8.1.2棱锥 课时作业（含解析）

8.1.2棱锥 课时作业
一、单选题
1．如图，在四面体中，，，，、分别是，中点.若用一个与直线垂直，且与四面体的每个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．由等边三角形组成的网格如图所示，多边形是某几何体的表面展开图，对于该几何体（顶点的字母用展开图相应字母表示，对于重合的两点，取字母表中靠前的字母表示），下列结论中正确的是
A．平面
B．平面平面
C．平面平面
D．
3．若正棱锥底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是
A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥
4．如图：正三棱锥中，，侧棱长为2，过点的平面截得．则的周长的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
5．以下四个结论：① 正棱锥的所有侧棱都相等；②直棱柱的侧面都是全等的矩形；③圆柱的母线垂直于底面；④用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角形.其中，正确的结论的个数为（ ）
A． B． C． D．
6．已知正方体的棱长为6，是线段上的点，且，是平面内一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知一个四面体中，任意两条异面的棱，长度相等．则下列结论中，正确的有（ ）
A．该四面体任意两条异面的棱一定垂直
B．该四面体任意两组异面的棱，中点连线围成的四边形都是菱形
C．以该四面体任意两条棱中点为端点的线段，长度小于所有棱长中的最大值
D．该四面体的任何一个面都是锐角三角形
8．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下几种几何图形的4个顶点，这些几何图形可以是（ ）
A．矩形
B．有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体
C．每个面都是等边三角形的四面体
D．每个面都是直角三角形的四面体
三、填空题
9．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称粽子，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期的楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为2的正三角形组成的，将它沿虚线对折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为______________
10．已知三棱锥P－ABC的底面ABC为等边三角形．如图，在三棱锥P－ABC的平面展开图中，P，F，E三点共线，B，C，E三点共线，，，则PB＝___．
11．在四棱锥中，底面为正方形，底面，且，为棱上的动点，若的最小值为，则__________．
12．数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体.关于“等腰四面体”，以下结论正确的序号是______.
①“等腰四面体”每个顶点出发的三条棱一定可以构成三角形；
②“等腰四面体”的四个面均为全等的锐角三角形；
③三组对棱长度分别为5，6，7的“等腰四面体”的体积为；
④三组对棱长度分别为，，的“等腰四面体”的外接球直径为.
四、解答题
13．已知正四棱锥的底面面积为，一条侧棱长为，求它的高与斜高.
14．如图在一个长方体的容器中，里面装有一些水，现将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中，判断下面的说法是否正确，并说明理由．
(1)水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形；
(2)水的形状不断变化，可能是棱柱，也可能变为棱锥．
15．（1）如图，三棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧棱CC1⊥底面,CC1＝3，有虫从A沿三个侧面爬到A1，求小虫爬行的最短距离．
（2）以O为顶点的三棱锥中，过O的三条棱两两的夹角都是30°，在一条棱上取A，B两点，OA＝4cm，OB＝3cm，以A，B为端点用一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周(绳和侧面无摩擦)，求此绳在A，B两点间的最短绳长．
16．近些年来，三维扫描技术得到空前发展，从而催生了数字几何这一新兴学科.数字几何是传统几何和计算机科学相结合的产物.数字几何中的一个重要概念是曲率，用曲率来刻画几何体的弯曲程度.规定：多面体在顶点处的曲率等于与多面体在该点的所有面角之和的差（多面体的面角是指多面体的面上的多边形的内角的大小，用弧度制表示），多面体在面上非顶点处的曲率均为零.由此可知，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正方体在每个顶点有个面角，每个面角是，所以正方体在各顶点的曲率为 ，故其总曲率为.
(1)求四棱锥的总曲率；
(2)表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为，棱数为，面数为，则有：.利用此定理试证明：简单多面体的总曲率是常数.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据对棱相等，可将四面体嵌入长方体中，进而发现与长方体的一个面平行，就利用这个面截取四面体，再求这个截面的最大值。
【详解】过作平面平行于，同理这六条棱每条棱都做平面平行于对棱.那么由对棱做的平面平行，可知这六个面围成一个平行六面体，又已知对棱相等，则这个平行六面体任何一个面的一对对角线都等长.故每个面都是矩形，即围成一个长方体.设长方体的长宽高分别为，那么四面体的六条棱长都是它的面对角线.
