沪科版数学八年级下册第17章 一元二次方程 基础过关单元卷
一、单选题
1．（2023·青羊模拟）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022九上·西安开学考）用配方法解一元二次方程，下面配方正确的是
A． B．
C． D．
3．对于方程x2＋bx－2＝0，下面观点正确的是( )
A．方程有无实数根，要根据b的取值而定
B．无论b取何值，方程必有一正根、一负根
C．当b>0时，方程两根为正；b<0时．方程两根为负
D．∵－2<0，∴方程两根肯定为负
4．（2023九上·播州模拟）已知，是关于的方程的两个根，则的值为（ ）
A．2023 B．2022 C．2021 D．2020
5．（2020九上·埇桥月考） 是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021·泰安）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣ B．k＜
C．k＞﹣ 且k≠0 D．k＜ 且k≠0
7．（2022九上·海东期中）若两个连续奇数的积为63，则这两个数的和为（ ）
A．16 B．17 C．±16 D．±17
8．（2023·安徽模拟）随着“二胎政策”出生的孩子越来越大，纷纷到了入学年龄，某校2021年学生数比2020年增长了8.5%，2022年新学期开学统计，该校学生数又比2021年增长了9.6%，设2021、2022这两年该校学生数平均增长率为x，则x满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023九下·沙坪坝月考）一个等腰的底边为4，腰是方程的一个根.则这个等腰三角形的周长可能是（ ）
A．8 B．10 C．8或10 D．9
10．（2021九上·太原期中）如图，在活动课上，老师画出边长为2的正方形ABCD，让同学们按以下步骤完成画图：
⑴画出AD的中点E，连接BE；
⑵以点E为圆心，EB长为半径画弧，交DA的延长线于点F；
⑶以AF为边画正方形AFGH，点H在AB边上．在画出的图中有一条线段的长是方程x2+2x﹣4＝0的一个根．这条线段是（ ）
A．线段BH B．线段BE C．线段AE D．线段AH
二、填空题
11．（2023九上·凤凰期末）已知：是关于x的一元二次方程，则m= .
12．（2023九下·沭阳月考）已知m是方程的一个根，则代数式的值为
13．（2023九下·长沙月考）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数t的值为 .
14．（2022九上·乐亭期中）如图，用120米长的围网围建一个面积为560平方米的矩形养殖场．为了节省材料，养殖场的一边靠墙（墙足够长），并在如图的两个位置各开出一个1米宽的门（门不用围网做）．设矩形AB边长为x米，请依题意列方程： ．
15．（2022九上·沈北期中）如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动，动点从点出发，沿方向运动，如果点，同时出发，，的运动速度均为．那么运动 秒时，它们相距．
三、计算题
16．（2022九上·西安月考）解方程：
（1）
（2）
17．（2022八下·龙口期末）解方程：
（1）3x2-5x+1=0（配方法）；
（2）(x+3)(x-1)=5（公式法）．
四、解答题
18．（2021九上·集宁期中）已知关于x的一元二次方程x2＋（2m﹣3）x＋m2＝0的两个不相等的实数根α，β满足 ＋ ＝1，求m的值．
五、综合题
19．（2023九下·广水月考）已知、是关于的一元二次方程的两个实数根.
（1）求的取值范围；
（2）是否存在实数根，使成立，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
20．（2022·南宁模拟）有两个人患了流感，经过两轮传染后共有242人患了流感.
（1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）若一个患流感的人打一个喷嚏喷出的病毒粒子（忽略触角近似于球体）达8000万个，且该流感病毒粒子的直径为160纳米.请完成下列填空及问题：
①用科学记数法表示数据8000万个为 个；
②如图，若把8000万个病毒粒子最大纵切面圆面相切放在一条直线上，求这些病毒粒子纵切面的总直径是多少米？（参考数据：1纳米米）
21．（2022九上·津南期中）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果，两点分别从，两点同时出发，设运动时间为．
（1）用含x的式子表示：
，
，
，
（2）当的面积为时，求运动时间；
（3）四边形的面积能否等于？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由．
22．（2023九上·临渭期末）2022年北京冬季奥运会于2月4日至2月20日在北京市和河北省张家口市联合举行，冬奥会吉祥物为“冰墩墩”.
