课件14张PPT。ax+by=c (a、b、c是常数，且a≠0，b≠0)1、这是什么？x、y是什么数？ 2、请用含x的代数式表示y（要求：右边写成一次二项式的形式）则有y=kx+m。换函数的角度看这是什么函数？4、X、y是什么量？注意：k和m一定是什么数？而且，k≠0 2013届中考总复习（第一轮）中兴中学 刘 虹（1）一次函数的概念： 形如y=kx+m(k、m为常数，k≠0)的函数叫一次函数；当m=0时，y=kx 叫正比例函数。y=kx(k＞0)y=kx+m
(k＞0,m＜0）y=kx+m
(k＞0,m＞0)y=kx(k＜0)y=kx+m
(k＜0,m＞0）y=kx+m
(k＜0,m＜0）
（2）一次函数的图像及性质： ①k相同的时候，直线平行② k＞0时，y随x的增大而增大； k＜0时， y随x的增大而减小。-2n （3）一次函数y=(2m-6)x+5随x的增大而减小，则
m的取值范围是 ；练一练（一）m＜3＞(3)在一次函数中，两条直线的位置关系 探究两直线垂直的条件ABCD我们研究的垂直是应该满足的条件设A（a,b）则B（-b,a）(3)在一次函数中，两条直线的位置关系 AD直线与x轴的夹角中，锐角α的正切值与直线中常数的关系tanα=│k│tan∠AOC=tan∠BOD=== （5）如图，已知A点坐标为（5，0），
直线与y轴交于点B，连接AB，∠α=75°，则b的值为 （ ）
A．3 B．
C．4 D．D（2）一次函数解析式的确定 待定系数法： “一设” 设出函数解析式； “二代” 代入所给的条件，建立方程（组）； “三解” 解方程（组）求出待定的系数； “四写” 写出函数的解析式。 练一练（二）(6)已知一次函数的图像过点（3，5）与（-4，-9），求该函数与y轴交点的坐标。 （7）如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D点坐标是（0，0），B点坐标是（3，4），矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，E、F分别在AD、AB上，且F点的坐标是（2，4）． （1）求G点坐标； （2）求直线EF解析式；221 图9—①与 ⊙M相切；当b= 时，
直线ACBDE10（三）一次函数的应用例题分析（2）若把⊙M换成矩形ABCD ，如图9—②，其三个顶点的坐标分别为：A（2,0），B（6,0），C（6,2）设直线l扫过矩形的面积为s,当b由小到大变化时，请求出s与b的函数关系式。 图9—②ADCBl:y=-2x+b① k＞0时，y随x的增大而增大； k＜0时， y随x的增大而减小。小结②在一次函数中，两条直线的位置关系 ③直线与x轴的夹角中，余角α的正切值与直线中常数的关系tanα=│k│中兴中学 刘 虹中兴中学第一轮数学总复习
一次函数（教案）
中兴中学 刘 虹
教学目的：
理解一次函数的概念，熟悉一次函数的图像，能够看图理解k、b的符号以及从k、b的符号确定直线的位置。从图像看性质，理解一次函数的增减性；
熟练应用待定系数法确定一次函数的解析式；
能根据实际的需求，恰当的建立一次函数的模型解决问题；
通过对知识的梳理和应用，帮助学生把一次函数的知识系统化和条理化，引导学生体验和感受问题的分析过程和解决过程，在过程中形成分析能力和解决问题的能力。
重点与难点：
建立函数思维模式，理解数形结合思想，形成系统的知识结构和完善的知识链。
教学过程：
一次函数的概念、图像及性质；
知识梳理
一次函数的概念：
形如y=kx+b(k、b为常数，k≠0)的函数叫一次函数；当b=0时，叫正比例函数。
一次函数的图像(并根据图像看看一次函数具有什么性质)
y=kx: （k≠0）
y=kx+b（k≠0）
一次函数的图像(根据图像看看一次函数具有什么性质)
① k相同的时候，直线平行
② k＞0时，y随x的增大而增大；
k＜0时， y随x的增大而减小。
③在一次函数中，两条直线的位置关系
设问：
Ⅰ、在同一平面内，两条直线有几种位置关系
生答：平行和垂直（也有学生会回答平行和相交）在这里教师需要让学生们了解的是，两条直线主要的位置关系是平行和相交（初中阶段，暂不考虑重合的情况），其中垂直只是相交的特殊情况，当然也是我们重点要掌握的。
Ⅱ、根据刚才的思考，你认为一次函数所表示的两条直线，如直线和直线怎么判断它们的平行和垂直呢？
Ⅲ、两直线垂直的探究：
在一次函数中，两条直线的位置关系
当时，直线∥
当时，直线⊥
直线与x轴的夹角中，余角α的正切值与直线中常数的关系
tanα=│k│
知识应用
(1) 若关于x的函是一次函数，则m= ；
（2）一次函数y=(2m-6)x+5随x的增大而减小，则m的取值范围是 ；
（3）已知关于x的一次函数的图象如图所示，则 可化简为_________________.
（4） 如果点在一次函数的图像上，则 .(填“>”,“<”或“=”)
（5）如图，已知A点坐标为（5，0），直线与y轴交于点B，连接AB，∠a=75°，则b的值为 （ ）
A．3 B． C．4 D．
（二）一次函数解析式的确定
1、待定系数法：“一设”设出函数解析式；
“二代”代入所给的条件，建立方程（组）；
“三解”解方程（组）求出待定的系数；
“四写”写出函数的解析式。
2、知识应用：
练习：（7）、已知一次函数的图像过点（3，5）与（-4，-9），则该函数与y轴交点的
坐标为 。
（8）、如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D点坐标是（0，0），B点坐标是（3，4），矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，E、F分别在AD、AB上，且F点的坐标是（2，4）． （1）求G点坐标； （2）求直线EF解析式；
（三）一次函数的应用：
例1、如图9—①，平在面直角从标系中，直线的位置随的不同取值而变化。
（1）已知⊙M的圆心坐标为（4，2），半径为2
当 时，直线经过圆心M；
当 时，直线与 ⊙M相切；
（2）若把⊙M换成矩形，如图9—②，其三个顶点的坐标分别为：。设直线扫过矩形的面积为，当由小到大变化时，请求出与的函数关系式。
中考复习专题： 《一线三直角》教案
仁爱中学 屠雪峰
教学目标：1、让学生认知相似的基本图形之一-------一线三直角图形。
2、在图形中能找到一线三直角图形。
3、能应用一线三直角图形解决相关的数学问题。
教学重点和难点：
寻找一线三直角图形是重点；
应用一线三直角图形解决相关问题是难点。
教学过程设计：
引入：折一折
通过折纸引出一线三直角图形。给出两种类型的一线三直角图形，并予以证明相似。
二、习题分析，落实图形
如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，若AD=2，BC=7，
AB=12 ，那么在AB边上是否存在一点P使∠CPD=90°？
变式：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°, 若AD=2，BC=7，AB=12 ，在线段BC上任取一点P，射线PE⊥PD，与直线AB交于点E. 1）试确定CP=6时点E的位置；
（2）若设CP=x，BE=y，试写出y关于自变量x的函数关系式，并求出x的取值范围.
例2 如图，抛物线 与y轴交于B点，点A在
抛物线上，且A点的横坐标为12，点P为x轴上一点 ， 若∠APB=90°
,求P点的坐标。
变式：如图，抛物线 与y轴交于B点，点A在抛物线
上，且A点的横坐标为12，点P为对称轴上一点 ，且P点在x轴下方，若
∠APB=90°,求P点的坐标。
练习：如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，
点Ａ在ｘ轴上，点Ｃ在ｙ轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处．
已知折叠线CE且 ， 求直线CE与ｘ轴交点的坐标。
课堂小结：
今天的数学学习，你有怎样的体会？
课件11张PPT。欢迎各位老师莅临指导 如图，请你把一张矩形纸片折一下,使顶点B落在AO上，折痕通过C点折一折：COAB一线三直角图形DB巧用“一线三直角”图形仁爱中学
屠雪峰用方法开启智慧例题讲解常规图形中的“三直角图形”例1 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°,
若AD=2，BC=7，AB=12 ，那么在AB边上是否存在
一点P使∠CPD=90°？2712PHQ于P、Q两点，交BC于H ，AP 若AD=2，BC=7，AB=12 ，在线段BC上任取一点P，
作射线PE⊥PD，与直线AB交于点E.（1）试确定CP=6时点E的位置；（2）若设CP=x，BE=y，试写出y关于自变量x的函数 关系式，并求出自变量x的取值范围.2712ABCDPE12xyCP=5时呢？CP=2时呢？例题讲解函数中的“三直角图形”例2 如图，抛物线 与y轴交于B点，点
A在抛物线上，且A点的横坐标为12，点P为x轴上一点 ，
若∠APB=90°,求P点的坐标。2712构造“三直角图形”把函数
问题转化为相似图形转化思想例题讲解函数中的“三直角图形”例2 如图，抛物线 与y轴交于B点，点
A在抛物线上，且A点的横坐标为12，点P为对称轴上一
点 ，且P点在线段AB的下方，若∠APB=90°,求P点的坐标。
C 如图，四边形OABC是一张放在平面直角
坐标系中的矩形纸片，点Ａ在ｘ轴上，点Ｃ在ｙ轴
上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处．已
知折叠线CE且 ，
求直线CE与ｘ轴交点的坐标。练习：3k4k5k5k8k10k品味：今天的数学学习，你有怎样的体会和收获呢？观察图形-发现（构造）基本图形-通过相似转化方程 数学学习在于你细心的观察和发现，
你要善于总结和归纳学习中的方法，
这些方法将会是开启你智慧的钥匙，
会让你在今后的学习中受益匪浅！教师寄语：课件21张PPT。平面直角坐标系内三点 A、B、C坐标分别为
A(1,3)、B(-2,0)、C(2,0)
试在坐标平面内找点D，
使以A、B、C、D为
顶点的四边形是平行四边形。
平面直角坐标系内三点 A、B、C坐标分别为
A(1,3)、B(-2,0)、C(2,0)
试在坐标平面内找点D，
使以A、B、C、D为
顶点的四边形是平行四边形。
DDD请求出点D的坐标PQ已知平行四边形三定点，确定第四点。
根据三点确定三角形，然后分别以这个三角形
的三边为平行四边形的对角线，有三种情况，得到
三个平行四边形。
以抛物线为载体确定平行四边形的位置抛物线 与x轴交于A,B点，与y轴交于C点，且经过点 ，对称轴是直线 x=1
顶点是 M．若经过两C,M两点作直线与x轴交点N,在抛物线上是否存在这样的点P,使以点
P,A,C,N为顶点四边形是平行四边形？若
存在， 请求出点P的坐标.
