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沪科版数学八年级下册第16章 二次根式 基础过关单元卷
一、单选题（每题4分，共40分）
1．（2022八上·奉贤期中）使二次根式有意义的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意可得：，
∴
故答案为：B.
【分析】先求出，再计算求解即可。
2．（2023八上·桂平期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A. =2，故不符合题意；
B. 是最简二次根式；符合题意
C. ，故不符合题意；
D. ，故不符合题意
故答案为：B.
【分析】最简二次根式必须满足两个条件①被开方数不含分母，②被开方数不含能开方开得尽的因数或因式；据此判断即可.
3．（2021八下·太湖期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：A 、，不符合题意；
B、，符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用二次根式的性质，平方差公式，以及完全平方公式计算求解即可。
4．（2022八下·东莞月考）下列式子中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：A、当，它不是二次根式，故本选项不符合题意．
B、当时，则它无意义，故本选项不符合题意．
C、由于x2+1＞0，所以它符合二次根式的定义，故本选项符合题意．
D、当时，它无意义，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用二次根式的定义逐项判断即可。
5．（2022八下·长安期末）我们知道的小数部分b为，如果用a代表它的整数部分，那么的值是（ ）
A．8 B．－8 C．4 D．－4
【答案】B
【知识点】估算无理数的大小；因式分解的应用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵1<<2，
∴4<<5，
∵a为6-的整数部分，b为6-的小数部分，
∴a=4，b=2-，
∴ab2 a2b=ab(b-a)
=4(2-)( 2--4)
=-4(2-)( 2+)
=-4(4-2)
=-8．
故答案为：B．
【分析】利用估算无理数的大小，可得到1<<2，再根据不等式的性质确定出的取值范围，由此可得到a的值，再将代数式分解为ab(b-a)，然后代入求值即可.
6．（2022八下·兴仁月考）已知，则实数，的取值范围是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：∵，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据二次根式有意义的条件结合分式有意义的条件进行解答.
7．（2022八下·五华期末）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【知识点】实数在数轴上的表示；实数大小的比较；二次根式的性质与化简；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：由数轴可知：a＜0，b＞0，a－b＜0
∴
=
=-a－b＋a－b
=-2b
故答案为：A．
【分析】根据数轴先求出a＜0，b＞0，a－b＜0，再化简求解即可。
8．（2022八下·拱墅月考）已知 满足 ，则
A．0 B．1 C．2021 D．2022
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：由题意得：
，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数可得a-2022≥0，则a≥2022，2021-a<0，然后根据绝对值的性质可得，两边同时平方即可.
9．如图，在矩形中无重叠放入面积分别为16cm2和12 cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：两张正方形纸片的面积分别为和，
它们的边长分别为，，
，，
空白部分的面积
．
故答案为：D．
【分析】根据矩形的面积分别减去两个正方形的面积即可求解.
10．（2022·龙马潭模拟）已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年）给出求其面积的海伦公式S=，其中p=；我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-1261）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式S=，若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的应用；数学常识
【解析】【解答】解：∵S=，
∴若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是：S==
故答案为：B.
【分析】由题意把a=2，b=3，c=4分别代入秦九韶公式计算即可求解.
二、填空题（每空5分，共25分）
11．（2023九下·长沙月考）若代数式有意义，则x的取值范围式 .
【答案】x≥2023
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：x≥2023，
故答案为：x≥2023.
【分析】由二次根式的被开方数不能为负数列出不等式，求解即可.
12．（2019八上·平遥月考）若最简二次根式 与 能够合并，则a的值为 。
【答案】1
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：∵两个最简二次根式可以合并
∴1+a=4-2a
解得a=1
【分析】根据两个最简二次根式可以合并，即可得到两个根式的被开方数相同，即可得到答案。
13．（2022七下·临海月考）， ，则 .
【答案】2.381
【知识点】算术平方根；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：2.381.