（1）据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产500个“冰墩墩”，为增大生产量，该工厂平均每月生产量增长率相同，四月份该工厂生产了720个“冰墩墩”，求该工厂平均每月生产量增长率是多少？
（2）已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售20个，每个盈利40元，在每个降价幅度不超过10元的情况下，每下降2元，则每天可多售10件.如果每天要盈利1440元，则每个“冰墩墩”应降价多少元？
23．（2023九上·安岳期末）定义：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”.如：一元二次方程的两根为，因，，所以一元二次方程为“限根方程”.
请阅读以上材料，回答下列问题：
（1）判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由；
（2）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且两根满足，求k的值；
（3）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、，二个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
B、，当时，是一元一次方程，故该选项不符合题意；
C、整理后得，不含二次项，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
D、，是一元二次方程，故该选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程称为一元二次方程，据此判断.
2．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由原方程得，
，
，
．
故答案为：A．
【分析】将常数项移到方程右边，方程两边都除以2将二次项系数化为1，然后在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方“”，最后将方程左边写成完全平方式即可.
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】A、方程有无实数根，不是b的取值确定的；
B、无论b取何值，方程必有一正根，一负根，是正确的．
C、当b＞0时，方程两根不一定为正；当b＜0时，方程两根也不一定为负；
D、要先判断有无实数根，才能确定根的情况；
【解答】△=b2-4ac=b2-4×1×（-2)=b2+8，
∵b2≥0，
∴△＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
设方程的两根是x1、x2，那么
x1x2==-2，
又∵x1、x2不相等，
∴x1、x2必然异号．
故选B．
【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是知道一个方程有无实数根，只与根的判别式有关，要先判断方程有根，才能根据根与系数的关系确定根的情况．
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵，是关于的方程的两个根，
∴，，
∴，
∴
.
故答案为：B.
【分析】根据方程解的概念可得x12=x1+2023，根据根与系数的关系可得x1+x2=1，然后代入进行计算.
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解：对于一元二次方程 ，方程的根为： ．
因为 ，所以 ， ， ，
所以对应的一元二次方程是： ．
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程的求根公式解答即可．
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解：根据题意可得，（2k-1）2-4×k×（k-2）＞0，k≠0
4k2+1-4k-4k（k-2）＞0
4k2+1-4k-4k2+8k＞0
4k+1＞0
4k＞-1
k＞-
∴k＞-且k≠0
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程的含义、一元二次方程根的判别式，计算得到k的取值范围。
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】设两个奇数其中较小的为x，则另一个为x＋2；因为它们的积为63，所以，解得，；所以当时，另一个数为9，其和为16，当时，另一个为-7，其和为-16
故答案为：C
【分析】设两个奇数其中较小的为x，则另一个为x＋2，根据题意列出方程，再求解即可。
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设2021、2022这两年该校学生数平均增长率为x，2020年学生数为a，
由题意得：，
整理得：，
故答案为：D．
【分析】设2021、2022这两年该校学生数平均增长率为x，2020年学生数为a，根据题意列出方程，再求解即可。
9．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴或，
∴或，
当三边是2，2，4时，
∵2+2=4，
∴此时不符合三角形三边关系定理，舍去；
当三边是3，3，4时，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是.
故答案为：B.
【分析】利用因式分解法求出方程的解，再利用三角形的三边关系定理，可确定出这个等腰三角形的腰长，然后求出其周长.
10．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程；一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：
， （舍去）
由题意可得： ， ，
∵E为AD的中点
∴
由勾股定理可得：
∴线段AH的长为方程 的一个根
故答案为：D
【分析】先求出 ， ， ，再利用勾股定理求出BE的值，最后求解即可。
11．【答案】-3
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：根据一元二次方程的定义可得： ，
解得：.
