期中考试仿真模拟试卷01
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．的值为（ ）
A. 3 B. 9 C. 12 D. 15
【答案】B
【解析】．
故选：B．
2．由数字0，1，2，3，4可组成多少个无重复数字的四位数奇数（ ）
A. 18 B. 36 C. 54 D. 72
【答案】B
【解析】末位可挑1和3两个数字，共两种情况，然后首位排除0后可挑3个数，中间
两位共种排法，因此共种情况．
故选：B．
3．的二项展开式中的常数项为（ ）
A. 20 B. 15 C. 10 D. 5
【答案】A
【解析】由题意，二项式展开式的通项为，
令，可得展开式的常数项为.
故选：A.
4．如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（ ）
A．在区间上，是增函数 B．当时，取到极小值
C．在区间上，是减函数 D．在区间上，是增函数
【答案】D
【解析】由导函数图象知，在时，，递减，A错；时，取得极大值（函数是先增后减），B错；时，，递增，C错；时，，递增，D正确．
故选：D.
5．为了支援新冠疫情发生的地区，某医院安排6名医生和5名护士前往疫区．其中2名医生和1名护士负责疫情监控，另外4名医生和4名护士分两组（每组医生和护士各2人），分别负责内科和外科，则所有不同的安排方案有（ ）
A. 10800种 B. 1350种 C. 5400种 D. 2700种
【答案】D
【解析】负责疫情监控需要2名医生和1名护士，其安排方案为；
负责内科和外科各需要2名医生，2名护士，其安排方案，
所以总的安排方案为，
故选：D
6．某一电子集成块有三个元件a，b，c并联构成，三个元件是否有故障相互独立．已知至少1个元件正常工作，该集成块就能正常运行．若每个元件能正常工作的概率均为，则在该集成块能够正常工作的情况下，有且仅有一个元件出现故障的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】记事件为该集成块能够正常工作，事件为仅有一个元件出现故障，
则为该集成块不能正常工作，
所以，，
所以
故选：A
7.已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，则，
由题意可知，对任意的恒成立，所以，对任意的恒成立，
由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，
所以，.
故选：A.
8．一个口袋中装有除颜色外完全相同的4个红球和2个白球，每次从袋中至少取出一个球，恰好4次取完，那么不同的取法一共有（ ）种．
A. 76 B. 48 C. 40 D. 28
【答案】A
【解析】由题可得若有三次拿了1个球，两次拿了3个球，则无论哪一次拿3个球情况一样，则可拿3红或2红1白或2白1红，则有种取法，
若有两次拿1个球，两次拿2个球，先考虑拿2球的两次在四次中的排列，即种，
每种情况的种数一样，故可从拿2个球的次数着手，即先拿2球的拿的2红，后拿的是拿的2白或1红1白或2红；先拿的是1红1白，后拿的是2红或1红1白；先拿的是2白，后拿的是2红，则有种，
综上，不同的取法一共有种.
故选：A.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A. 若随机变量的概率分布列为，则
B. 若随机变量且，则
C. 若随机变量，则
D. 在含有件次品的件产品中，任取件，表示取到的次品数，则
【答案】AB
【解析】对于A选项，由分布列的性质可知，解得，A对；
对于B选项，若随机变量且，
则，B对；
对于C选项，若随机变量，则，C错；
对于D选项，由超几何分布的概率公式可得，D错.
故选：AB.
10．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（ ）
第0行 1
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
…… ……
A. 由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：
B.
C. 第7行中从左到右第5与第6个数的比为5：2
D. 由“第n行所有数之和为2”猜想：
【答案】ABD
【解析】由组合数性质2可知A正确；
由组合数性质2得：
，
，故B正确.
第7行从左到右第5与第6个数的比为：，故C错误；
，D正确．
故选：ABD
11．日前，为应对新冠疫情，某校安排甲、乙、丙、丁、戊5名老师到A、B、C、D四个社区参与志愿活动，以下说法正确的是（ ）．
A. 每人都只安排到一个社区的不同方法数为625
B. 每人都只安排到一个社区，每个社区至少有一人，则不同的方法数为480
C. 如果D社区不安排，其余三个社区至少安排一人，则这5名老师全部被安排的不同方法数为150
D. 每人都安排到一个社区，每个社区至少有一人，其中甲、乙不去A社区，其余三位老师四个社区均可安排，则不同安排方案种数是126
【答案】CD
【解析】对A，每人都只安排到一个社区，每人有4种安排方法，则不同的安排方法有种，故A错误；
对B，先将5人分成人数为2,1,1,1的四组，再将分好的四组安排到四个社区，则不同的安排方法有种，故B错误；
对C，先将5人分成人数为2,2,1或3,1,1的三组，再将分好的三组安排到三个社区，则不同的安排方法有种，故C正确；
对D，分两种情况，第一种情况：先从丙丁戊中选一人去A社区，再将其余四人分成人数为2,1,1的三组安排到B，C，D三个社区，不同的安排方法为种，
第二种情况：先从丙丁戊中选两人去A社区，再将其余三人安排到B，C，D三个社区，不同的安排方法为种，
所以不同的安排方法种数为种，故D正确.
