2021-2022学年湖南省湘教版七年级数学下册第4章：相交线与平行线练习题 期末数学试题选编（含解析）

湘教版七年级数学下册第4章：相交线与平行线练习题
一、单选题
1．（2022春·湖南张家界·七年级统考期末）下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是(　　)
A． B． C． D．
2．（2022春·湖南永州·七年级统考期末）如图，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2的位置关系是( )
A．同位角 B．内错角
C．同旁内角 D．对顶角
3．（2022春·湖南长沙·七年级统考期末）如图所示，下列说法中错误的是（ ）
A．∠2与∠B是内错角 B．∠A与∠1是内错角
C．∠3与∠B是同旁内角 D．∠A与∠3是同位角
4．（2022春·湖南常德·七年级统考期末）如图，直线AB，CD被EF所截，交点分别是点M，点N，则∠AMF与∠END是（　　）．
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角
5．（2022春·湖南衡阳·七年级统考期末）下面生活中，物体的运动情况可以看成平移的是（ ）
A．时钟摆动的钟摆 B．在笔直的公路上行驶的汽车
C．随风摆动的旗帜 D．汽车玻璃窗上两刷的运动
6．（2022春·湖南常德·七年级统考期末）北京2022年冬奥会会徽是以汉字“冬”为灵感来源设计的.在下面的四个图中，能由该图经过平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022春·湖南邵阳·七年级统考期末）如图，将三角形ABC沿OM方向平移一定的距离得到三角形，则下列结论中不正确的是（　　）
A． B．
C．∠ACB＝∠ D．BC＝
8．（2022春·湖南长沙·七年级校考期末）在6×6方格中，将图①中的图形N平移后位置如图②所示，则图形N的平移方法中，正确的是
图① 图②
A．向下移动1格 B．向上移动1格 C．向上移动2格 D．向下移动2格
9．（2022春·湖南益阳·七年级统考期末）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过．如果第一次拐的角∠A＝100°，第二次拐的角∠B＝150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
10．（2022春·湖南娄底·七年级统考期末）如图，平行线AB，CD被直线AE所截．若∠1=70°，则∠2的度数为（ ）
A．80° B．90° C．100° D．110°
11．（2022春·湖南株洲·七年级统考期末）如图，下列能判定的条件是（ ）
A． B． C． D．
12．（2022春·湖南株洲·七年级统考期末）若点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上的不同的点，其中，，，那么点P到直线l的距离是（ ）
A．小于4 B．4 C．小于或等于4 D．大于或等于4
13．（2022春·湖南株洲·七年级统考期末）已知直线，点在上，点，，在上，且，，，则与之间的距离为（ ）
A．等于 B．等于 C．等于 D．小于或等于
二、填空题
14．（2022春·湖南邵阳·七年级统考期末）如图，两直线交于点O，若∠1+∠2=76°，则∠1=________度．
15．（2022春·湖南长沙·七年级统考期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分，OF平分．若，则的度数为______°．
16．（2022春·湖南永州·七年级统考期末）如图，将周长为8的△ABC沿BC方向向右平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为_____________．
17．（2022春·湖南衡阳·七年级统考期末）要在台阶上铺设某种红地毯，已知这种红地毯每平方米的售价是20元，台阶宽为3米，侧面如图所示，购买这种红地毯至少需要___________元．
18．（2022春·湖南株洲·七年级统考期末）如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠1＝50°，则∠2的度数是_____．
19．（2022春·湖南怀化·七年级统考期末）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺固定不动，将含30°的三角尺绕顶点顺时针转动至图2位置的过程中，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图3：当时，BC∥DE．则其余符合条件的度数为______．
20．（2022春·湖南常德·七年级统考期末）如图，下列条件中：①；②；③；④；则一定能判定AB//CD的条件有_________（填写所有正确的序号）．
21．（2022春·湖南娄底·七年级统考期末）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，如图2，当∠BAD＝15°时，，则∠BAD（0°＜∠BAD＜180°）其它所有可能符合条件的度数为______．
22．（2022春·湖南郴州·七年级统考期末）如图，在三角形ABC中，，，，，则点B到直线AC的距离为______．
23．（2022春·湖南常德·七年级统考期末）如图，，AD=2，BC=3，△ABC的面积是4，那△ACD的面积是_________．
三、解答题
24．（2022春·湖南株洲·七年级统考期末）如图，点在直线上，平分，平分．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
25．（2022春·湖南长沙·七年级统考期末）我们通常在施工项目附近的地面上，看到如下图中的向导标识，它是道路施工安全标志，表示车辆及行人向左或向右行驶，为其作出正确的向导，如果你是安全标志的设计人员，请利用下面的方格图，解决下列问题：
(1)画出安全标志图形向右平移4格后的图形，并标注A、B的对应点A'、B'；
