第4章4.2等差数列同步练习2022-2023学年下学期高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册（含答案）
文档属性
| 名称 | 第4章4.2等差数列同步练习2022-2023学年下学期高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 492.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-04-14 06:36:16 | ||
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文档简介
第4章4.2等差数列同步练习
2022-2023学年下学期高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知数列是等差数列，数列满足，，，则的公差d为（ ）
A．1 B．-2 C．2 D．3
2．已知数列是等差数列，且，，则的值为（ ）
A．60 B．30 C．48 D．216
3．已知等差数列满足：，则（ ）
A． B．10 C．15 D．20
4．设等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．在等差数列中，若，则（ ）
A．60 B．57 C．30 D．27
6．等差数列的前项和为，若，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论是（ ）
A．②③ B．①③ C．①④ D．②④
7．若是等差数列，首项，，，则使前项和成立的最大自然数是（ ）
A．2021 B．2022 C．4042 D．4043
8．设数列，，，，…，则是这个数列的（ ）
A．第8项 B．第9项 C．第10项 D．第11项
9．等差数列中，，以下式子的值为55的是（ ）
A． B． C． D．
10．给出下列四个命题：①公比的等比数列是严格递增数列；②数列可以看作是一个定义在正整数集上的函数；③在平面直角坐标系中，表示数列的图象是一些离散的点；④数列是等差数列.其中正确命题的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．将棱长相等的正方体按下图所示的形状摆放，从上往下依次为第1层，第2层，第3层，…，则第2022层正方体的个数是（ ）
A．2022个 B．2043231个
C．2045253个 D．4090506个
12．已知等差数列的公差，，那么（ ）
A．80 B．120 C．135 D．160
13．在等差数列中，以下说法不一定正确的是（ ）
A．
B．若正整数，则
C．
D．若正整数，则（是公差）
14．已知数列满足，那么（ ）．
A．是等差数列 B．是等差数列
C．是等差数列 D．是等差数列
15．已知等差数列{an}满足a2﹣a5+a8＝4，则数列{an}的前9项和S9＝（ ）
A．9 B．18 C．36 D．72
二、填空题
16．写出一个公差为2且“前3项之和小于第3项”的等差数列____________.
17．设等差数列的首项为，且恰从第8项开始为正数，则公差的取值范围是______________.
18．设等差数列的前n项和为，已知，则________.
19．等差数列首项为，公差为；等差数列首项为，公差为；如果，且，，则______.
20．数列和都是等差数列，，，，则数列的前100项和等于______．
21．双曲线的实轴长、虚轴长、焦距依次成等差数列，则这个双曲线的渐近线方程为______．
三、解答题
22．已知是的等差中项，是，的等差中项，且，求的值.
23．若是等差数列，且，求.
24．已知，是两个等差数列，且满足，求．
25．数列是等差数列，，．
(1)从第几项开始有？
(2)求此数列的前项和的最大值．
26．项数为奇数的等差数列，奇数项之和为，偶数项之和为，求这个数列的中间项及项数．
27．某单位用分期付款的方式为职工购买套住房，共需万元，购买当天先付万元，以后每月这一天都交付万元，并加付欠款利息，月利率为．若交付万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第个月应付多少钱？全部按期付清后，买这套房实际花了多少钱？
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．C
【分析】由题设条件得出，，再由得出公差.
【详解】由得，则，.
则，所以数列的公差d为2，
故选：C.
2．A
【分析】根据等差数列基本量计算得，得，即可解决.
【详解】设等差数列的公差为，
因为在等差数列中，①，②，
所以由②①可得，解得.
又，即，
所以，
所以，
所以，
故选：A.
3．C
【分析】根据等差数列通项公式基本量计算即可解决.
【详解】由题知，等差数列满足：，
设等差数列的公差为，
所则，解得，
所以，
故选：C.
4．B
【分析】利用等差数列的通项公式及前n项和公式即可求解.
【详解】设等差数列的首项为，公差为d，则
因为，，
所以，解得，
所以等差数列的通项公式为，
所以，A错；
所以，B对
所以等差数列的前n项和为，C、D错.
故选：B.
5．D
【分析】根据数列的通项公式及前项和公式即可求解.
【详解】依题意，
设等差数列的公差为d，
则，
.
故选：D.
6．A
【分析】根据等差数列前项和的意义及公式分别分析得，判断①；，判断②；由判断③；由，及，判断④．
【详解】解：因为，知①错误；
由已知条件，可知②正确；
由，知③正确；
由，故，知④错误．
故选：A.