故答案为：-3.
【分析】含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程称为一元二次方程，则m-1≠0且|m+2|=2，联立求解可得m的值.
12．【答案】2023
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵m是方程的一个根，
∴，
∴，
∴.
故答案为：2023
【分析】根据方程解的概念可得m2+2m=1，待求式可变形为2(m2+2m)+2021，据此计算.
13．【答案】1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，即，
解得，
故答案为：1.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此并结合题意列出关于字母t的方程，求解即可.
14．【答案】x（120+2-2x）＝560
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵围网的总长为120米，两个位置有两个一米宽的门，且矩形AB边长为x米，
∴矩形BC边长为（120+2-2x）米．
依题意得：x（120+2-2x）＝560．
故答案为：x（120+2-2x）＝560．
【分析】根据题意先求出矩形BC边长为（120+2-2x）米，再列方程即可。
15．【答案】9或12
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设运动秒时，，两点相距15厘米，
依题意，得：，
解得：，，
运动9秒或12秒时，，两点相距15厘米；
故答案为：9或12．
【分析】设运动t秒时，，两点相距15厘米，根据题意列出方程，再求出t的值即可。
16．【答案】（1）解：，，，
，
，
，
（2）解：原方程可化为：，
，
，
或，
，
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）观察方程特点：可以利用因式分解法求方程的解；也可以用公式法解方程，先求出b2-4ac的值，再代入求根公式求出y的值.
（2）先移项，将方程左边利用平方差公式分解因式，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，然后求出方程的解.
17．【答案】（1）解：方程整理得x2-x=-，
配方得x2-x+=-+，即（x-）2=，
开方得x-=，
∴x1=，x2=；
（2）解：方程整理得x2+2x-8=0，
∴a=1，b=2，c=-8，
则△=22-4×1×(-8)=36＞0，
∴x=，
∴x1=2，x2=-4.
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用配方法求解一元二次方程即可；
（2）利用公式法求解一元二次方程即可。
18．【答案】解：由题意知：α+β＝ （2m 3）＝3 2m，αβ＝m2，
由 ＋ ＝1，即 可得 ，
解得：m＝1或m＝ 3，
经检验：它们都是原方程的根，
由判别式大于零，得（2m 3）2 4m2＞0，
解得m＜ ，
∴m＝ 3．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得：α+β＝ （2m 3）＝3 2m，αβ＝m2，再结合 ＋ ＝1，将数据代入计算即可。
19．【答案】（1）解：由题意得：
解得：
即：的取值范围为：；
（2）解：存在，
由根与系数的关系得：
，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得： ，
∵，
∴.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据方程有两个实数根可得△=b2-4ac≥0，代入求解可得m的范围；
（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=2(m+1)，x1x2=m2+3，则(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=m+6，代入求解可得m的值.
20．【答案】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
由题意得：，
解得（不符题意，舍去），
答：每轮传染中平均一个人传染了10个人.
（2）解：①
②（米），
答：这些病毒粒子最大纵切面的总直径是米.
【知识点】科学记数法表示大于10的数；有理数混合运算的实际应用；一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：（2）①8000万，
故答案为：；
【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则经过两轮传染后共有2(1+x)2人患了流感，结合题意可得关于x的方程，求解即可；
（2）①8000万=80000000，然后表示为a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1；
②根据直径×个数=总米数可得最大纵切面的总直径为160×10-9×8000万，然后计算即可.
21．【答案】（1）2x；（12-2x）；4x
（2）解：，
，
∴，
解得：或4，
当的面积为时，或4；
（3）解：四边形的面积不能等于172，理由如下：
，
∴，
解得或，
，
四边形的面积不可能等于
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：，，
∵
，
故答案为：2x；（12-2x）；4x；
【分析】（1）根据题意直接求出代数式即可；
（2）利用三角形的面积公式可得，再将S=32代入，求出x的值即可；
（3）根据题意列出方程，再求出x的值，即可得到x的取值范围。
22．【答案】（1）解：设该工厂平均每月生产量的增长率为，
依题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）.