则有，解得：，
再由分别是，中点，即长方体两个底面的中心，
而截面与直线垂直，则平行于底面，故，.根据平行截比定理得到，且，而.
故有.设之间的夹角为.
那么该多边形截面面积.
而,，
故,
则.
故选：B
【点睛】本题考查了对棱相等的四面体的性质和基本不等式知识的相关运用，属于较难的综合题。
2．B
【分析】由题意，得到该几何体表示一个正八面体,此时GHIJ分别与CDEF重合，利用正八面体的性质，即可求解.
【详解】由等边三角形组成的网格如图所示，多边形是某几何体的表面展开图，则该几何体表示一个正八面体,如图所示，此时GHIJ分别与CDEF重合，
根据正八面体的性质，可得平面BCF//平面EAD，即平面平面，故选B.
【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征及其应用，其中解答中根据题意还原得到正八面体是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与论证能力，属于基础题.
3．D
【详解】正四面体，正方体，正五棱锥的底面边长与侧棱长相等．因为正六边形的中心到各个顶点的距离相等且等于正六边形的边长，所以不存在底面边长和侧棱长相等的六棱锥，故选D
4．D
【分析】沿正三棱锥的侧棱AC剪开，根据两点间线段最短，由的周长的最小值为求解.
【详解】由题意，沿正三棱锥的侧棱AC剪开，所得侧面展开图是三个顶角为的等腰三角形，腰长为2，如图所示：
连接，则，
所以是等腰直角三角形，
则，
由两点间线段最短得：的周长的最小值为两点之间的距离，即，
故选：D
5．B
【分析】根据棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的定义和性质对各个选项进行判断.
【详解】由正棱锥的性质可得①正确.
当直棱柱的底面是梯形时，侧面不是全等的矩形，所以②不正确.
由圆柱的母线的定义知，③正确.
由圆锥的轴截面是等腰三角形知④正确.
所以①③④正确
故选：B.
【点睛】本题考查棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的定义和性质，准确理解有关概念是解决本题的关键，属于基础题.
6．C
【分析】根据两点之间线段最短，所以作出点关于平面的对称点，连接，求出，即为的最小值．
【详解】如图所示：
正方体的棱长为6， 三棱锥为正三棱锥，侧棱长为 6， 底面边长为， 设的外心为， 连接并延长至， 使，则与关于平面对称， 连接，交平面于， 则的最小值为，在等边三角形中，求得，∴
在中，
， 可得.
即的最小值为.
故选：C.
7．BCD
【分析】根据题意，将该四面体放置于长方体中，根据图形逐项进行验证即可求解.
【详解】因为四面体中，任意两条异面的棱，长度相等.所以可将该四面体放置于如图所示的长方体中，
由图可知，与不一定垂直，故选项A错误；
两组异面的棱的中点为长方体相对的面的中心，由图可知四边形为菱形，故选项B正确；
以该四面体任意两条棱中点为端点的线段的长度，为长方体的棱长，而四面体的棱长为，，，所以以该四面体任意两条棱中点为端点的线段，长度小于所有棱长中的最大值，故选项C正确；
如图，，，，则，所以为锐角，同理可证为锐角，为锐角， 所以为锐角三角形，同理可证该四面体的任何一个面都是锐角三角形，故选项D正确，
故选：BCD.
8．ABCD
【分析】根据正方体的结构特征，应用数形结合法及棱锥的特征判断各选项的正误.
【详解】A：如下图，四边形为矩形，正确；
B：如下图，四面体三个面为等腰直角三角形，一个面为等边三角形，正确；
C：如下图，四面体每个面都是等边三角形，正确；
D：如下图，四面体每个面都是直角三角形，正确；
故选：ABCD
9．；
【分析】由题意可知该六面体是由两个正四面体组合成的，求出棱长为2的正四面体的体积即可得解.
【详解】由题意可知该六面体是由两个正四面体组合成的，如图，三棱锥即为棱长为2的正四面体，
取中点，连接，在上取一点，使，连接，
易知，，点为的中心，为该三棱锥的高，
所以，，
所以，
所以该六面体的体积为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了正四面体的几何特征的应用及体积的求解，考查了空间思维能力与转化化归思想，属于中档题.