【分析】，然后将≈23.81、=10代入进行计算.
14．（2023八下·鄱阳月考）电流通过导线时会产生热量，电流，（单位：A）、导线电阻R（单位：Ω）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足．已知导线的电阻为8Ω，2s时间导线产生72J的热量，则I的值为 A．
【答案】或
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】∵电流通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足，
∴将，，代入上式得：，
解得：（负值舍去），
故答案为：．
【分析】将，，代入中求出I值即可.
15．（2022·随州）已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值.设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为 ，最大值为 .
【答案】3；75
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，是大于1的整数，
∴.
∵n为正整数
∴n的值可以为3、12、75，
n的最小值是3，最大值是75.
故答案为：3；75.
【分析】将已知二次根式化简为，再根据＞1，再由n为正整数，可得到n的值为3、12、75，由此可知n的最大值和最小值.
三、计算题（共3题，共33分）
16．（2023八下·杭州月考）计算：
（1）
（2）(23)2
（3）
【答案】（1）解：原式= ；
（2）解：原式= ；
（3）解：原式= .
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）被减数根据二次根式的性质化简，减数利用分母有理化化简，最后合并同类二次根式即可；
（2）先根据完全平方公式展开，再根据二次根式的性质分别化简，最后合并同类项即可；
（3）先利用平方差公式化简，再利用完全平方公式化简，最后合并同类项即可.
17．（2020八上·黄浦期中）先化简再求 的值，其中a= ．
【答案】解：当a= =2- 时，∴a-1=1- ＜0
原式= - =a-1+ =1- +2+ =3．
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】先求出 a= =2- ，化简分式代入求值即可。
18．（2021八下·霍邱期末）在进行二次根式的运算时，如遇到 这样的式子，还需做进一步的化简： ﹣1．这种化去分母中根号的运算叫分母有理化．
（1）请参照以上方法化简 ；
（2）计算 ．
【答案】（1）解：原式＝
（2）解：原式＝
＝
＝
【知识点】分母有理化；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）利用平方差公式计算求解即可；
（2）利用平方差公式计算求解即可。
四、解答题（共5题，共52分）
19．（2020八上·吴江月考）数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的途径之一.请你先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题：
问题情境：设a，b是有理数，且满足 ，求 的值.
解：由题意得 ，
∵a，b都是有理数，
∴ 也是有理数，
∵ 是无理数，
∴ ，
∴ ，
∴
解决问题：设x，y都是有理数，且满足 ，求 的值.
【答案】解：∵ ，
∴（x2-2y-8）+（y-4） =0，
∴x2-2y-8=0，y-4=0，
解得，x=±4，y=4，
当x=4，y=4时，x+y=4+4=8，
当x=-4，y=4时，x+y=（-4）+4=0，
即x+y的值是8或0.
【知识点】二次根式的应用；配方法解一元二次方程
【解析】【分析】根据题目中例题的方法，对所求式子进行变形，求出x、y的值，从而可以求得x+y的值.
