第8单元数学广角-找次品拔尖特训卷（单元测试）-小学数学五年级下册人教版（含解析）
文档属性
| 名称 | 第8单元数学广角-找次品拔尖特训卷（单元测试）-小学数学五年级下册人教版（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-04-14 16:40:05 | ||
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文档简介
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第8单元数学广角-找次品拔尖特训卷（单元测试）-小学数学五年级下册人教版
一、选择题
1．一箱药品有16盒，其中15盒的质量相同，有1盒的质量不足，轻一些。如果用天平称，至少称（ ）次才能保证把质量不足的那盒找出来。
A．1 B．2 C．3 D．4
2．有8瓶同样的钙片，其中1瓶被吃了3片。要找出这瓶比较轻的钙片，如果用天平称，下面（ ）种分法比较合理。
A． B． C． D．
3．百味盐为先，福建“闽盐”牌生态海盐是有名的老字号海盐。有4袋海盐，其中3袋质量都是500g，另有1袋质量不是500g，但不知道是比500g轻还是比500g重。如果用天平称，至少需要称（ ）次才能知道这袋海盐是比500g重还是轻。
A．1 B．2 C．3 D．4
4．体育老师有24个外形完全一样的铅球，其中一个混有杂质，但是不知道与真球相比的轻重，请问用无砝码的天平至少称（ ）次能判断这个混有杂质的铅球的轻重。
A．1 B．2 C．3 D．4
5．10瓶果汁，其中1瓶坏了，但不知道比另外9瓶轻还是重，请问用无砝码的天平至少称（ ）次能判断这瓶果汁的轻重。
A．1 B．2 C．3 D．4
6．若干盒同样的饼干，其中有1盒轻一些，用天平称，至少需要称3次才能保证找出次品，可能有（ ）盒饼干。
A．32 B．25 C．9 D．5
二、填空题
7．闽侯橄榄是福建珍果，营养丰富。林奶奶有5袋包装一样的橄榄，其中4袋质量都是1kg，另1袋质量不是1kg，但不知道比1kg重还是轻。如果用天平称，至少称( )次就可以保证找出这袋橄榄。
8．用天平找次品，如果待测物品在3个或3个以上，其中有1个比正品轻或重，我们可以先把待测物品分成( )份，能平均分的要( )，不能平均分的要使多的那一份与少的那一份相差( )，这样可以保证找出次品所称的次数最少。
9．已知一堆物品中有1个次品（比正品轻），如果至少称3次就能保证找出这个次品，这堆物品最少有( )个，最多有( )个。
10．灰太狼用1瓶变形药水（质量比纯净水要稍重一点）偷换了羊村的24瓶纯净水中的1瓶，聪明的喜羊羊至少要称( )次，才能保证找出这瓶变形药水。
11．福建茶叶闻名遐迩，人们对茶情有独钟。钟老板包好10袋茶叶准备送给顾客，可是其中有9袋每袋重50g，另1袋不足50g。如果用天平称，至少称( )次可以找出这袋茶叶。
12．称一称。
有8支牙膏（编号分别为①②③④⑤⑥⑦⑧），其中7支质量相同，1支是次品（轻一些）。用天平找出这支牙膏，至少要称（ ）次。试着在下图中表示出称的过程。
三、判断题
13．8瓶钙片中，有一瓶轻一些。用天平称至少要称2次才能保证找出次品。( )
14．有①、②、③、④、⑤5个零件，其中有1个质量稍轻的次品。根据下图可以推断出②③④⑤号零件一定不是次品。( )
15．30个乒乓球中有一个质量稍重，用天平称3次就能找到这个次品。( )
16．81瓶口香糖中混有1瓶略轻的口香糖，用天平称，至少称5次一定可以找到那瓶略轻的口香糖。( )
17．从7个弹珠中找一个稍轻的次品，至少要称3次才能保证找出次品。( )
四、计算题
18．算一算。
19．从中减去与的和，差是多少？
五、解答题
20．有11个零件，其中有一个是次品，比正品重，用天平至少称几次就一定能找出这个次品？请写出你称的过程。
21．有9袋方便面，其中有8袋质量相同，另有一袋缺6克，用天平称，至少称几次就一定能保证找出这袋质量轻的方便面？请绘图表示你称的过程。
22．永春老醋是全国四大名醋之一。质监部门对某企业生产的永春老醋进行质量抽测，在抽测的21瓶永春老醋中有1瓶不合格（质量稍轻一些）。
（1）至少称几次能保证将这瓶不合格产品找出来？
（2）如果在天平的左右两边各放10瓶永春老醋，只称1次有可能称出来吗？为什么？
23．同样体积的水和盐水，盐水稍重一些。如果用天平称，至少称几次就能保证找出加盐的那瓶水？
24．有36盒同一种规格的饼干，其中有一盒稍重一些。如果用天平称，至少称几次才能保证找到这盒饼干？请写出简要的过程。
参考答案：
1．C
【分析】把16盒药品分成3份，即（5，5，6）；第一次称，天平两边各放5盒，如果天平不平衡，次品就在较轻的5盒中；如果天平平衡，次品在剩下的6盒中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，把有次品的6盒药品平均分成3份，即（2，2，2）。第二次称，天平两边各放2盒，如果天平不平衡，次品就在较轻的2盒中；如果天平平衡，次品在剩下的2盒中；最后把有次品的2盒药品分成2份，即（1，1），第三次称，天平两边各放1盒，次品就是较轻的那一盒。所以至少称3次才能保证找出次品。
【详解】
至少称3次才能保证把质量不足的那盒找出来。
故答案为：C
【点睛】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。