故选：CD.
12．已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A. 时， B. 在定义域内单调递增时，
C. 时，有极值 D. 时，的图象存在两条相互垂直的切线
【答案】ABD
【解析】由题设，函数定义域为，且，
A：，则，正确；
B：在定义域上递增，即在上恒成立，只需，而在上的最大值为，故，正确；
C：由B分析知：当时恒成立，此时无极值，错误；
D：令，则，当时，递减；当时，递增；又，
故，趋向于0或正无穷时都趋向于正无穷，
所以上各有一个零点，故上，上，故必存在，即存在两条相互垂直的切线，正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，则_________.
X 1 2 3
P 0.2 a 0.5
【答案】2.3
【解析】由题，由概率性质，，可解得，
故，
故答案为：2.3
14.现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色（分割成六个不同部分），要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不同的涂色方案有________种.（用数字作答）.
【答案】
【解析】根据题意，假设正五角星的区域依此为、、、、、，如图所示：
要将每个区域都涂色才做完这件事，由分步计数原理，先对区域涂色有3种方法，
、、、、这5个区域都与相邻，每个区域都有2种涂色方法，
所以共有种涂色方案.
故答案为：
15. 已知能够被15整除，其中，则___________.
【答案】14
【解析】
，
所以，
因为是的整数倍，
所以能够被15整除，
要使能够被15整除，
只需要能够被15整除即可，
因为，
所以.
故答案为：14.
16．已知，若在不是单调函数，则实数的取值范围为_____．若任意都有，则实数的取值范围为________．
【答案】 ① ②.
【解析】第一空：对求导
若在不是单调函数，即，
∴
第二空：
当时，，此时函数单调递增，不满足条件，舍去；
当时，，此时满足条件；
当时，当，此时函数在区间上单调递减，当，，此时函数在区间上单调递增，
∴
化简得
设，，
当，此时函数在区间上单调递减，
当，，此时函数在区间上单调递增，图象如图所示，
∴
综上所述：实数的取值范围为.
故答案为：，.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（1）解方程：；
（2）解不等式：
【答案】（1）或（2）．
【解析】（1）因为,
所以或,
解得或
（2）,
解原不等式即，
整理得，即
，所以
所以得到，
而
故或．
原不等式的解集为．
18．已知的展开式中，第2项与第3项的二项式系数1:3.
（1）求n的值；
（2）求展开式中含的项.
【答案】（1）7 （2）2835
【解析】（1）因为二项式的展开式中第2项、第3项二项式系数分别为、，
所以，即，解得.
（2）因为展开式通项，
当时，解得，
所以展开式中含项的系数为.
19．设，曲线在点（1，f（1））处取得极值．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间和极值．
【答案】（1）
（2）在区间（0，）和（1，＋∞）单调递减，在区间（，1）单调递增；极大值为，极小值为
【解析】（1）∵，则，
又∵，故可得，解得，
经检验符合题意，
所以；
（2）由（1）可知，，
则，
当或时，，当时，，
故可得f（x）在区间（0，）和（1，＋∞）单调递减，在区间（，1）单调递增，
故f（x）的极大值为，f（x）的极小值为
20．按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？（列式并用数字作答）
（1）5个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少放一个小球；
（2）6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；
（3）6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；
（4）6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有1个空盒．
【答案】（1）种（2）种（3）种（4）种
【解析】（1）从5个不同的小球中任取个小球当成一个元素，连同其余3个元素作全排，
共有种；
（2）若四个盒子中小球的个数为：，则共有种，
若四个盒子中小球的个数为：，则共有种，
所以共有种.
（3）等价于个相同的元素填入四个不同的空位，共有种；
（4）从4个不同的盒子中选一个盒子空着，有种，
另外三个盒子中，小球的个数可能为：①，②，③，
若为①，则共有种；
若为②，则共有种；
若为③，则共有种，
所以一共有种.
21．加强核酸检测工作，既有利于巩固防控成果、维护群众健康，又有助于人员合理流动、推动全面复工复产复学，是“外防输入、内防反弹”的重要措施. 某地要求对重点人群实行“应检尽检”原则，该原则指的是根据疫情传播风险研判，对应该进行核酸检测的人员，要保证必须全部检测. 该地根据“应检尽检”原则，对某大型社区开展了每日核酸检测. 因工作需要，社区工作人员对该社区被进行核酸检测群众的年龄构成情况进行了解. 随机抽取了名群众，将他们的年龄分成段：、、、、、、，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求这名群众中年龄大于岁的人数；
（2）①若从样本中年龄在岁以上的群众中任取名，赠送“红星”洗化店的洗化用品. 求这名群众至少有人年龄不低于岁的概率；
②该“红星”洗化店采用抽奖方式来提升购物人数，将某特定产品售价提高元，且允许购买此特定产品的群众抽奖次. 规定中奖次、次、次分别奖现金元、元、元. 设群众每次中奖的概率均为. 若要使抽奖方案对“红星”洗化店有利，则奖金最高可定为多少元？（结果精确到个位）
【答案】（1）人 （2）①；②奖金最高可定为元
【解析】（1）由频率分布直方图年龄在岁以上的群众共有名.