若不存在，请说明理由； N解：
抛物线
令x=0，y=-3得．
令y=0，得
∴A(-1,0),B(3,0),C(0,-3) 又 顶点M(1,-4)．
容易得,直线
令y=0，得 x=-3. ∴N(-3,0), ∴AN=2
在 中,令y=-3,得
∴ CP=2, AN=ＣＰ
∴四边形ANCP为平行四边形 存在.由题意，得例2、抛物线 与x轴交A,B两点(A点在B点左侧)，直线l与抛物线交于A,C两点,其中C点的横坐标为2。点D是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点E，使以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的点E的坐标，若不存在，请说明理由。xyODUIJIAOXIAN 已知点A坐标为（-1，0），
点B坐标为（2，-２），
AB若点C是x轴上一点，
且以A、B、C、D
为顶点作平行四边形，
该平行四边形的
另一顶点D在y轴上，
写出点D的坐标。 已知点A坐标为（-1，0），
点B坐标为（2，-2），
若点C是x轴上一点，
且以A、B、C、D为顶点作平行四边形，
该平行四边形的另一顶点D在y轴上，
写出点D的坐标。 ABCDCD已知平行四边形的两定点，确定另两动点。根据两定点确定的线段
分为平行四边形的边或对角线例2、抛物线 与x轴交A,B两点(A点在B点左侧)，直线l与抛物线交于A,C两点,其中C点的横坐标为2。点D是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点E，使以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的点E的坐标，若不存在，请说明理由。xyODUIJIAOXIAN ACBxyDE3ACBxyDE1E2E3 解：存在
当AC为平行四边形的边时
若AE∥CD，AE=CD
∴点 E（-3，0）
分别过点C,D作AB的垂线
于点P、Q，
∵平行四边形ACED
∴ AC=DE, AC∥DE
∴ ∠CAP= ∠DEQ
△ ACP≌ △ EDQ
DQ=3，当y=3时
又AP=EQ 点E是DPQDM#13. 幻灯片 13 xy当AC为对角线时,
∵AE DC,
∴点D的坐标(0,-3)
∵ AE=DC=2
∴点E的坐标为(1,0)
∥D#13. 幻灯片 13 例2、抛物线 与x轴交A,B两点(A点在B点左侧)，直线l与抛物线交于A,C两点,其中C点的横坐标为2。点D是抛物线上的动点，在y轴上是否存在点E，使以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的点E的坐标，若不存在，请说明理由。xyODUIJIAOXIAN 抛物线 与x轴交于A,B点，
与y轴交于C点，且经过点(2,-3a)，
对称轴是直线 x =1，顶点是 M．
若经过两C,M两点作直线与x轴交于
点N,在抛物线上是否存在这
样的点P,使以点P,A,C,N为顶点
四边形是平行四边形？若存
在， 请求出点P的坐标.
若不存在，请说明理由； 对称轴是直线 x =1 经过点(2,-3a)ACBxyDE1E2E3当AC为平行四边形的边时
若AE∥CD，AE=CD
∴点 E（-3，0）
若AE为对角线时,设E（a,0）,
则平行四边形的对称中心为
∴点D坐标为（a-3,3）,
把点D的坐标代入抛物线，
得
点E分别是(-3,0)ABC平面直角坐标系内三点A、B、C坐标分别为
A(1,3)、B(-2,0)、C(2,0)试在坐标平面内找点D，
使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形。
若将B坐标改为(-1,0)
此时如何求点D的坐标。练习：如图，抛物线y＝ax 2＋bx＋c交x轴于点A（－3，0），点B（1，0），交y轴于点E（0，－3）．点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行．直线y＝－x＋m过点C，交y轴于D点．（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于点G，求线段HG长度的最大值；
（3）在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．以抛物线为载体确定平行四边形的位置
教学目标：
掌握平行四边形的判定、性质
应用平行四边形的判定、性质，借助抛物线的相关知识解决问题
培养学生的分类思想、数形结合思想。
教学重点：
已知平行四边形三定点，确定第四点；已知平行四边形两定点，确定第四点。
教学难点：
运用分类思想解决平行四边形的动点问题
1、已知平行四边形三定点，确定第四点。
(1)平面直角坐标系内三点A、B、C坐标分别为A(1,3)、B(-2,0)、C(2,0)试在坐标平面内找点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形。
(2) 抛物线 与x轴交于A,B点，与y轴交于C点，且经过点 ，对称轴是直线 x=1顶点是 M．若经过两C,M两点作直线与x轴交点N,在抛物线上是否存在这样的点P,使以点P,A,C,N为顶点四边形是平行四边形？若
存在， 请求出点P的坐标. 若不存在，请说明理由；
2、已知平行四边形两定点，确定第四点。
例2、抛物线 与x轴交A,B两点(A点在B点左侧)，直线l与抛物线交于A,C两点,其中C点的横坐标为2。点D是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点E，使以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的点E的坐标，若不存在，请说明理由。
练习：
如图，抛物线y＝ax 2＋bx＋c交x轴于点A（－3，0），点B（1，0），交y轴于点E（0，－3）．点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行．直线y＝－x＋m过点C，交y轴于D点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点K为线段AB上一动点，过点
K作x轴的垂线与直线CD交于点H，
与抛物线交于点G，求线段HG长度
的最大值；
（3）在直线l上取点M，在抛物线上
取点N，使以点A，C，M，N为顶点
的四边形是平行四边形，求点N的坐标．
总课题
最值问题
课题
几何中的最值问题
课型
第二轮复习课
教材 分析
中考考试说明“结合图形认识线段间的关系”属B类要求，“会用两点之间的距离解决有关问题”、“能运用轴对称的知识解决简单问题”都属于C类要求。所以几何中最值问题是初中数学的重要问题，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的一个热点问题。
学情 分析
我班大多数学生对求两条线段之和最小比较熟悉，对求运动中的某条线段的最值问题比较陌生，会感到比较困难。
教学 目标
1.能根据“两点之间线段最短”，通过作轴对称点求线段之和最小值；
2.能根据“两点之间线段最短”，通过构造三角形利用三角形三边关系求运动中的某一条线段的最值；
3.理解两种数学模型求最值的实质都是几条线段共线时得到最大值或最小值；
4.通过运用几何模型求最值的问题体会转化思想和数形结合思想。
教学 重点
求线段之和最小，变化中的一条线段的最值。
教学 难点
求变化中的一条线段的最值
教学 方法
自主探究，合作讨论
教具
实物投影，多媒体
教学 过程
教
学
过
程
教
学
过
程
教
学
过
程
教
学
过
程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
一、学生展示自己总结的有关最值问题的知识点
教师点评并引出复习内容
两名学生展示
学生通过对初中数学中的最值问题加以梳理，提高总结归纳的能力。
二、复习核心知识
1、A、B两点在直线l的异侧，在直线l上取一点P，使PA+PB最小。
2．A、B两点在直线 l的同侧，在直线l上取一点P，使PA+PB最小。
3.已知线段AB=5，点C是以B为圆心，以2为半径的圆上任意一点，则线段AC的最大值是 ，最小值是 。
想一想：
1.上述求最值问题根据什么几何性质？
2.第3题与前2道题从已知及所求方面有什么不同？从解决问题的方法上与第2题有什么区别？
三、典型例题
题组一
在正方形ABCD中，E在BC上，BE=2，CE=1，P在BD上，
求PE与PC的长度和的最小值。
2. 在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在轴、轴的正半轴上，，，D为边OB的中点.若为边上的一个动点，求△的周长的最小值。
想一想：有关线段之和最小问题，不管背景如何，都可以化归到什么知识点？转化的方法是什么？
题组二
1.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，AB=2.将△ABC绕顶点C顺时针旋转得到△A′B′C,取AC中点E，A′B′中点P,连接EP，则在旋转过程中线段EP的最大是 ，最小值是 。
2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是 。
3.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=12,点D在边AC上（不与A，C重合）且AD=4，连结BD，,将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值和最小值。
想一想：此类动态问题中求一条线段的最值问题通常可化归为什么知识点？
四、学法指导
求两条线段之和最小或运动变化中的某一条线段的最值，通常依据两点之间线段最短，借助于做对称点或构造三角形来解决，共同点是共线时得到最大值或最小值。
四课堂检测
1．如图，在平面直角坐标系中，点A(0,3),点B(4,1)点P是x轴上一个动点则
(1)AP+BP的最小值为多少？
（2）|AP-BP| 的最大值为多少？并求出此时点P的坐标。
2.已知边长是2的正三角形，两顶点分别在平面直角坐标系的轴、轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连结OC，则OC的长的最大值是____________ ．
教师:最值问题是初中数学的一个重要问题，今天我们一起来复习几何中的最值问题。请同学看本节课的复习目标，并完成核心知识中的题目及想一想
教师巡视观察学生解题情况对学生展示及回答的问题进行点评
演示课件
1.依据“两点之间线段最短”。
2.第2题求变化的两条线段的和的最小值，借助于作轴对称点解决。第3题相当于知道两条定长线段，求一条变化的线段的最值。通过构造三角形解决。在共线时得到最值。
教师巡视观察
点评
想一想结论：
转化为“两点之间线段最短”，转化的方法是作轴对称点。
教师巡视观察点评
演示课件
想一想结论：
关键是构造三角形，难点是如何确定三角形的第三个点。注意：第三个点到另两点的距离是定长。这时就需寻求运动变化中不变的线段由哪些？随之带来的不变的线段有哪些。
教师：本节课复习的求最值的问题依据是什么？解决此类问题的关键是什么？
教师点评并总结归纳
教师巡视批改
独立思考完成1－3小题后小组讨论解决存在的问题 。
请一名学生演示。
回答想一想问题
学生独立思考小组讨论，
代表展示
学生回答想一想
学生独立思考小组讨论，
代表展示
学生总结想一想并互相补充。
学生思考回答
学生独立完成
让学生明确本节课复习内容及求最值的依据。
通过想一想明确两类题的共同点及解法的区别
会求两条线段之和最小值，明确依据及方法。
锻炼学生合作能力及表达能力
通过想一想，总结解题思路和方法
会求运动变换中的一条线段的最值理解其依据与方法提高解题能力
通过想一想归纳解题思路与方法，提高解题能力。
归纳解题思路与方法，提高解题能力
检查学生落实情况及教师教学成果
作业 布置
补充题
板书 设计
课题
题组一
2
课后 反思
课件7张PPT。几何中的最值问题澥浦中学数学组一、课前热身1、A、B两点在直线l的异侧，在直线l上取一点P，
使PA+PB最小。
2．A、B两点在直线 l的同侧，在直线l上取一点P，
使PA+PB最小。
3.已知线段AB=5，点C是以B为圆心，以2为半径的圆
上任意一点，则线段AC的最大值是 ，最小值是 。二、典型例题1、在正方形ABCD中，E在BC上，BE=2，CE=1，P在BD上，
求PE与PC的长度和的最小值。题组一3.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，AB=2.将△ABC绕顶
点C顺时针旋转得到△A′B′C,取AC中点E，A′B′中点P,
连接EP，则在旋转过程中线段EP的最大是 ，最小值是 。 题组二5、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=12,点D在边AC上
（不与A，C重合）且AD=4，连结BD，,将线段AD绕点A旋转，
点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值和最小值。 求两条线段之和最小或运动变化中的某一条线段
的最值，通常依据两点之间线段最短，借助于做对称
点或构造三角形来解决，共同点是共线时得到最大值
或最小值。 三、小结四、课内练习1、如图，在平面直角坐标系中，点A(0,3),点B(4,1)点P是x轴上一
个动点:
(1)AP+BP的最小值为多少？
（2）|AP-BP| 的最大值为多少？并求出此时点P的坐标。 2、已知边长是2的正三角形，两顶点分别在平面直角坐标系的x轴、
y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连结OC，则OC的长的
最大值是____________ 课件11张PPT。用轴对称求最短距离问题 古希腊一位将军要从A地出发到河边（如下图MN）去饮马，
然后再回到驻地B。问怎样选择饮马地点，才能使路程最短？
将军饮马在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，E为为边CD中点。
P为边BC上的任一点，求PA+PE的最小值。（1）以矩形为载体求最短距离问题如图所示，菱形ABCD中，???∠?BAD=60°，AB=4，M是AB的
中点，P是对角线AC上的一个动点，则PM+PB的最小值
是_________。 （2）以菱形为载体的最短距离问题：如图所示，正方形ABCD的边长为2，△ABE是等边三角形，点
E在正方形ABCD内，在对角线AC上找一点P,使PD+PE最小，则
这个最小值为_________.（3）以正方形为载体的最短距离问题：如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB = 8，CD = 6，
MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的
任意一点，则PA+PC的最小值为 . ?(4)?以圆形为载体的最短距离问题：一次函数y=kx＋b的图象与x、y轴分别交于点A(2，0)，B(0，4)．(1)求该函数的解析式；
(2)O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一
动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点的坐标．
?(5)?以一次函数为载体的最短距离问题：如图所示二次函数与x轴交于A(-1，0),B(3，0)两点，与y轴交于点C（0,3）点以二次函数为载体的最短距离问题：(1)求该函数的解析式；
(2)试在抛物线的对称轴上求出点P，使得 最短，并求出最短长度。
PA+PC小结例1.（1）如图1，一牧马人从A点出发，到草地MN放牧，在
傍晚到帐篷B之前，先带马群到河边PQ给马饮水，试问：牧
马人应该走哪条线路才能使整个路程最短？
（2）如图2，两条公路OA、OB相交，在两条公路的中间有
一个油库，设为点P，如在两条公路上各设置一个加油站，请
你设计一个方案，把两个加油站设在何处，可使运油车从油
库出发，经过一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油
库所走的路程最短.用轴对称求最短距离问题 学案
复习要点:
用轴对称求最短距离问题，原型题是“将军饮马问题”，经常求两条线段的和最小的应用，解题思路是找点关于直线的对称点，实现由“折”转“直”，根据“两点之间线段最短”的性质来解决，
“将军饮马”问题
题目是：古希腊一位将军要从A地出发到河边（如下图MN）去饮马，然后再回到驻地B。问怎样选择饮马地点，才能使路程最短？
利用轴对称性求最短距离在几何中的应用
以矩形为载体求最短距离问题
例3 如图所示，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，E为为边CD中点，P为边BC上的任一点，求PA+EP的最小值。
（2）以菱形为载体的最短距离问题：
例4如图所示，菱形ABCD中，???∠?BAD=60°，AB=4，M是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PM+PB的最小值是_________。
以正方形为载体的最短距离问题：
例5 如图所示，，正方形ABCD的边长为2，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上找一点P,使PD+PE最小，则这个最小值为_________.
