一次函数[下学期]

6.2 一次函数
一. 教材的地位和意义
本节通过弹簧长度与所挂物体质量、汽车行驶路程与油箱剩余油量两个具体的一次函数的铺垫，引导学生概括出一次函数和正比例函数的概念，明确了一次函数与正比例函数之间的关系，通过写一些简单的函数表达式并判断它们是否为一次函数与正比例函数，进一步加深对一次函数的理解，通过学习能让学生利用一次函数解决一些实际的问题，培养学生的函数意识．
二. 教学内容
1. 一次函数和正比例函数的概念，以及它们之间的关系。
2. 根据所给条件写出简单的一次函数表达式。
三．教学重点
1.一次函数、正比例函数的概念及关系。
2.会根据已知信息写出一次函数的表达式。
四.教学难点
1. 理解函数概念。
五. 教 学 活 动 过 程
（一）复习前课 设置情境
上一节课，我们学习了函数的概念，函数是怎么定义的？ 在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么，我们称y是x的函数。其中，x是自变量，y是因变量。
今天，我们继续研究函数，我们要研究一个较为简单、应用广泛的函数——一次函数 。
（二） 讲授新课
1. 我们先看一个生活中的实际例子。大家都见过弹簧秤。
某弹簧自然长度是3厘米，在弹性限度内，所挂物体质量x每增加1千克，弹簧长度y增加0.5厘米。（教材P182）
问1 在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 。
问2 计算所挂重物分别为1千克、2千克、3千克、4千克、5千克时，弹簧的长度，并填入下表：
x千克 0 1 2 3 4 5
y厘米
问3 你能写出x与y之间的关系式吗？
分析： 当挂1千克重物时，弹簧长度增加1×0.5
当挂2千克重物时，弹簧长度增加2×0.5
当挂3千克重物时，弹簧长度增加3×0.5
当挂4千克重物时，弹簧长度增加4×0.5
当挂5千克重物时，弹簧长度增加5×0.5
当挂x千克重物时，弹簧长度增加x×0.5
所以，挂x千克重物时，弹簧的长度是3+ x×0.5，
即 y=3+0.5x
这个关系式反映了弹簧长度y随所挂重物质量x变化而变化的数量关系。注意，我们在写关系式的时候，将因变量单独写在等号的左边，将含有自变量的代数式写在等号的右边。
2.我们再看一个生活中的例子，这个例子是教科书p182 做一做
某辆汽车油箱中原有油100升,汽车每行驶50千米耗油9升。
问1：完成下表
汽车行使路程x千米 0 50 100 150 200 300
油箱中剩余油量y升
请同学填表，并分析是如何填出来的。每50千米耗油9升，那么100千米耗两个9升，150千米耗3个9升……
问2：你能写出x与y之间的关系式吗？
分析：50千米耗油9升，则每千米耗油升，x 千米耗油x×升，
所以剩余油量 y=100-x
3.请同学们观察我们所列两个关系式 y=3+0.5x ； y=100-x
思考它们有什么共同点？
它们的因变量y都等于自变量x乘以一个倍数k再加上一个常数b。我们把这种形式的函数叫做一次函数。
板书：
1. 一次函数
定义：若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x是自变量，y是因变量）
2. 正比例函数
定义：特别地，当b=0时，一次函数y=kx+b就是y=kx（k为常数，k≠0），则称y是x的正比例函数。
分析定义：一次函数从关系式来看，它的特征是因变量y等于自变量x的k倍再加上一个常数b，即y=kx+b，其中k≠0，而b可以是一切实数。
当一次函数中的b=0时，因变量等于自变量的k倍，即y=kx，这种形式的函数就叫做正比例函数。
请思考一次函数与正比例函数之间的关系：
正比例函数是一次函数的一种特殊情形，
一次函数包含了正比例函数
4. 例1 下列函数中，一次函数有 ，正比例函数有 。
① y=-x-4 (是一次函数，不是正比例函数)
② y= (不是一次函数，不是正比例函数)
③ y= (是一次函数，也是正比例函数)
④ y= (不是一次函数，不是正比例函数)
是正比例函数也就肯定是一次函数，是一次函数不一定是正比例函数
5.例2 写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ （教科书P183 例1）
（1） 汽车以69千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系。
解：路程=速度×时间
y=60x y是x一次函数，也是x正比例函数
（2）圆的面积y (平方厘米)与它的半径x (厘米)之间的关系
解：由圆的面积公式，得y=, y不是x的正比例函数，也不是x的一次函数。
（3）一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这棵树的高度为y厘米。
解：这棵树每月长高2厘米，x个月长高了2x厘米，
因而y=50+2x, y是x的一次函数，但不是x的正比例函数。
6. 练习1 某通讯公司手机的A类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费50元，另外，每通话1分交费0.4元。
（1）写出每月应缴费用y（元）与通话时间x（分）之间的关系式
y=50+0.4x (是一次函数)
（2）某手机用户这个月通话时间为152分钟，他应缴费多少元？
50+0.4×152=110.8
（3）如果该手机用户本月预交了200元的话费，那么该用户本月可通话多长时间？
200=50+0.4x
0.4x=150
x=375
练习2 通讯公司手机的B类收费标准如下：没有月租费，但每通话1分交费0.6元。
（1）写出每月应缴费用y（元）与通话时间x（分）之间的关系式
y=0.6x (是正比例函数)
（2）某手机用户这个月通话时间为152分钟，他应缴费多少元？
0.6×152=91.2
（3）如果该手机用户本月预交了200元的话费，那么该用户本月可通话多长时间？
200=0.6x
x=333.3
练习3 根据练习1、2题中的条件，完成下列各题：
（1） 若每月平均通话300分钟，你选择哪类收费方式？
A类： y=50+0.4×300=170
B类： y=0.6×300=180
选择A类收费方式
（2） 每月通话多长时间，按A、B两类收费标准缴费，所缴话费相等？
解：所缴话费相等，则
50+0.4x=0.6x
0.2x=50
x=250
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