河北省邢台市2022-2023学年高一下学期第二次月考数学试题（含答案）

邢台市2022-2023学年高一下学期第二次月考
数学试题
考试范围：6.1—8.4
说明：1.本试卷共共4页，满分150分，考试时间120分钟。
2.请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.若复数z满足，其中i为虚数单位，则之在复平面内对应的点在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的周长为（ ）
3.下列说法正确的是（ ）
A.过空间中的任意三点有且只有一个平面
B.三棱柱各面所在平面将空间分成21部分
C.空间中的三条直线a，b，c，如果a与b异面，b与c异面，那么a与c异面
D.若直线a在平面外，则平面内存在直线与a平行
4.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A. B. C. D.或
5.已知i是虚数单位，复数，，，且，则的最小值为（ ）
A.5 B.4 C.3 D.2
6.三角形的三边分别为a，b，c，秦九韶公式和海伦公式，其中，是等价的，都用于求三角形的面积.印度数学家婆罗摩笈多在公元7世纪的一部论及天文的著作中，给出了四边形的面积公式：若四边形的四边分别为a，b，c，d，则，其中，为一组对角的和的一半.已知四边形四条边长分别为2，4，6，8，则四边形最大面积为（ ）
A. B. C.20 D.28
7.已知，，，，那么向量，的夹角不能是（ ）
A. B. C. D.
8.如图，圆锥的母线长为6，底面圆的半径为1，是圆锥的轴截面，一只蚂蚁从点A出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线上的一点D，当蚂蚁的爬行距离最短时，在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下面关于空间几何体的表述，正确的是（ ）
A.直角三角形以其一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体是圆锥
B.圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点，这三点的连线都可以构成直角三角形
C.用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台
D.从三棱柱的6个顶点中选取4个不共面的点，这4点形成的三棱锥的体积一定是三棱柱体积的
10.以下命题中正确的是（ ）
A.任意两个复数，满足
B.任意复数z满足
C.若复数，满足，则，互为共轭复数
D.任意两个复，满足
11.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，对于有如下命题，其中正确的是（ ）
A.若，则是锐角三角形
B.若，，则的外接圆的面积等于
C.若是锐角三角形，则
D.若，则是等腰直角三角形
12.已知正方体的棱长为2，E，F分别是，的中点，则（ ）
A.
B.平面截此正方体所得截面的周长为
C.三棱锥的表面积为
D.三棱锥的体积为1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知，，则_
14.用一个圆心角为，半径为4的扇形围成一个圆锥侧面，则圆锥的高是___________.
15.在正四棱台中，底面是边长为4的正方形，其余各棱长均为2，设直线与直线的交点为P，则四棱锥的外接球的体积为___________.
16.祖暅（gèng）（5世纪—6世纪），字景烁，祖冲之之子，范阳郡道县（今河北省涞水县）人，南北朝时期的伟大科学家.他在实践的基础上，于5世纪末提出了下面的体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”。这就是“祖暅原理”.用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”.例如可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，半径为R的半球与底面半径和高都为R的圆柱放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R，高为R的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等.若球心到平面的距离为，则平面截半球所得的较小部分的几何体的体积等于___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知平面向量，，.
（1）若，求x与y之间的关系式；
（2）在（1）的条件下，若，求x，y的值.
18.（12分）在英语中，实数是Real Quantity，一般取Real的前两个字母“Re”表示一个复数的实部；虚数是Imaginary Quantity，一般取Imaginary的前两个字母“Im”表示一个复数的虚部.如：，；，.已知复数z是方程的解.
（1）若，且（a，，i是虚数单位），求；
（2）若，复数，，且，，求t的取值范围.
19.（12分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求；
（2）若，，求的面积.
20.（12分）无人机在城市管理、农业、地质、气象、电力、抢险救灾、视频拍摄、快递配送等行业应用广泛.在一次城市宣传的取景拍摄中，一架无人机从A处出发，沿北偏东70°的方向航行后到达B处，然后从B出发，沿北偏东10°的方向航行2到达C处.
（1）求A与C的距离；
（2）如果下次航行直接从A出发到达Ｃ，应沿什么方向航行？
21.（12分）如图，是圆柱的母线，是圆柱的底面圆的直径，点C是圆柱的底面圆周上异于A，B的点，，，.
（1）求圆柱的侧面积和体积；
（2）若D是PB的中点，点E在线段上，求的最小值.
22.（12分）如图，半球底面圆的圆心为O（即半球所在球的球心），半径为4.作平行于半球底面的平面得截面圆O，以圆面为底面向下挖去一个圆柱（圆柱下底面圆心即半球底面圆的圆心）.若圆柱的内接正四棱柱的底面正方形的边长为x，体积为V.
（1）求出体积V关于x的函数解析式，并指出定义域；
（2）当x为何值时，正四棱柱体积最大？最大值是多少？
附：，，
，（当且仅当时取等）
，（当且仅当时取等）
邢台市2022-2023学年高一下学期第二次月考
数学参考答案
1.A 2.C 3.B 4.A 5.B 6.B 7.C 8.B
9.BD 10.AD 11.BC 12.BD
13. 14. 15. 16.
17.，，
（1）
，即
（2）,
，或
18.，可得
（1）Im（）
，
，
（2）Im（），复数，，且Re（），Im（）
，又
Re（），Im（）
,
19.（1）由，得，
解得或（舍），
因为，所以.
（2）由（1）及余弦定理，得，
又，，所以，
解得，，
所以的面积.
20.（1）由题意知，在中，，
，，
根据余弦定理，得，
所以．
（2）根据正弦定理可得，
即
又，所以．
所以应沿北偏东的方向航方向航行即可到达C处.
21.（1）由已知，，
，
∴圆柱底面圆的半径，
∵母线长，∴圆柱的高，
∴圆柱的侧面积，
圆柱的体积.
（2）如图，延长线段至，使得，
连接，易证，∴，
∴，
连接，则当，，三点共线时，最小，
即
取中点，则为底面圆心，连接，
∵为中点，则，，
易知，∴，
∴在直角中，
∴的最小值为.
22.（1）设正四棱柱的高为
则，
定义域为，
（2）
当，时取等
∴当时，体积有最大值