2．D
【分析】天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小。所以，在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。
【详解】把8瓶钙片分成三份，分别是：3瓶、3瓶、2瓶；先把两份3瓶的分别放在天平的两边，如果平衡，就把剩下的两瓶分别放在天平的两边，即可找出轻一些的那瓶来。如果不平衡，看哪边轻，把稍轻的那边的3瓶，取2瓶分别放在天平的两边，若平衡就是没往天平上放的那一瓶，若不平衡，哪边轻哪边就是那瓶轻的，所以至少要称2次，才能保证找出那瓶轻一些的钙片。
故答案为：D
【点睛】本题考查了找次品，找次品时，第一次分组尽量将样品分成数量相等或数量相近的3份。
3．B
【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【详解】把4袋海盐分成1、1、2三组，编号分别为①②③④。先称①和②，有以下两种可能：一样重，则次品就是③或④，再用①与③称，若平衡，次品就是④，若不平衡，次品就是③；不一样重，则次品就是①或②，再用③与①称，若平衡，次品就是②，若不平衡，次品就是①。两种可能，都需2次。
故答案为：B
【点睛】在生活中，常常出现这样的情况：在一些看似完全相同的物品中混着轻一点或者重一点的物品，需要我们想办法把它找出来，我们把这类问题叫做找次品。
4．D
【分析】天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小，所以在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。
【详解】先把球任意编号1－24，然后分成3份，
第一次，先将1－8号放在左边，9－16号放在右边；如果天平平衡，则有杂质球在17－24号。
第二次将1－8号放在左边，17－24号放在右边；如果右重则有杂质球在17－24号且有杂质球较重。
第三次将17－19号放在左边，20－22号放在右边；如果右重则有杂质球在20－22号且有杂质球较重，如果天平平衡，则有杂质球在23－24号。
第四次将23号放在左边，24号放在右边，能判断这个混有杂质的铅球的轻重。
故答案为：D
【点睛】该题考查了利用天平判断物体质量的技能，注意天平是等臂杠杆，因此两个托盘中一定要放个数相等的铅球。
5．C
【分析】天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小，所以在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。
【详解】将10瓶分成3、3、4，两个3如果平衡就在4瓶里；
4分成2、2，再称两次，两个3不平衡，在轻的里面，3分成1、1、1，再称1次能保证找到，则用天平至少称3次能判断这坏果汁的轻重。
故答案为：C
【点睛】该题考查了利用天平判断物体质量的技能，注意天平是等臂杠杆，因此两个托盘中一定要放个数相等的果汁。
6．B
【分析】把称重物品分成尽可能平均的三组，先称其中数量相同的两组，如果天平平衡，那么次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，那么次品在天平上翘的一组里面，依次找出次品所在的组，直到最后找出次品，最后根据称重过程准确数出称重次数，分别求出选项中饼干数量找出次品至少需要称重的次数，即可求得。
【详解】A．
由上可知，当有32盒饼干时，至少需要称4次才能保证找出次品。
B．
由上可知，当有25盒饼干时，至少需要称3次才能保证找出次品。
C．
由上可知，当有9盒饼干时，至少需要称2次才能保证找出次品。
D．
由上可知，当有5盒饼干时，至少需要称2次才能保证找出次品。
故答案为：B
【点睛】掌握找次品问题的解题方法是解答题目的关键。
7．3
【分析】天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小。所以，在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。
【详解】把5袋橄榄分成2、2、1三组，分别表示为ab、cd、e。
先用ab和cd称，有以下可能：①一样重，则次品就是e，仅用了1次；
②不一样重，则次品就在ab、cd中。
假设ab轻，可以把a和c互换位置，
如果质量没变，那么次品是b或d，再称1次即可；
如果质量变了，次品就是a或c，再称1次即可。共需3次。
【点睛】该题考查了利用天平判断物体质量的技能，需要学生开动脑筋，借助一定的数学思维方式进行解答。
8． 3 平均分 1个
【分析】根据找次品的方法，结合题干，直接填空即可。
【详解】用天平找次品，如果待测物品在3个或3个以上，其中有1个比正品轻或重，我们可以先把待测物品分成3份，能平均分的要平均分，不能平均分的要使多的那一份与少的那一份相差1个，这样可以保证找出次品所称的次数最少。
【点睛】本题考查了找次品，掌握找次品的方法是解题的关键。
9． 10 27
【分析】用天平找次品时，所测物品数目与测试的次数有以下关系。（只含有一个次品，已知次品比正品重或轻）
观察表格中物品数目的每一组数据中的第二个数字可得，3，需要1次；9＝3×3，需要2次；27＝3×3×3，需要3次；81＝3×3×3×3，需要4次；……据此可得需要3次测出的次品，数量在3×3＋1和3×3×3之间。
