圆
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圆的有关性质 辅导卷
一、 填空:
1.垂经定理 如果圆的一条直经垂直于弦,那么这条直经必平分弦,并且平分弦所对的两条____.
2.如图(1): 已知CD是⊙O的直经,且CD⊥弦AB,垂足为E,则EA=_____,=_____, =_____.
3.如图(2):在⊙O中,OD⊥AB,AB=8cm, OE=3cm,则AE=____cm,半径OA=_____cm,弓形ADE的高 DE=____cm.
4.如图(3): ⊙O的半径为13cm,弦AB=24cm, 则弦心距OE=_____cm, ED=_____cm .
5.如图(4): 在⊙O中,弦AB=2 cm,OD⊥AB于E, DE=1cm,则⊙O的半径为______cm..
[提示:设⊙O的半径为R cm, 则OE= (R－ )cm,再用勾股定理列出方程]
6.垂经定理的推论 如图(1):
(1)如果CD是⊙O的直径,弦AB不是直径,且EA=EB,则CD⊥____,=____,=______.
(2)如果CD垂直平分弦AB,则CD经过_____心, =____,=_____.
(3)如果CD是⊙O的直径, =, 则CD⊥___,EA=____,=_____.
(4)圆的两条平行弦所夹的弧相等. 如图(5):在⊙O中,若弦AB∥弦CD,则____=_____.
7.圆心角定理及其推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距,这四组量中 有一组量相等,那么其余三组量都分别______.
8.如图(6):在⊙O中,OE⊥AB,OF⊥CD.根据圆心角定理及其推论填空:
(1) 若∠AOB=∠COD,则AB=____,=_____,OE=____.
(2)若=,则AB=_____,∠AOB=______,OE=______.
(3)若=CD,则______________,_________________,___________________.
(4)若OE=OF,则_______________,________________,___________________.
9.在同圆或等圆中:
(1)要证明两条弦相等,应先证明它们的弦心距 _____、或它们所对的弧 _____、或它们所对的圆心角 ____.
(2)要证明两条弦心距相等,应先证明两条弦 _______、或弦所对的弧 _______、或弦所对的圆心角 _______.
10.圆周是3600的弧. 圆心角的度数等于它所对的弧的度数.
11.如图(7):已知是圆周的 ,则AB是______度,∠AOB=______度;
若OD⊥AB,OD=3,则∠AOD=_____度,AD=_____, AB=______.
12.如图(8): AB、CD是⊙O的直径,CE∥AB, =560,则∠COE=______度,
∠C=______度,∠COB=______度,∠BOD=_______度.
13.圆周角定理: 一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的_______.
也就是说:如果一个圆周角和一个圆心角所对的弧相同,那么______角等于_____角的一半.
14. 圆心角的度数等于它所对的弧的度数;圆周角的度数等于它所对的弧的度数的_______.
15.如图(9),=1200,则圆心角∠AOB=_____度,圆周角∠ADB=_____度,∠ACB=_____度.
16.圆周角定理的推论: (1)同弧(或等弧)所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.
(2) 半圆或直径所对的圆周角是____角;_____度的圆周角所对的弦是直径.
(3) 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是_______三角形.
(4) 圆内接四边形的对角互_____,任何一个外角等于它的______角.
17.如图(10),⊙O中,根据同弧所对的圆周角相等,得∠1=∠___,∠3=∠____, ∠5=∠___,∠7=∠___.
18.如图(11),∠EBC和∠FAD是⊙O的内接四边形ABCD的外角, 则∠1+∠C=_____度,∠2+∠D=_______度,
∠EBC=∠___,∠FAD=∠___;若∠A∶∠B∶∠C∶= 4∶3∶2, 则∠A=____,∠C=____,∠B=____,∠D=___.
