2023 年邵阳市二中高二年级数学期中考试试卷
时间：120min 满分：150 分 命题： 审题：
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
1．已知集合 A x x 1 x， B x 2 1 ，则 A B （ ）
A． 1, B． 1, C． 0,1 D． 0,1
2．若 iz 2 i，则 z （ ）
A．1 2i B． 1 2i C．1 2i D． 1 2i
3．设 x R，则“0 x 3 ”是“ x 1 2 ” 的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若 f sin 2 cos2 ，则 f cos 等于（ ）
A．2 cos2 B． 2 cos2 C． 2 sin D． 2 cos
5．设 a log2 π，b sin1， c π2，则（ ）
A． a b c B．b a c C． a c b D． c b a
x26 y
2
．椭圆 2 1 a 3a 3 的左、右焦点分别为 F1，F2，A为上顶点，若△AF1F2的面积为 3，则△AF1F2的
周长为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
7．世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数
y x ， x 表示不超过 x的最大整数，例如 1.1 1， 1.1 2 4 1 .已知 f x x ， x ,6 ，则函数 x 2
f x 的值域为（ ）
A． 4,6,8 B． 4,5,6 C． 4,5,6,7,8 D． 4,8
8 F x
2 y2
．已知 1 c,0 、 F2 c, 0 是双曲线C : 1（ a 0，b 0）的左、右焦点， F2 关于双曲线的一条渐a b2 1
近线的对称点为 P，且点 P在抛物线 y2 4cx上，则双曲线的离心率为（ ）
A B 2 C 5 D 5 1． 2 1 ． ． ．
2
二、多选题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，选错得 0 分）
9．以下说法正确的是（ ）
试卷第 1页，共 4页
A．89，90，91，92，93，94，95，96，97的第 75百分位数为 95
B．具有相关关系的两个变量 x，y的一组观测数据（x1，y1），（x2，y2）， ， xn , yn ，由此得到的线性
回归方程为 y b x a ，回归直线 y b x a 至少经过点（x1，y1），（x2，y2）， ， xn , yn 中的一个点
C．相关系数 r的绝对值越接近于 1，两个随机变量的线性相关性越强
D．已知随机事件 A，B满足 P(A) 0，P B 0，且 P B | A P B ，则事件 A与 B不互斥
10．已知数列 an bn ，下列说法正确的有（ ）
A．若 an 2 5n，则 an 为递减数列
B．若b1 0,bn 1 3bn，则 bn 为等比数列
C．若数列 bn 的公比 q 1，则 bn 为递减数列
D．若数列 an 的前 n 2项和 Sn 2n 2n 1，则 an 为等差数列
9
11．已知 f x x2
1
，则下列说法中正确的有（ ）
x
A． f x 的展开式中的常数项为 84
B． f x 1的展开式中不含 3 的项x
C． f x 的展开式中的各项系数之和与二项式系数之和相等
D． f x 的展开式中的二项式系数最大的项是第四项和第五项
12．如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 M是棱DD1上的动点（不含端点），则（ ）
A．过点 M有且仅有一条直线与 AB， B1C1都垂直
B．有且仅有一个点 M到 AB， B1C1的距离相等
C．过点 M有且仅有一条直线与 AC1， BB1都相交
D．有且仅有一个点 M满足平面MAC1 平面MBB1
三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13．已知 a 2,k ,b 1, 2 ，若 a / /b，则 k ______.
14．若直线 l : x 2y m 0 与圆C : x2 y2 2 y 4 0相切，则实数m _________．
试卷第 2页，共 4页
15．为维护国家海洋安全权益，我国海军的 5艘战舰出海执行任务，有 2艘是驱逐舰，3艘是护卫舰，在一
字形编队时，3艘护卫舰中恰有 2艘相邻的概率是______.