【详解】3×3＋1
＝9＋1
＝10（个）
3×3×3
＝9×3
＝27（个）
所以这堆物品最少有10个，最多有27个。
【点睛】测n次可以从[（n－1）个3相乘的积＋1]个物品到（n个3相乘的积）个物品之中找出次品。因为每次称量，都可以把待测物品平均分成三组，确定次品在其中一组当中。
10．3
【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两遍称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。
【详解】经分析得：
将24瓶分成3份：8，8，8；第一次称重，在天平两边各放8瓶，手里留8瓶；
（1）如果天平平衡，则次品在手里，将手里的8瓶分为3，3，2，在天平两边各放3瓶，手里留2瓶，
a.如果天平平衡，则次品在手里2瓶中，接下来，将这2瓶分别放在天平的两边就可以鉴别出次品；
b.如果天平不平衡，则次品在下降的天平托盘的3瓶中。
接下来，将这3瓶分成三份：1，1，1。天平的两边分别放1瓶，手里留1瓶，称重第三次就可以鉴别出次品。
（2）如果天平不平衡，则次品在下降的天平托盘的8瓶中，将这8瓶分成三份：3，3，2，在天平两边各放3瓶，手里留2瓶，
a.如果天平不平衡，则找到次品在下降的天平托盘的3瓶中，
接下来，将这3瓶分成三份：1，1，1。天平的两边分别放1瓶，手里留1瓶，称重第三次就可以鉴别出次品。
b.如果天平平衡，则次品在手中的2瓶中，再称一次就可以鉴别出次品。
故至少称3次能就能保证可以找出这一瓶。
【点睛】本题考查找次品的问题，分3份操作找到最优方法。
11．3##三
【分析】把称重物品分成尽可能平均的三组，先称其中数量相同的两组，如果天平平衡，那么次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，那么次品在天平上翘的一组里面，依次找出次品所在的组，直到最后找出次品，最后根据称重过程准确数出称重次数，据此解答。
【详解】
由上可知，如果用天平称，至少称3次可以找出这袋茶叶。
【点睛】掌握找次品问题的解题方法是解答题目的关键。
12．2；⑦；⑧；次品；③；次品
【分析】将①②③④⑤⑥平均分成2部分，平衡，说明次品在⑦⑧中，称⑦⑧，不平衡，轻的是次品；如果将①②③④⑤⑥平均分成2部分，不平衡，次品在轻的一侧，称①②，平衡，③是次品，不平衡，轻的是次品。
【详解】至少要称2次。
【点睛】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
13．√
【分析】把这8瓶钙片分成三份（3，3，2），在天平两边各放3瓶，若平衡，则次品在剩下的2瓶中，再称1次即可；若不平衡，次品在上升的3瓶中，把这3瓶分成三份（1，1，1），在天平两边各放1瓶，若平衡，剩下的那瓶就是次品，若不平衡，上升的那瓶就是次品。
【详解】由分析可知：
8瓶钙片中，有一瓶轻一些。用天平称至少要称2次才能保证找出次品。原题干说法正确。
故答案为：√
【点睛】本题考查找次品，明确把待测物品尽量平均分成三份是解题的关键。
14．×
【分析】根据题意，由于只有1个质量稍轻的次品，可以肯定这个次品在天平的左边，其他的都是正品，据此即可解答。
【详解】由分析得：
因为①＋②＜③＋④
所以次品在①和②中，③④⑤都是正品。
因此根据下图可以推断出②③④⑤号零件一定不是次品。原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题主要考查找次品的方法，根据天平作出判断是关键。
15．×
【分析】把称重物品分成尽可能平均的三组，先称其中数量相同的两组，如果天平平衡，那么次品在剩下一组里面；如果天平不平衡，那么次品在天平下降的一端里面，依次找出次品所在的组，直到最后找出次品，根据称重过程准确数出称重次数，据此解答。
【详解】
由上可知，至少用天平称4次才能找到这个次品。
故答案为：×
【点睛】掌握找次品问题的解题方法是解答题目的关键。
16．×
【分析】第一次：把81瓶口香糖分成（27、27、27）三组，称量任意两组，若天平平衡，则另外的那一组里有次品；若天平不平衡，则天平较高端的那一组里有次品；
第二次：把有次品的27瓶分成（9、9、9）三组，称量任意两组，若天平平衡，则另外的那一组里有次品；若天平不平衡，则天平较高端的那一组里有次品；
第三次：把含有次品的那一组再分为（3、3、3）三组，称量任意两组，若天平平衡，则另外的那一组里有次品；若天平不平衡，则天平较高端的那一组里有次品；
第四次：把含有次品的那一组再分为（1、1、1）三组，称量任意两组，若天平平衡，则另外的那一组里有次品；若天平不平衡，则天平较高端的那一组里有次品。
【详解】由分析可知：要找出81瓶中那瓶略轻的口香糖，如果用天平称，至少称4次能保证找出这瓶略轻的口香糖。
故答案为：×
【点睛】本题考查找次品问题，明确把待测物品尽量平均分成三份是解题的关键。
17．×
【分析】天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小，所以在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。
【详解】把7个弹珠按照3、3、1分成3份，
