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几何图形变换综合题专题训练（一）图形的折叠
折叠问题是近几年来中考出现频率较高的一类题型，学生往往由于对折叠的实质理解不够透彻，导致对这类中档问题失分严重。此类题有一定的趣味性和挑战性，需要学生有折叠图形之间联系的空间概念，考查观察、分析能力与直觉思维能力，通过实际演示与操作给不同思维层次的学生都提供了机会．学生在解题时也可“就地取材”，剪下草稿纸的一角，动手操作即可解决．
解题策略
1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
2、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系．
3、在矩形（纸片）折叠问题中，重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形
4、利用折叠所得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为x，然后根据轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解．
勾股定理在有关图形折叠（翻折）计算的问题中的方法是：在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一未知数为x，将此三角形中的三边长用具体数或含x的代数式表示，再利用勾股定理列出方程，从而得出要求的线段的长度。
典例剖析
例1.如图，将长8cm，宽4cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，
则折痕EF的长为_____cm.
解：∵E点在A上，F在CD上，因为A、C点重合，EF是折痕，设他们交与O点，∴AO=CO，EF⊥AC，
∵AB=8，BC=4，∴AC=，
∵AE=CE，∴∠EAO=∠ECO，∴△OEC∽△BCA，
∴OE：AB=OC：BC，∴OE=，
∴EF=2OE=．故答案为：．
总结提升：本题考查了图形折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，利用直角三角形相似建立方程求解是关键．
对点练习;
1.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE＝30°，AB＝，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为（ D ）．
A、 B、2 C、3 D、
例2.如图，在矩形ABCD中，AD＝12，将∠A向内翻折，使点A在BC上，记为A'，折痕为DE．
（1）若点A'恰好是边BC的中点，请直接写出AB的长；
（2）在（1）的条件下，若将∠B沿EA'向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B'，求出此时AE的长；
（3）连结CB'，试判断CB'与A'B'的数量关系．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°，AD＝BC＝12，
∵将∠A向内翻折，使点A在BC上，
∴AE＝A'E，AD＝A'D＝12，
∵点A'是BC的中点，
∴A'B＝A'C＝6，
∴CD6，
∴AB＝CD＝6；
（2）∵A'E2＝BE2+A'B2，
∴AE2＝（6AE）2+36，
∴AE＝4；
（3）如图，连接CB'，交A'D于H，
∵∠B沿EA'向内翻折，点B恰好落在DE上，
∴∠B＝∠A'B'E＝90°，A'B＝A'B'＝6，
∴∠DCB'＝∠DB'A'＝90°，
在Rt△A'B'D和Rt△A'CD中，
，
∴Rt△A'B'D≌Rt△A'CD（HL），
∴CD＝DB'＝6，
又∵A'C＝A'B'，
∴A'D是B'C的垂直平分线，
∴B'C'＝2CH，
∵S△A'CDA'C×CDA'D×CH，
∴6×612×CH，
∴CH＝3，
∴B'C＝6，
∴CB'A'B'．
【总结提升】
本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
对点练习：
如图，Rt△ABC中，AB＝3，BC＝2，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：设NB＝x，则AN＝3﹣x．
由翻折的性质可知：ND＝AN＝3﹣x．
∵点D是BC的中点，
∴BDBC＝1．
在Rt△NBD中，由勾股定理可知：ND2＝NB2+DB2，
即（3﹣x）2＝x2+12，
∴x，
∴BN，
故选：B．
例3.如图，在矩形纸片ABCD中，将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠(AP＞AM)，点A和点B都与点E重合；再将△CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上点F处．
(1)判断△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形？(不需说明理由)
(2)如果AM＝1，sin∠DMF＝，求AB的长．
．
【解答】 (1)有三对相似三角形，即△AMP∽△BPQ∽△CQD.
理由如下：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝90°.
根据折叠可知：∠APM＝∠EPM，∠EPQ＝∠BPQ，∴∠APM＋∠BPQ＝∠EPM＋∠EPQ＝90°.
∵∠APM＋∠AMP＝90°，
∴∠BPQ＝∠AMP，∴△AMP∽△BPQ，
同理：△BPQ∽△CQD.
∴△AMP∽△BPQ∽△CQD.
(2)设AP＝x，
∴由折叠关系，BP＝AP＝EP＝x，AB＝DC＝2x.
由△AMP∽△BPQ得，＝，即＝，
得BQ＝x2.
由△AMP∽△CQD得，＝，即＝，
得CQ＝2.
∴AD＝BC＝BQ＋CQ＝x2＋2.
∴MD＝AD－1＝x2＋1.
∵在Rt△FDM中，sin∠DMF＝，
∴＝.解得x1＝3，x2＝(不合题意，舍去)．
即AB＝6.