(2)完成（1）后，图中AB与A'B'的位置关系是_______，数量关系是_______．
26．（2022春·湖南益阳·七年级统考期末）如图，AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，DE平分∠ADC交BC于点E，点F为线段CD延长线上一点，∠BAF＝∠EDF
(1)求证：∠DAF＝∠F；
(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出所有与∠CED互余的角．
27．（2022春·湖南常德·七年级统考期末）在数学实践课上，老师让同学们借助“两条平行线，和一副直角三角尺”开展数学活动．
(1)如图①，小明把三角尺角的顶点放在直线上，．若，则_________；
(2)如图②，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点，分别放在直线，上，请用等式表示与之间满足的数量关系______________（不用证明）；
(3)在图②的基础上，小亮把三角尺角的顶点放在点处，即．如图③，平分交直线于点，平分交直线于点．将含角的三角尺绕着点转动，且使始终在的内部，请问的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，说明理由．
28．（2022春·湖南长沙·七年级校考期末）如图，在四边形中，，．
(1)求的度数；
(2)平分交于点，．求证：．
29．（2022春·湖南永州·七年级统考期末）如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2，求证：AB∥CD．
30．（2022春·湖南常德·七年级统考期末）如图，点O在直线AB上，．
(1)求证：；
(2)平分交于点F，若，求的度数．
参考答案：
1．C
【分析】根据对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，进而得出答案．
【详解】利用对顶角的定义可得出：
符合条件的只有C，
故选C．
【点睛】本题考查了对顶角的概念，一定要紧扣概念中的关键词语，如：两条直线相交，有一个公共顶点．反向延长线等．
2．B
【详解】试题分析：如图所示，∠1和∠2两个角都在两被截直线直线b和c同侧，并且在第三条直线a（截线）的两旁，故∠1和∠2是直线b、c被a所截而成的内错角．故选B．
考点：同位角、内错角、同旁内角．
3．B
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义，分别对选项进行分析，即可得出结果．
【详解】解：A、∠2与∠B是内错角，故该选项正确；
B、∠A与∠1不是内错角，故该选项错误；
C、∠3与∠B是同旁内角，故该选项正确；
D、∠A与∠3是同位角，故该选项正确．
故选：B
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，解本题的关键在熟练掌握相关定义．同位角：在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，在截线的同侧，在被截直线的同侧；内错角：在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，在截线的两侧，在被截直线的内侧；同旁内角：在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，在截线的同侧，在被截直线的内侧．
4．B
【分析】根据内错角，同位角，同旁内角，邻补角的定义解答即可．
【详解】如图所示，两条直线AB、CD被直线EF所截形成的角中，∠AMF与∠END都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两旁，所以∠AMF与∠END是内错角
故选：B．
【点睛】本题考查了同位角，内错角以及同旁内角．解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入，对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
5．B
【分析】根据平移的定义可知．
【详解】A、改变了方向，错误；
B、正确；
C、改变了方向，错误；
D、改变了方向，错误．
故选B．
【点睛】本题考查了平移，解决本题的关键是熟记把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移．注意平移是图形整体沿某一直线方向移动．
6．B
【分析】根据平移只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小解答．
【详解】解：观察各选项图形可知，B选项的图案可以通过平移得到．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了利用平移设计图案，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转．
7．C
【分析】根据平移的性质，对应点的连线互相平行且相等，平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小对各小题分析判断即可得解．
【详解】解：∵三角形ABC沿OM方向平移一定的距离得到三角形，
∴，故A正确；
，故B正确；
∠ACB＝∠，故C错误；
BC＝，故D正确，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平移的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
8．D
【详解】由图可知，图①中的图形N向下移动2格后得到图②．故选D．
9．B
【分析】首先根据题意作辅助线：过点B作BD∥AE，即可得AE∥BD∥CF，则可求得：∠A=∠1，∠2+∠C=180°，则可求得∠C的值．
【详解】解：过点B作BD∥AE，
∵AE∥CF，
∴AE∥BD∥CF，
