期中考试仿真模拟试卷02
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知函数，则（ ）
A. 2 B. 1 C. D.
2．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加接力比赛，记事件A为“甲同学跑第一棒”，事件B为“乙同学跑第二棒”，则的值为（ ）
A. B. C. D.
3．对图中的A，B，C三个区域染色，每块区域染一种颜色，有公共边的区域不同色，现有红、黄、蓝三种不同颜色可以选择，则不同的染色方法共有（ ）
A B C
A. 22种 B. 18种 C. 12种 D. 6种
4．若的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则展开式中系数为无理数的项数为（ ）
A. B. C. D.
5．已知随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P
设，则等于（ ）
A. B. C. D.
6．小李和父母、爷爷奶奶一起排队去做核酸，5人排成一列（他们之间没有其他人）.若小李的父母至少有一人与他相邻，则不同排法的总数为（ ）
A. 84 B. 78 C. 108 D. 96
7．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为．若，，则b的值可以是（ ）
A. 2022 B. 2021 C. 2020 D. 2019
8．定义在R上的函数满足，是的导函数，且，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ）．
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．设函数的导函数为， 的部分图象如图所示，则（ ）
A. 函数在上单调递增 B. 函数在上单调递减
C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极大值
10．下列说法正确的是（ ）
A. 的展开式中，的系数为30
B. 将标号为，，，，，的张卡片放入个不同的信封中，若每个信封放张，其中标号为，的卡片放入同一信封，则不同的方法共有种
C. 已知，则
D. 记，则
11．若，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
12．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的30%，30%，40%，则下列选项正确的有（ ）
A. 任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.06
B. 任取一个零件是次品概率为0.053
C. 如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为
D. 如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若函数满足，则________．
14.若 ，则的值 ___________________.
15. 将红、黄、蓝三种颜色的涂料都涂在下图的六个区域中，每个区域涂一种颜色，要求有三个区域涂同一颜色，且相邻的两个区域不同色，共有_________涂法（用数字作答）．
16．已知函数，，若，则 的最小值为_______.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知函数，，且．求：
（1）a的值及曲线在点处的切线方程；
（2）函数在区间上的最大值．
18．从包含甲 乙2人的8人中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？
（1）甲 乙2人都被选中且必须跑中间两棒；
（2）甲 乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒.
19．甲、乙两名运动员进行乒乓球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为，乙胜的概率为.如果比赛采用“五局三胜（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束）”比赛规则.
（1）求甲获胜的概率；
（2）记甲、乙比赛的局数为，求的概率分布列和数学期望.
20．已知，且.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
21．书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．
（1）根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）
（2）若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，求；
（3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，，的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望．
附参考数据：若，则①；②；③．
22．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个零点，求a的取值范围，并证明：.期中考试仿真模拟试卷02
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知函数，则（ ）
A. 2 B. 1 C. D.
【答案】C
【解析】，
又，
∴．
故选：C.
2．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加接力比赛，记事件A为“甲同学跑第一棒”，事件B为“乙同学跑第二棒”，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B因为甲同学跑第一棒，所以跑第二棒的有三种可能：乙，丙，丁，故事件A发生的前提下事件B发生的概率.
故选：B.
3．对图中的A，B，C三个区域染色，每块区域染一种颜色，有公共边的区域不同色，现有红、黄、蓝三种不同颜色可以选择，则不同的染色方法共有（ ）
A B C
A. 22种 B. 18种 C. 12种 D. 6种
【答案】C
【解析】先给A选色，有 种方法；
再给B选色，有 种方法；
再给C选色，有 种方法；
共有 种方法；
故选：C.
4．若的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则展开式中系数为无理数的项数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】展开式中第项与第项的二项式系数相等，，解得：；
展开式的通项公式为：；
则当，，时，展开式中的系数为无理数，共项.
故选：B.
5．已知随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P
设，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由X的分布列得，
，
因为，
则，
故选：C
6．小李和父母、爷爷奶奶一起排队去做核酸，5人排成一列（他们之间没有其他人）.若小李的父母至少有一人与他相邻，则不同排法的总数为（ ）
A. 84 B. 78 C. 108 D. 96
【答案】A
【解析】爷爷奶奶和父母中的一人，三人成列有种，队列有4个空，
小李与父母中另一人相邻有种，再作为整体插入队列中有种，
所以共有种；
爷爷奶奶两人成列有种，队列有3个空，
小李与父母都相邻有种，再作为整体插入队列中有种，
所以共有种；
综上，共有种.
故选：A
7．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为．若，，则b的值可以是（ ）
A. 2022 B. 2021 C. 2020 D. 2019
【答案】B
【解析】因为
,
四个选项中，只有时，除以10余数是1．
故选：B．
8．定义在R上的函数满足，是的导函数，且，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设，，
则，
，
，
，
在定义域R上单调递增，
，，
即，
，
，
不等式的解集为
故选:C．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．设函数的导函数为， 的部分图象如图所示，则（ ）
A. 函数在上单调递增 B. 函数在上单调递减
C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极大值
【答案】AB
【解析】有的图象可得
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
所以函数在上单调递增，故A正确；函数在上单调递减，故B正确；函数在处无极值，故C错误；函数在处取得极小值，故D错误.
故选：AB.