答：该工厂平均每月生产量的增长率为.
（2）解：设每个“冰墩墩”降价y元，则每个盈利元，平均每天可售出个，
依题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）.
答：每个“冰墩墩”应降价4元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该工厂平均每月生产量的增长率为x，由题意可得三月份共生产500(1+x)个“冰墩墩”， 四月份共生产500(1+x)2个“冰墩墩”，然后根据四月份该工厂生产了720个“冰墩墩”建立方程，求解即可；
（2）设每个“冰墩墩”降价y元，则每个盈利(40-y)元，平均每天可售出(20+5y)个，根据每天的销售量×每个的利润=总利润结合题意可得关于y的方程，求解即可.
23．【答案】（1）解：，
，
∴或，
∴.
∵，，
∴此方程为“限根方程”；
（2）解：∵方程的两个根分比为，
∴， .
∵，
∴，
解得：，.
分类讨论：①当时，原方程为，
∴，，
∴，，
∴此时方程是“限根方程”，
∴符合题意；
②当时，原方程为，
∴，，
∴，，
∴此时方程不是“限根方程”，
∴不符合题意.
综上可知k的值为2；
（3）解：，
，
∴或，
∴或.
∵此方程为“限根方程”，
∴此方程有两个不相等的实数根，
∴，且，
∴，即，
∴且.
分类讨论：①当时，
∴，
∵，
∴，
解得：；
②当时，
∴，
∵，
∴，
解得：.
综上所述，m的取值范围为或.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系；定义新运算
【解析】【分析】（1）利用因式分解可得方程x2+9x+14=0的解，然后根据“限根方程”的概念进行判断；
（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=，x1x2=，根据x1+x2+x1x2=-1可得k的值，然后求出方程的两根，结合“限根方程”的概念就可得到k的值；
（3）利用因式分解可得x=-1或m，由“限根方程”的概念△>0且m<0、m≠-1，代入求解可得m的范围，然后分-11 / 1沪科版数学八年级下册第17章 一元二次方程 基础过关单元卷
一、单选题
1．（2023·青羊模拟）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、，二个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
B、，当时，是一元一次方程，故该选项不符合题意；
C、整理后得，不含二次项，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
D、，是一元二次方程，故该选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程称为一元二次方程，据此判断.
2．（2022九上·西安开学考）用配方法解一元二次方程，下面配方正确的是
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由原方程得，
，
，
．
故答案为：A．
【分析】将常数项移到方程右边，方程两边都除以2将二次项系数化为1，然后在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方“”，最后将方程左边写成完全平方式即可.
3．对于方程x2＋bx－2＝0，下面观点正确的是( )
A．方程有无实数根，要根据b的取值而定
B．无论b取何值，方程必有一正根、一负根
C．当b>0时，方程两根为正；b<0时．方程两根为负
D．∵－2<0，∴方程两根肯定为负
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】A、方程有无实数根，不是b的取值确定的；
B、无论b取何值，方程必有一正根，一负根，是正确的．
C、当b＞0时，方程两根不一定为正；当b＜0时，方程两根也不一定为负；
D、要先判断有无实数根，才能确定根的情况；
【解答】△=b2-4ac=b2-4×1×（-2)=b2+8，
∵b2≥0，
∴△＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
设方程的两根是x1、x2，那么
x1x2==-2，
又∵x1、x2不相等，
∴x1、x2必然异号．
故选B．
【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是知道一个方程有无实数根，只与根的判别式有关，要先判断方程有根，才能根据根与系数的关系确定根的情况．
4．（2023九上·播州模拟）已知，是关于的方程的两个根，则的值为（ ）
A．2023 B．2022 C．2021 D．2020
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵，是关于的方程的两个根，
∴，，
∴，
∴
.
故答案为：B.
【分析】根据方程解的概念可得x12=x1+2023，根据根与系数的关系可得x1+x2=1，然后代入进行计算.