第一次：把其中3个的两份，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取那个是，若天平秤不平衡；
第二次：从天平秤较高端的3个中，任取2个，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取那个是，若天平秤不平衡，则天平秤较高端的那个即是。
所以利用天平，至少称量2次才能保证找出这个次品，原题说法错误；
故答案为：×
【点睛】本题主要考查学生依据天平秤平衡原理解决问题的能力，注意分的每份中弹珠的个数。
18．；；；
； ；
【分析】先通分再根据同分母分数加减法计算即可。
【详解】
＝＋－
＝
＝
＝＋－
＝
＝
＝＋－
＝
＝
＝＋－
＝
＝
＝＋－
＝
＝
＝
＝－＋
＝
＝
【点睛】本题主要考查异分母分数加减法，注意数据及符号特点，细心计算。
19．
【分析】根据题意先算加法，再算减法，据此解答。
【详解】－（＋）
＝－
＝
答：差是。
【点睛】本题主要考查异分母分数加减法，注意运算顺序，计算过程中要细心。
20．3次，过程见详解
【分析】根据题意，一个次品比正品略重一些，由于零件个数大于3，考虑将其分为3份（4，4，3），接下来将前两份称重，在每种情况下判断天平是否平衡；再平衡条件下再将零件平均分成2份进行称重，即可解答。
【详解】要由分析可得：
第一次：在天平左右两端各放4个，如果天平平衡，说明次品在剩下的三个中；如果不平衡，天平较低的一端的零件中有次品；
第二次：如果次品在三个中，天平左右两端各放一共，如果平衡，剩下的一个就是次品，如果不平衡，较低的那端的零件就是次品；如果次品在四个中，天平左右两端各放两个，次品在较低的两个零件中；
第三次：把次品所在的两个零件分别放在天平左右两端，较低的一端的那个零件就是次品。
所以至少称3次就一定能找出这个次品。
【点睛】本题属于找次品问题，需要明确：质量重的零件是次品。
21．2次；图见详解
【分析】天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小，所以，在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。
【详解】先把9袋方便面平均分成3份，每份3袋，先拿其中两份进行称重，哪边轻次品就在哪边，将轻的那边的3袋任拿两袋称重，哪个轻哪个就是次品，两袋如果一样，剩下的那袋是次品；
如果重量相同，则次品在剩下的3袋里，再将剩下的3袋任拿两袋称重，哪个轻哪个就是次品，两袋如果一样，剩下的那袋就是次品。
所以至少要称2次。
作图如下：
【点睛】该题考查了利用天平判断物体质量的技能，注意天平是等臂杠杆，因此两个托盘中一定要放相等数量的方便面。
22．（1）3次
（2）有可能。因为如果在天平的左右两边各放10瓶，天平正好平衡，则剩下的1瓶就是不合格产品。
【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【详解】（1）将21瓶分成（7、7、7），称（7、7），无论平衡不平衡，都可确定次品在其中7瓶；将7瓶分成（2、2、3），称（2、2），只考虑最不利的情况，平衡，次品在3瓶中；将3瓶分成（1、1、1），称（1、1），再称1次即可确定次品，共3次。
（2）有可能。因为如果在天平的左右两边各放10瓶，天平正好平衡，则剩下的1瓶就是不合格产品。
【点睛】在生活中，常常出现这样的情况：在一些看似完全相同的物品中混着轻一点或者重一点的物品，需要我们想办法把它找出来，我们把这类问题叫做找次品。
23．4次
【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。据此解答。
【详解】把35瓶水分成3份，即（12，12，11）。
第一次称，天平两边各放12瓶，如果天平不平衡，加盐的那瓶水就在较重的12瓶中；如果天平平衡，加盐的那瓶水在剩下的11瓶中。
考虑最不利原则，加盐的那瓶水在数量多的里面，把较重的12瓶水平均分成3份，即（4，4，4），第二次称，天平两边各放4瓶，如果天平不平衡，次品就在较重的4瓶中；如果天平平衡，次品在剩下的4瓶中。
再把较重的4瓶水分成（1，1，2），第三次称，天平两边各放1瓶，如果天平不平衡，加盐的那瓶水就是较重的那瓶；如果天平平衡，加盐的那瓶水就在剩下的2瓶中。
最后把较重的2瓶水分成2份，即（1，1），第四次称，天平两边各放1瓶，天平不平衡，加盐的那瓶水就是较重的那瓶。
答：至少称4次就能保证找出加盐的那瓶水。
【点睛】掌握找次品的最优策略是解题的关键。
24．4次（过程见详解）
【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找出次品为止，据此解答。
【详解】第一次，把36盒饼干分成3份（12，12，12），任意取出12盒饼干的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，较重的那盒饼干在未取的一份中，若天平不平衡，取较重的一份继续；
第二次，取较重的一份12盒平均分成3份（4，4，4），取4盒饼干的两份分别放在天平的两侧，若天平平衡，较重的那盒饼干在未取的一份中，若天平不平衡，取较重的一份继续；
第三次，取较重的一份4盒，平均分成2份（2，2），分别放在天平的两侧，天平不平衡，较重一端是略重的那盒饼干；