10．下列说法正确的是( )
A. 的展开式中，的系数为30
B. 将标号为，，，，，的张卡片放入个不同的信封中，若每个信封放张，其中标号为，的卡片放入同一信封，则不同的方法共有种
C. 已知，则
D. 记，则
【答案】ACD
【解析】A选项：的展开式中，的系数为，故A正确；
B选项：将标号为，，，，，的张卡片放入个不同的信封中，若每个信封放张，其中标号为，的卡片放入同一信封，则不同的方法共有种(先抽一个信封装卡片1和2，再将3、4、5、6均分成两组，将两组分别放入两个信封)，故B错误；
C选项：∵，
∴，故C正确；
D选项：∵，
∴；
令x＝0得，；
令x＝－1得，；
∴，故D正确．
故选：ACD．
11．若，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】∵
令则可得：，A正确；
令则可得：即，D正确；
展开式第项的通项，则
当时，，B不正确；
当k为偶数时，，当k为奇数时，
∴
令则可得：，C正确．
故选：ACD．
12．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的30%，30%，40%，则下列选项正确的有（ ）
A. 任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.06
B. 任取一个零件是次品概率为0.053
C. 如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为
D. 如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为
【答案】BCD
【解析】记事件：车床加工的零件为次品，记事件：第台车床加工的零件，
则，，
，，，
对于选项，任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为，故错误；
对于选项，任取一个零件是次品概率为
，故正确；
对于选项，如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为
，故正确；
对于选项，如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为
，故正确；
故选：BCD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若函数满足，则________．
【答案】
【解析】，易知则为奇函数，则．
故答案为：．
14.若 ，则的值 ___________________.
【答案】
【解析】令，得，令，得，所以
故答案为：
15. 将红、黄、蓝三种颜色的涂料都涂在下图的六个区域中，每个区域涂一种颜色，要求有三个区域涂同一颜色，且相邻的两个区域不同色，共有_________涂法（用数字作答）．
【答案】
【解析】由题意可知，区域①③⑤或区域②④⑥或区域①③⑥或区域①④⑥涂同一种颜色，
（1）若区域①③⑤或区域②④⑥涂一种颜色，
则剩余三个区域中有两个区域涂一种颜色，最后一个区域涂第三种颜色，
因此，不同的涂色种数为种；
（2）若区域①③⑥涂同一种颜色，则区域④⑤涂剩余的两种颜色，区域②和区域①③所涂颜色不同，
此时，不同的涂色种数为种；
（3）若区域①④⑥涂同一种颜色则区域②③涂剩余的两种颜色，区域⑤和区域④⑥所涂颜色不同，
此时，不同的涂色种数为种.
综上所述，不同的涂色方法种数为种.
故答案为：60.
16．已知函数，，若，则 的最小值为_______.
【答案】##
【解析】由且，则，
在时，递减；在时，递增；
所以极小值，故单调递增，又，
由，则，所以，
所以，令，则，
所以上，递减，上，递增，
故，即 的最小值为.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知函数，，且．求：
（1）a的值及曲线在点处的切线方程；
（2）函数在区间上的最大值．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）
，解得：
故，
曲线在点处的斜率为，切线方程
即
（2）由（1）可知：，
令，解得
故当时，，所以单调递减；
当时，，所以单调递增；
区间内，当时取最大值，最大值为
18．从包含甲 乙2人的8人中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？
（1）甲 乙2人都被选中且必须跑中间两棒；
（2）甲 乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）甲 乙2人必须跑中间两棒，则有种排法，余下的两个位置需要在剩余的6人中选2人排列，有种排法，
根据分步乘法计数原理，知不同的排法种数为.
（2）甲 乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒，则需要从甲 乙2人中选出1人，有种选法，然后在第一棒和第四棒中选一棒，有种选法，另外6人中要选3人在剩余的三个位置上排列，有种排法，
根据分步乘法计数原理，知不同的排法种数为.
19．甲、乙两名运动员进行乒乓球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为，乙胜的概率为.如果比赛采用“五局三胜（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束）”比赛规则.
（1）求甲获胜的概率；
（2）记甲、乙比赛的局数为，求的概率分布列和数学期望.
【答案】（1） （2）分布列见解析，
【解析】（1）记甲获胜为事件，说明甲前三局胜了两局，且第四局甲胜，
所以
答：甲获胜的概率为
（2）可能取值是3、4、5，
所以
3 4 5
则
20．已知，且.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）：因为，则且，所以，，
整理可得，解得.
（2）由已知可得，令，
所以，.
（3）因为，
则，
因此，.
21．书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．
（1）根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）
（2）若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，求；
（3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，，的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望．
附参考数据：若，则①；②；③．
【答案】（1）74；（2）；（3）分布列见解析；期望为．
【解析】（1）根据频率分布直方图得：
．
（2）由题意知，
．
（3）由于，和的频率之比为：，
故抽取的10人中，和分别为：2人，4人，4人，
随机变量的取值可以为0、1、2、3，
，，
，，
分布列为：
0 1 2 3
22．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个零点，求a的取值范围，并证明：.
【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上递减，在上递增， （2）a<-1，证明见解析
【解析】（1）由，得，
当时，，所以在上单调递增，
当时，当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
综上，当时，在上单调递增，
当时，在上递减，在上递增，
（2）由（1）知，当时，在上单调递增，则至多只有1个零点，不符合题意，
所以当时，可能存在两个零点，
由（1）知，当时，在上递减，在上递增，
所以，得，此时，
①当时，，此时，则
在和上分别存在一个零点，
②当时，，
令，则，
，
所以在上单调递增，则，
所以在上单调递减，
所以，即，
此时，则在和上分别存在一个零点，
综上，有两个零点，则
下面证明，不妨设，则由，得
两式相减得，，
两式相加得，，
所以要证，只要证，
即证，
即证，
令，则，
所以在上单调递增，
所以，
因为，所以，
所以