(4)?以圆形为载体的最短距离问题：
例6 如图所示，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB = 8，CD = 6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为 .
例7如图所示一次函数y=kx＋b的图象与x、y轴分别交于点A(2，0)，B(0，4)．
(1)求该函数的解析式；
(2)O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点的坐标．
（6）以二次函数为载体的最短距离问题：
例8如图所示二次函数与x轴交于A(-1，0),B(3，0)两点，与y轴交于点C（0,3）点
求该函数的解析式；
试在抛物线的对称轴上求出点P，使得PA+PC最短，并求出最短长度。
延伸拓展：
作图：1. 一牧马人从A点出发，到草地MN放牧，
在傍晚到帐篷B之前，先带马群到河边PQ给马饮
水，试问：牧马人应该走哪条线路才能使整个路程
最短？
2 两条公路OA、OB相交，在两条公路的中间有一个油库，设为点P，如在两条公路上各设置一个加油站，请你设计一个方案，把两个加油站设在何处，可使运油车从油
库出发，经过一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短.
（3）如图3，设A，B是直线L同侧的两定点，定长线段PQ在直线L上滑动，问PQ停在直线L上什么位置时，AP+PQ+QB的长度最短？
应用：已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交于点A(0，3)，与x轴分别交于B(1，0)，C(5，0)两点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式；
(3)若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点(设为点E)，再到达抛物线的对称轴上的某点(设点为F)，最后沿直线运动到点A求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长．
用轴对称求最短距离问题 学案
“将军饮马”问题
题目是：古希腊一位将军要从A地出发到河边（如下图MN）去饮马，然后再回到驻地B。问怎样选择饮马地点，才能使路程最短？
如：例1 一牧马人从A点出发，到草地MN放牧，
在傍晚到帐篷B之前，先带马群到河边PQ给马饮
水，试问：牧马人应该走哪条线路才能使整个路程
最短？
例2 两条公路OA、OB相交，在两条公路的中间有一个油库，设为点P，如在两条公路上各设置一个加油站，请你设计一个方案，把两个加油站设在何处，可使运油车从油
库出发，经过一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短.
利用轴对称性求最短距离在几何中的应用
以矩形为载体求最短距离问题
例3 如图所示，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，E为为边CD中点，P为边BC上的任一点，求PA+EP的最小值。
（2）以菱形为载体的最短距离问题：
例4如图所示，菱形ABCD中，???∠?BAD=60°，AB=4，M是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PM+PB的最小值是_________。
以正方形为载体的最短距离问题：
例5 如图所示，，正方形ABCD的边长为2，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上找一点P,使PD+PE最小，则这个最小值为_________.
(4)?以圆形为载体的最短距离问题：
例6 如图所示，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB = 8，CD = 6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为 .
例7如图所示一次函数y=kx＋b的图象与x、y轴分别交于点A(2，0)，B(0，4)．
(1)求该函数的解析式；
(2)O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点的坐标．
（6）以二次函数为载体的最短距离问题：
例8如图所示二次函数与x轴交于A(-1，0),B(3，0)两点，与y轴交于点C（0,3）点
求该函数的解析式；
试在抛物线的对称轴上求出点P，使得PA+PC最短，并求出最短长度。
延伸拓展：
已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，△APD中边AP上的高为（ ）
课件15张PPT。【例1】点A、B、C、D的坐标如图，求
直线AB与直线CD的交点坐标.
【思路点拨】首先由点A、B、C、D的
坐标求出直线AB、CD的方程，解两个
方程组成的二元一次方程组得交点坐标.【自主解答】由已知得，直线AB的方程为y=2x+6，直线CD的
方程为 .解方程组 ,得 ,
所以直线AB与直线CD的交点坐标为(-2，2).【例2】直线l1:y=k1x+b与直线
l2:y=k2x+c在同一平面直角坐标
系中的图象如图所示,则关于x的
不等式k1x+b(A)x>1 (B)x<1 (C)x>-2 (D)x<-2【思路点拨】先判定k1x+b=k2x+c时x的值,再判定当x取何值
时,l1在l2的下方.
【自主解答】选B.由图象可知,当x=1时,k1x+b=k2x+c.当x<1时,y=k2x+c的图象在y=k1x+b的图象的上方,此时k1x+by2时，
x的范围是( )
(A)x＜-1 （B) -1＜x＜2
(C) x＜-1或x＞2 (D)x＞2【解析】选C.由函数图象知,当x=-1,x=2时,y1=y2,当x＜-1或
x＞2时,函数y1的图象在函数y2的图象的上方,即y1>y2,所以当y1>y2时，x的范围是x＜-1或x＞2.【例3】如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c=0;②b>2a;
③ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1；
④a-2b+c>0.其中正确的命题是_____.
(只要求填写正确命题的序号)【解析】因为二次函数的图象经过点(1，0)，所以当x=1时，
y=a×12+b×1+c=a+b+c=0，所以①正确；由于二次函数的对
称轴为x=-1,所以 ,所以b=2a,故②不正确；由对称轴
及图象与x轴的一个交点，知另一个交点为(-3，0)，所以
ax2+bx+c=0的两根为-3和1，故③正确；当x=-1时，y<0，即
a-b+c<0，又由上面提到b=2a,a>0，得b>0，∴a-2b+c<0，故
④错误.因此正确的命题是①③.
答案：①③【例4】】（1） ．
（2）解：设 ，则 是 的二次函数．
抛物线开口向上．
又 当 时， ，
解得 ．
由此得抛物线 的大致
图象如图所示．
观察函数图象可知：当 或
时， ．
的解集是： 或 ． 已知二次函数y=-x2+bx+c的图
象如图所示，它与x轴的一个交点坐标
为(-1，0)，与y轴的交点坐标为(0，3).
(1)求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式；
(2)根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围.【思路点拨】把(-1，0)，(0，3)分别代入y=-x2+bx+c，得关于b、c的二元一次方程组,解方程组得b、c的值,从而得到函数值y为正数时，自变量x的取值范围.【自主解答】(1)把(-1，0)，(0，3)分别代入y=-x2+bx+c，得 ，解得
所以二次函数的解析式为y=-x2+2x+3
(2)令y=0，得-x2+2x+3=0。 解得x1=-1，x2=3
所以，由图象可知，函数值y为正数时，自变量x的取值范围是 -1＜x＜3.【例5】k拓展反比例函数与一次函数k【例6】某中学九年级甲、乙两班商定
举行一次远足活动，A、B两地相距10千
米，甲班从A地出发匀速步行到B地，
乙班从B地出发匀速步行到A地.两班同时出
发，相向而行.设步行时间为x小时，甲、乙两班离A地的距离分别为y1千米、y2千米，y1、y2与x的函数关系图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)直接写出y1、y2与x的函数关系式；
(2)求甲、乙两班学生出发后，几小时相遇？相遇时乙班离A地多少千米？
(3)甲、乙两班首次相距4千米时所用时间是多少小时?【解析】(1)y1=4x(0≤x≤2.5),
y2=-5x+10(0≤x≤2).
(2)根据题意可知：两班相遇时，甲、乙离A地的距离相等，
即y1=y2，由此可得一元一次方程-5x+10=4x,
解这个方程，得
当 时，
答：甲、乙两班学生出发后， 小时相遇，相遇时乙班离A
地 千米.(3)根据题意，得y2-y1=4.
即-5x+10-4x=4.
解这个方程，得
答：甲乙两班首次相距4千米所用时间是 小时.小结1。一次函数与方程(组)2。一次函数与一元一次不等式3。二次函数与一元二次方程4。二次函数与一元二次不等式5。反比例函数与一次函数6。反比例函数与二次函数谢谢函数与方程（组）、不等式
基础梳理：
例1 点A、B、C、D的坐标如图，求
直线AB与直线CD的交点坐标.
直线l1:y=k1x+b与直线
l2:y=k2x+c在同一平面直角
坐标系中的图象如图所示,则关于x的
不等式k1x+b(A)x>1 (B)x<1 (C)x>-2 (D)x<-2
例3 如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c=0;②b>2a;
③ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1；
④a-2b+c>0.其中正确的命题是_____.
(只要求填写正确命题的序号)
例4 阅读材料，解答问题
用图象法解一元二次不等式：．
解：设，则是的二次函数．
抛物线开口向上．
又当时，，解得．
由此得抛物线的大致图象如图所示．
观察函数图象可知：当或时，．
的解集是：或．
（1）观察图象，直接写出一元二次不等式：的解集是____________；
（2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：．
例5 如图，已知反比例函数
与一次函数y=x+b的图象在第一象
限相交于点A(1,-k+4).
(1)试确定这两个函数的解析式；
(2)求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围.
练习：1。函数y1=|x|，，当y1>y2时，
x的范围是( )
(A)x＜-1 （B) -1＜x＜2
(C) x＜-1或x＞2 (D)x＞2
2．已知函数y1＝x2与函数 的图
象大致如图，若y1＜y2，则自变量x的
取值范围是( )
(A) (B)
(C) (D) x＜-2或
3．反比例函数与二次函数如图，抛物线y=x2+1与双曲线
的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式
的解集是 ( )
A．x>1 B． x<－1
C．0课件7张PPT。中考复习专题 分类讨论 骆驼实验学校知识回顾1.在实数中 ，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2在式子中
单项式有 ，多项式有 ，整式有 .在初中阶段数学教学中已经渗透了分类思想 几何类讨论【例１】如图１，正方形ＡＢＣＤ的边长为２，ＢＥ=ＣＥ,ＭＮ=１，线段ＭＮ的两端在ＣＤ、AD上滑动，当DM= 时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似.【分析】已知∠B=∠D,要使两三角形相似，必须还得使夹边对应成比例。这就牵涉到找对应边的问题，DM到底是和哪那条边对应边，我们不能确定，所以就要分情况来讨论：△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似时，DM可以与BE是对应边，也可以与AB是对应边，所以本题分两种情况.【例２】如图２，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B、C），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E。
⑴求证：△ABD∽△DCE；
⑵设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
⑶当△ADE为等腰三角形时，求AE的长.（提示：问题（３）需要分类讨论：1当ＡＤ=ＡＥ时；2当ＡＥ=ＤＥ时；3当ＡＤ=ＤＥ时.）函数类讨论【例3】如图2，已知抛物线经过A(-2,0),B(-3,3)及原点O,顶点为C.