20．（2022八下·济宁月考）如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，求留下部分的面积．
【答案】解：∵两个小正方形的面积分别为和，
∴这两个小正方形的边长分别为cm和cm，
∴大正方形的边长是，
∴留下部分（即阴影部分）的面积是
，
答：留下部分的面积为．
【知识点】二次根式的应用；正方形的性质
【解析】【分析】先求出两个小正方形的边长，再利用割补法求出留下部分（即阴影部分）的面积是，最后计算即可。
21．（2022八上·南城期中）小明在做二次根式的化简时，遇到了比较复杂的二次根式，通过资料的查询，他得到了该二次根式的化简过程如下
＝
＝
=
（1）结合以上化简过程，请你动手尝试化简．
（2）善于动脑的小明继续探究：当a，b，m，n为正整数时，若 ，则，所以，若 ，且a，m，n为正整数，；求a，m，n的值．
【答案】（1）解：
=
=．
（2）解：∵
∴，
∵
∴，，．
【知识点】二次根式的应用；定义新运算
【解析】【分析】（1）参照题干中的计算方法求解即可；
（2）根据，求出，，再结合，求出m、n上的值，最后求出a的值即可。
22．解答题
（1）阅读：若一个三角形的三边长分别为a、b、c，设 ，则这个三角形的面积为 ．
（2）应用：如图1，在△ABC中，AB=6，AC=5，BC=4，求△ABC面积．
（3）引申：如图2，在（2）的条件下，AD、BE分别为△ABC的角平分线，它们的交点为I，求：I到AB的距离．
【答案】（1）解：如图：
在△ABC中，过A作高AD交BC于D，
设BD=x，那么DC=a﹣x，
由于AD是△ABD、△ACD的公共边h2=c2﹣x2=b2﹣（a﹣x）2，
解出x得x= ，
于是h= ，
△ABC的面积S= ah= a
即S= ，
令p= （a+b+c），
对被开方数分解因式，并整理得到
（2）解：由题意，得：a=4，b=5，c=6；
∴p= = ；
∴S= = = ，
故△ABC的面积是
（3）解：如图，过点I作IF⊥AB、IG⊥AC、IH⊥BC，垂足分别为点F、G、H，
∵AD、BE分别为△ABC的角平分线，
∴IF=IH=IG，
∵S△ABC=S△ABI+S△ACI+S△BCI，
即 = ×6 IF+ ×5 IG+ ×4 IH，
∴3 IF+ IF+2 IF= ，
解得IF= ，
故I到AB的距离为
【知识点】二次根式的应用
【解析】【分析】（2）先根据三边长度求出p的值，再代入公式计算可得；（3）过点I作IF⊥AB、IG⊥AC、IH⊥BC，由角平分线性质可得IF=IH=IG，再根据S△ABC=S△ABI+S△ACI+S△BCI即可求得IF的长．
23．（2021八下·武汉月考）由 得， ；如果两个正数a，b，即 ，则有下面的不等式： ，当且仅当 时取到等号.
例如：已知 ，求式子 的最小值.
解：令 ，则由 ，得 ，当且仅当 时，即 时，式子有最小值，最小值为4.
请根据上面材料回答下列问题：
（1）当 ，式子 的最小值为 ；当 ，则当 时，式子 取到最大值；
（2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（3）如图，四边形 的对角线 、 相交于点O， 、 的面积分别是8和14，求四边形 面积的最小值.
【答案】（1）2；-3
（2）解：设篱笆的长为 ，则宽为 ，∴篱笆的周长为 ,
∵ ，
∴ ，
当且仅当， 时，等号成立，解得 或 （舍去），
∴ =4，
∴长方形的长为8米、宽为4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是16米；
（3）解：设点B到AC的距离BE= ，点D到OC的距离DF= ，
∵ 、 的面积分别是8和14，
∴OA= ，OC= ，
∴AC=OA+OC= + ，
∴
( + )
= + + ，
∵ ，
∴ + ，
∴ + + ，
∴四边形 面积的最小值 .
【知识点】二次根式的应用；完全平方式
【解析】【解答】（1）∵ ，
∴ ，
∴式子 的最小值为为2，
故答案为：2；
∵ ，
∴ ＞
∴ ，
当且仅当， 时，等号成立，
解得 不符合题意，舍去，取 ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时，式子 取到最大值，
故答案为：-3；
【分析】(1 )直接套公式计算, 取相反数后, 套用公式计算即可；
(2 )设篱笆的长为x , 为 ，篱笆的周长为 ，最后套用公式计算即可；
(3)设点B到AC的距离BE=h1 , 点D到OC的距离DF=h2 , 用AC , h1 ,h2 ,表示四边形的面积，最后套用公式计算即可.
