2023年春季永春二中五校期中联考高二年数学科试卷
一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1．某高校有4名志愿者参加社区志愿工作，若每天早、中晚三班，每班1人，每人每天最多值一班，则值班当天不同的排班种类为（ ）
A．12 B．18 C．24 D．144
2．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
3．若，则n的值为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
4. 若，，则的值为（ ）
A. B. 3 C. D.
5．设集合，那么集合中满足条件
“”的元素个数为（ ）
A． B． C． D．
6. 已知函数，是函数的导函数，则的图像大致是（ ）
A. B. C. D.
7．北京2022年冬奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融非常可爱，某教师用吉祥物的小挂件作为奖品鼓励学生学习，设计奖励方案如下：在不透明的盒子中放有大小、形状完全相同的6张卡片，上面分别标有编号1，2，3，4，5，6，现从中不放回地抽取两次卡片，每次抽取一张，只要抽到的卡片编号大于4就可以中奖，已知第一次抽到卡片中奖，则第二次抽到卡片中奖的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数是定义在上的可导函数，对于任意的实数，都有，当时，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．全对得5分，少选得2分，多选、错选不得分）
9．在的展开式中，下列说法错误的是（ ）
A．常数项是20 B．第4项的二项式系数最大
C．第3项是 D．所有项的系数的和为0
10．设P(A|B)＝P(B|A)＝，P(A)＝，则（ ）
A．P(AB)＝ B．P(AB)＝ C．P(B)＝ D．P(B)＝
11．设离散型随机变量的分布列为
0 1 2 3 4
0.4 0.1 0.2 0.2
若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（ ）
A． B．， C．， D．，
12．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，过原点作曲线的切线l，则l的方程为
B．当时，在上单调递增
C．若在上单调递增，则
D．当时，在上有极小值点
三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．若，则的值为______．
14．已知函数，则该函数的图象在处的切线的倾斜角为__________.
15. 现有7位同学（分别编号为）排成一排拍照，若其中三人互不相邻，两人也不相邻，而两人必须相邻，则不同的排法总数为________．（用数字作答）
16. 若函数在上存在极值,则的取值范围为______.
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．在二项式的展开式中，______.
给出下列条件：
①若展开式前三项的二项式系数的和等于46；
②所有奇数项的二项式系数的和为256.
试在上面两个条件中选择一个补充在上面的横线上，并解答下列问题：
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式的常数项.
18．设函数的导函数为，若函数的图象关于直线对称，且.
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数的单调区间.
19．开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措，是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程.某校为确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支持情况，现随机抽取100个学生进行调查，获得数据如下表：
假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支持相互独立.
（1）从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1人，设为抽出两人中女生的个数，求的分布列
（2）在（1）中，表示抽出两人中男生的个数，试判断方差与的大小.（直接写结果）
男 女
支持方案一 24 16
支持方案二 25 35
20．某同学买了7个盲盒，每个盲盒中都有一个礼物，有4个装小兔和3个装小狗．
（1）依次不放回地从中取出2个盲盒，求第1次、第2次取到的都是小兔盲盒的概率；
（2）依次不放回地从中取出2个盲盒，求第2次取到的是小狗盲盒的概率．
21. 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
22．已知函数.
（1）讨论函数的极值点的个数；
（2）已知函数有两个不同的零点，且，证明：2023 年春季期中联考高二年数学科参考答案
1-8 CDBAD CBC 9-12 AC AC CD ABD
e23π
,+
13-16 190 ， 4 ， 240 ，
3
1．【分析】通过题意得出一天三班，一班一人，每人最多一班，即可求出值班当天不同的
排班种类.【详解】由题意，4名志愿者参加社区志愿工作，每天早、中晚三班，每班 1
3
人，每人每天最多值一班，∴值班当天不同的排班种类为：A4 = 24，故选：C.
2．【分析】令 x =1求得 f (1) = 2，得 f (x) = ex 1 4x +1，即可求得 f (2)．【详解】令
x 1 2
x =1，解得 f (1) = 2，所以 f (x) = e 2x + x +1，所以 f (x) = ex 1 4x +1，所以
f (2) = e 7．故选：D．
3．【分析】B
4. 【分析】根据已知条件，令 x = 3和 x = 0 即可求解.
