第十章 概率 单元练习（含解析）

第十章概率单元练习
2022-2023学年下学期高一数学人教A版（2019）必修第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．坛子中放有3个白球、2个黑球，从中不放回地取球2次，每次取1个球，用表示“第一次取得白球”，表示“第二次取得白球”，则和是（ ）
A．互斥的事件 B．相互独立的事件
C．对立的事件 D．不相互独立的事件
2．某天下课以后，教室里最后剩下两名男同学和两名女同学，若没有两位同学一起走，则第二位走的是男同学的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．从年北京冬奥会、冬残奥会志愿者的人中随机抽取人，测得他们的身高分别为（单位：） ：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，根据样本频率分布估计总体分布的原理，在所有志愿者中任抽取一人身高在之间的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．如图是某位篮球运动员场比赛得分的茎叶图，其中一个数据染上污渍用代替，则这位运动员这场比赛的得分平均数不小于得分中位数的概率为（ ）
A． B．
C． D．
5．连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为m，n，记，则下列说法正确的是（ ）
A．事件“”的概率为 B．事件“t是奇数”与“”互为对立事件
C．事件“”与“”互为互斥事件 D．事件“且”的概率为
6．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有一个红球与都是黑球 B．至少有一个黑球与都是黑球
C．至少有一个黑球与至少有1个红球 D．恰有1个黑球与恰有2个黑球
7．袋子中有大小、形状、质地完全相同的4个小球，分别写有“风”、“展”、“红”、“旗”四个字，若有放回地从袋子中任意摸出一个小球，直到写有“红”、“旗”的两个球都摸到就停止摸球.利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，用1，2，3，4分别代表“风”、“展”、“红”、“旗”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：
411 231 324 412 112 443 213 144 331 123
114 142 111 344 312 334 223 122 113 133
由此可以估计，恰好在第三次就停止摸球的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．下列说法正确的个数有（ ）
（1）掷一枚质地均匀的的骰子一次，事件M=“出现偶数点”，N=“出现3点或 6 点”.则 和 相互独立；
（2）袋中有大小质地相同的 3 个白球和 1 个红球.依次不放回取出 2 个球，则“两球同色”的概率是 ；
（3）甲乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶率为0.8，乙的中标率为0.9，则“至少一人中靶”的概率为0.98；
（4）柜子里有三双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，那么“取出地鞋不成双”的概率是 ；
A． B．2 C．3 D．4
9．从数字中任取三个不同的数字，则所抽取的三个数字之和能被整除的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．在新冠疫情的冲击下，全球经济受到重创，右图是各国公布的2020年第二季度国内生产值（GDP）同比增长率，现从这5个国家中任取2个国家，则这2个国家中第二季度GDP同比增长率至少有1个低于的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲乙两人先后参加抽奖活动，每人从中不放回抽取一张奖券，甲先抽，乙后抽，在甲中奖条件下，乙没有中奖的概率为（ ）
A． B． C． D．
12．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．某天，齐王与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹，每匹马赛一次，赢得两局者为胜，则田忌获胜概率为（ ）．
A． B． C． D．
13．下列命题中正确的是（ ）
A．事件发生的概率等于事件发生的频率
B．一个质地均匀的骰子掷一次得到3点的概率是，说明这个骰子掷6次一定会出现一次3点
C．掷两枚质地均匀的硬币，事件为“一枚正面朝上，一枚反面朝上”，事件为“两枚都是正面朝上”，则
D．对于两个事件、，若，则事件与事件互斥
14．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋(表示事件B的对立事件)发生的概率为（ ）
A． B． C． D．
15．素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜想.世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义孪生素数猜想”：对所有自然数，存在无穷多个素数对.其中当时，称为“孪生素数”，时，称为“表兄弟素数”.在不超过的素数中，任选两个不同的素数 ()，令事件为孪生素数}，为表兄弟素数}，，记事件 发生的概率分别为 ，则下列关系式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
16．一个数字不重复的三位数的百位、十位、个位上的数字依次记为，，，当且仅当，，中有两个不同数字的和等于剩下的一个数字时，称这个三位数为“有缘数”（如213，341等）．现从1，2，3，4这四个数字中任取三个数组成一个数字不重复的三位数，则这个三位数为“有缘数”的概率是______．
17．对两个相互独立的事件和，如，，则______．
18．若随机事件、互斥，、发生的概率均不等于0，且分别为，，则实数a的取值范围为_____．
19．从，，，，这五个数中，随机抽取一个数，作为正比例函数和二次函数中的的值，恰好使所得的正比例函数的图象经过第二、四象限，且二次函数的图象的开口向上的概率为________．
20．若三个原件A，B，C按照如图的方式连接成一个系统，每个原件是否正常工作不受其他元件的影响，当原件A正常工作且B，C中至少有一个正常工作时，系统就正常工作，若原件A，B，C正常工作的概率依次为0.7，0.8，0.9，则这个系统正常工作的概率为______
三、解答题
21．某场知识竞赛比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，若各家庭回答是否正确互不影响.