总结提升：本题考查了图形折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定，利用直角三角形相似建立方程求解是关键．
对点练习
如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P、Q分别是直线BC、AB上的两个动点，AE=2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF、PD，则PF+PD的最小值是______8___．
【分析】F点轨迹是以E点为圆心，EA为半径的圆，作点D关于BC对称点D’，连接PD’，PF+PD化为PF+PD’．连接ED’，与圆的交点为所求F点，与BC交点为所求P点，勾股定理先求ED‘,再减去EF即可．
例4 如图，将矩形纸片ABCD按如下的顺序进行折叠：对折，展平，得折痕EF（如图①）；延CG折叠，使点B落在EF上的点B′处，（如图②）；展平，得折痕GC（如图③）；沿GH折叠，使点C落在DH上的点C′处，（如图④）；沿GC′折叠（如图⑤）；展平，得折痕GC′，GH（如图 ⑥）．
（1）求图 ②中∠BCB′的大小；
（2）图⑥中的△GCC′是正三角形吗？请说明理由．
解析：（1）由对称的性质可知：B’C=BC，然后在Rt△B′FC中，求得cos∠B’CF= ，利用特殊角的三角函数值的知识即可求得∠BCB’= 60°；
（2）首先根据题意得：GC平分∠BCB’，即可求得∠GCC’= 60°，然后由对称的性质知：GH是线段CC’的对称轴，可得GC’= GC，即可得△GCC’是正三角形．
对点练习：
1．如图，将一个边长为1的正方形纸片ABCD折叠，使点B落在边AD上 不与A、D重合．MN为折痕，折叠后B’C’与DN交于P．
(1)连接BB’，那么BB’与MN的长度相等吗？为什么？
(2)设BM=y，AB’=x，求y与x的函数关系式；
(3)猜想当B点落在什么位置上时，折叠起来的梯形MNC’B’面积最小？并验证你的猜想．
解析:(1)BB’ = MN
过点N作NH∥BC交AB于点H），证△ABB’ ≌ △HNM
(2)MB’ = MB = y，AM = 1 – y，AB’ = x
在Rt△ABB’中
BB’ = =
因为点B与点B’关于MN对称，所以BQ = B’Q，
则BQ =
由△BMQ∽△BB’A得
BM×BA = BQ×BB’
∴ y = × =
(3) 梯形MNC′B′的面积与梯形MNCB的面积相等
由(1)可知，HM = AB’ = x，
BH = BM – HM = y – x，则CN = y - x
∴梯形MNCB的面积为：
(y – x + y) ×1 = (2y - x)
= (2×– x)
= (x - )2 +
当x = 时，即B点落在AD的中点时，梯形MNC’B’的面积有最小值，且最小值是
2.已知矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8．
（1）如图1，点P从点D开始沿D→A以每秒1个单位的速度移动，同时另一个点Q从点B开始在线段BC上以每秒3个单位的速度往返移动．设P，Q运动时间为t秒，当0＜t≤8时，是否存在这样的时刻，四边形DCQP为平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
（2）如图2，将矩形ABCD折叠，使点B与点D重合，点A与点E重合，展平后折痕为MF．一动点N从点D出发，沿D→A→B→C→D，以每秒1个单位的速度移动一周，设N运动的时间为x秒．请直接写出当△MFN为直角三角形时x的值．
【解答】解：（1）∵四边形DCQP为平行四边形，
∴PD＝CQ，
当0＜t时，则t＝8﹣3t，得t＝2；
当，则t＝3t﹣8，得t＝4；
当时，则t＝24﹣3t，得t＝6；
综上，存在这样的时刻，使得四边形DCQP为平行四边形，t的值为：2或4或6；
（2）根据折叠的性质得，BF＝DF，∠BFM＝∠DFM，
∵矩形ABCD中AD∥BC，
∴∠DMN＝∠BFM，
∴∠DMF＝∠DFM，
∴DM＝DF，
∴AM＝CF，
设BF＝DF＝DM＝x，则AM＝CF＝8﹣x，
∵∠C＝90°，
∴DF2﹣CF2＝CD2，即x2﹣（8﹣x）2＝42，
解得，x＝5，
∴BF＝DM＝5，AM＝CF＝3，
①过F作FG⊥AD于点G，如图1，则DG＝CF＝3，
当N点与G点重合时，△MFN中∠MNF＝90°，此三角形为直角三角形，
此时x＝3；
②过M点作MH⊥MF，MF与AB交于点H，如图2，
∴∠AMH+∠GMF＝90°，
∵∠A＝∠FGM＝90°，
∴∠AMH+∠AHM＝90°，
∴∠AHM＝∠GMF，
∴△AMH∽△GMF，
∴，
∵AM＝3，MG＝MD﹣DG＝5﹣3＝2，GF＝CD＝4，
∴，
故当N点与H点重合时，△MFN中∠NMF＝90°，此三角形为直角三角形，
此时x＝89.5；
③过M作MK⊥BC于点K，如图3，则BK＝AM＝3，
故当N点与K点重合时，△MFN中∠MNF＝90°，此三角形为直角三角形，
此时x＝8+4+3＝15；
④过点F作FL⊥MF，FL与CD交于点L，如图4，
∴∠MFK+∠CFL＝90°，
∵∠MKF＝∠C＝90°，
∴∠CFL+∠CLF＝90°，
∴∠KFM＝∠CLF，
∴△KFM∽△CLF，
∴，
∵MK＝AB＝4，KF＝BF﹣BK＝5﹣3＝2，CF＝3，
∴，
故当N点与L点重合时，△MFN中∠MFN＝90°，此三角形为直角三角形，
此时x＝8+4+821.5；
综上，当△MFN为直角三角形时x的值为3或9.5或15或21.5．
