第七章 复数 单元练习（含解析）

第七章复数单元练习
2022-2023学年下学期高一数学人教A版（2019）必修第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，其中为虚数单位，则（ ）
A．5 B． C．2 D．
3．若复数z满足（其中i是虚数单位），复数z的共轭复数为，则（ ）
A．z的实部是 B．的虚部是
C．复数在复平面内对应的点在第四象限 D．
4．定义：若，则称复数是复数的平方根.根据定义，复数的平方根为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．下列命题：
①实数在复平面内所对应的点在实轴上；
②虚轴上的点所对应的数是纯虚数；
③若，则为虚数；
④，则．
其中正确命题的个数是（ ）．
A． B． C． D．
6．已知复数（为虚数单位），则复数在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．复数的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
8．复数满足，则的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知复数满足：（为虚数单位），且在复平面内对应的点位于第三象限，则复数的虚部为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知复数z满足=1+i,则在复平面内,复数z对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
11．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式
（e是自然对数的底，i是虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被普为“数学中的天桥”.下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知复数，，在复平面内，复数和所对应的两点之间的距离是（ ）
A． B． C．5 D．10
13．已知是复数，为的共轭复数.若命题：，命题：，则是成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．复数，则的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
15．已知复数，在复平面内对应的点分别为，，若是纯虚数，则（ ）
A．2 B． C． D．－2
二、填空题
16．复平面上给定四个点可以构成一个平行四边形，其中四个点对应的复数分别为，，，则______．
17．设复数和复数在复平面上分别对应点和点，则、两点间的距离是______．
18．设且，满足，则的取值范围为________________．
19．设复数（是虚数单位），则在复平面内，复数对应的点的坐标为________.
20．已知是虚数单位，则________.
三、解答题
21．已知是复数，、均为实数（为虚数单位），且复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围．
22．已知z为虚数，为实数，且．
(1)求及z的实部的取值范围．
(2)设，那么u是不是纯虚数？请说明理由．
(3)求的最小值．
23．已知：复数，其中为虚数单位．
(1)求及；
(2)若，求实数的值．
24．根据要求完成下列问题：
(1)关于的方程有实根，求实数的取值范围；
(2)若复数（）的共轭复数对应的点在第一象限，求实数的集合．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．D
【分析】设，根据复数乘法运算和复数相等可求得，由可得结果.
【详解】设，则，
，，
.
故选：D.
2．B
【分析】由复数的除法运算，化简求复数的代数形式，再利用复数模的计算公式，即可求解．
【详解】由复数满足，则，
则，
故选：B．
3．A
【分析】把转化为化简求解.
【详解】
z的实部是故A正确；，故D错误
，的虚部是故B错误，在复平面上对应的点为所以为第一象限点，故C错误.
故选：A
4．C
【分析】设复数的平方根为，然后平方后根据复数相等即可得出结论.
【详解】设复数的平方根为，则，
化简，所以，，解得
，或，，即复数的平方根为或，
故选：C
5．D
【分析】根据实数对应点的坐标的特征可知①正确；通过反例可知②③④错误.
【详解】对于①，实数在复平面内所对应的点的坐标为，均在实轴上，①正确；
对于②，点在虚轴上，但所对应的数为实数，②错误；
对于③，当时，为实数，③错误；
对于④，当，时，，④错误；
故选：D.
6．D
【分析】根据复数的运算求解复数，得到，根据复数的几何意义即可求解.
【详解】，
则，在复平面上对应的点的坐标为，位于第四象限.
故选：D．
7．B
【分析】根据复数的除法运算化简，根据共轭复数的概念可得答案.
【详解】,
故的共轭复数为 ，
故选：B
8．D
【分析】根据复数的几何意义求解即可.
【详解】复数满足，其对应的点是以原点为圆心，为半径的圆上的点，
复数几何意义是复数对应的点到点的距离，
所以的最大值为，
故选：D.
9．C
【分析】利用复数相等的条件求出z，再求的虚部.
【详解】设（），则，可得，
∵，，解得、，∴，∴.
故选：C.