7．C
【分析】根据题意得，，再结合，，求解即可．
【详解】根据,得，，所以，
因为，所以，
所以使前项和成立的最大自然数是4042．
故选：C
8．D
【分析】观察可得：根号下的数是以2为首项，3为公差的等差数列，利用等差数列的通项即可求解.
【详解】由题意可知：数列即，
由此可得：，由，解得：，
所以是这个数列的第11项，
故选：.
9．D
【分析】根据等差数列前项和公式，结合等差数列下标性质进行求解即可.
【详解】在等差数列中，
由，
故选：D
10．B
【分析】举特例即可判断①、②；根据数列的概念，可判断③；根据对数的性质化简，然后根据定义法即可判断④.
【详解】对于①，对于数列，时，有，，故①错误；
对于②，对于数列1，2，3，4，5，该数列的定义域为，故②错误；
对于③，由数列的概念可知，数列可以看作是函数，该函数的定义域是正整数集或其子集，所以表示数列的图象是一些离散的点，故③正确；
对于④，因为，所以，是常数，故④正确.
故选：B.
11．C
【分析】设第层正方体的个数是.由已知可得出数列的递推公式，利用累加法求出，代入2022即可得出答案.
【详解】解：设第层正方体的个数是.
由已知可得，，.
所以有
，
，
，
，
以上个式子，两边同时相加可得
.
整理可得，.
所以，.
故选：C.
12．C
【分析】利用等差数列奇数项和偶数项的关系求解.
【详解】解：在等差数列中，公差，，
所以,
所以，
故选：C
13．C
【分析】根据等差数列的通项公式可得出的表达式，从而可判断出各选项.
【详解】对于A，等差数列中，，
，，故A正确；
对于B，若正整数，
则，
，
正整数，，故B正确；
对于C，，因为，不一定正确，故C错误；
对于D，，，
，故D正确；
故选：C.
14．D
【分析】通过可知，进而可得，从而数列是等差数列．
【详解】由得，
，，
故 ，
即有
故数列是等差数列，
故选：D
15．C
【分析】根据题意，由等差数列的性质可得a2﹣a5+a8＝a5＝4，又由，计算可得答案．
【详解】根据题意，等差数列{an}中，a2+a8＝2a5，则a2﹣a5+a8＝a5＝4，
数列{an}的前9项和，
故选：C．
16．（答案不唯一）
【分析】把满足“前3项之和小于第3项”转化为 ，特殊值法计算即可.
【详解】要满足“前3项之和小于第3项”，
则，即，
则不妨设，，此时公差为2，
则.
故答案为: .（答案不唯一）
17．
【分析】根据题意得得解不等式即可解决.
【详解】由题意，得，即，
解得，
所以公差的取值范围是.
故答案为：
18．78
【分析】根据等差数列的中项公式即可求解.
【详解】依题意，
由，得
所以.
故答案为：78.
19．
【分析】根据等差数列定义可判断为等差数列，然后由等差数列通项公式可得.
【详解】因为，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
因为，，所以，
所以.
故答案为：.
20．5250
【分析】利用等差数列的前n项和公式求解.
【详解】解：因为数列和都是等差数列，
所以数列是等差数列，
又因为，，，
所以数列的前100项和为，
故答案为：5250
21．
【分析】由等差数列定义确定关系，由此可得双曲线的渐近线方程.
【详解】设双曲线的半焦距为，
因为双曲线的实轴长、虚轴长、焦距依次成等差数列，
所以，即，又，
所以，故，
所以，
所以双曲线的渐近线方程为.
故答案为：.
22．的值分别为1，5，9或7，5，3.
【分析】根据等比中项性质得，，设等差数列的公差为d，得，，代值即可解决.
【详解】因为是的等差中项，
所以.
又，
所以.
设等差数列的公差为d，
则，.
因为是，的等差中项，
所以，且即，
即，
所以，
解得或，
所以的值分别为1，5，9或7，5，3.
23．
【分析】利用等差数列的性质或基本量之间的关系求解即可.
【详解】方法1：根据等差数列的性质，知.
由，得，解得，
所以.
方法2：设等差数列的首项为，公差为，
根据等差数列的通项公式，得.
由，得，解得，
由题意，知，即，所以.