10．
【分析】根据的余弦值，求出正弦值，由正弦定理得到PF，进而由余弦定理求出EF和PB.
【详解】由题意可知，△CEF为等边三角形，所以，则，
由可知，
在△PCF中，由正弦定理得：．
在△PCE中，由余弦定理得：，
解得或（舍去），
所以，
则，，
在△PBE中，由余弦定理得，
所以．
故答案为：
11．4
【分析】由已知条件将立体图形进行转化到共面，然后求解最小值时的结果
【详解】易证：平面，则，将沿棱翻折至与底面共面，
如图所示，设，则，当三点共线时，取得最小值，
故，解得，则.
【点睛】本题考查了立体几何中的最值问题，解答题目时将其通过翻折得到共面图形，然后求出最小值时的结果，属于中档题
12．①②③
【分析】将等腰四面体补成长方体，设等腰四面体的对棱棱长分别为，，，与之对应的长方体的长宽高分别为，，，然后结合长方体的性质分别检验各选项即可判断．
【详解】解：将等腰四面体补成长方体，设等腰四面体的对棱棱长分别为，，，与之对应的长方体的长宽高分别为，，，
则，
故，，，
结合图像易得①②正确；
三组对棱长度分别为，，，则，，，
因为等腰四面体的体积是对应长方体体积减去四个小三棱锥的体积，
所以等腰四面体的体积，③正确；
三组对棱长度分别为，，的“等腰四面体”的外接球直径，④错误.
故答案为：①②③.
【点睛】关键点点睛：对棱相等的四面体可以内接于长方体，借助长方体的性质处理问题降低了思维量.
13．高为，斜高为.
【分析】在正四棱椎中，作底面于点，取中点，连接、、，计算出底面的边长，结合勾股定理可计算出该正四棱锥的高和斜高.
【详解】如图，在正四棱椎中，作底面于点，
取中点，连接、、，
由正四棱锥的底面面积为可得，所以，.
因为，都是直角三角形，侧棱，
所以高为，斜高.
14．(1)不对,理由见解析；
(2)不对,理由见解析.
【分析】根据绕着棱旋转旋转的特点，将问题转化为长方体被相应平面所截形成的截面形状.
【详解】（1）不对.水面的形状就是用一个与棱（长方体容器倾斜时固定不动的棱）平行的平面截长方体时截面的形状，因而可以是矩形，但不可能是其他非矩形的平行四边形.
（2）不对.水的形状就是用与棱（长方体容器倾斜时固定不动的棱）平行的平面将长方体截去一部分后，剩余部分的几何体，此几何体是棱柱，水比较少时，是三棱柱，水多时，可能是四棱柱，或五棱柱；但不可能是棱锥.
15．（1）3；（2）5cm
【分析】（1）由题意知：此三棱柱的侧面展开图为一个矩形，据此即可求出答案.
（2）作出三棱锥的侧面展开图.根据题意即可写出∠AOB＝90°，OA＝4cm，OB＝3cm，即可求出AB的长度.
【详解】（1）三棱柱的侧面展开图为一个矩形AA′A1′A1，如图所示，
长A1A1′＝2×3＝6，宽AA1＝3，
所以AA1′＝＝＝3，
即小虫爬行的最短距离是3.
（2）作出三棱锥的侧面展开图，如图，
A，B两点间最短绳长就是线段AB的长度．
在中，∠AOB＝30°×3＝90°，OA＝4cm，OB＝3cm，
所以AB＝ ＝5(cm)．
所以此绳在A，B两点间的最短绳长为5cm.
16．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用总曲率定义即可得到结果；
（2）利用总曲率定义及欧拉定理即可证明其为常数.
【详解】（1）四棱锥有个顶点,个三角形面,个凸四边形面,故其总曲率为
（2）设多面体有个面,给组成多面体的多边形编号,分别为号.
设第 号 多边形有 条边.
则多面体共有条棱.
由题意，多面体共有个顶点.
号多边形的内角之和为,故所有多边形的内角之和为
故多面体的总曲率为
所以满足题目要求的多面体的总曲率为.
答案第1页，共2页
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