第四次，取较重的一份两盒分成2份（1，1），分别放在天平两侧，较重一端是略重的那盒饼干。
所以用天平至少称4次才能保证找出这盒饼干。
答：至少称4次才能保证找到这盒饼干。
【点睛】解答本题的关键是将所给物品进行合理分组，逐次称量，即可找出次品。
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一、选择题
1．一箱药品有16盒，其中15盒的质量相同，有1盒的质量不足，轻一些。如果用天平称，至少称（ ）次才能保证把质量不足的那盒找出来。
A．1 B．2 C．3 D．4
2．有8瓶同样的钙片，其中1瓶被吃了3片。要找出这瓶比较轻的钙片，如果用天平称，下面（ ）种分法比较合理。
A． B． C． D．
3．百味盐为先，福建“闽盐”牌生态海盐是有名的老字号海盐。有4袋海盐，其中3袋质量都是500g，另有1袋质量不是500g，但不知道是比500g轻还是比500g重。如果用天平称，至少需要称（ ）次才能知道这袋海盐是比500g重还是轻。
A．1 B．2 C．3 D．4
4．体育老师有24个外形完全一样的铅球，其中一个混有杂质，但是不知道与真球相比的轻重，请问用无砝码的天平至少称（ ）次能判断这个混有杂质的铅球的轻重。
A．1 B．2 C．3 D．4
5．10瓶果汁，其中1瓶坏了，但不知道比另外9瓶轻还是重，请问用无砝码的天平至少称（ ）次能判断这瓶果汁的轻重。
A．1 B．2 C．3 D．4
6．若干盒同样的饼干，其中有1盒轻一些，用天平称，至少需要称3次才能保证找出次品，可能有（ ）盒饼干。
A．32 B．25 C．9 D．5
二、填空题
7．闽侯橄榄是福建珍果，营养丰富。林奶奶有5袋包装一样的橄榄，其中4袋质量都是1kg，另1袋质量不是1kg，但不知道比1kg重还是轻。如果用天平称，至少称( )次就可以保证找出这袋橄榄。
8．用天平找次品，如果待测物品在3个或3个以上，其中有1个比正品轻或重，我们可以先把待测物品分成( )份，能平均分的要( )，不能平均分的要使多的那一份与少的那一份相差( )，这样可以保证找出次品所称的次数最少。
9．已知一堆物品中有1个次品（比正品轻），如果至少称3次就能保证找出这个次品，这堆物品最少有( )个，最多有( )个。
10．灰太狼用1瓶变形药水（质量比纯净水要稍重一点）偷换了羊村的24瓶纯净水中的1瓶，聪明的喜羊羊至少要称( )次，才能保证找出这瓶变形药水。
11．福建茶叶闻名遐迩，人们对茶情有独钟。钟老板包好10袋茶叶准备送给顾客，可是其中有9袋每袋重50g，另1袋不足50g。如果用天平称，至少称( )次可以找出这袋茶叶。
12．称一称。
有8支牙膏（编号分别为①②③④⑤⑥⑦⑧），其中7支质量相同，1支是次品（轻一些）。用天平找出这支牙膏，至少要称（ ）次。试着在下图中表示出称的过程。
三、判断题
13．8瓶钙片中，有一瓶轻一些。用天平称至少要称2次才能保证找出次品。( )
14．有①、②、③、④、⑤5个零件，其中有1个质量稍轻的次品。根据下图可以推断出②③④⑤号零件一定不是次品。( )
15．30个乒乓球中有一个质量稍重，用天平称3次就能找到这个次品。( )
16．81瓶口香糖中混有1瓶略轻的口香糖，用天平称，至少称5次一定可以找到那瓶略轻的口香糖。( )
17．从7个弹珠中找一个稍轻的次品，至少要称3次才能保证找出次品。( )
四、计算题
18．算一算。
19．从中减去与的和，差是多少？
五、解答题
20．有11个零件，其中有一个是次品，比正品重，用天平至少称几次就一定能找出这个次品？请写出你称的过程。
21．有9袋方便面，其中有8袋质量相同，另有一袋缺6克，用天平称，至少称几次就一定能保证找出这袋质量轻的方便面？请绘图表示你称的过程。
22．永春老醋是全国四大名醋之一。质监部门对某企业生产的永春老醋进行质量抽测，在抽测的21瓶永春老醋中有1瓶不合格（质量稍轻一些）。
（1）至少称几次能保证将这瓶不合格产品找出来？
（2）如果在天平的左右两边各放10瓶永春老醋，只称1次有可能称出来吗？为什么？
23．同样体积的水和盐水，盐水稍重一些。如果用天平称，至少称几次就能保证找出加盐的那瓶水？
24．有36盒同一种规格的饼干，其中有一盒稍重一些。如果用天平称，至少称几次才能保证找到这盒饼干？请写出简要的过程。
参考答案：
1．C
【分析】把16盒药品分成3份，即（5，5，6）；第一次称，天平两边各放5盒，如果天平不平衡，次品就在较轻的5盒中；如果天平平衡，次品在剩下的6盒中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，把有次品的6盒药品平均分成3份，即（2，2，2）。第二次称，天平两边各放2盒，如果天平不平衡，次品就在较轻的2盒中；如果天平平衡，次品在剩下的2盒中；最后把有次品的2盒药品分成2份，即（1，1），第三次称，天平两边各放1盒，次品就是较轻的那一盒。所以至少称3次才能保证找出次品。
【详解】
至少称3次才能保证把质量不足的那盒找出来。
故答案为：C
【点睛】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。
2．D
【分析】天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小。所以，在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。