5．（2020九上·埇桥月考） 是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解：对于一元二次方程 ，方程的根为： ．
因为 ，所以 ， ， ，
所以对应的一元二次方程是： ．
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程的求根公式解答即可．
6．（2021·泰安）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣ B．k＜
C．k＞﹣ 且k≠0 D．k＜ 且k≠0
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解：根据题意可得，（2k-1）2-4×k×（k-2）＞0，k≠0
4k2+1-4k-4k（k-2）＞0
4k2+1-4k-4k2+8k＞0
4k+1＞0
4k＞-1
k＞-
∴k＞-且k≠0
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程的含义、一元二次方程根的判别式，计算得到k的取值范围。
7．（2022九上·海东期中）若两个连续奇数的积为63，则这两个数的和为（ ）
A．16 B．17 C．±16 D．±17
【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】设两个奇数其中较小的为x，则另一个为x＋2；因为它们的积为63，所以，解得，；所以当时，另一个数为9，其和为16，当时，另一个为-7，其和为-16
故答案为：C
【分析】设两个奇数其中较小的为x，则另一个为x＋2，根据题意列出方程，再求解即可。
8．（2023·安徽模拟）随着“二胎政策”出生的孩子越来越大，纷纷到了入学年龄，某校2021年学生数比2020年增长了8.5%，2022年新学期开学统计，该校学生数又比2021年增长了9.6%，设2021、2022这两年该校学生数平均增长率为x，则x满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设2021、2022这两年该校学生数平均增长率为x，2020年学生数为a，
由题意得：，
整理得：，
故答案为：D．
【分析】设2021、2022这两年该校学生数平均增长率为x，2020年学生数为a，根据题意列出方程，再求解即可。
9．（2023九下·沙坪坝月考）一个等腰的底边为4，腰是方程的一个根.则这个等腰三角形的周长可能是（ ）
A．8 B．10 C．8或10 D．9
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴或，
∴或，
当三边是2，2，4时，
∵2+2=4，
∴此时不符合三角形三边关系定理，舍去；
当三边是3，3，4时，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是.
故答案为：B.
【分析】利用因式分解法求出方程的解，再利用三角形的三边关系定理，可确定出这个等腰三角形的腰长，然后求出其周长.
10．（2021九上·太原期中）如图，在活动课上，老师画出边长为2的正方形ABCD，让同学们按以下步骤完成画图：
⑴画出AD的中点E，连接BE；
⑵以点E为圆心，EB长为半径画弧，交DA的延长线于点F；
⑶以AF为边画正方形AFGH，点H在AB边上．在画出的图中有一条线段的长是方程x2+2x﹣4＝0的一个根．这条线段是（ ）
A．线段BH B．线段BE C．线段AE D．线段AH
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程；一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：
， （舍去）
由题意可得： ， ，
∵E为AD的中点
∴
由勾股定理可得：
∴线段AH的长为方程 的一个根
故答案为：D
【分析】先求出 ， ， ，再利用勾股定理求出BE的值，最后求解即可。
二、填空题
11．（2023九上·凤凰期末）已知：是关于x的一元二次方程，则m= .
【答案】-3
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：根据一元二次方程的定义可得： ，
解得：.
故答案为：-3.
【分析】含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程称为一元二次方程，则m-1≠0且|m+2|=2，联立求解可得m的值.
12．（2023九下·沭阳月考）已知m是方程的一个根，则代数式的值为
【答案】2023
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵m是方程的一个根，
∴，
∴，
∴.
故答案为：2023
【分析】根据方程解的概念可得m2+2m=1，待求式可变形为2(m2+2m)+2021，据此计算.
13．（2023九下·长沙月考）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数t的值为 .
【答案】1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，即，
解得，
故答案为：1.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此并结合题意列出关于字母t的方程，求解即可.