24．
【分析】，分别为等差数列，的前项和，因此可利用等差数列前项和公式或其他相关性质解答．
【详解】方法1：设等差数列，的公差分别为，，则
，
所以． ①
又因为， ②
观察①②，可在①中取，得．故．
方法2：设，的前项和分别为，，则有，其中．
由于，即，故．
同理，．故．故．
方法3：设，的前项和分别为，．
因为等差数列的前前项和，
根据已知，可令，．
所以．
．
所以．
【点睛】若两个等差数列和的前项和分别为和，则由结论：．
25．(1)
(2)2108.4
【分析】（1）求出数列的通项公式，解不等式即可；
（2）方法1：根据等差数列前项和的性质即可求此数列的前项和结合配方法求最大值即可；方法2：结合（1）知，，则有，从而根据数列的前项和即可求解．
【详解】（1）因为，，
所以．
令，则．
由于，故当时，，
即从第项开始各项均小于；
（2）方法1：．
当取最接近于的自然数，即时，取到最大值．
方法2：因为，，
由（1），知，，
所以，且．
所以．
【点睛】解决此类问题有两种思路：一是利用等差数列的前项和公式，可用配方法求最值，也可用顶点坐标法求最值；二是依据等差数列的通项公式，当时，数列一定为递增数列，当时，数列一定为递减数列．所以当，且时，无穷等差数列的前项和有最大值，其最大值是所有非负项的和；当，且时，无穷等差数列的前项和有最小值，其最小值是所有非正项的和，求解非负项是哪一项时，只要令即可．
26．中间项为，共有7（项）．
【分析】根据等差数列中的奇数项依次仍成等差数列，偶数项依次仍成等差数列可求解．
【详解】设等差数列共有项，
则奇数项有个，偶数项有个，中间项是第项，即，
所以，解得．
又因为，所以．
故这个数列的中间项为，共有（项）．
27．第个月应付万元，实际共付万元．
【分析】根据题意判断每次付款数额顺次构成等差数列，找出数列的首项和公差，求出数列通项公式，再求出前n项和公式，代入数值计算即可.
【详解】因为购房时先付万元，所以欠款为万元．
依题意，知分次付款．
设每次付款数额顺次构成数列，则
， ，
， ，
所以．
所以是以为首项，以为公差的等差数列．
所以．
因为，所以．
所以实际共付（万元），
所以第个月应付万元，实际共付万元．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
2022-2023学年下学期高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知数列是等差数列，数列满足，，，则的公差d为（ ）
A．1 B．-2 C．2 D．3
2．已知数列是等差数列，且，，则的值为（ ）
A．60 B．30 C．48 D．216
3．已知等差数列满足：，则（ ）
A． B．10 C．15 D．20
4．设等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．在等差数列中，若，则（ ）
A．60 B．57 C．30 D．27
6．等差数列的前项和为，若，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论是（ ）
A．②③ B．①③ C．①④ D．②④
7．若是等差数列，首项，，，则使前项和成立的最大自然数是（ ）
A．2021 B．2022 C．4042 D．4043
8．设数列，，，，…，则是这个数列的（ ）
A．第8项 B．第9项 C．第10项 D．第11项
9．等差数列中，，以下式子的值为55的是（ ）
A． B． C． D．
10．给出下列四个命题：①公比的等比数列是严格递增数列；②数列可以看作是一个定义在正整数集上的函数；③在平面直角坐标系中，表示数列的图象是一些离散的点；④数列是等差数列.其中正确命题的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．将棱长相等的正方体按下图所示的形状摆放，从上往下依次为第1层，第2层，第3层，…，则第2022层正方体的个数是（ ）
A．2022个 B．2043231个
C．2045253个 D．4090506个
12．已知等差数列的公差，，那么（ ）
A．80 B．120 C．135 D．160
13．在等差数列中，以下说法不一定正确的是（ ）
A．
B．若正整数，则
C．
D．若正整数，则（是公差）
14．已知数列满足，那么（ ）．
A．是等差数列 B．是等差数列
C．是等差数列 D．是等差数列
15．已知等差数列{an}满足a2﹣a5+a8＝4，则数列{an}的前9项和S9＝（ ）
A．9 B．18 C．36 D．72
二、填空题
16．写出一个公差为2且“前3项之和小于第3项”的等差数列____________.
17．设等差数列的首项为，且恰从第8项开始为正数，则公差的取值范围是______________.
18．设等差数列的前n项和为，已知，则________.
