2022-2023 学年度华美实验学校高二
第二学期期中考试数学试题卷 8．如图，瑞典数学家科赫在1904年通过构造图形描述雪花形状．其作法是：从一个正三角形开始，把每
条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150分．考试时间为 120分钟．
就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，则图④中图形的面积为（ ）
一、单项选择题（本大题包括 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，每小题给出的四个选项中，只．有．一．项．是
符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）．
1．设集合 A x∣3 x2 0, x Z ,B 0,1, 2 ，则 A B （ ）
A． 1,0 B． 1,0, 1 C． 1,0 D． 1,1
94 3 95 3 94 3 95 3
2．已知 A． B． C． D．an ， bn 均为等差数列，且 a3 6， b1 0，b2 1，则数列 an bn 的前 5项和为（ ） 243 243 81 81
二、多选题（每道题至少两个正确答案，5x4=20分，全对 5分，不全 2分，错误 0分。）
A．35 B．40 C．45 D．50
9．下列命题是真命题的为（ ）
3．已知 i为虚数单位，复数 z满足 z 3 2i 1，则复数 z对应的点在（ ）
A．若 ac2 bc2，则 a b B．若 a,b R，则 a2 b2 2(a b 1)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 b2 a2C．若 3 a 3 b，则 a b D．若 a b 0，则 a b
4．2023年贺岁档共有七部电影，根据猫眼专业版数据显示，截止到 2023年 1月 29日 13时，2023年度 a b
a m 1, 1
大盘票房（含预售）突破了 90亿元大关．其中历史题材的轻喜剧《满江红》位列第一，总票房已经达到 10．已知向量 ，b 1 m, 2 ，则下列说法正确的是（ ）
了 30亿+，科幻题材的《流浪地球 2》也拥有近 25亿元的票房，现有编号为 1，2，3，4的 4张电影票， a A． b 5
B．当m 1时， a在b 上的投影向量的坐标为 0, 1
要分给甲 乙两个人，每人至少分得一张，那么不同分法种数为（ ） C．若 a//b，则m 3 D．存在m R，使得a b
A．10 B．14 C．16 D．12
11．在矩形 ABCD中，以 AB为母线长，2为半径作圆锥 M，以 AD为母线长，8为半径作圆锥 N，若圆
5．若 f x 是定义在 R上的奇函数，则下列函数是奇函数的是（ ） 锥 M与圆锥 N的侧面积之和等于矩形 ABCD的面积，则（ ）
A． y f x 22 2 x B y f 2x． x C x x． y f 2 2 D． y f 2x x A．矩形 ABCD的面积的最小值为16π B．矩形 ABCD的周长的最小值为36π
C．当矩形 ABCD的周长取得最小值时， AD 2AB
6．若直线 y x a与函数 f (x) ex和 g(x) ln x b的图象都相切，则 a b （ ）
D．当矩形 ABCD的面积取得最小值时， AB 4AD
A． 1 B． 0 C．1 D．3 12．圆锥曲线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形叫做“阿基米德三角形”.如图△MAB是抛物线
π7
π
．已知函数 f (x) sin x sin
x
4 ，则下列结论正确的是（ ） 4 E : y2 2 px( p 0)的阿基米德三角形，弦 AB经过焦点 F，又 BC，AD均垂直于准线 l，且 C，D为垂足，
π , 5π π 5πA． f (x)周期为π ，在 上单调递减 B． f (x)周期为 2π，在 2 4
, 上单调递减2 4 则下列说法正确的有（ ）
π , 5π π 5π
| CD |2
C． f (x) 周期为π，在 上单调递增 D． f (x)周期为 2π，在 , 上单调递增 A．以 AB为直径的圆必与准线 l相切于 M点 B． 2 4 2 4 AF BF
为定值 4
C． kOA k
4
OB为定值 4 D． tan AOB有最小值 (2)若平面 ABC 平面 AA1C1C， A1AC 60
，判断是否存在点 D使得平面 A1ABB1与平面B1BDE所成的3
第 II 卷（非选择题） π锐二面角为 ，并说明理由.
3
三、填空题（5x4=20分，第 16题前面一空 2分，后面一空 3分） 12题
2
13．双曲线 C： x2 y 2 1的渐近线与直线 x 1交于 A，B两点，且 AB 4，那么双曲线 C的离心率b
为____.
19 20题题
14.在一个数列中，如果 n N ,都有 anan 1an 2 k (k为常数 )，那么这个数列叫做等 积数列， k叫做
这个数列的公积，已知 数列 an 是等积数列， a1 1, a2 2，公积为 8，则 a1 a2 a3 ... a12 20．“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一大块麦田里玩，几千几万的小孩子，附近没
15．已知直线 l : kx y k 1 0与圆C : x2 y2 4x 2y 4 0交于 A,B两点，以线段 AB为直径作圆， 有一个大人，我是说，除了我．”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔
该圆的面积的取值范围为_____________. 无垠的麦田．假设霍尔顿想在一望无际的麦田里划一块形为平面四边形 ABCD的麦田成为守望者．如图
16．已知半径为 2 2的球 O的表面上有 A，B，C，D四点，且满足 AD 平面 ABC， 3AB BC, AB BC， 所示，为了分割麦田，他将 B，D连接，经测量知 AB BC CD 6， AD 3 2．
则四面体D ABC的体积最大值为_____________；若 M为 AD的中点，当 D到平面MBC的距离最大时， (1)霍尔顿发现无论 BD多长， 3cosA cosC都为一个定值，试问霍尔顿的发现正确吗？若正确，求出
△MBO的面积为_____________． 此定值；若不正确，请说明理由.
