江西省赣州市2022-2023学年高二下学期期中调研测试数学试题（Word版含答案）

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赣州市2022-2023学年高二下学期期中调研测试
数学试卷
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名 准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.双曲线的离心率为（ ）
A. B. C.2 D.3
2.已知等比数列中，，则（ ）
A.20 B.17 C.16 D.15
3.已知的导函数分别为，且，则（ ）
A.2 B.4 C.6 D.8
4.在三棱柱中，，若点为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
5.向一容器中匀速注水，容器中水面高度h（单位：cm）与注水时间t（单位：min）的函数关系为.记时水面上升的瞬时速度为时水面上升的瞬时速度为，从到t=4min水面上升的平均速度为V，则（ ）
A. B.
C. D.
6.课本选择性必修第二册第一章介绍了斐波那契数列，若数列{}满足，则称数，列{}为斐波那契数列，若把斐波那契数列中的奇数用1替换，偶数用-1替换得到数列{}，在数列{}的前10项中任取3项，则这3项之和为1的不同取法有（ ）
A.60种 B.63种 C.35种 D.100种
7.直播带货已经成为农民创业增收的好帮手，数据显示2022年全国农村直播电商已达到573.2万家.已知2022年某农村电商每月直播销售收入Y（单位：万元）与月份具有线性相关关系，利用该电商全年12个月的直播销售月收入数据，求得线性回归方程为，则下列结论一定正确的是（ ）
A.把代入求得的是第n个月的销售收入
B.相关系数
C.2022年该电商直播销售收入逐月增加
D.该电商2022年直播销售总收入为213.6万元
8.已知O为坐标原点，，设动点C满足，动点P满足，则|OP|的最大值为（ ）
A. B. C.2 D.2
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知某校高二男生的身高X（单位：cm）服从正态分布N（175，16），且，则（ ）
A.该校高二男生的平均身高是175cm
B.该校高二男生身高的方差为4
C.该校高二男生中身高超过183cm的人数超过总数的3%
D.从该校高二男生中任选一人，身高超过180cm的概率与身高不超过170cm的概率相等
11.下列各选项中，使数列{}为递增数列的是（ ）
A. B.
C. D.，
12.已知点是椭圆上的动点，点且，则|PQ|最小时，m的值可能是（ ）
A.-1 B. C.a D.3a
三 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上
13.二项式的展开式中的常数项为___________.
14.已知等差数列{}的前n项和为，，若时，最小，则=___________.
15.设点A在直线上，点B在函数的图象上，则|AB|的最小值为___________.
16.课外活动期间，几名篮球爱好者在体育老师指导下进行定点投篮训练，约定每人最多投篮10次，若某同学第n次投篮进球为首次连续进球，则该同学得12-n分且停止投篮.例如：某同学前两次均投篮进球，则得10分，且停止投篮.已知同学甲每次投篮进球的概率均为，则甲在第2次投篮恰好进球，且得5分时停止投篮的概率为___________.
四 解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）若过点的直线l与曲线在处相切，求实数a的值.
18.（12分）（1）已知数列{}的通项公式为，求{}的前n项和；
（2）已知数列{}的通项公式为，求的值.
19.（12分）通勤是指从家中往返工作地点的过程，随着城市的扩张及交通技术的进步，人们可以在距离工作地点较远的地方居住，并以通勤来上班，某传媒公司通过对200名受访者每天平均通勤时间的统计，得到如下频数分布表.通勤时间（单位：时）
通勤时间（单位：时）
人数 40 80 60 20
把通勤时间超过1小时的称为通勤困扰程度高，不超过1小时的称为通勤困扰程度不高.已知200名受访者中，中年人有90人，其余为青年人，中年人中通勤困扰程度高的有30人.
（1）请完成以下列联表，并判断是否有90%的把握认为，青年人与中年人的通勤困扰程度有差异；
青年人 中年人 总计
通勤困扰程度高
通勤困扰程度不高
总计
（2）从200名样本人群中随机抽取1人，A表示“抽取的人是青年人”，B表示“抽取的人通勤困扰程度高”，记，求S的值，并证明：
附，当时，表明有90%的把握判断变量有关联.
20.（12分）已知数列图{}的前n项和为
（1）证明：{}是等差数列；
（2）设数列{}的前n项和为，从下面两个条件中任选一个，证明：.
①；②.