[提示:设∠1= 4x度,则∠C= x度]
19.如图(12),AB是⊙O的直径,CD⊥AB,AC= 4, BC=3, 则∠ACB=____度,
AB=_____, CD=______. [提示:AB×CD=AC×BC=2SΔABC]
20.如图(13),⊙O的直径AB=10,弦AC=6,CD平分∠ACB,则∠ACB=∠ADB=_____度,
∠1=∠2=_____度,BC=____,∠3=____度,AD=______.
二、解下列各题:
21.已知:如图,⊙O中,AB=CD,
OM⊥AB,ON⊥AC.
求证: ΔAMO≌ΔANO..
22. 已知:如图,AB是⊙O的直径,
AC⊥CD,BD⊥CD,OE⊥CD.
求证:EC=ED,EN=EM,CN=DM.
23.已知:如图,⊙O中,PO平分
∠BPD,OE⊥弦AB,OF⊥弦CD.
求证:AB=CD.
24.已知:如图,ΔABC是
圆内接三角形,AB=AC.
求证:ΔABD∽ΔAEB.
25.已知:如图,∠1是圆内接四边
形ABCD的外角,且DB=DC.
求证:∠1=∠2.
26.已知:如图,ΔABC内接于⊙O,
OF⊥AC,OE⊥AB.
求证:(1)EF∥BC,且EF= BC.
(2)AE AC=AF AB.
27.已知:如图,ΔABC内接于⊙O,
BD⊥AC,BE是⊙O的直径.
求证:(1)ΔABD∽ΔEBC. (2)∠1=∠2.
28.已知:如图,∠DCE是圆
内接四边形ABCD
的外角,DE∥AC.
求证:(1)∠1=∠3.
(2)ΔDCE∽ΔBAD.
(3)AB · CE=CD · AD.
29.已知:如图,ABCD内接于⊙O,
AB、DC的延长线交于点P.
求证:PA · PB=PD ·PC.
30.已知:如图,ΔABC
内接于⊙O,AB=AC.
求证:AB2=AD · AE.
31.已知:如图, =.
求证:(1)ΔACB∽ΔDFB.
(2)AC · BD=DF ·AB.
一、 填空:
1.垂经定理 如果圆的一条直经垂直于弦,那么这条直经必平分弦,并且平分弦所对的两条____.
2.如图(1): 已知CD是⊙O的直经,且CD⊥弦AB,垂足为E,则EA=_____,=_____, =_____.
3.如图(2):在⊙O中,OD⊥AB,AB=8cm, OE=3cm,则AE=____cm,半径OA=_____cm,弓形ADE的高 DE=____cm.
4.如图(3): ⊙O的半径为13cm,弦AB=24cm, 则弦心距OE=_____cm, ED=_____cm .
5.如图(4): 在⊙O中,弦AB=2 cm,OD⊥AB于E, DE=1cm,则⊙O的半径为______cm..
[提示:设⊙O的半径为R cm, 则OE= (R－ )cm,再用勾股定理列出方程]
6.垂经定理的推论 如图(1):
(1)如果CD是⊙O的直径,弦AB不是直径,且EA=EB,则CD⊥____,=____,=______.
(2)如果CD垂直平分弦AB,则CD经过_____心, =____,=_____.
(3)如果CD是⊙O的直径, =, 则CD⊥___,EA=____,=_____.
(4)圆的两条平行弦所夹的弧相等. 如图(5):在⊙O中,若弦AB∥弦CD,则____=_____.
7.圆心角定理及其推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距,这四组量中 有一组量相等,那么其余三组量都分别______.
8.如图(6):在⊙O中,OE⊥AB,OF⊥CD.根据圆心角定理及其推论填空:
(1) 若∠AOB=∠COD,则AB=____,=_____,OE=____.
(2)若=,则AB=_____,∠AOB=______,OE=______.
(3)若=CD,则______________,_________________,___________________.
(4)若OE=OF,则_______________,________________,___________________.
9.在同圆或等圆中:
(1)要证明两条弦相等,应先证明它们的弦心距 _____、或它们所对的弧 _____、或它们所对的圆心角 ____.