10
【详解】解：因为 (3 x)(1+ x) = a0 + a1x + + a
11
11x ， x R ，
所以令 x = 3，可得a0 + a1 3+ a2 3
2 + + a 1111 3 = 0，又令 x = 0 ，可得
10
a0 = (3 0) (1+ 0) = 3，所以a1 3+ a 3
2
2 + + a
11
11 3 = a0 = 3，故选：A.
5．【详解】试题分析：分以下三种情况讨论，
（1） x1 + x2 + x3 + x4 + x5 =1，则上述五个数中有一个为1或 1，其余四个数为零，此时
1 1
集合A 有C5C2 =10个元素；
（2） x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 2，则上述五个数中有两个数为1或 1，其余三个数为零，
2
其中这两个数的所有可能搭配有22 = 4中，此时集合A 有4C5 = 40个；
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 3（3） ，则上述五个数中有三个数为1或 1，其余两个数为零，其
3 3
中这两个数的所有可能搭配有2 = 8，此时集合A 有8C5 = 80 个；综上所述，集合A 共有
10+ 40+80 =130个元素.故选 D.
1
6. 【分析】求导得到 f (x) = x sin x ，根据奇偶性排除 BD，特殊值计算排除 A得到答
2
案.
1 1
【详解】 f (x) = x2 + cos x ，则 f (x) = x sin x ，则函数 f (x)为奇函数，排除
4 2
BD； f = 1 0，排除 A；故选：C.
2 4
7．【分析】设出事件，求出两次都抽到卡片中奖的概率和第一次抽到卡片中奖的概率，利
用条件概率公式计算出答案.【详解】若事件 A1为“第一次抽到卡片中奖”，事件 A2为
C1 1 12C1 1 C 1“第二次抽到卡片中奖”，则P (A A ) = = ，P A = 2 =1 2 ( )
C1
1 ，故
C1 15 C
1
6 36 5
1
P (A
( ) 1
A2 ) 1
P A2 A
15
1 = = = ．故选：B．
P (A ) 11 5
3
f ( x)
8．【分析】令 g (x) = ex f (x)，根据 f (x) = ，得 g ( x) = g (x)，即 g (x)为偶函数，
e2x
再根据当 x 0时， f (x)+ f (x) 0，利用导数判断函数 g (x)在 (0,+ )上得单调性，再根
ea 1据 f (2a +1) f (a + 2) e2a+1，即 f (2a +1) ea+2 f (a + 2)，即 g (2a +1) g (a + 2)，再根
f ( x)
据函数的单调性即可得出答案.【详解】解：因为 f (x) = ，所以
e2x
f ( x) x x= e f
x (x) = e
x f ( x)，令 g (x) = e f (x)，则 g ( x) = g (x)，所以 g (x)为偶函数，
e
当 x 0时， f (x)+ f (x) 0，所以 g ( x) = ex f (x)+ f (x) 0，所以函数 g (x)在 (0,+ )
上单调递增，根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知 g (x)在 ( ,0)上单调递减，
ea 1因为 f (2a +1) f (a + 2) 2a+1，所以e f (2a +1) ea+2 f (a + 2)，
所以 g (2a +1) g (a + 2)，即 2a +1 a + 2 ，解得a 1或a 1.故选：C.
6 6 r
1 1 r r
9．【详解】因为 x 展开式的通项公式为Tr+1 = C
r ( x) = ( 1) Cr x2r 66 6 ；令
x x
r
2r 6 = 0可得 r = 3，所以常数项为 20，A错误；第 r +1项的二项式系数为C6，由组合数
r 2
的性质可知当 r = 3时，C6取到最大值，B正确；令 r = 2可得T3 = ( 1) C
2x 26 =15x
2 ，所以
第三项为15x 2，C错误；令 x =1可得所有项的系数的和为 0，D正确.故选：AC.
10．【详解】：AC.