（2）①由频率分布直方图知，岁以上的群众共有名，
年龄不低于岁的群众有名，
记事件为“这名群众至少有人年龄不低于岁”，则.
②设群众三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量，其所有可能取得值为：、、、.
由题意得， ，
，，
故群众在三次抽奖中获得的奖金总额的期望值为：
，
由题意得，即，而，
所以最高定价为元时，才能使得抽奖方案对商家有利.
22．已知函数，
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，求证：.
【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析
【解析】（1）由题意知：定义域为，；
当时，恒成立，在上单调递减；
当时，令，解得：；
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，，
令，则；
当时，，，，；
当时，令，则，
，，，，即，
，即在上单调递增，，
在上单调递增，；
综上所述：，即.期中考试仿真模拟试卷01
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．的值为（ ）
A. 3 B. 9 C. 12 D. 15
2．由数字0，1，2，3，4可组成多少个无重复数字的四位数奇数（ ）
A. 18 B. 36 C. 54 D. 72
3．的二项展开式中的常数项为（ ）
A. 20 B. 15 C. 10 D. 5
4．如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（ ）
A．在区间上，是增函数 B．当时，取到极小值
C．在区间上，是减函数 D．在区间上，是增函数
5．为了支援新冠疫情发生的地区，某医院安排6名医生和5名护士前往疫区．其中2名医生和1名护士负责疫情监控，另外4名医生和4名护士分两组（每组医生和护士各2人），分别负责内科和外科，则所有不同的安排方案有（ ）
A. 10800种 B. 1350种 C. 5400种 D. 2700种
6．某一电子集成块有三个元件a，b，c并联构成，三个元件是否有故障相互独立．已知至少1个元件正常工作，该集成块就能正常运行．若每个元件能正常工作的概率均为，则在该集成块能够正常工作的情况下，有且仅有一个元件出现故障的概率为（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8．一个口袋中装有除颜色外完全相同的4个红球和2个白球，每次从袋中至少取出一个球，恰好4次取完，那么不同的取法一共有（ ）种．
A. 76 B. 48 C. 40 D. 28
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A. 若随机变量的概率分布列为，则
B. 若随机变量且，则
C. 若随机变量，则
D. 在含有件次品的件产品中，任取件，表示取到的次品数，则
10．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（ ）
第0行 1
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
…… ……
A. 由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：
B.
C. 第7行中从左到右第5与第6个数的比为5：2
D. 由“第n行所有数之和为2”猜想：
11．日前，为应对新冠疫情，某校安排甲、乙、丙、丁、戊5名老师到A、B、C、D四个社区参与志愿活动，以下说法正确的是（ ）．
A. 每人都只安排到一个社区的不同方法数为625
B. 每人都只安排到一个社区，每个社区至少有一人，则不同的方法数为480
C. 如果D社区不安排，其余三个社区至少安排一人，则这5名老师全部被安排的不同方法数为150
D. 每人都安排到一个社区，每个社区至少有一人，其中甲、乙不去A社区，其余三位老师四个社区均可安排，则不同安排方案种数是126
12．已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A. 时， B. 在定义域内单调递增时，
C. 时，有极值 D. 时，的图象存在两条相互垂直的切线
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，则_________.
X 1 2 3
P 0.2 a 0.5
14.现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色（分割成六个不同部分），要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不同的涂色方案有________种.（用数字作答）.
15. 已知能够被15整除，其中，则___________.
16．已知，若在不是单调函数，则实数的取值范围为_____．若任意都有，则实数的取值范围为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（1）解方程：；
（2）解不等式：
18．已知的展开式中，第2项与第3项的二项式系数1:3.
（1）求n的值；
（2）求展开式中含的项.
19．设，曲线在点（1，f（1））处取得极值．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间和极值．
20．按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？（列式并用数字作答）
（1）5个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少放一个小球；
（2）6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；
（3）6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；
（4）6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有1个空盒．
21．加强核酸检测工作，既有利于巩固防控成果、维护群众健康，又有助于人员合理流动、推动全面复工复产复学，是“外防输入、内防反弹”的重要措施. 某地要求对重点人群实行“应检尽检”原则，该原则指的是根据疫情传播风险研判，对应该进行核酸检测的人员，要保证必须全部检测. 该地根据“应检尽检”原则，对某大型社区开展了每日核酸检测. 因工作需要，社区工作人员对该社区被进行核酸检测群众的年龄构成情况进行了解. 随机抽取了名群众，将他们的年龄分成段：、、、、、、，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求这名群众中年龄大于岁的人数；
（2）①若从样本中年龄在岁以上的群众中任取名，赠送“红星”洗化店的洗化用品. 求这名群众至少有人年龄不低于岁的概率；
②该“红星”洗化店采用抽奖方式来提升购物人数，将某特定产品售价提高元，且允许购买此特定产品的群众抽奖次. 规定中奖次、次、次分别奖现金元、元、元. 设群众每次中奖的概率均为. 若要使抽奖方案对“红星”洗化店有利，则奖金最高可定为多少元？（结果精确到个位）
22．已知函数，
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，求证：.