(2)要证明两条弦心距相等,应先证明两条弦 _______、或弦所对的弧 _______、或弦所对的圆心角 _______.
10.圆周是3600的弧. 圆心角的度数等于它所对的弧的度数.
11.如图(7):已知是圆周的 ,则AB是______度,∠AOB=______度;
若OD⊥AB,OD=3,则∠AOD=_____度,AD=_____, AB=______.
12.如图(8): AB、CD是⊙O的直径,CE∥AB, =560,则∠COE=______度,
∠C=______度,∠COB=______度,∠BOD=_______度.
13.圆周角定理: 一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的_______.
也就是说:如果一个圆周角和一个圆心角所对的弧相同,那么______角等于_____角的一半.
14. 圆心角的度数等于它所对的弧的度数;圆周角的度数等于它所对的弧的度数的_______.
15.如图(9),=1200,则圆心角∠AOB=_____度,圆周角∠ADB=_____度,∠ACB=_____度.
16.圆周角定理的推论: (1)同弧(或等弧)所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.
(2) 半圆或直径所对的圆周角是____角;_____度的圆周角所对的弦是直径.
(3) 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是_______三角形.
(4) 圆内接四边形的对角互_____,任何一个外角等于它的______角.
17.如图(10),⊙O中,根据同弧所对的圆周角相等,得∠1=∠___,∠3=∠____, ∠5=∠___,∠7=∠___.
18.如图(11),∠EBC和∠FAD是⊙O的内接四边形ABCD的外角, 则∠1+∠C=_____度,∠2+∠D=_______度,
∠EBC=∠___,∠FAD=∠___;若∠A∶∠B∶∠C∶= 4∶3∶2, 则∠A=____,∠C=____,∠B=____,∠D=___.
[提示:设∠1= 4x度,则∠C= x度]
19.如图(12),AB是⊙O的直径,CD⊥AB,AC= 4, BC=3, 则∠ACB=____度,
AB=_____, CD=______. [提示:AB×CD=AC×BC=2SΔABC]
20.如图(13),⊙O的直径AB=10,弦AC=6,CD平分∠ACB,则∠ACB=∠ADB=_____度,
∠1=∠2=_____度,BC=____,∠3=____度,AD=______.
二、解下列各题:
21.已知:如图,⊙O中,AB=CD,
OM⊥AB,ON⊥AC.
求证: ΔAMO≌ΔANO..
22. 已知:如图,AB是⊙O的直径,
AC⊥CD,BD⊥CD,OE⊥CD.
求证:EC=ED,EN=EM,CN=DM.
23.已知:如图,⊙O中,PO平分
∠BPD,OE⊥弦AB,OF⊥弦CD.
求证:AB=CD.
24.已知:如图,ΔABC是
圆内接三角形,AB=AC.
求证:ΔABD∽ΔAEB.
25.已知:如图,∠1是圆内接四边
形ABCD的外角,且DB=DC.
求证:∠1=∠2.
26.已知:如图,ΔABC内接于⊙O,
OF⊥AC,OE⊥AB.
求证:(1)EF∥BC,且EF= BC.
(2)AE AC=AF AB.
27.已知:如图,ΔABC内接于⊙O,
BD⊥AC,BE是⊙O的直径.
求证:(1)ΔABD∽ΔEBC. (2)∠1=∠2.
28.已知:如图,∠DCE是圆
内接四边形ABCD
的外角,DE∥AC.
求证:(1)∠1=∠3.
(2)ΔDCE∽ΔBAD.
(3)AB · CE=CD · AD.
29.已知:如图,ABCD内接于⊙O,
AB、DC的延长线交于点P.
求证:PA · PB=PD ·PC.
30.已知:如图,ΔABC
内接于⊙O,AB=AC.
求证:AB2=AD · AE.
31.已知:如图, =.
求证:(1)ΔACB∽ΔDFB.
(2)AC · BD=DF ·AB.
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