【详解】把8瓶钙片分成三份，分别是：3瓶、3瓶、2瓶；先把两份3瓶的分别放在天平的两边，如果平衡，就把剩下的两瓶分别放在天平的两边，即可找出轻一些的那瓶来。如果不平衡，看哪边轻，把稍轻的那边的3瓶，取2瓶分别放在天平的两边，若平衡就是没往天平上放的那一瓶，若不平衡，哪边轻哪边就是那瓶轻的，所以至少要称2次，才能保证找出那瓶轻一些的钙片。
故答案为：D
【点睛】本题考查了找次品，找次品时，第一次分组尽量将样品分成数量相等或数量相近的3份。
3．B
【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【详解】把4袋海盐分成1、1、2三组，编号分别为①②③④。先称①和②，有以下两种可能：一样重，则次品就是③或④，再用①与③称，若平衡，次品就是④，若不平衡，次品就是③；不一样重，则次品就是①或②，再用③与①称，若平衡，次品就是②，若不平衡，次品就是①。两种可能，都需2次。
故答案为：B
【点睛】在生活中，常常出现这样的情况：在一些看似完全相同的物品中混着轻一点或者重一点的物品，需要我们想办法把它找出来，我们把这类问题叫做找次品。
4．D
【分析】天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小，所以在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。
【详解】先把球任意编号1－24，然后分成3份，
第一次，先将1－8号放在左边，9－16号放在右边；如果天平平衡，则有杂质球在17－24号。
第二次将1－8号放在左边，17－24号放在右边；如果右重则有杂质球在17－24号且有杂质球较重。
第三次将17－19号放在左边，20－22号放在右边；如果右重则有杂质球在20－22号且有杂质球较重，如果天平平衡，则有杂质球在23－24号。
第四次将23号放在左边，24号放在右边，能判断这个混有杂质的铅球的轻重。
故答案为：D
【点睛】该题考查了利用天平判断物体质量的技能，注意天平是等臂杠杆，因此两个托盘中一定要放个数相等的铅球。
5．C
【分析】天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小，所以在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。
【详解】将10瓶分成3、3、4，两个3如果平衡就在4瓶里；
4分成2、2，再称两次，两个3不平衡，在轻的里面，3分成1、1、1，再称1次能保证找到，则用天平至少称3次能判断这坏果汁的轻重。
故答案为：C
【点睛】该题考查了利用天平判断物体质量的技能，注意天平是等臂杠杆，因此两个托盘中一定要放个数相等的果汁。
6．B
【分析】把称重物品分成尽可能平均的三组，先称其中数量相同的两组，如果天平平衡，那么次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，那么次品在天平上翘的一组里面，依次找出次品所在的组，直到最后找出次品，最后根据称重过程准确数出称重次数，分别求出选项中饼干数量找出次品至少需要称重的次数，即可求得。
【详解】A．
由上可知，当有32盒饼干时，至少需要称4次才能保证找出次品。
B．
由上可知，当有25盒饼干时，至少需要称3次才能保证找出次品。
C．
由上可知，当有9盒饼干时，至少需要称2次才能保证找出次品。
D．
由上可知，当有5盒饼干时，至少需要称2次才能保证找出次品。
故答案为：B
【点睛】掌握找次品问题的解题方法是解答题目的关键。
7．3
【分析】天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小。所以，在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。
【详解】把5袋橄榄分成2、2、1三组，分别表示为ab、cd、e。
先用ab和cd称，有以下可能：①一样重，则次品就是e，仅用了1次；
②不一样重，则次品就在ab、cd中。
假设ab轻，可以把a和c互换位置，
如果质量没变，那么次品是b或d，再称1次即可；
如果质量变了，次品就是a或c，再称1次即可。共需3次。
【点睛】该题考查了利用天平判断物体质量的技能，需要学生开动脑筋，借助一定的数学思维方式进行解答。
8． 3 平均分 1个
【分析】根据找次品的方法，结合题干，直接填空即可。
【详解】用天平找次品，如果待测物品在3个或3个以上，其中有1个比正品轻或重，我们可以先把待测物品分成3份，能平均分的要平均分，不能平均分的要使多的那一份与少的那一份相差1个，这样可以保证找出次品所称的次数最少。
【点睛】本题考查了找次品，掌握找次品的方法是解题的关键。
9． 10 27
【分析】用天平找次品时，所测物品数目与测试的次数有以下关系。（只含有一个次品，已知次品比正品重或轻）
观察表格中物品数目的每一组数据中的第二个数字可得，3，需要1次；9＝3×3，需要2次；27＝3×3×3，需要3次；81＝3×3×3×3，需要4次；……据此可得需要3次测出的次品，数量在3×3＋1和3×3×3之间。
【详解】3×3＋1
＝9＋1
＝10（个）
3×3×3
＝9×3
＝27（个）
所以这堆物品最少有10个，最多有27个。
【点睛】测n次可以从[（n－1）个3相乘的积＋1]个物品到（n个3相乘的积）个物品之中找出次品。因为每次称量，都可以把待测物品平均分成三组，确定次品在其中一组当中。