（１）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求D坐标；
（２）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PME⊥x轴，垂足为M,是否存在点P使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.提示：先求出抛物线解析式；问题（1）分两种周情况1当AO为边时；2当AO为对角线时，则DE与AO互相平分.问题（2）先证出△BOC为直角三角形；再假设存在P点，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似 1。若△AMP∽△BOC则2若△PMA∽△BOC则 练习1．等腰三角形的一个内角为70°，则其顶角为______.
2．已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为 ，底边长为_______．
3．.已知⊙O1和⊙O2相切于点P，半径分别为1cm和3cm．则⊙O1和⊙O2的圆心距为________．课堂小结中考复习专题 分类讨论 教案
【内容分析】
重点：从问题的实际出发进行分类讨论．
难点：克服思维的片面性，防止漏解．
考点解读：在中学数学的概念、定理、法则、公式等基础知识中，有不少是分类给出的，遇到涉及这些知识的问题，就可能需要分类讨论。另外，有些数学问题在解答中，可能条件或结论不唯一确定，有几种可能性，也需要从问题的实际出发进行分类讨论。把被研究的对象分成若干种情况，然后对各种情况逐一进行讨论，最终得以解决整个问题，这种解决问题的方法称为分类讨论思想方法。它体现了化整为零与积零为整的思想，是近年来中考重点考查的思想方法。分类讨论思想方法也是一种重要的解题策略。分类思想方法实质上是按照数学对象的共同性和差异性，将其区分为不同的种类的思想方法，其作用是克服思维的片面性，防止漏解．要注意，在分类时，必须按同一标准分类，做到不重不漏．
【复习目标】
通过复习能够掌握从问题的实际出发进行分类讨论的思想方法．当问题中存在不确定因素时，能够把被研究的对象分成若干种情况，然后对各种情况逐一进行讨论，最终得以解决整个问题．
【教学环节安排】
环节
教学问题设计
教学活动设计
知
识
回
顾
在初中阶段数学教学中已经渗透了分类思想：如.
1.在实数，，，，中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
３．在式子，，，x,,
32,,2x-y中单项式有 ，多项式有 ，整式有 .
教师与学生共同回顾，同时根据情况，可让学生适当举例说明．
综
合
应
用
【典例分析】几何类讨论
【例１】如图１，正方形ＡＢＣＤ的边长为２，ＢＥ=ＣＥ,ＭＮ=１，线段ＭＮ的两端在ＣＤ、AD上滑动，当DM= 时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似.
【分析】已知∠B=∠D,要使两三角形相似，必须还得使夹边对应成比例。这就牵涉到找对应边的问题，DM到底是和哪那条边对应边，我们不能确定，所以就要分情况来讨论：△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似时，DM可以与BE是对应边，也可以与AB是对应边，所以本题分两种情况.
【思路点拨】当问题中存在不确定因素时，就要分情况进行讨论.
【例２】如图２，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B、C），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E。
⑴求证：△ABD∽△DCE；
⑵设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
⑶当△ADE为等腰三角形时，求AE的长.（提示：问题（３）需要分类讨论：当ＡＤ=ＡＥ时；当ＡＥ=ＤＥ时；当ＡＤ=ＤＥ时.）
函数类讨论
【例2】如图2，已知抛物线经过A(-2,0),B(-3,3)及原点O,顶点为C.
（１）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；
（２）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PME⊥x轴，垂足为M,是否存在点P使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.
提示：先求出抛物线解析式；问题（1）分两种周情况当AO为边时；当AO为对角线时，则DE与AO互相平分.
问题（2）先证出△BOC为直角三角形；再假设存在P点，使得以P、M、A为顶点的三角形与相似.若△AMP∽△BOC则若△PMA∽△BOC则
教师出示问题，给学生充足的时间独立思考，分析，然后，在小组内互相讨论交流 ．
教师巡视，及时发现学生完成的情况，记录下所出现的问题，以便集中处理.
教师要求学生在做题的同时，总结解决问题所运用的知识点、方法和规律.
学生讨论、交流完成后，请学生讲解，阐述自己的观点或方法.
教师适时点拨.
展示解答过程.
提示学生分类标准要一致，同时思考要全面.
矫
正
补
偿
1．已知_______．
2．在同一坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象的交点的个数是（ ） A．0个或2个 B．l个 C．2个 D．3个
3．等腰三角形的一个内角为70°，则其顶角为______.
4．已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为 ，底边长为_______．
5．.已知⊙O1和⊙O2相切于点P，半径分别为1cm和3cm．则⊙O1和⊙O2的圆心距为________．
6．已知O是△ABC的外心，∠A为最大角，∠BOC的度数为y°，∠BAC的度数为x°，求y与x的函数关系式．
教师出示题目，学生解答.
完成后展示.并及时鼓励.
完善
整
合
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课件20张PPT。专题二 分类讨论思想第二篇 专题突破 强化训练乔梓学校 夏春梅每周小故事： 瑞士数学家雅谷伯努利，生前对螺线（被誉为生命之线）有研究，他死之后，墓碑上 就刻着一条对数螺线，同时碑文上还写着：“我虽然改变了，但却和原来一样”。这是一句既刻划螺线性质又象征他对数学热爱的双关语。 分类（一）代数问题解：∵|a|=3，∴a=±3；
∵|b|=3，∴b=±3
又∵ab＜0， ∴a、b异号（1）当a＞0,b＜0时；a-b=3-(-2)=5（2）当a ＜ 0,b ＞0时；a-b=-3 -2=-5∴a-b=5或-5例1：实数运算中的分类讨论：
已知|a|=3， |b|=3，且ab＜0，则a-b=—— 例2：若直线：y=4x+b不经过第二象限，
那么b的取值范围为——分类（二）函数问题（1）不经过第二象限，那可以只经过第一、
三象限，此时b=0；（2）不经过第二象限，那可以只经过第一、
三、四象限，此时b＜0；分类（二）函数问题例2：若直线：y=4x+b不经过第二象限，
那么b的取值范围为——
也可以用图象来直观的解决这个问题分类（二）函数问题例3：已知一次函数y=kx+b在y轴上的截距为4，它与x轴、y轴的交点分别为A、B，且△ABO的面积为6，则A的坐标为——
(3,0) (-3,0)1、等腰三角形的两边为6和8，那么此三角形的周长为——
2、直角三角形的两边为3和4，那么第三边长为——
3、若半径为3和5 的两个圆相切，则它们的圆心距为——
4、等腰三角形的一个角度数为400，那么此三角形的另力量哥角的度数为——；
分类（三）几何问题20或222或8400、1000或700、7005 或分类（三）几何问题5、等腰三角形的两边的比4：3，此等腰三角形底角的余弦值为——3
82
3或分类（三）几何问题6、有一个三角架模型，三边长为2CM、5CM、6CM，现要求做一个与之相似的钢筋三角架，现有一根长为30CM的钢筋，要求再找另外两根，则另两根所找的钢筋的长可以为——
若30CM的为最小，那么另外连根长为75CM、90CM。若30CM的为中间，那么另外连根长为12CM、36CM。若30CM的为最大，那么另外连根长为10CM、25CM。分类（三）几何问题7、在半径为5CM的圆中，有两条平行的弦AB和CD，如AB=6CM，CD=8CM,那么弦AB与CD之间的距离为——
1CM或7CMAB与CD 在圆心同侧AB与CD 在圆心两侧分类（三）几何问题8、半径为R的两个等圆外切，则半2R且和这两个圆都相切的圆有——个；
5走近中考-静态中的分类讨论问题在一张为9厘米，宽为8厘米的矩形纸板上，
剪下一个腰长为5厘米的等腰三角形（要
求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶
点重合，其余两个顶点在矩形的边上），
请你计算剪下的等腰三角形的面积走近中考-静态中的分类讨论问题在一张为9厘米，宽为8厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为5厘米的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余两个顶点在矩形的边上）
请你计算剪下的等腰三角形的面积对于符合要求的三角形，可以分为一下三种走近中考-静态中的分类讨论问题(1)当AE=AF=5厘米时
走近中考-静态中的分类讨论问题(2)当AE=EF=5厘米时走近中考-静态中的分类讨论问题(3)当 AE=EF=5厘米 时走近中考-动态中分类讨论问题如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6,点P从A出发，
沿AB以每秒1CM的速度向B运动，同时点Q从点B
出发，沿BC以相同的速度向C运动，问，当运动几
秒后， △APBQ为直角三角形思考：1、△PQB为直角三角形，哪些角为直角？∠PQB=Rt ∠或∠QBP=Rt ∠走近中考-动态中分类讨论问题（1）∠PQB=Rt ∠
过A作AH⊥BC，垂足为H，那么PQ∥AH.
∵AB=AC=5,BC=6,AH⊥BC,
∴BH=3由勾股定理得：AH=4
设运动的时间为t秒，那么AP=BQ=t,BP=5-t
∵PQ∥AH, ∴
即
解得：
走近中考-动态中分类讨论问题（2）∠QPB=Rt ∠
过A作AH⊥BC，垂足为H.
∵AB=AC=5,BC=6,AH⊥BC,∴BH=3
在Rt△ABH中，
设运动的时间为t秒，那么AP=BQ=t,BP=5-t
∵在Rt△BPQ中，
∴ 即
解得：
用分类讨论思想解决问题的一般步骤： 课堂小结1、明确讨论对象2、选择分类标准，进行合理分类4、归纳并做出结论3、对分类情况，逐类讨论解决第二篇，专题突破 强化训练
分类讨论思想
教学目标：
了解分类讨论的思想，掌握分类讨论基本步骤。
教学重难点
1、分类讨论要遵循的原则
2、分类讨论步骤
教学过程
每周数学小故事
瑞士数学家雅谷伯努利，生前对螺线（被誉为生命之线）有研究，他死之后，墓碑上 就刻着一条对数螺线，同时碑文上还写着：“我虽然改变了，但却和原来一样”。这是一句既刻划螺线性质又象征他对数学热爱的双关语。
分类（一）代数分类问题
例1：实数运算中的分类讨论：
已知|a|=3， |b|=3，且ab＜0，则a-b=——
解：∵|a|=3，∴a=±3；
∵|b|=3，∴b=±3
又∵ab＜0， ∴a、b异号
（1）当a＞0,b＜0时；a-b=3-(-2)=5
（2）当a ＜ 0,b ＞0时；a-b=-3 -2=-5
∴a-b=5或-5
分类（二）函数分类问题
例2：若直线：y=4x+b不经过第二象限，
那么b的取值范围为——
（1）不经过第二象限，那可以只经过第一、 三象限，此时b=0；
（2）不经过第二象限，那可以只经过第一、三、四象限，此时b＜0；
注意：也可以用图象来直观的解决这个问题
例3：已知一次函数y=kx+b在y轴上的截距为4，它与x轴、y轴的交点分别为A、B，且△ABO的面积为6，则A的坐标为——
答案：(3,0) (-3,0)
分类（三）几何分类问题
1、等腰三角形的两边为6和8，那么此三角形的周长为——
2、直角三角形的两边为3和4，那么第三边长为——
3、若半径为3和5 的两个圆相切，则它们的圆心距为——
4、等腰三角形的一个角度数为400，那么此三角形的另力量哥角的度数为——；
答案：20或22、5 或
2或8、400、1000或700、700
5、等腰三角形的两边的比4：3，此等腰三角形底角的余弦值为——
答案：或
6、有一个三角架模型，三边长为2CM、5CM、6CM，现要求做一个与之相似的钢筋三角架，现有一根长为30CM的钢筋，要求再找另外两根，则另两根所找的钢筋的长可以为——
答案：若30CM的为最小，那么另外连根长为75CM、90CM。
若30CM的为中间，那么另外连根长为12CM、36CM。
若30CM的为最大，那么另外连根长为10CM、25CM。
7、在半径为5CM的圆中，有两条平行的弦AB和CD，如AB=6CM，CD=8CM,那么弦AB与CD之间的距离为——
8、半径为R的两个等圆外切，则半2R且和这两个圆都相切的圆有——个；
答案：1CM或7CM、5
走近中考
静态中的分类讨论问题
在一张为9厘米，宽为8厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为5厘米的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余两个顶点在矩形的边上），请你计算剪下的等腰三角形的面积
对于符合要求的三角形，可以分为一下三种
(1)当AE=AF=5厘米时
(2)当AE=EF=5厘米时
(3)当 AE=EF=5厘米 时
动态中的分类讨论问题
如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6,点P从A出发，沿AB以每秒1CM的速度向B运动，同时点Q从点B出发，沿BC以相同的速度向C运动，问，当运动几秒后， △APBQ为直角三角形
思考：1、△PQB为直角三角形，哪些角为直角？
∠PQB=Rt ∠或∠QBP=Rt ∠
（1）∠PQB=Rt ∠
过A作AH⊥BC，垂足为H，那么PQ∥AH.