(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率.
22．如图是某校高三（1）班的一次数学知识竞赛成绩的茎叶图（图中仅列出、的数据）和频率分布直方图.
(1)求全班人数以及频率分布直方图中的、；
(2)估计学生竞赛成绩的平均数和中位数（保留两位小数）.
(3)从得分在和中学生中随机抽取两人，求所抽取的两人中至少有一人的得分在区间的概率是多少？
23．在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病：为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过6的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计图：
（1）求样本中患病者的人数和图中a，b的值；
（2）试估计此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数；
（3）某研究机构提出，可以选取常数，若一名从业者该项身体指标检测值大于，则判定其患有这种职业病；若检测值小于，则判定其未患有这种职业病.从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患病，求判断错误的概率.
24．某校社团活动深受学生欢迎，每届高一新生都踊跃报名加入.现已知高一某班60名同学中有4名男同学和2名女同学参加摄影社，在这6名同学中，2名同学初中毕业于同一所学校，其余4名同学初中毕业于其他4所不同的学校现从这6名同学中随机选取2名同学代表社团参加校际交流（每名同学被选到的可能性相同).
（1）在该班随机选取1名同学，求该同学参加摄影社的概率；
（2）求从这6名同学中选出的2名同学代表至少有1名女同学的概率；
（3）求从这6名同学中选出的2名同学代表来自不同的初中学校的概率.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．D
【分析】根据互斥事件、对立事件、相互独立事件的知识确定正确答案.
【详解】设白球编号为，黑球的编号为，
从坛子中不放回地取球2次，基本事件有，
，,
，所以和是不相互独立的事件.
基本事件包括“第次取到白球，第次取到白球”，即和可以同时发生，
所以和不是互斥，也不是对立事件.
故选：D
2．C
【分析】根据古典概率模型计算概率即可.
【详解】由题意知本题是一个等可能事件的概率，
∵试验发生包含的事件是个同学要第二个离开教室，共有种结果，
满足条件的事件是第二位走的是男同学，共有种结果，
∴根据等可能事件的概率得到，
故选：C.
3．B
【分析】根据题意，分析人的数据可得，身高在之间的人数，由等可能事件概率的计算可得答案.
【详解】根据题意，分析人的数据可得，身高在之间的有人，
则在志愿者中任抽取一人身高在之间的概率为.
故选:B.
4．B
【分析】根据茎叶图，结合中位数的定义、平均数的定义、古典概型的运算公式进行求解即可.
【详解】根据篮球的得分规则可知，、、、、、、、、、，共种可能，
无论取何值，则位于中间的两个数为：、，则中位数为，
得分的平均数为，由，得，
即，∴、、，共有种，
∴这位运动员这场比赛的得分平均数不小于得分中位数的概率为，
故选：B.
5．D
【分析】计算出事件“t＝12”的概率可判断A；根据对立事件的概念，可判断B；根据互斥事件的概念，可判断C；计算出事件“t＞8且mn＜32”的概率可判断D；
【详解】连掷一枚均匀的骰子两次，
所得向上的点数分别为m，n，则共有个基本事件，
记t＝m＋n，
则事件“t＝12”必须两次都掷出6点，则事件“t＝12”的概率为，故A错误；
事件“t是奇数”与“m＝n”为互斥不对立事件,如事件m=3,n=5，故B错误；
事件“t＝2”与“t≠3”不是互斥事件，故C错误；
事件“t＞8且mn＜32”有
共9个基本事件，
故事件“t＞8且mn＜32”的概率为，故D正确；
故选：D．
6．D
【分析】根据互斥事件以及对立事件的定义逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.
【详解】从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，可能为：1红1黑、2红、2黑，
对于A：至少有一个红球包括1红1黑、2红，与都是黑球是对立事件，不符合题意，故选项A不正确；
对于B：至少有一个黑球包括1红1黑、2黑，与都是黑球不是互斥事件，不符合题意，故选项B不正确；
对于C：至少有一个黑球包括1红1黑、2黑，至少有1个红球包括1红1黑、2红，这两个事件不是互斥事件，不符合题意，故选项C不正确；
对于D：恰有1个黑球与恰有2个黑球是互斥事件而不是对立事件，符合题意，故选项D正确；
故选：D.
7．B
【分析】利用列举法求出恰好在第三次就停止摸球的随机数有3个，再利用古典概型的概率求解.
【详解】由题得恰好在第三次就停止摸球的随机数有：324，443，334，共有3个.
由古典概型的概率公式得恰好在第三次就停止摸球的概率为.