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沪科版数学八年级下册第16章 二次根式 基础过关单元卷
一、单选题（每题4分，共40分）
1．（2022八上·奉贤期中）使二次根式有意义的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八上·桂平期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021八下·太湖期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022八下·东莞月考）下列式子中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022八下·长安期末）我们知道的小数部分b为，如果用a代表它的整数部分，那么的值是（ ）
A．8 B．－8 C．4 D．－4
6．（2022八下·兴仁月考）已知，则实数，的取值范围是（ ）
A．， B．， C．， D．，
7．（2022八下·五华期末）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．0
8．（2022八下·拱墅月考）已知 满足 ，则
A．0 B．1 C．2021 D．2022
9．如图，在矩形中无重叠放入面积分别为16cm2和12 cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·龙马潭模拟）已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年）给出求其面积的海伦公式S=，其中p=；我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-1261）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式S=，若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每空5分，共25分）
11．（2023九下·长沙月考）若代数式有意义，则x的取值范围式 .
12．（2019八上·平遥月考）若最简二次根式 与 能够合并，则a的值为 。
13．（2022七下·临海月考）， ，则 .
14．（2023八下·鄱阳月考）电流通过导线时会产生热量，电流，（单位：A）、导线电阻R（单位：Ω）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足．已知导线的电阻为8Ω，2s时间导线产生72J的热量，则I的值为 A．
15．（2022·随州）已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值.设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为 ，最大值为 .
三、计算题（共3题，共33分）
16．（2023八下·杭州月考）计算：
（1）
（2）(23)2
（3）
17．（2020八上·黄浦期中）先化简再求 的值，其中a= ．
18．（2021八下·霍邱期末）在进行二次根式的运算时，如遇到 这样的式子，还需做进一步的化简： ﹣1．这种化去分母中根号的运算叫分母有理化．
（1）请参照以上方法化简 ；
（2）计算 ．
四、解答题（共5题，共52分）
19．（2020八上·吴江月考）数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的途径之一.请你先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题：
问题情境：设a，b是有理数，且满足 ，求 的值.
解：由题意得 ，
∵a，b都是有理数，
∴ 也是有理数，
∵ 是无理数，
∴ ，
∴ ，
∴
解决问题：设x，y都是有理数，且满足 ，求 的值.
20．（2022八下·济宁月考）如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，求留下部分的面积．
21．（2022八上·南城期中）小明在做二次根式的化简时，遇到了比较复杂的二次根式，通过资料的查询，他得到了该二次根式的化简过程如下
＝
＝
=
（1）结合以上化简过程，请你动手尝试化简．
（2）善于动脑的小明继续探究：当a，b，m，n为正整数时，若 ，则，所以，若 ，且a，m，n为正整数，；求a，m，n的值．
22．解答题
（1）阅读：若一个三角形的三边长分别为a、b、c，设 ，则这个三角形的面积为 ．
（2）应用：如图1，在△ABC中，AB=6，AC=5，BC=4，求△ABC面积．
（3）引申：如图2，在（2）的条件下，AD、BE分别为△ABC的角平分线，它们的交点为I，求：I到AB的距离．
23．（2021八下·武汉月考）由 得， ；如果两个正数a，b，即 ，则有下面的不等式： ，当且仅当 时取到等号.
例如：已知 ，求式子 的最小值.
解：令 ，则由 ，得 ，当且仅当 时，即 时，式子有最小值，最小值为4.
请根据上面材料回答下列问题：
（1）当 ，式子 的最小值为 ；当 ，则当 时，式子 取到最大值；
（2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（3）如图，四边形 的对角线 、 相交于点O， 、 的面积分别是8和14，求四边形 面积的最小值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意可得：，
∴
故答案为：B.
【分析】先求出，再计算求解即可。
2．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A. =2，故不符合题意；
B. 是最简二次根式；符合题意
C. ，故不符合题意；
D. ，故不符合题意
故答案为：B.
