
由知，∴，∵，，三点共线，∴①，
由知，∴，∵，，三点共线，∴②，
由①②得：.，∴，
而，
∴
故选：B
11．C
【分析】设，得到，根据题意得到，当为中点时最小，此时最大，求得，即可求解.
【详解】因为线段与线段交于点，设（），
则，即，
又因为三点共线，则，即，
由，所以当为中点时最小，此时最大，
又，故此时，所以，即，
即的最大值为.
故选：C.
12．A
【分析】利用三角形面积公式和余弦定理可求得，接着利用正弦定理求得外接圆半径后，根据圆的面积公式可得结果.
【详解】，解得：；
，解得：；
由正弦定理得：，解得：，
的外接圆面积.
故选：A.
13．C
【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算法则计算可得；
【详解】解：如图建立平面直角坐标系，则，，，，，，所以，，，，，
所以，所以；
故选：C
14．A
【分析】由正弦定理得到，结合倍角公式，求得，再利用诱导公式，即可求解.
【详解】在中，，
由正弦定理得，即，
由倍角公式得，，
解得，
，
故选：A
15．B
【分析】根据数量积的定义，模转化为数量积的运算，向量共线的定义判断各选项同．
【详解】若，则对任意的，都有，A错；
，则，即，，B正确；
若，则对任意的，，，但不一定成立，C错；
与是单位向量，只有它们同向时，才有，否则，D错；
故选：B．
16．##
【分析】如图建立直角坐标系，设（），则（），然后表示出可求得其最大值
【详解】如图建系，则、、，
则，，设（），
则（），则，，
∴，
∴，
当时，取最大值．
故答案为：
17．
【分析】利用正弦定理化边为角求角B，再利用三角恒等变换变换化简，结合正弦函数性质求其范围.
【详解】∵ ，
由正弦定理可得，
又为锐角三角形，∴
∴ ，又为锐角，
∴
∴
∴
∴
∴ ，
又为锐角三角形，，∴ 且，
∴ ，故，
∴
∴ ，
∴ 的取值范围是，
故答案为：.
18．
【分析】先求得，然后利用投影公式计算出投影.
【详解】，
所以在方向上的投影为.
故答案为：
19．
【分析】令，根据，结合，由，求得，再由，求得角D，然后在中，利用正弦定理求解.
【详解】令，因为，
所以，
所以，
，
，
在中，由正弦定理得，
解得.
故答案为：
20．
【分析】设，可得共线，又，当为最小时最小，而此时、关于y轴对称，结合已知即可求的最小值.
【详解】由题意，，
∴令，，故有共线，
∵，故当且仅当为最小时，最小，
∴有、关于y轴对称时，最小，此时到AB的距离为，
∴，即.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：应用向量的线性关系及共线性质，可知，、、的终点共线，且可分析得、关于y轴对称时，最小，进而求最小值即可.
21．(1)；
(2)3.
【分析】（1）利用向量的线性运算的几何表示，将用表示，进而即得；
（2）由，将用表示，利用三点共线即得.
【详解】（1）因，
所以，
又因为的中点，
所以，
所以，又，
所以；
（2）因，，，，
所以，，又因，
所以，
又因，，三点共线，
所以，即.
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，利用正弦定理及三角形中即可求解.
（2）可设,则，利用余弦定理及正弦定理求解三者的值，再利用三角形面积公式即可求解.
【详解】（1）解：∵，由正弦定理得：，即，
则，
又在中，，，故，
故.
（2）由题可知，设,则，
由正弦定理得：，即，
解得，
由余弦定理得，解得；
又，故.
由余弦定理得，即，
解得，则，.
的面积为.
23．(1)，
(2)
【分析】（1）由平面向量的线性运算法则求解；
（2）以所在的方向分别为轴，轴的正方向，建立平面直角坐标系，用数量积的坐标表示计算．
【详解】（1）∵D为斜边BC的靠近点B的三等分点，∴
∴，
∵E为AD的中点，∴，
∴
（2）， 如图，以所在的方向分别为轴，轴的正方向，建立平面直角坐标系，则，
∴，，
∴，

24．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由向量的运算法则求解
（2）分解后由数量积的运算求解
（3）由数量积的定义求夹角
【详解】（1），故
（2）
（3）
，
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页