∴∠A=∠1，∠2+∠C=180°，
∵∠A=100°，∠1+∠2=∠ABC=150°，
∴∠2=50°，
∴∠C=180°∠2=180°50°=130°，
故选：B．
【点睛】此题考查了平行线的性质．注意过一点作已知直线的平行线，再利用平行线的性质解题是常见做法．
10．D
【分析】直接利用对顶角以及平行线的性质分析得出答案．
【详解】解：
∵∠1＝70°，
∴∠1＝∠3＝70°，
∵ABDC，
∴∠2＋∠3＝180°，
∴∠2＝180° 70°＝110°．
故答案为：D．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及对顶角，正确掌握平行线的性质是解题关键．
11．A
【分析】根据平行线的判定定理，即可得出本题答案．
【详解】解：选项A：和是直线AB与直线CD被直线AC所截得的内错角，由内错角相等，两直线平行，可得：，所以选项A正确．
选项B：和是直线AD与直线BC被直线AC所截得的内错角，由内错角相等，两直线平行，可得：，所以选项B错误．
选项C：和是直线AD与直线BC被直线CD所截得的内错角，由内错角相等，两直线平行，可得：，所以选项C错误．
选项D：和是直线AD与直线BC被直线CD所截得的同旁内角，由同旁内角互补，两直线平行，可得：，所以选项D错误．
故答案选：A．
【点睛】本题考查平行线的判定，牢记平行线的判定定理，准确找到被截线，牢记平行线的判定是被截的两条直线互相平行，不要混淆．
12．C
【分析】根据点到直线的距离垂线段最短可进行求解．
【详解】解：∵，，，
∴点P到直线l的距离小于或等于4，理由是点到直线的距离垂线段最短；
故选：C．
【点睛】本题主要考查点到直线的距离垂线段最短，熟练掌握点到直线的距离垂线段最短是解题的关键．
13．D
【分析】从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，由此可得出答案．
【详解】解：∵直线m∥n，点A在m上，点B、C、D在n上，且AB＝4cm，AC＝5cm，AD＝6cm，
∴AB＜AC＜AD，
∴m与n之间的距离小于或等于4cm，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线之间的距离，解题关键是掌握平行线之间距离的定义．
14．38
【分析】直接利用对顶角的性质结合已知得出答案．
【详解】解：∵两直线交于点O，
∴∠1=∠2，
∵∠1+∠2=76°，
∴∠1=38°．
故答案为：38．
【点睛】此题主要考查了对顶角，正确把握对顶角的定义是解题关键．
15．33
【分析】先根据对顶角相等求出，再由角平分线定义得，由邻补角得，再根据角平分线定义得，从而可得结论．
【详解】解：∵是对顶角，
∴
∵OE平分，
∴
∴，
∵OF平分．
∴
又，
∴，
故答案为：33
【点睛】本题主要考查了对顶角的性质，角平分线的定义以及邻补角的性质，熟练掌握角平分线的定义以及邻补角的性质是解决本题的关键．
16．10
【详解】根据题意，将周长为8的△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，
则AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC，
又∵AB+BC+AC=10，
∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10．
故答案为：10．
【点睛】本题考查平移的性质．利用数形结合的思想是解题关键．
17．600
【分析】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个矩形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求．
【详解】解：利用平移线段，把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个矩形，长宽分别为5.2米，4.8米，
∴地毯的长度为5.2＋4.8＝10（米），
地毯的面积为10×3＝30（平方米），
∴购买这种红地毯至少需要30×20＝600（元），
故答案为：600．
【点睛】本题考查平移的性质，解决此题的关键是要利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算．
18．40°
【分析】由EF⊥BD，∠1=50°，结合三角形内角和为180°，即可求出∠D的度数，再由“两直线平行，同位角相等”即可得出结论．
【详解】解：在△DEF中，∠1=50°，∠DEF=90°，
∴∠D=180°-∠DEF-∠1=40°．
∵AB∥CD，
∴∠2=∠D=40°．
故答案为40°．
【点睛】本题考查平行线的性质以及三角形内角和为180°，解题关键是求出∠D=40°．解决该题型题目时，根据平行线的性质，找出相等或互补的角是解题技巧．
19．60°或105°或135°
【分析】分四种情况进行讨论，分别依据平行线的性质进行计算即可得到∠CAE的度数．
【详解】解：如图2，当BC∥DE时，∠CAE=45°-30°=15°；
如图，当AE∥BC时，∠CAE=90°-30°=60°；
如图，当DE∥AB（或AD∥BC）时，∠CAE=45°+60°=105°；
如图，当DE∥AC时，∠CAE=45°+90°=135°．
综上所述，旋转后两块三角板至少有一组边平行，则∠CAE（0°＜∠CAE＜180°）其它所有可能符合条件的度数为60°或105°或135°．
故答案为：60°或105°或135°．
【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及直角三角板的性质求解是解答此题的关键．
20．①③④
【分析】平行线的判定方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；根据平行线的判定方法逐一判断即可.
【详解】解：
故①符合题意；
，
故②不符合题意；
，
故③符合题意；
故④符合题意；
故答案为：①③④
【点睛】本题考查的是平行线的判定，掌握“平行线的判定方法”是解本题的关键.