11． 【分析】根据概率的性质列方程可得q = 0.1，根据期望和方差公式可得
EX = 2, DX =1.8，根据EY = 3EX +1和DY = 32 DX 分别可得EY 和DY ，由此可得答案.
【详解】由概率的性质可得q +0.4+0.1+0.2+0.2 =1，解得q = 0.1，
EX = 0 0.1+1 0.4+ 2 0.1+3 0.2+ 4 0.2 = 2，
DX = (0 2)2 0.1+ (1 2)2 0.4+ (2 2)2 0.1+ (3 2)2 0.2+ (4 2)2 0.2 =1.8，
EY = 3EX +1= 3 2+1= 7 ，DY = 32 DX = 9 1.8 =16.2,故选：CD
x
12．【详解】当a = 0时， f (x) = e ，设切点为 (m,em )， f (x) = ex ， k = em ，所以
l : y em = em (x m) m m，又 l过原点，则 e = e ( m)，解得m =1，所以 l的方程为
y = ex，故 A正确；
x
当 a =1时， f (x) = e sin x ， f (x) = ex cos x，当 x 0时，ex 1， 1 cos x 1，所以
f ( x) >0，所以 f (x)在 (0,+ )上单调递增，故 B正确；
π π π π
f (x) = ex a cos x，若 f (x)在 , 上单调递增，则 f (x) 0在 , 上恒成立，即
2 2 2 2
ex π π ex e
x (cos x + sin x)
a 在 , 上恒成立，令h (x) = ，则h (x) = ，令h (x) = 0，
cos x 2 2 cos x cos2 x
π π π π π
得 x = ，当 x , 时，h (x) 0，h(x)单调递减，当 x , 时，h (x) 0，
4 2 4 4 2
π π
h(x) π单调递增，所以h (x) = h 4
min = 2e ，所以a 2e 4 ，故 C错误；
4
当 a = 1时， f (x) = ex + sin x， f (x) = ex + cos x，令 (x) = f (x) x，则 (x) = e sin x，
π π
当 x π,
x
时，sin x 0，所以 (x) = e sin x 0，所以 (x) = f (x)在 π, 上
2 2
π π
单调递增，又 f ( π) = e π 1 0， f 2 = e 0 ，所以由零点存在定理可知，存在唯
2
π
一的 x0 π, ，使得 f (x0 ) = 0，当 x ( π, x 0 )时， f (x0 ) 0， f (x)单调递减，当
2
π π
x x0 , 时， f (x0 ) 0， f (x)单调递增，所以 f (x)在 π, 上有极小值点，故 D
2 2
正确．故选：ABD．
n! n!
10 8
13．【解析】C =n = Cn即 ，化简得 (n 8)(n 9) =10 9，因为n为大10!(n 10)! 8!(n 8)!
n 18 2 20 19
于等于 10的整数，所以n =18，所以C20 =C20 =C20 = =190 故答案为：190
2
1
y = e2x+4
1 1
ln (2x +5) 2x+4 2x+4
2
14．【详解】因为 ，所以 y = e 2 2 = e ，
2 2 2x +5 2x +5
3π
所以 y∣ x= 2 =1 2 = 1，即切线的斜率为-1，倾斜角为 .
4
15.【分析】把 A, B,C 排列，产生 4个空位，然后将F ,G 看作一个整体与D, E 插入到
A, B,C 2中可求解.【详解】解：因F ,G 两人必须相邻，所以把F ,G 看作一个整体有 A2 种排
3
法.又 A, B,C 三人互不相邻，D, E 两人也不相邻，所以把 A, B,C 排列，有 A3 种排法，产生
了 4个空位，再用插空法.
2
（1）当D, E 分别插入到 A, B,C 中间的两个空位时，有 A F ,G2 种排法，再把 整体插入到此
时产生的 6个空位中，有 6种排法.