x 2, x a
16．已知函数 f (x) 2 b x f x bx x 1,x a ，若对任意实数 ，总存在实数 0，使得 0 ，则实数
a的取值范
围是__________．
四、解答题(本题共 6 小题，共 70 分)
17．(10分)已知△ABC的内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且满足 (b c)2 a 2 bc ．
(1)求角 A的大小；
(2)若a 2,sinC 2sin B，求△ABC的面积．
18．（12分）近年来，凭借主旋律电影的出色表现，我国逐渐成为全球电影票房最高的市场．2022年十一
期间热映的某主旋律电影票房超过 16亿元．某研究性学习小组就是否看过该电影对影迷进行随机抽样调查，
调查数据如下表（单位：人）．
是 否 合计
青年（30岁以下） 45 5 50
中年（30岁（含）以上） 35 15 50
合计 80 20 100
(1)是否有 99%的把握认为选择看该电影与年龄有关？
(2)将频率视为概率，若从众多影迷中随机抽取 10人，记其中看过该电影的人数为 ，求随机变量 的数学
期望及方差．
n ad bc 2
附：K 2 a b c d ，其中n a b c d．a c b d
P K 2 k0 0.050 0.010 0.001
k0 3.841 6.635 10.828
试卷第 3页，共 4页
19．（12分）在数列 an 中， a1 a，前 n项和为 Sn，且 an 1 2Sn 2 .
(1)若数列 an 为等比数列，求 a的值；
(2)在（1）的条件下，若bn an log3 Sn 1 ，求数列 bn 的前 n项和Tn .
20．（12分）如图，四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD为矩形， PA 平面 ABCD，E为 PD的中点．
(1)证明： PB / /平面 AEC；
(2)设二面角D AE C为 60°， AP 1， AD 3，求三棱锥 E ACD的体积．
21．（12分）已知 O为坐标原点，F为抛物线C : y2 2 px( p 0)的焦点，抛物线 C过点M (6, 6)．
(1)求抛物线 C的标准方程；
(2)已知直线 l与抛物线 C交于 A，B两点，且OA OB，证明：直线 l过定点．
22．已知函数 f x aln x 2 x a R .
(1)讨论 f (x)的单调性和最值；
2 1 m
(2) x若关于 x的方程 e ln (m 0) x x
2
有两个不等的实数根 x , x ，求证： e 1 e 2 .
m m x 2 1 2 m
试卷第 4页，共 4页2023 年邵阳市二中高二数学期中考试数学答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C A A B A C C D ACD AB AC ABC
3 13
13．4 14． 3或 7 15 ． 16． ,3
5 4
17． （1）由 (b c)2 a 2 bc 整理得b2 c2 a2 bc，
cos A b
2 c2 a2 bc 1
，由 A 0, π A π， ；
2bc 2bc 2 3
（2） sinC 2sin B， 由正弦定理得 c 2b，①，
又b2 c2 4 bc，②，
b 2 3 ,c 4 3 S 1bc sinA 1 2 3 4 3 3 2 3由①②得 ， ABC .3 3 2 2 3 3 2 3
18 100 45 15 35 5
2
．（1）解：因为K 2 6.25 6.635，
80 20 50 50
所以没有 99%的把握认为选择看该电影与年龄有关；
45 35 8
（2）解：由题意知，看过该电影的频率为 ，
100 10
8
将频率视为概率，则 ~ B 10, ，
10
所以随机变量
8 8 8
的数学期望为 E 10 8，方差为D 10 1 1.6．
10 10 10
19．（1）因为 an 1 2Sn 2，所以当 n 2时，则有 an 2Sn 1 2，
两式相减可得： an 1 an 2an，所以 an 1 3an，因为数列 an 为等比数列，
所以 a2 3a1 2a1 2，也即3a 2a 2，所以 a 2 .
n 1 2(1 3n )
（2）由（1）可知： an 2 3 ， Sn 3
n 1，
1 3
n 1
所以bn an log3 Sn 1 2n 3 ，
所以Tn b1 b2 b2 bn 1 bn ，
T 2 30 4 31 6 32 2(n 1) 3n 2即 n 2n 3
n 1
①
1 2 3 n 1 n
所以3Tn 2 3 4 3 6 3 2(n 1) 3 2n 3 ②
n
0
①减②可得： 2Tn 2 3 2 3
1 2 32 2 3n 1 2n 3n 2 1 3 2n 3 n 3 n 1 2n 3 n ，
1 3
答案第 1页，共 4页
所以T
1 1
n (n ) 3
n .