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几何图形变换综合题专题训练（一）图形的折叠
折叠问题是近几年来中考出现频率较高的一类题型，学生往往由于对折叠的实质理解不够透彻，导致对这类中档问题失分严重。此类题有一定的趣味性和挑战性，需要学生有折叠图形之间联系的空间概念，考查观察、分析能力与直觉思维能力，通过实际演示与操作给不同思维层次的学生都提供了机会．学生在解题时也可“就地取材”，剪下草稿纸的一角，动手操作即可解决．
解题策略
1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
2、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系．
3、在矩形（纸片）折叠问题中，重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形
4、利用折叠所得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为x，然后根据轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解．
勾股定理在有关图形折叠（翻折）计算的问题中的方法是：在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一未知数为x，将此三角形中的三边长用具体数或含x的代数式表示，再利用勾股定理列出方程，从而得出要求的线段的长度。
典例剖析
例1.如图，将长8cm，宽4cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，
则折痕EF的长为_____cm.
对点练习;
1.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE＝30°，AB＝，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为（ D ）．
A、 B、2 C、3 D、
例2.如图，在矩形ABCD中，AD＝12，将∠A向内翻折，使点A在BC上，记为A'，折痕为DE．
（1）若点A'恰好是边BC的中点，请直接写出AB的长；
（2）在（1）的条件下，若将∠B沿EA'向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B'，求出此时AE的长；
（3）连结CB'，试判断CB'与A'B'的数量关系．
对点练习：
如图，Rt△ABC中，AB＝3，BC＝2，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（ ）
A． B． C． D．
例3.如图，在矩形纸片ABCD中，将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠(AP＞AM)，点A和点B都与点E重合；再将△CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上点F处．
(1)判断△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形？(不需说明理由)
(2)如果AM＝1，sin∠DMF＝，求AB的长．
．
对点练习
如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P、Q分别是直线BC、AB上的两个动点，AE=2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF、PD，则PF+PD的最小值是_________．
例4 如图，将矩形纸片ABCD按如下的顺序进行折叠：对折，展平，得折痕EF（如图①）；延CG折叠，使点B落在EF上的点B′处，（如图②）；展平，得折痕GC（如图③）；沿GH折叠，使点C落在DH上的点C′处，（如图④）；沿GC′折叠（如图⑤）；展平，得折痕GC′，GH（如图 ⑥）．
（1）求图 ②中∠BCB′的大小；
（2）图⑥中的△GCC′是正三角形吗？请说明理由．
对点练习：
1．如图，将一个边长为1的正方形纸片ABCD折叠，使点B落在边AD上 不与A、D重合．MN为折痕，折叠后B’C’与DN交于P．
(1)连接BB’，那么BB’与MN的长度相等吗？为什么？
(2)设BM=y，AB’=x，求y与x的函数关系式；
(3)猜想当B点落在什么位置上时，折叠起来的梯形MNC’B’面积最小？并验证你的猜想．
2. 已知矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8．
（1）如图1，点P从点D开始沿D→A以每秒1个单位的速度移动，同时另一个点Q从点B开始在线段BC上以每秒3个单位的速度往返移动．设P，Q运动时间为t秒，当0＜t≤8时，是否存在这样的时刻，四边形DCQP为平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
（2）如图2，将矩形ABCD折叠，使点B与点D重合，点A与点E重合，展平后折痕为MF．一动点N从点D出发，沿D→A→B→C→D，以每秒1个单位的速度移动一周，设N运动的时间为x秒．请直接写出当△MFN为直角三角形时x的值．
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