14．（2022九上·乐亭期中）如图，用120米长的围网围建一个面积为560平方米的矩形养殖场．为了节省材料，养殖场的一边靠墙（墙足够长），并在如图的两个位置各开出一个1米宽的门（门不用围网做）．设矩形AB边长为x米，请依题意列方程： ．
【答案】x（120+2-2x）＝560
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵围网的总长为120米，两个位置有两个一米宽的门，且矩形AB边长为x米，
∴矩形BC边长为（120+2-2x）米．
依题意得：x（120+2-2x）＝560．
故答案为：x（120+2-2x）＝560．
【分析】根据题意先求出矩形BC边长为（120+2-2x）米，再列方程即可。
15．（2022九上·沈北期中）如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动，动点从点出发，沿方向运动，如果点，同时出发，，的运动速度均为．那么运动 秒时，它们相距．
【答案】9或12
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设运动秒时，，两点相距15厘米，
依题意，得：，
解得：，，
运动9秒或12秒时，，两点相距15厘米；
故答案为：9或12．
【分析】设运动t秒时，，两点相距15厘米，根据题意列出方程，再求出t的值即可。
三、计算题
16．（2022九上·西安月考）解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：，，，
，
，
，
（2）解：原方程可化为：，
，
，
或，
，
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）观察方程特点：可以利用因式分解法求方程的解；也可以用公式法解方程，先求出b2-4ac的值，再代入求根公式求出y的值.
（2）先移项，将方程左边利用平方差公式分解因式，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，然后求出方程的解.
17．（2022八下·龙口期末）解方程：
（1）3x2-5x+1=0（配方法）；
（2）(x+3)(x-1)=5（公式法）．
【答案】（1）解：方程整理得x2-x=-，
配方得x2-x+=-+，即（x-）2=，
开方得x-=，
∴x1=，x2=；
（2）解：方程整理得x2+2x-8=0，
∴a=1，b=2，c=-8，
则△=22-4×1×(-8)=36＞0，
∴x=，
∴x1=2，x2=-4.
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用配方法求解一元二次方程即可；
（2）利用公式法求解一元二次方程即可。
四、解答题
18．（2021九上·集宁期中）已知关于x的一元二次方程x2＋（2m﹣3）x＋m2＝0的两个不相等的实数根α，β满足 ＋ ＝1，求m的值．
【答案】解：由题意知：α+β＝ （2m 3）＝3 2m，αβ＝m2，
由 ＋ ＝1，即 可得 ，
解得：m＝1或m＝ 3，
经检验：它们都是原方程的根，
由判别式大于零，得（2m 3）2 4m2＞0，
解得m＜ ，
∴m＝ 3．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得：α+β＝ （2m 3）＝3 2m，αβ＝m2，再结合 ＋ ＝1，将数据代入计算即可。
五、综合题
19．（2023九下·广水月考）已知、是关于的一元二次方程的两个实数根.
（1）求的取值范围；
（2）是否存在实数根，使成立，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：由题意得：
解得：
即：的取值范围为：；
（2）解：存在，
由根与系数的关系得：
，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得： ，
∵，
∴.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据方程有两个实数根可得△=b2-4ac≥0，代入求解可得m的范围；
（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=2(m+1)，x1x2=m2+3，则(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=m+6，代入求解可得m的值.
20．（2022·南宁模拟）有两个人患了流感，经过两轮传染后共有242人患了流感.
（1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）若一个患流感的人打一个喷嚏喷出的病毒粒子（忽略触角近似于球体）达8000万个，且该流感病毒粒子的直径为160纳米.请完成下列填空及问题：
①用科学记数法表示数据8000万个为 个；
②如图，若把8000万个病毒粒子最大纵切面圆面相切放在一条直线上，求这些病毒粒子纵切面的总直径是多少米？（参考数据：1纳米米）
【答案】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
由题意得：，
解得（不符题意，舍去），
答：每轮传染中平均一个人传染了10个人.
（2）解：①
②（米），
答：这些病毒粒子最大纵切面的总直径是米.