19．等差数列首项为，公差为；等差数列首项为，公差为；如果，且，，则______.
20．数列和都是等差数列，，，，则数列的前100项和等于______．
21．双曲线的实轴长、虚轴长、焦距依次成等差数列，则这个双曲线的渐近线方程为______．
三、解答题
22．已知是的等差中项，是，的等差中项，且，求的值.
23．若是等差数列，且，求.
24．已知，是两个等差数列，且满足，求．
25．数列是等差数列，，．
(1)从第几项开始有？
(2)求此数列的前项和的最大值．
26．项数为奇数的等差数列，奇数项之和为，偶数项之和为，求这个数列的中间项及项数．
27．某单位用分期付款的方式为职工购买套住房，共需万元，购买当天先付万元，以后每月这一天都交付万元，并加付欠款利息，月利率为．若交付万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第个月应付多少钱？全部按期付清后，买这套房实际花了多少钱？
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．C
【分析】由题设条件得出，，再由得出公差.
【详解】由得，则，.
则，所以数列的公差d为2，
故选：C.
2．A
【分析】根据等差数列基本量计算得，得，即可解决.
【详解】设等差数列的公差为，
因为在等差数列中，①，②，
所以由②①可得，解得.
又，即，
所以，
所以，
所以，
故选：A.
3．C
【分析】根据等差数列通项公式基本量计算即可解决.
【详解】由题知，等差数列满足：，
设等差数列的公差为，
所则，解得，
所以，
故选：C.
4．B
【分析】利用等差数列的通项公式及前n项和公式即可求解.
【详解】设等差数列的首项为，公差为d，则
因为，，
所以，解得，
所以等差数列的通项公式为，
所以，A错；
所以，B对
所以等差数列的前n项和为，C、D错.
故选：B.
5．D
【分析】根据数列的通项公式及前项和公式即可求解.
【详解】依题意，
设等差数列的公差为d，
则，
.
故选：D.
6．A
【分析】根据等差数列前项和的意义及公式分别分析得，判断①；，判断②；由判断③；由，及，判断④．
【详解】解：因为，知①错误；
由已知条件，可知②正确；
由，知③正确；
由，故，知④错误．
故选：A.
7．C
【分析】根据题意得，，再结合，，求解即可．
【详解】根据,得，，所以，
因为，所以，
所以使前项和成立的最大自然数是4042．
故选：C
8．D
【分析】观察可得：根号下的数是以2为首项，3为公差的等差数列，利用等差数列的通项即可求解.
【详解】由题意可知：数列即，
由此可得：，由，解得：，
所以是这个数列的第11项，
故选：.
9．D
【分析】根据等差数列前项和公式，结合等差数列下标性质进行求解即可.
【详解】在等差数列中，
由，
故选：D
10．B
【分析】举特例即可判断①、②；根据数列的概念，可判断③；根据对数的性质化简，然后根据定义法即可判断④.
【详解】对于①，对于数列，时，有，，故①错误；
对于②，对于数列1，2，3，4，5，该数列的定义域为，故②错误；
对于③，由数列的概念可知，数列可以看作是函数，该函数的定义域是正整数集或其子集，所以表示数列的图象是一些离散的点，故③正确；
对于④，因为，所以，是常数，故④正确.
故选：B.
11．C
【分析】设第层正方体的个数是.由已知可得出数列的递推公式，利用累加法求出，代入2022即可得出答案.
【详解】解：设第层正方体的个数是.
由已知可得，，.
所以有
，
，
，
，
以上个式子，两边同时相加可得
.
整理可得，.
所以，.
故选：C.
12．C
【分析】利用等差数列奇数项和偶数项的关系求解.
【详解】解：在等差数列中，公差，，
所以,
所以，
故选：C
13．C
【分析】根据等差数列的通项公式可得出的表达式，从而可判断出各选项.
【详解】对于A，等差数列中，，
，，故A正确；
对于B，若正整数，
则，
，
正整数，，故B正确；
对于C，，因为，不一定正确，故C错误；
对于D，，，
，故D正确；
故选：C.
14．D
【分析】通过可知，进而可得，从而数列是等差数列．
【详解】由得，
，，
故 ，
即有
故数列是等差数列，
故选：D
15．C
【分析】根据题意，由等差数列的性质可得a2﹣a5+a8＝a5＝4，又由，计算可得答案．
【详解】根据题意，等差数列{an}中，a2+a8＝2a5，则a2﹣a5+a8＝a5＝4，
数列{an}的前9项和，
故选：C．
16．（答案不唯一）
【分析】把满足“前3项之和小于第3项”转化为 ，特殊值法计算即可.