【分析】最简二次根式必须满足两个条件①被开方数不含分母，②被开方数不含能开方开得尽的因数或因式；据此判断即可.
3．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：A 、，不符合题意；
B、，符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用二次根式的性质，平方差公式，以及完全平方公式计算求解即可。
4．【答案】C
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：A、当，它不是二次根式，故本选项不符合题意．
B、当时，则它无意义，故本选项不符合题意．
C、由于x2+1＞0，所以它符合二次根式的定义，故本选项符合题意．
D、当时，它无意义，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用二次根式的定义逐项判断即可。
5．【答案】B
【知识点】估算无理数的大小；因式分解的应用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵1<<2，
∴4<<5，
∵a为6-的整数部分，b为6-的小数部分，
∴a=4，b=2-，
∴ab2 a2b=ab(b-a)
=4(2-)( 2--4)
=-4(2-)( 2+)
=-4(4-2)
=-8．
故答案为：B．
【分析】利用估算无理数的大小，可得到1<<2，再根据不等式的性质确定出的取值范围，由此可得到a的值，再将代数式分解为ab(b-a)，然后代入求值即可.
6．【答案】A
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：∵，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据二次根式有意义的条件结合分式有意义的条件进行解答.
7．【答案】A
【知识点】实数在数轴上的表示；实数大小的比较；二次根式的性质与化简；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：由数轴可知：a＜0，b＞0，a－b＜0
∴
=
=-a－b＋a－b
=-2b
故答案为：A．
【分析】根据数轴先求出a＜0，b＞0，a－b＜0，再化简求解即可。
8．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：由题意得：
，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数可得a-2022≥0，则a≥2022，2021-a<0，然后根据绝对值的性质可得，两边同时平方即可.
9．【答案】D
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：两张正方形纸片的面积分别为和，
它们的边长分别为，，
，，
空白部分的面积
．
故答案为：D．
【分析】根据矩形的面积分别减去两个正方形的面积即可求解.
10．【答案】B
【知识点】二次根式的应用；数学常识
【解析】【解答】解：∵S=，
∴若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是：S==
故答案为：B.
【分析】由题意把a=2，b=3，c=4分别代入秦九韶公式计算即可求解.
11．【答案】x≥2023
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：x≥2023，
故答案为：x≥2023.
【分析】由二次根式的被开方数不能为负数列出不等式，求解即可.
12．【答案】1
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：∵两个最简二次根式可以合并
∴1+a=4-2a
解得a=1
【分析】根据两个最简二次根式可以合并，即可得到两个根式的被开方数相同，即可得到答案。
13．【答案】2.381
【知识点】算术平方根；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：2.381.
【分析】，然后将≈23.81、=10代入进行计算.
14．【答案】或
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】∵电流通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足，
∴将，，代入上式得：，
解得：（负值舍去），
故答案为：．
【分析】将，，代入中求出I值即可.
15．【答案】3；75
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，是大于1的整数，
∴.
∵n为正整数
∴n的值可以为3、12、75，
n的最小值是3，最大值是75.
故答案为：3；75.
【分析】将已知二次根式化简为，再根据＞1，再由n为正整数，可得到n的值为3、12、75，由此可知n的最大值和最小值.
16．【答案】（1）解：原式= ；
（2）解：原式= ；
（3）解：原式= .
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）被减数根据二次根式的性质化简，减数利用分母有理化化简，最后合并同类二次根式即可；
（2）先根据完全平方公式展开，再根据二次根式的性质分别化简，最后合并同类项即可；
（3）先利用平方差公式化简，再利用完全平方公式化简，最后合并同类项即可.