21．45°，60°，105°，135°
【分析】分四种情况讨论：当AC∥DE时，当BC∥AD时，当BC∥AE时，当AB∥DE时，即可求解．
【详解】解：如图，
当AC∥DE时，∠BAC=∠DEA=90°，此时点B在AE边上，
∴∠BAD=∠DAE=45°；
当BC∥AD时，∠BAD=∠B=60°；
当BC∥AE时，∠EAB=∠B=60°，
∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+60°=105°；
当AB∥DE时，∠E=∠EAB=90°，
∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+90°=135°．
故答案为：45°，60°，105°，135°.
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及直角三角板的性质求解是解答此题的关键．
22．
【分析】根据直角三角形面积的两种算法，即可解答．
【详解】解：如图，过点B作BD⊥AC于点D，
∵，，，，
∴三角形的面积，
∴，
即点B到直线AC的距离为．
故答案为：
【点睛】本题考查了点到直线的距离，解决本题的关键是熟记点到直线的距离．
23．
【分析】设AD与BC间的距离为h．先根据三角形面积公式求出两条平行线间的距离，再根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：设AD与BC间的距离为h．
∵，BC=3，△ABC的面积是4，
∴．
∵AD=2，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线间的距离，三角形面积公式，熟练掌握这些知识点是解题关键．
24．(1)
(2)
【分析】(1)根据角平分线的定义的得到，再根据补角的定义即可求出；
(2) 根据角平分线的定义的得到，再根据补角的定义即可求出，最后利用角平分线的定义即可求得．
【详解】（1）
解：∵平分，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴ ．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，补角的定义，熟记角平分线的定义是解题的关键．
25．(1)见解析
(2)平行（或AB//A′B′），相等（或AB= A′B′）
【分析】（1）利用平移变换的性质求出平移后的图形即可；
（2）利用平移变换的性质判断即可．
【详解】（1）解：图形如图所示：
（2）解：ABA′B′，AB＝A′B′，
故答案为：ABA′B′，AB＝A′B′．
【点睛】本题考查作图﹣利用平移设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
26．（1）证明见解析；（2）与∠CED互余的角有∠ADE，∠CDE，∠F，∠FAD．
【分析】（1）依据AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，即可得到AB∥CF，进而得出∠BAF+∠F＝180°，再根据∠BAF＝∠EDF，即可得出ED∥AF，依据三角形外角性质以及角平分线的定义，即可得到∠DAF＝∠F；（2）结合图形，根据余角的概念，即可得到所有与∠CED互余的角．
【详解】解：（1）∵AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，
∴∠B+∠C＝180°，
∴AB∥CF，
∴∠BAF+∠F＝180°，
又∵∠BAF＝∠EDF，
∴∠EDF+∠F＝180°，
∴ED∥AF，
∴∠ADE＝∠DAF，∠EDC＝∠F，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠DAF＝∠F；
（2）∵∠C＝90°，
∴∠CED+∠CDE＝90°，
∴∠CED与∠CDE互余，
又∵∠ADE＝∠DAF＝∠EDC＝∠F，
∴与∠CED互余的角有∠ADE，∠CDE，∠F，∠FAD．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质、余角的概念，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
27．(1)
(2)
(3)的值不发生变化，
【分析】（1）根据平行线的性质求出，根据平角定义求出进而求出；
（2）过点F作，再根据平行线的性质推出，最后求；
（3）如图，，，根据角平分线定义表示出，然后根据（2）的结论，求出即可．
（1）
解：，
，
，
，
，
；
故答案为：80；
（2）
解：过点F作，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（3）
解：的值不发生变化．
，
， ，
平分，平分，
，
，
由（2）知，
所以，的值不发生变化，．
【点睛】本题是一道平行线的性质和判定综合题，考查了平行公理的推论，角平分线定义，构造平行线是解本题的关键．
28．(1)
(2)详见解析
【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，即可求解；
（2）根据平分，可得．再由，可得．即可求证．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴．
（2）证明：∵平分，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键
29．见解析
【分析】首先由AE⊥BC，FG⊥BC可得AE∥FG，根据两直线平行，同位角相等及等量代换可推出∠A=∠2，利用内错角相等，两直线平行可得AB∥CD．
【详解】证明：如图，设BC与AE、GF分别交于点M、N.
∵AE⊥BC，FG⊥BC，
∴∠AMB=∠GNB=90°，
∴AE∥FG，
∴∠A=∠1；
又∵∠2=∠1，
∴∠A=∠2，
∴AB∥CD．
【点睛】本题考查了平行线的性质及判定，熟记定理是正确解题的关键．
30．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先根据垂直定义、平角定义可得，由已知，从而可得，然后根据平行线的判定即可得证；
（2）先根据角平分线的定义、垂直定义可得，再根据平行线的性质可得，然后根据角的和差即可得．
（1）
证明： ，
，
，
，
，
；
（2）
平分，且，
，
由（1）得，，
又，
，
．
【点睛】本题考查了垂直定义、角平分线的定义、平行线的判定与性质等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．