故选：B
8．C
【分析】由概率的相关知识逐一判断即可
【详解】对于（1）：掷一枚质地均匀的的骰子一次，，，
，即，故事件和相互独立；（1）正确；
对于（2）：袋中有大小质地相同的 3 个白球和 1 个红球.依次不放回取出 2 个球，若“两球同色”则都是白球，则“两球同色”的概率是 ，（2）错误；
对于（3）：“至少一人中靶”的概率为，（3）正确；
对于（4）：柜子里有三双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，共有种，
取出的鞋成双的只有3种，那么“取出的鞋不成双”有15-3=12种，所以“取出的鞋不成双”的概率是，（4）正确
综上可知正确的有（1）（3）（4）
故选：C
9．C
【分析】利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.
【详解】从数字中任取三个不同的数字，方法有：共种，
其中所抽取的三个数字之和能被整除的有：共种，
故所求概率为.
故选：C
10．D
【分析】利用列举法求解即可
【详解】解：令中国、澳大利亚、印度、英国、美国的2020年第二季度国内生产值（GDP）同比增长率分别为A，B，C，D，E，其中C，D都低于，
则从这5个国家中任取2个国家有：
AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10种，
其中至少有1个低于有AC，AD，BC，BD，CD，CE，DE共7种，
所以所求概率为.
故选：D.
11．B
【分析】根据题意，分析甲先抽，并且中奖后剩余的奖券和“中奖”奖券的数目，由古典摡型的概率计算公式，即可求解.
【详解】根据题意，10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲先抽，并且中奖，
此时还有9张奖券，其中3张为“中奖”奖券，
则在甲中奖条件下，乙没有中奖的概率.
故选：B.
12．B
【分析】设齐王的三匹马分别为，田忌的三匹马分别为，列举所有比赛的情况，利用古典概型的概率公式计算即可得出结果.
【详解】设齐王的三匹马分别为，田忌的三匹马分别为，所有比赛的情况:：
、、，齐王获胜三局；
、、，齐王获胜两局；
、、，齐王获胜两局；
、、，齐王获胜两局；
、、，田忌获胜两局；
、、，齐王获胜两局，共6种情况，则田忌胜1种情况，故概率为
故选：B
【点睛】本题考查了古典概型的概率计算问题，考查了理解辨析和数学运算能力，属于中档题目.
13．C
【解析】根据频率与概率的关系判断即可得A选项错误；根据概率的意义即可判断B选项错误；根据古典概型公式计算即可得C选项正确；举例说明即可得D选项错误.
【详解】解：对于A选项，频率与实验次数有关，且在概率附近摆动，故A选项错误；
对于B选项，根据概率的意义，一个质地均匀的骰子掷一次得到3点的概率是，表示一次实验发生的可能性是，故骰子掷6次出现3点的次数也不确定，故B选项错误；
对于C选项，根据概率的计算公式得，，故，故C选项正确；
对于D选项，设，A事件表示从中任取一个数，使得的事件，则，B事件表示从中任取一个数，使得的事件，则，显然，此时A事件与B事件不互斥，故D选项错误.
【点睛】本题考查概率与频率的关系，概率的意义，互斥事件等，解题的关键在于D选项的判断，适当的举反例求解即可.
14．C
【分析】由题意知试验发生包含的所有事件共有6种，事件和事件是互斥事件，看出事件和事件包含的基本事件数，根据互斥事件和古典概型概率公式得到结果．
【详解】解：事件表示“小于5的点数出现”，
的对立事件是“大于或等于5的点数出现”，
表示事件是出现点数为5和6．
事件表示“小于5的偶数点出现”，
它包含的事件是出现点数为2和4，
，
．
故选：C．
15．D
【解析】根据素数的定义，一一列举出不超过的所有素数，共10个，根据组合运算，得出随机选取两个不同的素数、()，有(种)选法，从而可列举出事件、、的所有基本事件，最后根据古典概率分别求出和，从而可得出结果.
【详解】解：不超过的素数有、、、、、、、、、，共10个，
随机选取两个不同的素数、()，有(种)选法，
事件发生的样本点为、、、共4个，
事件发生的样本点为、、、共4个，
事件发生的样本点为、、、、、
、、、、，共个，
∴，，
故.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题考查与素数相关的新定义，考查古典概型的实际应用和利用列举法求古典概型，考查组合数的计算，解题的关键在于理解素数的定义，以及对题目新定义的理解，考查知识运用能力.
16．##
【分析】首先求出基本事件总数，再求出满足“有缘数”的数字个数，再根据古典概型的概率公式计算可得；
【详解】解：从1，2，3，4这四个数字中任取三个数组成一个数字不重复的三位数的个数为，
1，2，3，4这四个数字中两个的和等于第三个的有123，134，因此“有缘数”个数为，
所以这个三位数为“有缘数”的概率．
故答案为：．
17．
【解析】根据独立事件概率乘法公式计算.