17．【答案】解：当a= =2- 时，∴a-1=1- ＜0
原式= - =a-1+ =1- +2+ =3．
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】先求出 a= =2- ，化简分式代入求值即可。
18．【答案】（1）解：原式＝
（2）解：原式＝
＝
＝
【知识点】分母有理化；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）利用平方差公式计算求解即可；
（2）利用平方差公式计算求解即可。
19．【答案】解：∵ ，
∴（x2-2y-8）+（y-4） =0，
∴x2-2y-8=0，y-4=0，
解得，x=±4，y=4，
当x=4，y=4时，x+y=4+4=8，
当x=-4，y=4时，x+y=（-4）+4=0，
即x+y的值是8或0.
【知识点】二次根式的应用；配方法解一元二次方程
【解析】【分析】根据题目中例题的方法，对所求式子进行变形，求出x、y的值，从而可以求得x+y的值.
20．【答案】解：∵两个小正方形的面积分别为和，
∴这两个小正方形的边长分别为cm和cm，
∴大正方形的边长是，
∴留下部分（即阴影部分）的面积是
，
答：留下部分的面积为．
【知识点】二次根式的应用；正方形的性质
【解析】【分析】先求出两个小正方形的边长，再利用割补法求出留下部分（即阴影部分）的面积是，最后计算即可。
21．【答案】（1）解：
=
=．
（2）解：∵
∴，
∵
∴，，．
【知识点】二次根式的应用；定义新运算
【解析】【分析】（1）参照题干中的计算方法求解即可；
（2）根据，求出，，再结合，求出m、n上的值，最后求出a的值即可。
22．【答案】（1）解：如图：
在△ABC中，过A作高AD交BC于D，
设BD=x，那么DC=a﹣x，
由于AD是△ABD、△ACD的公共边h2=c2﹣x2=b2﹣（a﹣x）2，
解出x得x= ，
于是h= ，
△ABC的面积S= ah= a
即S= ，
令p= （a+b+c），
对被开方数分解因式，并整理得到
（2）解：由题意，得：a=4，b=5，c=6；
∴p= = ；
∴S= = = ，
故△ABC的面积是
（3）解：如图，过点I作IF⊥AB、IG⊥AC、IH⊥BC，垂足分别为点F、G、H，
∵AD、BE分别为△ABC的角平分线，
∴IF=IH=IG，
∵S△ABC=S△ABI+S△ACI+S△BCI，
即 = ×6 IF+ ×5 IG+ ×4 IH，
∴3 IF+ IF+2 IF= ，
解得IF= ，
故I到AB的距离为
【知识点】二次根式的应用
【解析】【分析】（2）先根据三边长度求出p的值，再代入公式计算可得；（3）过点I作IF⊥AB、IG⊥AC、IH⊥BC，由角平分线性质可得IF=IH=IG，再根据S△ABC=S△ABI+S△ACI+S△BCI即可求得IF的长．
23．【答案】（1）2；-3
（2）解：设篱笆的长为 ，则宽为 ，∴篱笆的周长为 ,
∵ ，
∴ ，
当且仅当， 时，等号成立，解得 或 （舍去），
∴ =4，
∴长方形的长为8米、宽为4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是16米；
（3）解：设点B到AC的距离BE= ，点D到OC的距离DF= ，
∵ 、 的面积分别是8和14，
∴OA= ，OC= ，
∴AC=OA+OC= + ，
∴
( + )
= + + ，
∵ ，
∴ + ，
∴ + + ，
∴四边形 面积的最小值 .
【知识点】二次根式的应用；完全平方式
【解析】【解答】（1）∵ ，
∴ ，
∴式子 的最小值为为2，
故答案为：2；
∵ ，
∴ ＞
∴ ，
当且仅当， 时，等号成立，
解得 不符合题意，舍去，取 ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时，式子 取到最大值，
故答案为：-3；
【分析】(1 )直接套公式计算, 取相反数后, 套用公式计算即可；
(2 )设篱笆的长为x , 为 ，篱笆的周长为 ，最后套用公式计算即可；
(3)设点B到AC的距离BE=h1 , 点D到OC的距离DF=h2 , 用AC , h1 ,h2 ,表示四边形的面积，最后套用公式计算即可.
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