∵AB=AC=5,BC=6,AH⊥BC,
∴BH=3由勾股定理得：AH=4
设运动的时间为t秒，那么AP=BQ=t,BP=5-t
∵PQ∥AH, ∴
即
解得：
（2）∠QPB=Rt ∠
过A作AH⊥BC，垂足为H.
∵AB=AC=5,BC=6,AH⊥BC,∴BH=3
在Rt△ABH中，
设运动的时间为t秒，那么AP=BQ=t,BP=5-t
∵在Rt△BPQ中，
∴ 即
解得：
总结，当
课堂小结
用分类讨论思想解决问题的一般步骤：
1、明确讨论对象
2、选择分类标准，进行合理分类
3、对分类情况，逐类讨论解决
4、归纳并做出结论
课后作业：
中考零距离课时作业P85-86
课件31张PPT。EDCBAF小元的烦恼2221思路：EDCBA小元的烦恼21FEDCBA小元的烦恼巧妙构造，“圆”于条件——中考专题复习例1、在△ABC中，BA=BC, M是AC的中点，P是线段BM上的一点，将线段PA绕点P顺时针旋转 得到线段PQ(如图)。线段CQ的延长线与射线BM交于点D，则∠CDB的大小为 。（用含 的代数式表示）DQPMCBA?火眼金睛例2、在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(1，1)，点B 的坐标为(11，1)，点C 到直线AB 的距离为4，且△ABC 是以C为直角顶点的直角三角形，则满足条件的点C 有 个．-35C4C3C2C1xy1111BAO(2012广州)如图：在平面直角坐标系中,点A(-4,0)，B(2,0).若直线l经过点E(4, 0)，M为直线l上的动点，当以A,B,M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式。点击中考OM2M1yxlEBADEBA小元OyNxM活学活用O1DCA小元OyNxM 如图：二次函数图像经过点A(-1，0)，B(4，0)，C(0，-2). 若M（x,y）是抛物线上的一个动点（不与A,B重合），当∠AMB≤45°时，请直接写出点M横坐标的取值范围。2013宁波考纲样卷本节课你学到了什么？小结……祝同学们在中考中取得圆满的成绩！条件…条件3条件1条件2CBAl1BAOl2l1HOP2P1PGFEDCBA 如图，在平面直角坐标系中，A（0,－3），B（－1,－4），试在x轴上找一点C，使∠ACB最大，求点C的坐标；C3C2C1-1-4-3BAOyx活学活用DC-1-4-3BAOyxO1活学活用 如图，在平面直角坐标系中，A（0,－3），B（－1,－4），试在x轴上找一点C，使∠ACB最大，求点C的坐标；CBANMDQPMCBA?（2003?广州）已知Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，P是AB边上的动点（与点A、B不重合），Q是BC边上的动点（与点B、C不重合） （1）如图，当PQ∥AC，且Q为BC的中点时，求线段CP的长； （2）当PQ与AC不平行时，△CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ的长的 取值范围；若不可能，请说明理由． 如图所示，直线l1⊥l2，垂足为点O，A、B是直线l1上的两点，且OB=2，AB= 。直线l1绕点O按逆时针方向旋转，旋转角度为 （ ）．CBAl1BAOl2l1DC-1-4-3BAOyxO1C3C2C1-1-4-3BAOyxOM2M1yxlEBA例2：如图：已知矩形ABCG (AB< BC )和矩形CDEF 全等, 点B，C， D 在同一直线上, ∠APE 的顶点P在线段BD 上移动, 使∠ APE为直角的点P 的个数是 个.HOP2P1PGFEDCBAPGFEDCBAaabxb-x例2：如图：已知矩形ABCG (AB< BC )和矩形CDEF 全等, 点B，C， D 在同一直线上, ∠APE 的顶点P在线段BD 上移动, 使∠ APE为直角的点P 的个数是 个.-35C4C3C2C1xy1111BAOO1DCA小元OyNxM 例3、在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点．此时甲是自己直接射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？（射门角度越大越好）BANM解 考虑过M、N以及A、B中的任一点作一圆，这里不妨作出⊙BMN，显然，A点在⊙BMN外，设MA交圆于C，则∠MAN＜∠MCN，∠MCN=∠MBN，所以∠MAN＜∠MBN．因此，甲应将球回传给乙，让乙射门.同弧所对的圆周角相等DC 例3、在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点．此时甲是自己直接射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？（射门角度越大越好）CBANM解 考虑过M、N以及A、B中的任一点作一圆，这里不妨作出⊙BMN，显然，A点在⊙BMN外，设MA交圆于C，则∠MAN＜∠MCN，∠MCN=∠MBN，所以∠MAN＜∠MBN．因此，甲应将球回传给乙，让乙射门.同弧所对的圆周角相等D平面直角坐标系中的平行四边形
1．如图，直线y＝－ x经过抛物线y＝ax 2＋8ax－3的顶点M，点P是抛物线上的动点，点Q是抛物线对称轴上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当PQ∥OM时，设点P的横坐标为x，线段PQ的长为d，求d关于x的函数关系式；
（3）当以P、Q、O、M四点为顶点的四边形是平行四边形时，求P、Q两点的坐标．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x 2＋mx＋n经过A（3，0）、B（0，－3）两点，点P是直线AB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M．
（1）若点P在第四象限，连接AM、BM，当△ABM的面积最大时，求△ABM的AB边上的高；
（2）若四边形PMBO为等腰梯形，求点P的坐标
（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，抛物线y＝x 2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，－3），顶点为D（－1，－4），连接AC、CD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）试在x轴上找一点E，使∠CED最大，求点E的坐标；
（3）点Q是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点P，使以A、C、P、Q四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，抛物线y＝x 2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，－3），顶点为D（－1，－4），连接AC、CD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）试在x轴上找一点E，使∠CED最大，求点E的坐标；
（3）点Q是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点P，使以A、C、P、Q四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5．已知抛物线y＝ ( x－2)( x－2t－3)（t＞0）与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且△ABC的面积为 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设l为过点B且经过第一、二、四象限的一条直线，过原点O的直线与l交于点E，与以AC为直径的圆交于点D，若△OAD∽△OEB，求直线l的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点Q为直线l上的动点，在坐标平面内是否存在点P，使得以P、Q、A、C四点为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
6．已知抛物线y＝ x 2－mx＋2m－ ．
（1）试说明：无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点；
（2）如图，当该抛物线的对称轴为直线x＝3时，抛物线的顶点为点C，直线y＝x－1与抛物线交于A、B两点，并与它的对称轴交于点D．
①抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
②平移直线CD，交直线AB于点M，交抛物线于点N，通过怎样的平移能使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．
7．如图，直线y＝3x＋3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0），顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点E的坐标为（1，－2），点M是抛物线上一点（D点除外），且△MOE的面积与△DOE的面积相等，求M点坐标；
（3）若点P是抛物线的对称轴上的动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以点P、Q、A、B为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1＜x2，与y轴交于点C（0，－4），其中x1，x2是方程x 2－4x－12＝0的两个根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是线段AB上的一个动点，过点M作MN∥BC，交AC于点N，连接CM，当△CMN的面积最大时，求点M的坐标；
（3）点D（4，k）在（1）中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标，若不存在，请说明理由．
9．如图，抛物线y＝ax 2＋bx＋c交x轴于点A（－3，0），点B（1，0），交y轴于点E（0，－3）．点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行．直线y＝－x＋m过点C，交y轴于D点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于点G，求线段HG长度的最大值；
（3）在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．
10．在平面直角坐标系xOy中，关于y轴对称的抛物线y＝－ x 2＋ ( m－2)x＋4m－7与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P是抛物线上的一点（点P不在坐标轴上），且点P关于直线BC的对称点在x轴上，D（0，3）是y轴上的一点．
（1）求抛物线的解析式及点P的坐标；
（2）若E、F是y轴负半轴上的两个动点（点E在点F的上方），且EF＝2，当四边形PBEF的周长最小时，求点E、F的坐标；
（3）若Q是线段AC上一点，且S△COQ ＝2S△AOQ ，M是直线DQ上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在一点N，使得以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
11．已知二次函数y＝x 2＋bx＋c，其中函数值y与自变量x的部分对应值如下表：
x
…
－1
0
1
2
3
…
y
…
0
－5
－8
－9
－8
…
（1）求该二次函数的关系式，并在给定的坐标系中画出函数的图象；
（2）若A（m，y1），B（m＋4，y2）两点都在该函数的图象上．
①试比较y1与y2的大小；
②若A、B两点位于x轴的下方，点P为函数图象的对称轴与x轴的交点，点Q为函数图象上的一点，解答下列问题：
（Ⅰ）求实数m的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数m，使得以P、A、B、Q四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
12．（12分）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（2，m）在直线y＝2x上，在x轴上有点B（10，0）连接AB，直线AB交y轴于点C．
（1）求直线AB解析式，并求出C点坐标；
（2）若点M是在x轴上方，问是否在点M，使0，B，M，A为顶点的四边形是平行四边形．若是，求出点M坐标，若不是，试说明理由．
（3）若点P是直线AB上一个动点，平面内存在点N，使以O，C，N，P为顶点的四边形是菱形，请写出点N的坐标（直接写出结果，不需要过程）．
平面直角坐标系中的平行四边形
一、设计意图
平面直角坐标系中图形位置的确定是综合性较强、难度较大的一类问题，也是中考中的热点问题。本节课是从综合题中抽取出几何模型，把综合题分解为若干小综合题，通过一题多变、由易到难的引申，实现对常规方法的归纳和总结。本节课还注意对数学思想方法的复习，始终强调数形结合的基本思想，强化分类讨论的意识和方法。
二 、教学目标设计
1.知识与技能
①通过引例求作以不在同一平面内的三个点A、B、C为顶点的平行四边形复习平行四边形的判定，进一步理解图形变换；
②把几何图形放在平面直角坐标系中，对图形顶点的坐标求法进行归纳和总结，复习相关知识的目的的同时，也为后续例题的解决作好铺垫；
③通过对复杂条件的一步步加深，及时总结，掌握从众多的条件中确定类型，提高自己的解题能力。
2. 过程与方法
①综合题中的几何模型【引例】铺垫到位，总结作图定位的依据和方法