四、解答题（10+12+12+12+12+12=70 分，要写出必要的解题步骤）
(2)霍尔顿发现小麦的生长和发育与分割土地面积的平方和有关，记△ABD与△CBD的面积分别为 S1和
1 ln x
17．已知函数 f x a a R .
x S2 ，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出 S 21 S 22 的最大值．
(1)若 a 0，求 f (x)的单调区间；(2)若 f (x) 0在 (0, )上恒成立，求 a的取值范围.
2 2
21 x y．已知椭圆C : 1 a b 0 的右焦点为F 1,02 2 ，A、B分别是椭圆C的左、右顶点，P为椭圆Ca b
18．已知数列 an 满足 an 1 3an 4(n N ) .(1)判断数列 an 2 是否为等比数列；
的上顶点， PAB的面积为 2 . (1)求椭圆C的方程；
(2)数列 bn 的前 n项和为 Sn n2，当 a
1
5 时，求数列 的前 n项和T . (2)设直线 l : y kx m与椭圆C交于不同的两点M ， N，点Q 2,0 ，若直线MQ的斜率与直线 NQ的斜1
bn 1 log3 an 2 1
n
率互为相反数，求证：直线 l过定点.
19．如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1中，四边形 AA1C1C是边长为 4的菱形，AB BC 13，点 D为棱 AC
22 f x x 1 e1 x．已知函数 . (1)求 f x 的极大值；
上的动点（不与 A、C重合），平面 B1BD与棱 A1C1交于点 E .
(2) m n m 1 en设 、 是两个不相等的正数，且 n 1 em 4em n 1，证明：m n 2 .
(1)求证 BB1 //DE；2022-2023学年第二学期高二期中考试数学答案
一、选择题（每题5分，共60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B A B C D B A AC AB BD ABC
二、填空题（每题5分，共20分）
解答题。
17.（1）时，.
时，单调递增，
时，单调递减，
∴的增区间为，减区间为；
（2）由在上恒成立，故，
设，则.
当时，F(x)单调递增；当时，F(x)单调递减，
故，故.
18.（1）由可得，即，
所以数列为公比为3的等比数列；
（2）当时，，
当时，满足上式，所以，
又因为，所以，
所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，所以，
所以，
所以前n项和.
19.（1），且平面，平面，
∴平面，又∵平面，且平面平面，∴；
（2）连接，取AC中点O，连接，，在菱形中，，
∴是等边三角形，
又∵O为AC中点，∴，
∵平面平面，
平面平面，平面，且，
∴平面，平面，∴，
又∵，∴，
以点为原点，，，为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
假设存在点D，满足题意，设，
，，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，所以，令，则，，
故，
设平面的法向量为
，，
，，令，则，，故，
，解，
所以点D在点C的位置时，平面与平面所成锐角为，
由于D不与A、C重合，故AC上不存满足题意的点.
20.（1）在中，由余弦定理得：，
即，
在中，，
即
因此，即，
所以．
（2）因为，
，
于是得
由（1）知，
因此
，
在中，，
在中，，则，
由，得，
即有，
从而当时，，
所以的最大值是．
21.（1）由题知，，，，
由的面积为，得，
又，代入可得，，∴椭圆的方程为.
（2）联立得，
设，，可得，，
由题知，
即，
即，解得，
∴直线的方程为，故直线恒过定点.
22.(1)解：因为的定义域为，，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，函数的极大值为.
(2)证明：因为，则，即，
由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，
因为、是两个不相等的正数，且满足，不妨设，
构造函数，则，
令，则.
当时，，则，此时函数单调递减，
当时，，则，此时函数单调递减，
又因为函数在上连续，故函数在上单调递减，
当时，，即，故函数在上为增函数，
故，所以，，
且，函数在上为减函数，故，则.
选择填空个别题目：
8．A设图①、②、③、④中正三角形的边长分别为、、、，
图形面积依次记为、、、，图形分别记为、、、，
图形的边数分别记为、、、，
观察图形可知，且，，且，
由题意可知，数列是首项为，公比为的等比数列，则，
数列是首项为公比为的等比数列，，
由图可知，图形是在图形的每条边上生成一个小三角形（去掉底边），
共增加了个边长为的正三角形，
所以，，
由累加法可得
.
12．ABC
证明如下：由于点在抛物线上，
则，联立
即，，
所以抛物线在其上一点
处的切线方程为
设，，设直线AB的方程为，
联立消去x得，
根据根与系数的关系可得，
又抛物线在点A处的切线方程为，即
同理可知，抛物线在点B处的切线方程为，由题意知，，
直线MA的斜率为，直线MB的斜率为，
，
所以，，即点M在以AB为直径的圆上，
联立，解得，所以点M的横坐标为，
所以点M在抛物线的准线上，即以AB为直径的圆必与准线l相切于M点，故A正确;
当AB垂直于x轴时，由抛物线的对称性可知，点 M为抛物线的准线与x轴的交点，
此时，则，，
又此时，则为定值4，
当AB不与x轴垂直时，直线AB的斜率为，
直线MF的斜率为，，
则，在中，，
又以AB为直径的圆与准线l相切于M点，
设以AB为直径的圆的圆心为，即得，则点M坐标为，
则，故B正确;
，故C正确;
由题意知，，则
又根据题意知，则无最小值.故D错误.
16.第一空，设，球心O即为的中点，所以．
四面体的体积，所以，
令，得（负值舍去），当时，，V单调递增：当时，，V单调递减，所以当时，．
第二空，在平面内过点D向作垂线，垂足为H，则D到平面的距离为．
∵，∴，∴,即．
因为，当且仅当时等号成立，
所以．此时，所以的面积为．