【知识点】科学记数法表示大于10的数；有理数混合运算的实际应用；一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：（2）①8000万，
故答案为：；
【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则经过两轮传染后共有2(1+x)2人患了流感，结合题意可得关于x的方程，求解即可；
（2）①8000万=80000000，然后表示为a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1；
②根据直径×个数=总米数可得最大纵切面的总直径为160×10-9×8000万，然后计算即可.
21．（2022九上·津南期中）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果，两点分别从，两点同时出发，设运动时间为．
（1）用含x的式子表示：
，
，
，
（2）当的面积为时，求运动时间；
（3）四边形的面积能否等于？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由．
【答案】（1）2x；（12-2x）；4x
（2）解：，
，
∴，
解得：或4，
当的面积为时，或4；
（3）解：四边形的面积不能等于172，理由如下：
，
∴，
解得或，
，
四边形的面积不可能等于
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：，，
∵
，
故答案为：2x；（12-2x）；4x；
【分析】（1）根据题意直接求出代数式即可；
（2）利用三角形的面积公式可得，再将S=32代入，求出x的值即可；
（3）根据题意列出方程，再求出x的值，即可得到x的取值范围。
22．（2023九上·临渭期末）2022年北京冬季奥运会于2月4日至2月20日在北京市和河北省张家口市联合举行，冬奥会吉祥物为“冰墩墩”.
（1）据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产500个“冰墩墩”，为增大生产量，该工厂平均每月生产量增长率相同，四月份该工厂生产了720个“冰墩墩”，求该工厂平均每月生产量增长率是多少？
（2）已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售20个，每个盈利40元，在每个降价幅度不超过10元的情况下，每下降2元，则每天可多售10件.如果每天要盈利1440元，则每个“冰墩墩”应降价多少元？
【答案】（1）解：设该工厂平均每月生产量的增长率为，
依题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）.
答：该工厂平均每月生产量的增长率为.
（2）解：设每个“冰墩墩”降价y元，则每个盈利元，平均每天可售出个，
依题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）.
答：每个“冰墩墩”应降价4元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该工厂平均每月生产量的增长率为x，由题意可得三月份共生产500(1+x)个“冰墩墩”， 四月份共生产500(1+x)2个“冰墩墩”，然后根据四月份该工厂生产了720个“冰墩墩”建立方程，求解即可；
（2）设每个“冰墩墩”降价y元，则每个盈利(40-y)元，平均每天可售出(20+5y)个，根据每天的销售量×每个的利润=总利润结合题意可得关于y的方程，求解即可.
23．（2023九上·安岳期末）定义：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”.如：一元二次方程的两根为，因，，所以一元二次方程为“限根方程”.
请阅读以上材料，回答下列问题：
（1）判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由；
（2）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且两根满足，求k的值；
（3）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围.
【答案】（1）解：，
，
∴或，
∴.
∵，，
∴此方程为“限根方程”；
（2）解：∵方程的两个根分比为，
∴， .
∵，
∴，
解得：，.
分类讨论：①当时，原方程为，
∴，，
∴，，
∴此时方程是“限根方程”，
∴符合题意；
②当时，原方程为，
∴，，
∴，，
∴此时方程不是“限根方程”，
∴不符合题意.
综上可知k的值为2；
（3）解：，
，
∴或，
∴或.
∵此方程为“限根方程”，
∴此方程有两个不相等的实数根，
∴，且，
∴，即，
∴且.
分类讨论：①当时，
∴，
∵，
∴，
解得：；
②当时，
∴，
∵，
∴，
解得：.
综上所述，m的取值范围为或.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系；定义新运算
【解析】【分析】（1）利用因式分解可得方程x2+9x+14=0的解，然后根据“限根方程”的概念进行判断；
（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=，x1x2=，根据x1+x2+x1x2=-1可得k的值，然后求出方程的两根，结合“限根方程”的概念就可得到k的值；
（3）利用因式分解可得x=-1或m，由“限根方程”的概念△>0且m<0、m≠-1，代入求解可得m的范围，然后分-11 / 1