②将专题细化，一题多变，充分引申，最大限度的发挥例题的作用。掌握数学解题策略，争取提升小综合题的解决能力
③通过几何画板的使用，直观的展示思维轨迹，提高课堂效率。
3.情感态度与价值观
①通过一题多变活跃思维，学会倾听他人的解题思路，理解他人的解法
②通过题后小结，提高复习效果，同时提高解题能力。
三 、教学过程
1、引例：
如图，A、B、C是不在同一直线上的三个点，求作以A、B、C为顶点的平行四边形。
（学生口答做法，教师演示）
教师提问：你还能作出其他的平行四边形吗？为什么？
得出结论：以对角线为分类标准，分别以AB、AC、BC为对角线可作一个平行四边形，共3个。
2、引申
平行四边形的性质我们已经非常熟悉了。如果我们把平行四边形放在平面直角坐标中，又能得到什么新的结论呢？（出示课题）
现在我把3个平行四边形中的一个放在平面直角坐标中，请大家观看屏幕：
（1）如图，平面直角坐标系中，□ABCD的顶点A(0,0)，B(4,2)，C(9,0)，求点D的坐标；
（学生口答）
（２）如图，平面直角坐标系中，□ABCD的顶点A(0,0)，B(4,1)，D(9,0)，求点C的坐标；
（学生口答）
（估计有三种方法：①构造全等三角形②平移③中点坐标公式）
（3）如图，平面直角坐标系中，□ABCD的顶点A(a, b)，B(c, d)，E(e, f)，求点D的坐标；
（学生口答）
提问：①A、C两点的横坐标之和等于多少？B、D两点的横坐标之和等于多少？可得什么结论？
② A、C两点的纵坐标之和等于多少？B、D两点的纵坐标之和等于多少？可得什么结论？
③你能用文字简洁地概括一下刚才的结论吗？
结论：平行四边形对角线上的两个顶点的横（纵）坐标之和相等。
从这个结论中，我们可以知道：平行四边形中，如果已知任意三个顶点的横坐标，那么第四个点的横坐标也随之可求；如果已知任意三个顶点的纵坐标，那么第四个点的纵坐标也可以求出来了。
3、例题
例 如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋2x－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，抛物线的顶点是E。
（1）请求出点D的坐标，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形；
（学生口答，教师板演）
说明：此题实际上是引例的变式，只不过加入了抛物线的情境。
(此种类型可视为三个定点型，可以对角线为分类标准分三种情况讨论)
（2）设点P是抛物线上一点，作PN⊥x轴于点N，是否存在这样的点P，使得以O、C、P、N为顶点的四边形是平行四边形。若存在，请求出P点的坐标，若不存在，请说明理由。
（此种类型可视为两定两联动型，已知线段只能作为平行四边形的边，可结合图形考虑有几种情况）
（3）若点M是对称轴上一点，点N是抛物线上一点。以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求点M、N的坐标。
（此种类型可视为两定两动型，可把AC当作边或对角线来分情况讨论，同时不要忘记结合图形）
四、小结
今天我们学习了平面直角坐标系中的平行四边形。这类问题是中考压轴题中的一种常见类型。解决这类问题我们应注意什么呢？
①分类：常见类型有三个定点型、两定两联动型、两定两动型
可以把固定线段作为边或对角线来分类，同时不要忘记结合图形来讨论
②顶点坐标如何计算
平行四边形中，如果已知任意三个顶点的横坐标，那么第四个点的横坐标也随之可求；
同样如果已知任意三个顶点的纵坐标，那么第四个点的纵坐标也可以求出来了。
五、布置作业
见附页
课件15张PPT。平面直角坐标系中 的平行直线初三数学专题复习--镇海蛟川书院 滕丽如图，在平面直角坐标系中，直线 y=-x-2分别交x轴，y轴于点A，B．你梳理过吗？若直线l与直线AB平行，增加一个怎样的条件就可以确定直线l的解析式？如图，在平面直角坐标系中，直线 分别交x轴，y轴于点A，B． 若直线l与直线AB平行，且与直线AB的距离等于 ．求直线l的解析式．
你梳理过吗？你会应用了吗？如图，在平面直角坐标系中，一条抛物线经过点A（-2，0）、B（0，-1）、C(1,0)．问题1：在此抛物线上是否存在点D，使得以A、B、C、D为顶点、BC为腰的四边形是梯形？若存在，请求出所有点D的坐标；若不存在，请说明理由．你会应用了吗？(BD1≠AC)你会应用了吗？(AB≠CD2)你会应用了吗？综上：在抛物线上存在点D，使得以A、B、C、D为顶点、BC为腰的四边形是梯形．满足条件的点D的坐标为你会应用了吗？问题2：在此抛物线上是否存在点E，使得△ABE的面积等于0.5 ？若存在，请求出所有点E的坐标；若不存在，请说明理由．如图，在平面直角坐标系中，一条抛物线经过点A（-2，0）、B（0，-1）、C(1,0)．你会应用了吗？你会应用了吗？综上：在抛物线上存在点E，使得△ABE的面积等于0.5 ．点E的坐标为你会应用了吗？问题3：在此抛物线上是否存在点F，使得以F为圆心、 为半径的圆和直线AB相切 ？若存在，请求出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由．如图，在平面直角坐标系中，一条抛物线经过点A（-2，0）、B（0，-1）、C(1,0)．你会应用了吗？你会拓展了吗？…如图，在平面直角坐标系中，直线 分别交x轴，y轴于点A，B．在第二象限内有一边长为2的正方形CDEF，已知C（-1，1）.若动点P从C点出发以每秒1个单位的速度沿着正方形CDEF的边从C→D→E→F→C运动（到达点C后停止运动）.设P点运动的时间为t秒，是否存在t，使得以P为圆心， 为半径的圆与直线AB相切?若存在，求所有t的值；若不存在，请说明理由. 《平面直角坐标系中的平行直线》
镇海蛟川书院 滕丽
【教学目标】
1.通过本节课复习，进一步提高学生运用一次函数、相似三角形等核心知识解决问题的能力。
通过起航、梳理、应用、迁移拓展等活动，让学生学会从复杂的数学问题中寻找基本数学模型并运用模型进行问题解决，培养一定的创新设计或编题能力．
渗透转化、关注特殊、模型化等数学思想方法．
【重点和难点】
重点：确定平面直角坐标系中的两条平行直线的解析的方案.
难点：在复杂的情境中，如何将问题转化为基本的数学问题.
【教学过程】
一、【起航篇】
如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A，B，过点C(1，0)且交y轴于点D的直线与直线AB 平行。从解析式、位置等方面说说它们有怎么样的关系？
二、【梳理篇】
活动1：如图2，在平面直角坐标系中，直线 y=-x-2分别交x轴，y轴于点A，B．若直线l与直线AB平行，增加一个怎样的条件就可以确定直线l的解析式？
活动2：如图3，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A，B． 若直线l与直线AB平行，且与直线AB的距离等于．求直线l的解析式．
三、【应用篇】
如图4，在平面直角坐标系中，一条抛物线经过点A（-2，0），B（0，-1），C(1,0)．
问题1：在此抛物线上是否存在点D，使得以A、B、C、D为顶点、BC为腰的四边形是梯形？若存在，请求出所有点D的坐标；若不存在，请说明理由．
问题2：在此抛物线上是否存在点E，使得△ABE的面积等于0.5 ？若存在，请求出所有点E的坐标；若不存在，请说明理由．
问题3：在此抛物线上是否存在点F，使得以F为圆心、 为半径的圆和直线AB相切 ？若存在，请求出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由．
四、【总结拓展篇】
如图5，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A，B．在第二象限内有一边长为2的正方形CDEF，已知C（-1，1）.若动点P从C点出发以每秒1个单位的速度沿着正方形CDEF的边从C→D→E→F→C运动（到达点C后停止运动）.设P点运动的时间为t秒，是否存在t，使得以P为圆心，为半径的圆与直线AB相切?若存在，求所有t的值；若不存在，请说明理由.
抛物线上存在性问题的探究
古塘中学
一、教学目标
1、通过本节课的复习，进一步提高学生运用二次函数、平行四边形、矩形、菱形、正方形等知识解决问题的能力。
2能从数和形的角度探究抛物线上图形的若干综合问题
二、重点和难点
重点：利用抛物线上的图形的特性，如何将问题转化为基本的数学问题
难点：根据题意找出能使四边形转变成平行四边形、矩形、菱形、正方形的条件。
三、教学过程
1.与平行四边形的形状相结合的存在性问题
.如图，抛物线与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2。
（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；
（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由。
2.与矩形相结合的存在性问题
如图，已知抛物线C1与坐标轴的交点依次为A（－4，0）B（－2，0）E（0，8）（1）求抛物线C1关于原点对称的抛物线C2的解析式。
（2）设抛物线C1的顶点为M，抛物线C2与х轴分别交于C、D两点（点C在点D的左侧），顶点为N，四边形MDNA原面积为S。若点A、点D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动，与此同时，点M、点N同时以每秒2个单位的速度沿竖直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止，求四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出最大值。
（4）在运动过程中，四边形MDNA能否成为矩形？若能，求出此时t的值，若不能，说明理。
3.与菱形(正方形)相结合的存在性问题
如图，对称轴为直线x＝的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）①当四边形OEAF的面积为24时，请判断OEAF是否为菱形？
②是否存在点E，使四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
课件4张PPT。抛物线上存在性问题探究
.如图，抛物线与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2。
（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；
（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由。1.与平行四边形的形状相结合的存在性问题如图，已知抛物线C1与坐标轴的交点依次为A（－4，0）B（－2，0）E（0，8）（1）求抛物线C1关于原点对称的抛物线C2的解析式。
（2）设抛物线C1的顶点为M，抛物线C2与х轴分别交于C、D两点（点C在点D的左侧），顶点为N，四边形MDNA原面积为S。若点A、点D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动，与此同时，点M、点N同时以每秒2个单位的速度沿竖直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止，求四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出最大值。
（4）在运动过程中，四边形MDNA能否成为矩形？若能，求出此时t的值，若不能，说明理。2.与矩形相结合的存在性问题如图，对称轴为直线x＝的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）①当四边形OEAF的面积为24时，请判断OEAF是否为菱形？
②是否存在点E，使四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．3.与菱形(正方形)相结合的存在性问题课件18张PPT。 立人中学 邵美燕2013.5探究型问题之“折叠问题”
的解题策略操作:如图，将矩形ABCD沿PE折叠，使点D落在边BC上的F处，当点F在BC边上移动时，折痕两端点也随之移动，若限定点P,E分别在AD,CD边上移动，且AB=3,AD=5，则F点可移动的最大距离为_______．探究型问题之“折叠问题”（P）33355412透过现象看本质:折叠轴对称实质轴对称性质：ADEF1.图形的全等性：折叠前后的图形是全等形.2.点的对称性：对称点连线被对称轴（折痕）垂直平分.由折叠可得：
1.△AFE≌△ADE
2.AE是DF的中垂线探究型问题之“折叠问题”
例1:已知：在矩形AOBC中，OB=4,OA=3．分别以OB,OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边BC上的一个动点（不与B,C重合），过F点的反比例函数 的图象与AC边交于点E．
请探索：是否存在这样的点
F，使得将△CEF沿EF对折
后，C点恰好落在OB上？
若存在，求出点F的坐标；
若不存在，请说明理由．NM探究型问题之“折叠问题”把条件集中到一Rt△中，根据勾股定理得方程。寻找相似三角形，根据相似比得方程。探究型问题之“折叠问题”例2：如图1，在长方形纸片ABCD中， ，其中 ≥1，将它沿EF折叠（点E、F分别在边AB、CD上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD相交于点P，连接EP.设 ，其中0＜n≤1．
如图2，当 （即M点与D点重合）， =2时，则 = ；
如图3，当 （即M为AD的中点）， 的值发生变化时，求证：EP=AE+DP；
(3)如图1，当 （AB=2AD）， 的值发生变化时， 的值是否发生变化？说明理由．延长PM交EA延长线于G，则△PDM≌△GAM，△EMP≌△EMG.∴EP=EG=EA+AG=EA+DP.连接BM交EF于Q,过F作FH⊥AB于H,∵EF⊥BM , ∴
∠ABM=∠EFH,∴△EFH∽ΔMBA
∴ 的值不发生变化.