【详解】要满足“前3项之和小于第3项”，
则，即，
则不妨设，，此时公差为2，
则.
故答案为: .（答案不唯一）
17．
【分析】根据题意得得解不等式即可解决.
【详解】由题意，得，即，
解得，
所以公差的取值范围是.
故答案为：
18．78
【分析】根据等差数列的中项公式即可求解.
【详解】依题意，
由，得
所以.
故答案为：78.
19．
【分析】根据等差数列定义可判断为等差数列，然后由等差数列通项公式可得.
【详解】因为，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
因为，，所以，
所以.
故答案为：.
20．5250
【分析】利用等差数列的前n项和公式求解.
【详解】解：因为数列和都是等差数列，
所以数列是等差数列，
又因为，，，
所以数列的前100项和为，
故答案为：5250
21．
【分析】由等差数列定义确定关系，由此可得双曲线的渐近线方程.
【详解】设双曲线的半焦距为，
因为双曲线的实轴长、虚轴长、焦距依次成等差数列，
所以，即，又，
所以，故，
所以，
所以双曲线的渐近线方程为.
故答案为：.
22．的值分别为1，5，9或7，5，3.
【分析】根据等比中项性质得，，设等差数列的公差为d，得，，代值即可解决.
【详解】因为是的等差中项，
所以.
又，
所以.
设等差数列的公差为d，
则，.
因为是，的等差中项，
所以，且即，
即，
所以，
解得或，
所以的值分别为1，5，9或7，5，3.
23．
【分析】利用等差数列的性质或基本量之间的关系求解即可.
【详解】方法1：根据等差数列的性质，知.
由，得，解得，
所以.
方法2：设等差数列的首项为，公差为，
根据等差数列的通项公式，得.
由，得，解得，
由题意，知，即，所以.
24．
【分析】，分别为等差数列，的前项和，因此可利用等差数列前项和公式或其他相关性质解答．
【详解】方法1：设等差数列，的公差分别为，，则
，
所以． ①
又因为， ②
观察①②，可在①中取，得．故．
方法2：设，的前项和分别为，，则有，其中．
由于，即，故．
同理，．故．故．
方法3：设，的前项和分别为，．
因为等差数列的前前项和，
根据已知，可令，．
所以．
．
所以．
【点睛】若两个等差数列和的前项和分别为和，则由结论：．
25．(1)
(2)2108.4
【分析】（1）求出数列的通项公式，解不等式即可；
（2）方法1：根据等差数列前项和的性质即可求此数列的前项和结合配方法求最大值即可；方法2：结合（1）知，，则有，从而根据数列的前项和即可求解．
【详解】（1）因为，，
所以．
令，则．
由于，故当时，，
即从第项开始各项均小于；
（2）方法1：．
当取最接近于的自然数，即时，取到最大值．
方法2：因为，，
由（1），知，，
所以，且．
所以．
【点睛】解决此类问题有两种思路：一是利用等差数列的前项和公式，可用配方法求最值，也可用顶点坐标法求最值；二是依据等差数列的通项公式，当时，数列一定为递增数列，当时，数列一定为递减数列．所以当，且时，无穷等差数列的前项和有最大值，其最大值是所有非负项的和；当，且时，无穷等差数列的前项和有最小值，其最小值是所有非正项的和，求解非负项是哪一项时，只要令即可．
26．中间项为，共有7（项）．
【分析】根据等差数列中的奇数项依次仍成等差数列，偶数项依次仍成等差数列可求解．
【详解】设等差数列共有项，
则奇数项有个，偶数项有个，中间项是第项，即，
所以，解得．
又因为，所以．
故这个数列的中间项为，共有（项）．
27．第个月应付万元，实际共付万元．
【分析】根据题意判断每次付款数额顺次构成等差数列，找出数列的首项和公差，求出数列通项公式，再求出前n项和公式，代入数值计算即可.
【详解】因为购房时先付万元，所以欠款为万元．
依题意，知分次付款．
设每次付款数额顺次构成数列，则
， ，
， ，
所以．
所以是以为首项，以为公差的等差数列．
所以．
因为，所以．
所以实际共付（万元），
所以第个月应付万元，实际共付万元．
答案第1页，共2页
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