（2）当D, E 分别插入到 A, B,C 中间的两个空位其中一个和两端空位其中一个时，有
C12 C
1 2
2 A2 = 8种排法，此时F ,G 必须排在 A, B,C 中间的两个空位的另一个空位，有 1种排
A2 A3 (A2 6 +C1 1 2法.所以共有 2 3 2 2 C2 A2 ) = 240 .
x xe + a ( ) (
x 3)e 3a
16. 【分析】 f (x) = 在 0,+ 上存在极值,即 f (x3 ) = 在 (0,+ )上存在x x4
变号零点,构造新函数,求导求单调性,判断函数性质后使函数的最小值小于零即可.
ex + a
【详解】解:由题知 f (x) = 在 (0,+ )上存在极值,
x3
即 f (x)在 (0,+ )上存在变号零点,
(x 3)ex 3a
所以 f (x) = ,
x4
设函数 g (x) = (x 3)ex 3a ,
即 g (x)在 (0,+ )上存在变号零点,
x
则 g (x) = (x 2)e ,
当0 x 2时, g (x) 0 , g (x)单调递减;
当 x 2时, g (x) 0 , g (x)单调递增.
因为 x →+ 时, g (x)→+ ,
2 e2
故只需 g (x) = g (2)
e
= e2 3a 0即可,即a .故答案为: ,+ .
min
3 3
17．【详解】选择①.
C0 1 2
n (n 1)
n +Cn +Cn = 46，即1+ n + = 46，
2
即n2 + n 90 = 0，即 (n+10)(n 9) = 0，
解得n = 9或n = 10（舍去）.
选择②.
C0n +C
2 4
n +Cn + ...= 256，即2
n 1 = 256，解得n = 9 .
（1）展开式中二项式系数最大的项为第 5 项和第 6 项，
5
4 1 63T5 = C9 x
5x2 = x 3，
2 16
4 5 3
5 1 4 63 T 2 2 .6 = C9 x x = x (5分)
2 8
9 k k 3k 18
1 3k 18
（2）展开式的通项为 (9 k )T =C k 2 k k 9 2k+1 9 x x =C 2 x ，令 = 0，得 k = 69 ，
2 2
7 T =C6 2 3
21
所以展开式中常数项为第 项，常数项为 7 9 = .(10分)
2
18． （1）∵ f (x) = 2x3 + ax2 +bx +1，∴ f (x) = 6x2 + 2ax +b，(2分)
∵函数 f (x)的图象关于直线 x= 1对称，则a = 6 ,∵ f (1) = 0 ,∴6+12+b = 0，∴
b = 18 .(5 分)
（2） f (x) = 6x2 +12x 18 = 6(x +3)(x 1) ,令 f (x) = 0，
得 x1 = 3, x2 =1,(7分)
列表如下：
x ( , 3) 3 ( 3,1) 1 (1,+ )
f (x) + 0 - 0 +
f (x) 单调递增 单调递减 单调递增
∴函数 f (x)的单调增区间为 ( , 3)和 (1,+ )，单调减区间为 ( 3,1) .(12 分)
19．【详解】（1）记从方案一中抽取到女生为事件A ，从方案二中抽取到女生为事件 B ，
16 2 35 7
则P (A) = = ，P (B) = = ，(3分)
24+16 5 25+35 12
则 X 的可能取值为 0 、1、 2 ，
2 7 1
所以P (X = 0) = 1 1 = ，
5 12 4
2 7 2 7 31
P (X =1) = 1 + 1 =
5 12 5 12 60
2 7 14
P (X = 2) = = ，(7分)
5 12 60
所以 X 的分布列为：(8分)
X 0 1 2
1 31 14
P 4 60 60
（2）依题意可得Y = 2 X ，(9分)
2
所以D (Y ) = D (2 X ) = ( 1) D (X ) = D (X )，(10分)
即D (Y ) = D (X ) (12分)
20．【详解】（1）设事件 Ai =“第 i次取到的是小兔盲盒”， i =1,2．(1分)
C1 C
1
4 1
∵P (A1 ) =
4 = P A A
1 ， ( 2 1 ) =
3 =
1 ，(3分) C7 7 C6 2
4 1 2
∴P (A1A2 ) = P (A1 )P (A2 A1 ) = = ，(5分)
7 2 7
2
即第1次、第2 次取到的都是小兔盲盒的概率为 ．(6分) (不回答也不扣分)
7
（2）设事件Bi =“第 i 次取到的是小狗盲盒”， i =1,2．(7分)
C1 1 13 C 1 C
∵P (B ) = 3 = ，P (B B ) = 2 = ，P (B A ) = 3
1
1 1 2 1 1 2 1
=
1 ，(10分) C7 7 C6 3 C6 2