HGQ例3：如图，已知直线l：y=kx+2，k＜0 ，与y轴交于点A，与x轴交于点B，以OA为直径的⊙P交AB于另一点D，把弧AD沿直线AB翻转后与OA交于点E。
（1）当k=－2时，求OE的长
（2）是否存在实数k，k＜0 ，使沿直线AB把弧AD翻转后所得的弧与OA相切？若存在，请求出此时k的值，若不存在，请说明理由。探究型问题之“折叠问题”H例4：已知扇形 AOB 的半径为 6，圆心角为 90°，
E 是半径 OA 上一点，F 是AB 上一点．将扇形
AOB 沿 EF 对折，使得折叠后的图形恰好与半径
OB 相切于点 G．
求：点 E 可移动的最大距离是多少？︵变式1：若沿EF向上翻折，折叠后的弧恰好过点O，则E点移动的最大距离是多少?3探究型问题之“折叠问题”变式2：已知扇形 AOB 的半径为 6，圆心角为 90°，
E 是半径 OA 上一点，F 是AB 上一点．将扇形
AOB 沿 EF 对折，使得折叠后的图形恰好与半径
OB 相切于点 G．若 OE＝4，求折痕 EF 的长；︵探究型问题之“折叠问题”变式3：已知扇形 AOB 的半径为 6，圆心角为 90°，E 是半径 OA 上一点，F 是AB 上一点．将扇形 AOB 沿 EF 对折，使得折叠后的图形恰好与半径 OB 相切于点 G．
若 G 是 OB 中点，求 OE 和折痕 EF 的长；︵探究型问题之“折叠问题”变式3：已知扇形 AOB 的半径为 6，圆心角为 90°，E 是半径 OA 上一点，F 是AB 上一点．将扇形 AOB 沿 EF 对折，使得折叠后的图形恰好与半径 OB 相切于点 G．
（3）若 G 是 OB 中点，求 OE 和折痕 EF 的长；︵探究型问题之“折叠问题”将边长为2a的正方形ABCD折叠，使顶点C与AB边上的点P重合，折痕交BC于E，交AD于F，边CD折叠后与AD边交于点H．
（1）如果P为AB边的中点，探究△ PBE的三边之比.
（2）如果P为AB边的中点，还有哪些结论呢?
(3)若P为AB边上任意一点，还能求得△ PBE的三边之比吗?
(4)若P为AB边上任意一点，四边
形PEFQ的面积为S,PB为x,试探究
S与x的函数关系,关求S的最小值.
练一练探究型问题之“折叠问题”将边长为2a的正方形ABCD折叠，使顶点C与AB边上的点P重合，折痕交BC于E，交AD于F，边CD折叠后与AD边交于点H．
（1）如果P为AB边的中点，探究△ PBE的三边之比.
可得△ PBE的三边之比3:4:5.练一练探究型问题之“折叠问题”将边长为2a的正方形ABCD折叠，使顶点C与AB边上的点P重合，折痕交BC于E，交AD于F，边CD折叠后与AD边交于点H．
（2）如果P为AB边的中点，还有哪些结论呢?
△PBE∽△HAP∽△HQF可求出梯形DCEF的面积:由△CME∽△CBP由△FNE≌ △CBP练一练探究型问题之“折叠问题”将边长为2a的正方形ABCD折叠，使顶点C与AB边上的点P重合，折痕交BC于E，交AD于F，边CD折叠后与AD边交于点H．(3)若P为AB边上任意一点，还能求得△ PBE的三边之比吗?
1．贯彻从特殊到一般，从一般到特殊的数学思想。 2．在“变“过程中的“不变”。 △PBE∽△HAP练一练探究型问题之“折叠问题”将边长为2a的正方形ABCD折叠，使顶点C与AB边上的点P重合，折痕交BC于E，交AD于F，边CD折叠后与AD边交于点H．
(4)若P为AB边上任意一点，四边形PEFQ的面积为S,PB为x,试探究S与x的函数关系,关求S的最小值.
由△PBE∽△HAP??由△PBE∽△HQF?练一练探究型问题之“折叠问题”心得：先标等量，再构造方程。
折叠问题中构造方程的方法：（2）寻找相似三角形，根据相似比得方程。（1）把条件集中到一Rt△中，根据勾股定理得方程。探究型问题之“折叠问题”反思小结重结果折叠问题折叠程过重利用Rt△利用相似方程思想轴对称全等性对称性质本精髓探究型问题之“折叠问题”Thanks!
课件16张PPT。 立人中学 邵美燕2013.4探究型问题之“折叠与变换”
的解题策略
命题趋势 探究型问题是近年中考比较常见的题目，解
答这类问题的关键是牢固掌握基本知识，加强
“一题多解”、“一题多变”等的训练；需要有较
强的发散思维能力、创新能力。具体做题时，
要仔细分析题目的有关信息、合情推理、联想，
并要运用类比、归纳、分类讨论等数学思想全
面考虑问题，有时还借助图形、实物或实际操
作来打开思路。探究型问题之“折叠与变换”母题:如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在边BC上的F处，如果∠BAF=30°，AD= ，则∠DAE=______，EF=_______．30°2探究型问题之“折叠与变换”透过现象看本质:折叠轴对称实质轴对称性质：ADEF1.图形的全等性：重合部分是全等图形，对应边角相等.2.点的对称性：对称点连线被对称轴（折痕）垂直平分.由折叠可得：
1.△AFE≌△ADE
2.AE是DF的中垂线探究型问题之“折叠与变换”变式一:如图，折叠长方形的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，AD=10cm，求EC的长。810106x48-x反思：折叠问题中构造方程的方法：（2）寻找相似三角形，根据
相似比得方程。（1）把条件集中到一Rt△中，
根据勾股定理得方程。体会方程思想的价值。2.将分块学习的知识有机整合。设计意图:探究型问题之“折叠与变换”已知tan∠OB ′C＝（1）求出B′点的坐标；
（2）求折痕CE所在直线的解析式。
变式二:如图，在直角坐标系中放入一边长OC为6的
矩形纸片ABCO，将纸翻折后，使点B恰好落在x轴上，
记为B′, 折痕为CE，，6（1） B′（8，0） 8102xx6- x解法一：在Rt△AEB′中，用勾股定理解。解法二：由△CO B′∽△B′AE来解。 探究型问题之“折叠与变换”已知tan∠OB ′C＝
（2）求折痕CE所在直线的解析式。
变式二:如图，在直角坐标系中放入一边长OC为6的
矩形纸片ABCO，将纸翻折后，使点B恰好落在x轴上，
记为B′, 折痕为CE，，解法三：记直线CE交X轴于F点,求得F点坐标与C点的坐标,求得直线CE的解析式。探究型问题之“折叠与变换”变式三:(08湖州24(3))
已知：在矩形AOBC中，OB=4,OA=3．分别以OB,OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边BC上的一个动点（不与B,C重合），过F点的反比例函数 的图象与AC边交于点E．
请探索：是否存在这样的点
F，使得将△CEF沿EF对折
后，C点恰好落在OB上？
若存在，求出点F的坐标；
若不存在，请说明理由．NM学生两大思维障碍： 1.知识欠整合 2.数感很迟钝 探究型问题之“折叠与变换”变式四:在矩形纸片ABCD中，AB=2，BC=4，现将该纸
片折叠，使点A与点C重合，折痕交AD、BC分别与
点E、F，则EF= .
探究型问题之“折叠与变换”24？xx4-x2G方法一：归纳：1、全等形2、勾股定理方法二：24？O归纳：1、辅助线：连结对应点2、轴对称性质3、相似三角形性质探究型问题之“折叠与变换”变式五:将边长为2a的正方形ABCD折叠，使顶点C与AB边上的点P重合，折痕交BC于E，交AD于F，边CD折叠后与AD边交于点H．
（1）如果P为AB边的中点，探究△ PBE的三边之比.
正方形的边长为2a可得△ PBE的三边之比3:4:5.探究型问题之“折叠与变换”变式五:将边长为2a的正方形ABCD折叠，使顶点C与AB边上的点P重合，折痕交BC于E，交AD于F，边CD折叠后与AD边交于点H．
（1）如果P为AB边的中点，还有哪些结论呢?
△PBE∽△HAP∽△HQF可求出梯形DCEF的面积:由△CME∽△CBP由△FNE≌ △CBP探究型问题之“折叠与变换”变式六:将边长为2a的正方形ABCD折叠，使顶点C与AB边上的点P重合，折痕交BC于E，交AD于F，边CD折叠后与AD边交于点H．(2)若P为AB边上任意一点，还能求得△ PBE的三边之比吗?
正方形的边长为2a1．贯彻从特殊到一般，从一般到特殊的数学思想。 2．在“变“过程中的“不变”。 △PBE∽△HAP探究型问题之“折叠与变换”变式七:将边长为2a的正方形ABCD折叠，使顶点C与AB边上的点P重合，折痕交BC于E，交AD于F，边CD折叠后与AD边交于点H．
(3)若P为AB边上任意一点，四边形PEFQ的面积为S,PB为x,试探究S与x的函数关系,关求S的最小值.
正方形的边长为2a由△PBE∽△HAP??由△PBE∽△HQF?探究型问题之“折叠与变换”心得：先标等量，再构造方程。
折叠问题中构造方程的方法：（2）寻找相似三角形，根据相似比得方程。（1）把条件集中到一Rt△中，根据勾股定理得方程。探究型问题之“折叠与变换”反思小结重结果折叠问题折叠程过重利用Rt△利用相似方程思想轴对称全等性对称性质本精髓探究型问题之“折叠与变换”课件13张PPT。——用基本图形解决数学问题镇海区蛟川书院 ? 石莹巧提炼,妙解题（1）当直线MN绕点C旋转到如图所示的位置时，求证：ＤＥ＝ＡＤ＋ＢＥ；（２）当直线MN绕点C旋转到与线段AB相交（交点不是AB的中点）时，画出相应的图形，探求线段DE、ＡＤ与BE之间的等量关系，并写出其关系式。作业分析在△ABC中,∠ACB=90度,AC=BC,直线MN经过点C，且AD⊥MN 于点D ，BE ⊥MN于点E。探索结论：特征：图形中至少存在三对互相垂直的线段，并且三个垂足位于同一条直线（垂足间不存在互相重叠）可以将这一类图形称为“三垂足一线”的基本图形。一、感知图形特征二、基本图形运用三、构造基本图形DEBPC如图，在四边形ABCD中，AB=4，BC=10，CD=6，∠B=∠C=600，AO⊥BC于点O，以O为原点，以BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，点P为线段OC上一动点（不与端点O、C重合）.过点P作PE⊥PD，交y轴于点E，设OP=x，OE=y,求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.练习:课堂小结谈谈你在这节课中的收获课后思考：如果把基本图形中的三个直角改为三个相等的角，则相似的结论还成立吗？课后作业探究1:△BOE与△CFO还相似吗?探究2:若连接EF,△BOE与△CFO相似吗?请说明理由;探究3:设EF=m，△FOE的面积为S，试用m的代数式表示S。近几年来，许多数学中考试题常以一些例题、习题为基础，通过挖掘、引申、创新等方法改编而成，许多试题有着惊人的相似。如果在平时能积累一些重要的、常见的基本图形，熟悉他们的有关性质，则能简化思考过程，提高解题速度；另一方面我们也可以探究结论能否拓展、推广，深化对问题的理解，提高他们自主探究、分析解决问题的能力操作性问题的解决策略
蛟川书院 滕丽
一、教学目标
【知识与技能目标】学会解决操作性问题的三种基本方法：动手操作法、想象还原法、推理分析法，并能综合运用这些方法解决中考的一类操作性问题。
【过程与方法目标】提高学生的动手能力、想象能力和创新能力，提高学生的数学素养，让学生经历观察、操作、实验、猜想、验证的思考过程，从而让学生的实践能力以及发散思维等数学素养得到进一步的提升。
【情感与态度目标】感知数学知识具有普遍联系性，相互转化性，通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的方法。
二、教学重点与难点
重点：在解答数学的操作性问题中能合理运用这三种基本方法
难点：推理分析法是难点
三、教学过程
【导语】同学们已经结束了第一轮的中考复习，今天老师将和同学们一起进行有关操作性问题的专题复习。操作性问题是以几何图形为背景，给出操作规则或创设某一规则的动态情景。这类问题常常涵盖了轴对称、平移、旋转等图形变换，或有折叠剪切，或有割补作图，或有缠绕展开等各方面.