10．3
【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两遍称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。
【详解】经分析得：
将24瓶分成3份：8，8，8；第一次称重，在天平两边各放8瓶，手里留8瓶；
（1）如果天平平衡，则次品在手里，将手里的8瓶分为3，3，2，在天平两边各放3瓶，手里留2瓶，
a.如果天平平衡，则次品在手里2瓶中，接下来，将这2瓶分别放在天平的两边就可以鉴别出次品；
b.如果天平不平衡，则次品在下降的天平托盘的3瓶中。
接下来，将这3瓶分成三份：1，1，1。天平的两边分别放1瓶，手里留1瓶，称重第三次就可以鉴别出次品。
（2）如果天平不平衡，则次品在下降的天平托盘的8瓶中，将这8瓶分成三份：3，3，2，在天平两边各放3瓶，手里留2瓶，
a.如果天平不平衡，则找到次品在下降的天平托盘的3瓶中，
接下来，将这3瓶分成三份：1，1，1。天平的两边分别放1瓶，手里留1瓶，称重第三次就可以鉴别出次品。
b.如果天平平衡，则次品在手中的2瓶中，再称一次就可以鉴别出次品。
故至少称3次能就能保证可以找出这一瓶。
【点睛】本题考查找次品的问题，分3份操作找到最优方法。
11．3##三
【分析】把称重物品分成尽可能平均的三组，先称其中数量相同的两组，如果天平平衡，那么次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，那么次品在天平上翘的一组里面，依次找出次品所在的组，直到最后找出次品，最后根据称重过程准确数出称重次数，据此解答。
【详解】
由上可知，如果用天平称，至少称3次可以找出这袋茶叶。
【点睛】掌握找次品问题的解题方法是解答题目的关键。
12．2；⑦；⑧；次品；③；次品
【分析】将①②③④⑤⑥平均分成2部分，平衡，说明次品在⑦⑧中，称⑦⑧，不平衡，轻的是次品；如果将①②③④⑤⑥平均分成2部分，不平衡，次品在轻的一侧，称①②，平衡，③是次品，不平衡，轻的是次品。
【详解】至少要称2次。
【点睛】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
13．√
【分析】把这8瓶钙片分成三份（3，3，2），在天平两边各放3瓶，若平衡，则次品在剩下的2瓶中，再称1次即可；若不平衡，次品在上升的3瓶中，把这3瓶分成三份（1，1，1），在天平两边各放1瓶，若平衡，剩下的那瓶就是次品，若不平衡，上升的那瓶就是次品。
【详解】由分析可知：
8瓶钙片中，有一瓶轻一些。用天平称至少要称2次才能保证找出次品。原题干说法正确。
故答案为：√
【点睛】本题考查找次品，明确把待测物品尽量平均分成三份是解题的关键。
14．×
【分析】根据题意，由于只有1个质量稍轻的次品，可以肯定这个次品在天平的左边，其他的都是正品，据此即可解答。
【详解】由分析得：
因为①＋②＜③＋④
所以次品在①和②中，③④⑤都是正品。
因此根据下图可以推断出②③④⑤号零件一定不是次品。原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题主要考查找次品的方法，根据天平作出判断是关键。
15．×
【分析】把称重物品分成尽可能平均的三组，先称其中数量相同的两组，如果天平平衡，那么次品在剩下一组里面；如果天平不平衡，那么次品在天平下降的一端里面，依次找出次品所在的组，直到最后找出次品，根据称重过程准确数出称重次数，据此解答。
【详解】
由上可知，至少用天平称4次才能找到这个次品。
故答案为：×
【点睛】掌握找次品问题的解题方法是解答题目的关键。
16．×
【分析】第一次：把81瓶口香糖分成（27、27、27）三组，称量任意两组，若天平平衡，则另外的那一组里有次品；若天平不平衡，则天平较高端的那一组里有次品；
第二次：把有次品的27瓶分成（9、9、9）三组，称量任意两组，若天平平衡，则另外的那一组里有次品；若天平不平衡，则天平较高端的那一组里有次品；
第三次：把含有次品的那一组再分为（3、3、3）三组，称量任意两组，若天平平衡，则另外的那一组里有次品；若天平不平衡，则天平较高端的那一组里有次品；
第四次：把含有次品的那一组再分为（1、1、1）三组，称量任意两组，若天平平衡，则另外的那一组里有次品；若天平不平衡，则天平较高端的那一组里有次品。
【详解】由分析可知：要找出81瓶中那瓶略轻的口香糖，如果用天平称，至少称4次能保证找出这瓶略轻的口香糖。
故答案为：×
【点睛】本题考查找次品问题，明确把待测物品尽量平均分成三份是解题的关键。
17．×
【分析】天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小，所以在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。
【详解】把7个弹珠按照3、3、1分成3份，
第一次：把其中3个的两份，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取那个是，若天平秤不平衡；
第二次：从天平秤较高端的3个中，任取2个，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取那个是，若天平秤不平衡，则天平秤较高端的那个即是。