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
21.（12分）已知椭圆经过点，且离心率为，抛物线的焦点F与的右焦点重合.
（1）求与的标准方程；
（2）过的右顶点的直线与交于A，B两点，线段AB的中点为E，点O为坐标原点，证明：|AB|.
22.（12分）已知长方体中，，.
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）记长方体ABCD-中两条平行的棱所在直线为1对平行直线，从长方体所有棱所在的直线中任取4条，记这4条直线中平行直线的对数为X，求X的分布列与期望.
2023年赣州市高二年级下学期期中调研测试数学
参考答案及评分细则
1.【答案】C
【解析】在双曲线中，所以离心率，故选C.
2.【答案】B
【解析】，故选B.
3.【答案】C
【解析】由得，所以，故选C.
4.【答案】A
【解析】，故选A.
5.【答案】C
【解析】由得，所以，所以只有正确，故选C.
6.【答案】B
【解析】数列中各项依次为奇数 奇数 偶数 奇数 奇数 偶数 ，所以数列的前10项中，有7项为1，3项为-1，若所取3项之和为1，则取2个值为1的项，1个值为-1的项，所以不同的取法种数为，故选B.
7.【答案】D
【解析】利用求得的是每月直播销售收入的预测数据，与每月直播销售收入的真实数据可能不相同，错误；不是相关系数，，B错误；，由在回归直线上，得，所以该电商2022年年直播销售总收入为万元，故选D.
8.【答案】D
【解析】由题意得，点在圆的内部或圆周上，因为动点满足，所以当三点不重合时，点的轨迹是以为直径的圆，如图，当点在圆内时，延长交圆于点，设的中点为，的中点为，则，当点在圆上时，两点重合，两点重合，所以，当且仅当点在圆上时取等号，则，当且仅当三点共线时取等号，因为，当且仅当重合时取等号，因为，所以，所以，当且仅当时取等号，此时，所以，当且仅当三点共线且点在圆与轴的交点处时取等号，所以的最大值为，故选D.
9.【答案】CD
【解析】（错误；，B错误；CD正确，故选CD.
10.【答案】AD
【解析】在中，为平均数，正确；正态曲线关于直线对称，正确；为方差，B错误；从该校高二男生中任选一人，身高超过的概率错误，故选AD.
11.【答案】ABD
【解析】对于，数列为递增数列；对于，数列为递增数列；对于，由可得，数列不是递增数列；对于，数列为递增数列，故选ABD.
12.【答案】BD
【解析】因为点在椭圆上，所以，所以，若，当时，最小，若，当时，最小，故选BD.
13.【答案】-12
【解析】二项式的展开式中的常数项为.
14.【答案】-81
【解析】解法一：因为，所以时，时，，所以-81.
解法二：因为，所以，所以时，最小，最小为-81.
15.【答案】
【解析】设函数与直线平行的切线为，则的斜率为，由，得，所以切点为，则点到直线的距离就是的最小值，即.
16.【答案】
【解析】甲在第2次投篮恰好进球，且得5分时停止投篮，则第6次与第7次为首次连续进球，且第1次未进球，第3次未进球，第5次未进球，第4次可以进球也可以不进球，所以所求概率为.
17.解：（1）当时，，
所以，
所以曲线在处的切线方程为，
即.
（2），
因为直线与曲线在处相切，
所以直线的斜率，
又，
所以.
18.解：（1）因为，
所以.
（2）因为，所以，
所以
.
19.解：（1）根据题意，列列联表如下，
青年人 中年人 总计
通勤困扰程度高 50 30 80
通勤困扰程度不高 60 60 120
总计 110 90 200
，
所以有的把握认为青年人与中年人的通勤困扰程度有差异.
（2）由列联表得，
所以，
.
20.证明：（1）因为，所以，
两式相减得，
即.
因为，
所以，
所以数列是公差为2的等差数列.
（2）令中的，得，
又，
所以.
若选①，，
所以
.
若选②，因为，
所以，
所以，
所以
.
21.（1）解：由经过点，且离心率为，得
解得，
所以的标准方程为，
，所以的标准方程为.
（2）证明：的右顶点为，设，
易知直线的斜率不为0，设直线的方程为，与联立得，
所以，
所以
，
所以.
22.解：（1）以点为坐标原点，所在直线分别为轴 轴 轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的一个法向量为，则即
取，得，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（2）由题意得的取值依次为，
，
，
所以的分布列为
1 2 3 6
.