【引例】
教师活动：
出示问题：(浙教版八下P146作业题第2题)将一张正方形纸片，按如图步骤(1) (2)，沿虚线对折两次，然后沿(3)中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（ ）
同时给出三个思考:
思考1 ：只允许沿一条直线剪一次，如何才能剪出(A) 选项中的图形？
思考2 ：若原正方形纸片的边长为4，在图(3)中裁剪线为中位线,求展开铺平后的图形面积.
思考3 ：只允许沿一条直线剪一次，如何才能剪出(B) 、(D)选项中的图形？
学生活动：动手操作，各抒己见，大胆猜想。
【应用新知,解决问题】
[练习] 将图1的正方形纸片沿对角线对折两次后如图2所示，然后将图2的一角剪出人头像(如图3所示).展开铺平后的图形是( )
【例题讲解】
例1 如图1，扇形AOB中，OA=10，(AOB=36(.若固定点B，将此扇形顺时针方向旋转，得一新扇形A’ O’B，其中A点在O’B上(如图2所示)，则O点旋转至O’点所经过的路线长为( )
(A) ( (B) 2( (C) 3( (D) 4(
练习(2010台州)如图，菱形ABCD中，AB=2 ，∠C=60°,菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过36次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为(结果保留π)_________．
例2 动手操作：
在矩形纸片ABCD中,AB=3,AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A ’处，折痕为PQ.当点A’ 边BC上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A’在边BC上可移动的最大距离为_________．
教师活动：引导学生得出
当P点与B点重合时，此时A’点离B点最远.
Q点与D点重合时，此时A’点离B点最近
例3(2011宁波中考考纲典型题目示例)水管的外部需要包扎,包扎时用带子缠绕在管道外部.若要使带子全部包住管道且不重叠（不考虑管道两端的情况）,需计算带子的缠绕角度α（α指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面ABCD时的∠ABC,其中AB为管道侧面母线的一部分）.若带子宽度为1,水管直径为2,则α的余弦值为________.
【课堂小结】 通过本节课的学习,请你畅所欲言,谈谈有何收获与体会?
【课后思考】(2010无锡)如图1是一个三棱柱包装盒，它的底面是边长为10cm的正三角形，三个侧面都是矩形．现将宽为15cm的彩色矩形纸带AMCN裁剪成一个平行四边形ABCD（如图2），然后用这条平行四边形纸带按如图3的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重叠部分），纸带在侧面缠绕三圈，正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满．
（1）请在图2中，计算裁剪的角度∠BAD；
（2）计算按图3方式包贴这个三棱柱包装盒所需的矩形纸带的长度．
课件14张PPT。操作类问题的解决策略 宁波镇海蛟川书院 滕丽2011年4月8日 星期五 操作型问题是根据题目的条件进行操作实验，通过画、割、拼及量等各种实验活动，寻求合理的解决方案.(浙教版八下P146作业题第2题)将一张正方形纸片，按如图步骤(1) (2)，沿虚线对折两次，然后沿(3)中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（ ） (A) (B) (C) (D)思考1 ：只允许沿一条直线剪一次，如何才能剪出(A) 选项中的图形？C引例引例思考2 ：若原正方形纸片的边长为4，在图(3)中裁剪线为中位线,求展开铺平后的图形面积.(A) (B) (C) (D)(浙教版八下P146作业题第2题)将一张正方形纸片，按如图步骤(1) (2)，沿虚线对折两次，然后沿(3)中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（ ） C(A) (B) (C) (D)思考3 ：只允许沿一条直线剪一次，如何才能剪出(B) 、(D)选项中的图形？引例(浙教版八下P146作业题第2题)将一张正方形纸片，按如图步骤(1) (2)，沿虚线对折两次，然后沿(3)中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（ ） C[练习1] 将图1的正方形纸片沿对角线对折两次后如图2所示，然后将图2的一角剪出人头像(如图3所示).展开铺平后的图形是( )
图1图2(A) (B) (C) (D)尝试一下B图3[练习2] (2010宁德)如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形，则展开后三角形的周长是( )B尝试一下例1 如图1，扇形AOB中，OA=10，?AOB=36?.若固定点B，将此扇形顺时针方向旋转，得一新扇形A’ O’B，其中A点在O’B上(如图2所示)，则O点旋转至O’点所经过的路线长为( )
(A) ? (B) 2? (C) 3? (D) 4?
例题讲解(2010台州)如图，菱形ABCD中，AB=2 ，∠C=60°,菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过36次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为(结果保留π)_________． lABCDO拓展一下例2 动手操作：
在矩形纸片ABCD中,AB=3,AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A ’处，折痕为PQ.当点A’ 边BC上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A’在边BC上可移动的最大距离为_________．．例题讲解例2 动手操作：
在矩形纸片ABCD中,AB=3,AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A ’处，折痕为PQ.当点A’ 边BC上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A’在边BC上可移动的最大距离为_____．．2例题讲解例3(2011宁波中考考纲典型题目示例)水管的外部需要包扎,包扎时用带子缠绕在管道外部.若要使带子全部包住管道且不重叠（不考虑管道两端的情况）,需计算带子的缠绕角度α（α指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面ABCD时的∠ABC,其中AB为管道侧面母线的一部分）.若带子宽度为1,水管直径为2,则α的余弦值为________. 例题讲解(2010无锡)如图1是一个三棱柱包装盒，它的底面是边长为10cm的正三角形，三个侧面都是矩形．现将宽为15cm的彩色矩形纸带AMCN裁剪成一个平行四边形ABCD（如图2），然后用这条平行四边形纸带按如图3的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重叠部分），纸带在侧面缠绕三圈，正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满．
（1）请在图2中，计算裁剪的角度∠BAD；
（2）计算按图3方式包贴这个三棱柱包装盒所需的矩形纸带的长度．课后思考 通过本节课的学习,请你畅所欲言,
谈谈有何收获与体会?课堂小结旋转中的面积不变问题
仁爱中学 钱宇琼 朱碧云
教学目标
学生能够进一步体悟解决图形旋转问题的核心知识点是旋转的特征（性质），即旋转角等于对应边的夹角；旋转前后的图形是全等形（对应边相等，对应角相等）.
学生能够进一步理解并能熟练运用旋转的特征解决双多边形旋转的实际问题。同时，让学生通过图形的旋转领悟旋转过程中的不变，不变就可能存在相等关系（或定值）。
让学生体会旋转问题中的数学本质的魅力，也是数学所特有的哲学价值，提高自身探究问题的能力，能够举一反三，培养学习数学的兴趣。
教学重难点
重点：不同图形旋转中面积不变性的探究与应用
难点：不同图形旋转中面积不变性的应用
教学过程
一 引出课题
提问：旋转变换是我们初中阶段学过的一种图形变换，它具有什么性质？
旋转只改变图形的位置，不改变图形的大小和形状，应用这个性质将一些不规则的图形的面积求解转化为规则图形的面积求解
探究：正方形和正方形的旋转
如图1，在一张透明胶片上画正方形ABCD，对角线AC,BD相交于点O，如图2，在另一张透明胶片上画正方形KPMN，并且KN大于AC的一半，如图3，叠合两张透明胶片固定在一块硬纸板上，这两个正方形重合部分的面积是正方形ABCD面积的几分之几？若绕点K旋转正方形KPMN，这两个正方形重合部分的面积会发生变化吗？证明你的结论。
证法一：
证法二：提示：过点O坐OG⊥AD,OH⊥CD,垂足为点G,H，可证△GOE≌△HOF。
让学生通过猜想，引导学生进行探究其面积不变的原因，提示学生从不同角度思考问题，从而得出结论，引出今天的课题。
二、课题再探
变式一：如图将正方形KPMN换成直角三角形或直角扇形，且两直角边或直角扇形的半径足够长，其他条件不变，这两个图形重合部分的面积会发生变化吗？（不变）
变式二：如图，若改变两个条件，将正方形ABCD改为正n边形，正方形KPMN改为扇形，并将扇形绕O点旋转，设正n边形的边长为a，面积为S，分析系列情形
当扇形的圆心角为 120° 时，正三角形ABC的边被扇形覆盖部分的总长度为定值a，这时两个图形重合部分的面积是。
当扇形的圆心角为 90° 时，正四边形ABCD的边被扇形覆盖部分的总长度为定值a，这时两个图形重合部分的面积是。
当扇形的圆心角为 72° 时，正五边形ABCDE的边被扇形覆盖部分的总长度为定值a，这时两个图形重合部分的面积是。
思考：以此类推，我们能得到怎样的结论？
总结：一般的，当扇形的圆心角为 度 时，正n边形的边被扇形覆盖部分的总长度也为定值a，这时两个图形重合部分的面积是 。
三、成果展示
1、如图，在菱形ABCD中，AC=2，BD= ，AC，BD相交于点O，将一个足够大的直角三角板60度角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60度角的两边分别于边BC，CD相交于E,F，连接EF于AC相交于点G。
2、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D,E分别在AC,BC
边上运动，且保持AD=CE.连结ED,DE,EF.在此运动变化过程中，下列结论：①△DEF是
等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形；③DE长度的最小值为4；④四边形
CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8 .其中正确的结论是_________。
四、小结：这堂课你学到了什么？
课件11张PPT。旋转中的面积不变问题仁爱中学 钱宇琼 朱碧云探究：正方形和正方形的旋转如图1，在一张透明胶片上画正方形ABCD，对角线AC,BD相交于点O，如图2，在另一张透明胶片上画正方形KPMN，并且KN大于?AC，如图3，叠合两张透明胶片固定在一块硬纸板上，这两个正方形重合部分的面积是正方形ABCD面积的几分之几？若绕点K旋转正方形KPMN，这两个正方形重合部分的面积会发生变化吗？证明你的结论证法一：证法二：提示：过点O坐OG⊥AD,OH⊥CD,垂足为点G,H，
可证△GOE≌△HOF变式一：如图将正方形KPMN换成直角三角形或直角扇形，且两直角边或直角扇形的半径足够长，其他条件不变，这两个图形重合部分的面积会发生变化吗？变式二：如图，若改变两个条件，将正方形ABCD改为正n边形，正方形KPMN改为扇形，并将扇形绕O点旋转，设正n边形的边长为a，面积为S，分析系列情形当扇形的圆心角为 时，正三角形ABC的边被扇形覆盖部分的总长度为定值a，这时两个图形重合部分的面积是 。120°当扇形的圆心角为 时，正四边形ABCD的边被扇形覆盖部分的总长度为定值a，这时两个图形重合部分的面积是 。90°当扇形的圆心角为 时，正五边形ABCDE的边被扇形覆盖部分的总长度为定值a，这时两个图形重合部分的面积是 。72°……一般的，当扇形的圆心角为 时，正n边形的边被扇形覆盖部
分的总长度也为定值a，这时两个图形重合部分的面积是 。练一练：你是否真学会了？最终回：内部旋转如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D,E分别在AC,BC边上运动，且保持AD=CE.连结ED,DE,EF.在此运动变化过程中，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形；③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8.其中正确的结论是 。小结今天这堂课你学到了什么？谢 谢 ！