10．D
【分析】利用复数的除法运算，可得z=2-i，则 z的对应点为(2,-1)，即得解
【详解】∵=1+i,
∴z-2==-i,
∴z=2-i,
∴z的对应点为(2,-1)
故选：D.
11．C
【分析】根据题设中的公式和复数运算法则，逐项计算后可得正确的选项.
【详解】对于A，当时，因为，所以，故不一定成立，选项A错误；
对于B，，所以B错误；
对于C，由，，所以,得出,选项C正确；
对于D，由C选项的分析得，得出，选项D错误.
故选：C.
12．B
【分析】根据复数的几何意义与两点距离公式即可求解．
【详解】所对应的点为
对应的点坐标为
所以复数和所对应的两点之间的距离为
故选：B
13．A
【分析】设，则，则，化简命题，再结合充分必要条件的定义判断即可.
【详解】设，则，则
命题：等价于，即
命题：等价于，即或，即或，
∴是成立的充分不必要条件，
故选：A.
14．D
【解析】先由复数的除法化简该复数，再由共轭复数的概念，即可得出结果.
【详解】因为，
所以其共轭复数为.
故选：D.
15．A
【分析】根据复数的几何意义，可得，根据复数的运算法则，即可得答案.
【详解】由题意得：，
所以，
又是纯虚数，所以，
解得，
故选：A.
【点睛】本题考查复数的几何意义，复数的乘法运算，复数的分类，考查学生对基础知识的掌握程度，属基础题.
16．或或
【分析】根据复数求对应点,再应用构成平行四边形,分情况计算即可.
【详解】因为，，,又因为可以构成一个平行四边形,分情况可得
当为平行四边形,则;
当为平行四边形,则,即
当为平行四边形,则,即
故答案为: 或或
17．
【分析】根据复数对应的点,应用两点间距离公式求解即可.
【详解】复数对应点,复数对应点，
则.
故答案为：
18．
【分析】判断出对应点的轨迹，从而求得的取值范围.
【详解】设，
，则，
所以，
，所以，
即对应点在以为圆心，半径为的圆上.
，对应点为，
与关于对称，
所以点在以为圆心，半径为的圆上，
表示与两点间的距离，
圆与圆相交，圆心距为，如图所示，
所以的最小值为，最大值为，
所以的取值范围为.
故答案为：
19．
【分析】根据复数的乘法运算求得，再根据复数的几何意义即可得出答案.
【详解】∵，∴，
∴复数对应的点为.
故答案为：.
20．
【分析】利用复数的除法及虚数单位的性质可求得代数式的值.
【详解】，
故答案为：
21．
【分析】设，化简、并根据其均为实数求得参数x，y，化简并根据其在复平面上对应的点在第一象限列不等式即可求得的范围.
【详解】设，∵为实数，∴，∴.
∵为实数，∴．∴．
∵在复平面上对应的点在第一象限， ∴，解得.
∴实数a的取值范围是．
22．(1)；z的实部的取值范围为
(2)u是纯虚数；理由见解析
(3)1
【分析】（1）设，由实数的概念可得的值，即可求，根据的范围即可得实部的取值范围；
（2）根据复数的除法运算结合纯虚数的概念即可得结果；
（3）将用表示，根据基本不等式即可得结果.
【详解】（1）设，
则．
因为m是实数，，所以，即，于是．
又，所以，
因此z的实部的取值范围是．
（2）u是纯虚数．
理由如下：，
又，所以u为纯虚数．
（3）．
因为，所以，
故，
当且仅当，
即时，取得最小值1．
23．(1)，
(2)，
【详解】（1），则.
（2）由（1）得：，
，解得：.
24．(1)
(2)
【分析】（1）设方程的根为，并代入方程中，根据复数相等得到方程组，解得答案；
（2）写出的共轭复数，根据对应的点在第一象限，列出不等式组，解得答案.
（1）
设是其实根，代入原方程变形为，
由复数相等的定义，得，解得；
（2）
由题意得，
∴，即，解得，
故实数的集合为 .
答案第1页，共2页
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