∴由全概率公式，可知第2 次取到的是小狗盲盒的概率为
P (B2 ) = P (B1 ) P (B2 B1 )+ P (A1 ) P (B2 A1 )
3 1 4 1
= +
7 3 7 2
3
= ．(12分)
7
21. 【详解】(1)X的取值可能为 0，20，100，(1分)
P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，
P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，
P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，(4分)
所以 X的分布列为(5 分)
X 0 20 100
P 0.2 0.32 0.48
(2)假设先答 B类问题，得分为 Y，
则 Y可能为 0，80，100，(6分)
P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，
P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，
P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48，(9分)
所以 Y的分布列为
Y 0 80 100
P 0.4 0.12 0.48
所以 E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6，(11分)
由(1)可知 E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4，
所以 E(Y)＞E(X)，
所以应先答 B类问题．(12 分)
22.【详解】（1）函数 f (x)的定义域为 (0,+ )， f (x) = lnx x + 2a，(1分)
1 1 x
令 h (x) = lnx x + 2a，则h (x) = 1=
x x
当 x (0,1)时，h (x) 0，h(x)递增；当 x (1,+ )时，h (x) 0，h(x)递减
1
h(x) = h(1) = 2a 1，当a 时，h(1) = 2a 1 0， f (x) 0
max 2
f (x)在 (0,+ )上单调递减，此时， f (x)无极值点；
1
当 a 时，h(1) = 2a 1 0， 0 e 2a 1，
2
h (e 2a ) = 2a e 2a + 2a = e 2a 0
h (x)在 (0,1)上有且只有一个零点. f (x)在 (0,1)上有且只有一个极值点.
5a
又 e5a e2 1，h (e ) = 5a e5a + 2a 7a e4aa = a (7 e4a ) a (7 e2 ) 0
h (x)在 (1,+ )上有且只有一个零点.， f (x)在 (1,+ )上有且只有一个极值点.
1 1
综上所述，当a 时， f (x)无极值点；当a 时， f (x)有2 个极值点；(6分)
2 2
ex ex (x 1) 1 (x 1)(ex + x)
（2） g (x) = lnx + x 2a，则 g (x) = +1=
x x2 x x2
当 x (0,1)时， g (x) 0， g (x)递减.当 x (1,+ )时， g (x) 0 ， g (x)递增.
g (x) = g (1) = e+1 2a， 函数 g (x)有两个不同零点 x1, x ，且 xmin 2 1 x2
g (1) 0，即e+1 2a 0， 2a e+1，又
e2a e2a
g (2a) = ln2a + 2a 2a = ln2a
2a 2a
x
ex e (x 1) x
令 (x) = lnx (x e)，则 (x) = ，
x x2
令m(x) = ex (x 1) x (x e) m (x) = xex 1 ee+1，则 1 0， m(x)单调递增
m(x) m(e) = ee (e 1) e 0， (x) 0， (x)单调递增.
(2a) (e+1) (e) = ee 1 1 0 ， g (2a) 0， x2 2a
1 1 x
令 n(x) = lnx x+1(x 0)，则n (x) = 1=
x x
当 x (0,1)时，n (x) 0，n(x)递增，当 x (1,+ )时，n (x) 0，n(x)递减
n(x) = n(1) = 0， n (x) 0即 lnx x 1
max
1 1
1 e2a 1 1 1 e2a 1
g = ln + 2a +1 2a
2a 1 1
2a 1 2a 1 1
2a 1 2a 1
1 1 e
p 1 1
令 P = 0, ，则 g ( p) 0， x1
2a 1 e p p 2a 1
1 4a2 2a 1
x2 x1 2a = .(12分)
2a 1 2a 1