所以利用天平，至少称量2次才能保证找出这个次品，原题说法错误；
故答案为：×
【点睛】本题主要考查学生依据天平秤平衡原理解决问题的能力，注意分的每份中弹珠的个数。
18．；；；
； ；
【分析】先通分再根据同分母分数加减法计算即可。
【详解】
＝＋－
＝
＝
＝＋－
＝
＝
＝＋－
＝
＝
＝＋－
＝
＝
＝＋－
＝
＝
＝
＝－＋
＝
＝
【点睛】本题主要考查异分母分数加减法，注意数据及符号特点，细心计算。
19．
【分析】根据题意先算加法，再算减法，据此解答。
【详解】－（＋）
＝－
＝
答：差是。
【点睛】本题主要考查异分母分数加减法，注意运算顺序，计算过程中要细心。
20．3次，过程见详解
【分析】根据题意，一个次品比正品略重一些，由于零件个数大于3，考虑将其分为3份（4，4，3），接下来将前两份称重，在每种情况下判断天平是否平衡；再平衡条件下再将零件平均分成2份进行称重，即可解答。
【详解】要由分析可得：
第一次：在天平左右两端各放4个，如果天平平衡，说明次品在剩下的三个中；如果不平衡，天平较低的一端的零件中有次品；
第二次：如果次品在三个中，天平左右两端各放一共，如果平衡，剩下的一个就是次品，如果不平衡，较低的那端的零件就是次品；如果次品在四个中，天平左右两端各放两个，次品在较低的两个零件中；
第三次：把次品所在的两个零件分别放在天平左右两端，较低的一端的那个零件就是次品。
所以至少称3次就一定能找出这个次品。
【点睛】本题属于找次品问题，需要明确：质量重的零件是次品。
21．2次；图见详解
【分析】天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小，所以，在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。
【详解】先把9袋方便面平均分成3份，每份3袋，先拿其中两份进行称重，哪边轻次品就在哪边，将轻的那边的3袋任拿两袋称重，哪个轻哪个就是次品，两袋如果一样，剩下的那袋是次品；
如果重量相同，则次品在剩下的3袋里，再将剩下的3袋任拿两袋称重，哪个轻哪个就是次品，两袋如果一样，剩下的那袋就是次品。
所以至少要称2次。
作图如下：
【点睛】该题考查了利用天平判断物体质量的技能，注意天平是等臂杠杆，因此两个托盘中一定要放相等数量的方便面。
22．（1）3次
（2）有可能。因为如果在天平的左右两边各放10瓶，天平正好平衡，则剩下的1瓶就是不合格产品。
【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【详解】（1）将21瓶分成（7、7、7），称（7、7），无论平衡不平衡，都可确定次品在其中7瓶；将7瓶分成（2、2、3），称（2、2），只考虑最不利的情况，平衡，次品在3瓶中；将3瓶分成（1、1、1），称（1、1），再称1次即可确定次品，共3次。
（2）有可能。因为如果在天平的左右两边各放10瓶，天平正好平衡，则剩下的1瓶就是不合格产品。
【点睛】在生活中，常常出现这样的情况：在一些看似完全相同的物品中混着轻一点或者重一点的物品，需要我们想办法把它找出来，我们把这类问题叫做找次品。
23．4次
【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。据此解答。
【详解】把35瓶水分成3份，即（12，12，11）。
第一次称，天平两边各放12瓶，如果天平不平衡，加盐的那瓶水就在较重的12瓶中；如果天平平衡，加盐的那瓶水在剩下的11瓶中。
考虑最不利原则，加盐的那瓶水在数量多的里面，把较重的12瓶水平均分成3份，即（4，4，4），第二次称，天平两边各放4瓶，如果天平不平衡，次品就在较重的4瓶中；如果天平平衡，次品在剩下的4瓶中。
再把较重的4瓶水分成（1，1，2），第三次称，天平两边各放1瓶，如果天平不平衡，加盐的那瓶水就是较重的那瓶；如果天平平衡，加盐的那瓶水就在剩下的2瓶中。
最后把较重的2瓶水分成2份，即（1，1），第四次称，天平两边各放1瓶，天平不平衡，加盐的那瓶水就是较重的那瓶。
答：至少称4次就能保证找出加盐的那瓶水。
【点睛】掌握找次品的最优策略是解题的关键。
24．4次（过程见详解）
【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找出次品为止，据此解答。
【详解】第一次，把36盒饼干分成3份（12，12，12），任意取出12盒饼干的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，较重的那盒饼干在未取的一份中，若天平不平衡，取较重的一份继续；
第二次，取较重的一份12盒平均分成3份（4，4，4），取4盒饼干的两份分别放在天平的两侧，若天平平衡，较重的那盒饼干在未取的一份中，若天平不平衡，取较重的一份继续；
第三次，取较重的一份4盒，平均分成2份（2，2），分别放在天平的两侧，天平不平衡，较重一端是略重的那盒饼干；
第四次，取较重的一份两盒分成2份（1，1），分别放在天平两侧，较重一端是略重的那盒饼干。
所以用天平至少称4次才能保证找出这盒饼干。
答：至少称4次才能保证找到这盒饼干。
【点睛】解答本题的关键是将所给物品进行合理分组，逐次称量，即可找出次品。
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