【详解】根据概率的乘法公式，有：．
故答案为：
18．
【解析】根据已知条件和随机事件的概率范围及互斥事件的性质，列出不等式组，即可求出实数a的取值范围.
【详解】因为随机事件、互斥，、发生的概率均不等于0，所以有：
，即，解得，
故答案为：
19．
【分析】由二次函数和正比例函数的性质列出不等式组得出的范围，进而确定满足条件的的值，再由古典概型概率公式得出答案.
【详解】由，解得
则这五个数中满足条件的有，
即使所得的正比例函数的图象经过第二、四象限，且二次函数的图象的开口向上的概率为
故答案为：
20．0.686
【分析】根据题意，先求得与至少有一个正常工作的概率，再结合独立事件概率的乘法公式，即可求解.
【详解】由题意，系统正常工作的情况分成两个步骤，A正常工作且B，C至少有一个正常工作的情况，其中正常工作的概率为0.7；正常工作的概率为0.8, 正常工作的概率为0.9，
则与至少有一个正常工作的概率为，
所以这个系统正常工作的概率为：0.7×0.98＝0.686；
故答案为：0.686；
【点睛】本题主要考查了对立事件和相互独立事件的概率的计算，其中解答中熟记相互独立事件的概率的计算公式，结合对立事件的概率计算公式求解是的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
21．(1),；
(2)
【分析】（1）根据相互独立事件的乘法原则即可求解；
（2）分四种情况相加即可.
【详解】（1）设甲、乙、丙家庭回答正确分别为事件，
根据题意，则有，则，
又，所以，即，
又，所以.
所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为和.
（2）设甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题为事件，
则有
所以甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率为.
22．(1)25（人），，；
(2)平均数为71.4，中位数约为；
(3).
【分析】（1）根据茎叶图，结合频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1进行求解即可；
（2）根据频率分布直方图，结合平均数和中位数的定义进行求解即可；
（3）利用对立事件概率公式，结合古典概型计算公式进行求解即可.
（1）
分数在的频率为，
由茎叶图知，分数在之间的频数为，∴全班人数为（人），
分数在之间的频数为，则，
由解得；
（2）
平均数为，
∵，∴中位数在内，
设中位数为，则，解得，
∴中位数约为；
（3）
得分在内的人数为人，记为、、，
得分在内的人数为人，记为、，
从这人中随机抽取两人的所有基本事件为：
、、、、、、、、、，共个，
其中所抽取的两人都在的基本事件为：、、共个，
则所抽取的两人中至少有一人的得分在区间的概率为.
23．（1）患病者的人数为40，，；（2）31450；（3）.
【分析】（1）根据分层抽样原则，容量为100的样本中，患病者的人数为40人，由此能求出，．
（2）指标检测值不低于5的样本中，有患病者28人，未患病者9人，共37人，此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数．
（3）当时，在100个样本数据中，有12名患病者被误判为未患病，有9名未患病者被误判为患病者，由此能判断错误的概率．
【详解】（1）根据分层抽样原则，容量为100的样本中，患病者的人数为.
，.
（2）由（1）可知，患病者的人数为，未患病的人数为，该项身体指标检测值不低于5的样本中，有患病者（人），未患病者（人），共37人.
故估计此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数为.
（3）当时，在100个样本数据中，有（名）患病者被误判为未患病，有（名）未患病者被误判为患病，
因此判断错误的概率为.
24．（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）首先找到该班全部同学的数量和参加摄影社的同学的数量，然后计算比值即为所求概率
（2）设表示参加摄影社的男同学，表示参加摄影社的女同学，列出所有满足的情况，根据古典概型的计算方式求解
（3）用1，2，3，4表示这6名同学中选出的4同学代表来自不同的初中学校的同学，用e，f表示2名来自同一个学校的2名同学，根据古典概型的计算方式求解.
【详解】解：（1）依题意，该班60名同学中共有6名同学参加摄影社，
所以在该班随机选取1名同学，该同学参加摄影社的概率为.
（2）设表示参加摄影社的男同学，表示参加摄影社的女同学，
则从6名同学中选出的2名同学代表共有15种等可能的结果：
，
其中至少有1名女同学的结果有9种：
，
根据古典概率计算公式，从6名同学中选出的2名同学代表至少有1名女同学的概率为
（3）用1，2，3，4表示这6名同学中选出的4同学代表来自不同的初中学校的同学，用e，f表示2名来自同一个学校的2名同学.
从6名同学中选出2名，有：12，13，14，1e，1f，23，24，2e，2f，34，3e，3f，4e，4f，ef共15种不同情况，其中2名同学代表来自不同的初中学校12，13，14，1e，1f，23，24，2e，2f，34，3e，3f，4e，4f有14种，
所以从这6名同学中选出的2名同学代表来自不同的初中学校的概率
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