2 2
20．（1）证明：连接 BD交 AC于点 O，连按 OE．
因为底面 ABCD为矩形，所以点 O为 BD的中点，
又 E为 PD的中点，所以OE / /PB，
因为OE 平面 AEC， PB 平面 AEC， 所以 PB / /平面 AEC．
（2）以 A为原点，直线 AB、AD、AP分别为 x、y、z轴建立空间直角坐标系，
设 AB = a，则D 0, 3,0 ， A 0,0,0 E 3 1， 0, ,2 2 ，C a, 3,0 ，
3 1
所以 AE 0, , ， AC a, 3,02 2 ，
设 n x, y, z 是平面 AEC的法向量，
n AE 3 y 1
z 0 y
a
x
则 2 2 ，解得： 3 ，
n AC ax 3 y 0
z 3y
令 x 3，得 n 3, a, 3a ，
又因为 AB a,0,0 是平面 AED的一个法向量，
cos AB, n 3a cos60 1 3所以 ，解得 a ，
a 3 4a 2 2 2
答案第 2页，共 4页
V 1 1所以 E ACD AD CD
1
AP 1 1 3 1 3 3 ．
3 2 2 3 2 2 2 8
21．（1）因为抛物线 C过点M (6, 6)，
∴ ( 6)2 2 p 6 ，解得 p 3，
∴抛物线 C的标准方程为 y2 6x．
（2）设 A x1, y1 ,B x2 , y2 ，直线 l的方程为my x t,(t 0)，
my x t
联立 ，化为 y22 6my 6t 0，
y 6x
36m2 24t 0，
∴ y1 y2 6m, y1y2 6t，
∵OA OB，
y y 2 6t
∴OA OB x x y y 1 2 y1y2 6t 1 0 t 01 2 1 2 ， ，36 36
解得 t 6，满足 36m2 24t 0，
∴直线 l的方程为my x 6， ∴直线过定点 6,0 ．
22．（1） f x a 1 a 2 x ，其中 x 2
x 2 x 2
若 a 0，则 f (x) < 0在 2, 上恒成立，故 f (x)在 2, 上为减函数，
故 f (x)无最值.
若 a 0，当 x 2,a 2 时， f (x) > 0；
当 x a 2, 时， f (x) < 0；
故 f (x)在 2,a 2 上为增函数，在 a 2, 上为减函数，
故 f (x)max f a 2 a ln a a 2， f (x)无最小值.
2 ex
2 1
（ ）方程 ln
m (m 0) x即为me x lnm x 2 ln x 2 ，
m m x 2
x lnm x lnm
故 e ln e x 2 ln x 2 ，
因为 y x ln x为 0, 上的增函数，所以 x 2 ex lnm mex
所以关于 x x
2 1
的方程 e ln
m (m 0) 有两个不等的实数根 x1, x2即为：m m x 2
答案第 3页，共 4页
x 2 mex有两个不同的实数根 x1, x2 .
所以 x1 2 me
x1 , x 2 mex2 x x m ex2 ，所以 11 2 -ex2 ，
x x x x x x
不妨设 x1 x2 ， t x1 x
1 2 1 2 1 2
2，故
e e e e
m ex1 ex2 ，
x 2 x x x x 2e ex 1 2 1 2要证： 1 2 即证 e e x x ，
m m e 1 e 2 m
ex x 1 x1 x2 t即证 1 2 x x 2，即证e 1 e
t 1 t 2 t 0 ，1 2 e 1
t
即证 e 1 t 2et 2 t 0 ，
t t t
设 s t e 1 t 2e 2，则 s t e 1 tet 2et t 1 et 1，
故 s t tet 0，所以 s t 在 0, 上为增函数，
故 s t s 0 0，所以 s t 在 0, 上为增函数，
所以 s t s 0 0 x x 2，故 e 1 e 2 成立.
m
答案第 4页，共 4页
