山西省朔州市怀仁市2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（Word版含答案）

怀仁市2022-2023学年高二下学期期中考试
数学试题
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
4.本卷主要考查内容：选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章~第七章7.3.2。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.下面是离散型随机变量的是（ ）
A.电灯炮的使用寿命
B.小明射击1次，击中目标的环数
C.测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值
D.一个在轴上随机运动的质点，它在轴上的位置
2.若随机变量的分布列如表：
0 1 2 3 4
0.1 0.1 0.2 0.3 0.25 0.05
则（ ）
A.0.5 B.0.2 C.0.4 D.0.3
3.已知函数，则的值为（ ）
A.0 B. C. D.
4.把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件，“第二次出现反面”为事件，则（ ）
A. B. C. D.
5.由0，1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的四位数中，偶数的个数是（ ）
A.480 B.560 C.750 D.630
6.英国数学家贝叶斯（1701—1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献.根据贝叶斯统计理论，事件，，（的对立事件）存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.01，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为99%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有99%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为10%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有10%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（ ）
A.0.01 B.0.0099 C.0.1089 D.0.1
7.已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数若直线与有三个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
10.对于的展开式，下列说法正确的是（ ）
A.展开式共有8项 B.展开式中的常数项是70
C.展开式中各项系数之和为0 D.展开式中的二项式系数之和为64
11.已知，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
12.已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A.当时，的图象位于轴下方 B.有且仅有一个极值点
C.有且仅有两个极值点 D.存在，使得
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为______.
14.已知，则______.
15.如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供4种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻颜色不同，则不同的涂色方法种数为______.
16.已知函数的导函数满足在上恒成立，则不等式的解集是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知函数在处取得极值7.
（1）求的单调区间；
（2）求在上的最值.
18.（本小题满分12分）
（1）7个人排成一排拍照片，若要求甲、乙、丙3人必须相邻，有多少种排法？
（2）一场班级元旦晚会有4个唱歌节目和2个相声节目，要求排出一个节目单，第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？
（3）从4个男青年教师和5个女青年教师中选出4名教师参加新教材培训，要求至少有2名男教师和1名女教师参加，有多少种选法？
19.（本小题满分12分）
袋子中装有形状，大小完全相同的小球若干，其中红球个，黄球个，蓝球1个.现从中随机取球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分.若从该袋子中任取一个球，所得分数的数学期望为.
（1）求正整数的值；
（2）从该袋中一次性任取3个球，求所得分数之和等于5的概率.
20.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）若，求的极值；
（2）讨论函数的单调性.
21.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）若的图象在处的切线方程是，求实数，；
（2）若有两个极值点，求实数的取值范围.
22.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）若，证明：在上存在唯一的零点；
（2）若，证明：当时，.
怀仁市2022-2023学年高二下学期期中考试
数学
参考答案、提示及评分细则
1.B 根据离散型随机变量的定义知，是离散型随机变量.故选B.
2.C 由随机变量的分布列知，.
3.D 由题意知，，
所以，故选D.
4.A 法一：，故选A.
法二：包括的基本事件为｛正，正｝、｛正，反｝，包括的基本事件为｛正，反｝，∴，故选A.
5.C 最后一位数是0，偶数的个数是；最后一位不是0，偶数的个数是，所以一共有种.故选C.
6.C 设用该试剂检测呈现阳性为事件，被检测者患病为事件，未患病为事件，
则，，，，
故所求概率.
7.B ，，令，解得，令，解得.所以在上单调单减，在上单调单增，又在上恒成立，所以解得.故选B.
8.C 的图象如图所示：
在时，，，设切点的坐标为，，因此有，所以切线方程为，当该切线过原点时，，解得，所以切点的坐标为，；
当时，，，，，又直线与有三个不同的交点，所以或.故选C.
9.ABD 因为随机变量服从两点分布，且，所以，故A正确；
，故B正确；，故C不正确；
，故D正确，故选ABD.
10.BC 的展开式共有9项，故A错误；
展开式中的常数项为，故B正确；
令，则展开式中各项系数之和为，故C正确；
展开式中的二项式系数之和为，故D错误.
11.ACD 令得，故A正确；
令得，所以，故B错误；
令得，又，
两式相加得，故C正确；
令，所以，所以，
其展开式的通项为，令，解得，
所以，故D正确.故选ACD
12.AB 当时，，，所以，故A正确；
由题意知，，令，易得在上单调递减，又，，所以，使得，所以当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，所以有且仅有一个极值点.故B正确，C错误；所以，故D错误，故选AB.
13. ，则，则，解得.
14. 由，有，可得.
15.72 对于区域，有4种颜色可选，若，颜色相同，则有3种颜色可选，有2种颜色可选，有2种颜色可选，共有种；
对于区域，有4种颜色可选，若，颜色不相同，则有3种颜色可选，有2种颜色可选，有1种颜色可选，有1种颜色可选，共有种，所以一共有种.
16. 令，则，所以在上单调递增，由，得，又在上单调递增，所以，解得.所以不等式的解集是.
17.解：（1），
因为函数在处取得极值7，所以……2分解得…3分
所以，，令，解得或，令，解得，所以的单调增区间是，，单调减区间是；……5分
（2）由（1）得，单调递增，，单调递减，，单调递增，
，，
，，……8分
所以，……9分. ……10分
18.解：（1）将甲、乙、丙三人看成一个人，排法有（种）；……4分
（2）选两个唱歌节目排在首尾，剩下的4个节目在中间排列，排法为（种）；……8分
（3）问题可以分成两类：
第一类2名男生和2名女生参加，有种选法，
第二类3名男生和1名女生参加，有种选法，
依据分类计数原理，共有80种选法. ……12分
19.解：（1）由题意有，……1分
，……2分，……3分
有……5分解得；……6分
（2）结合（1）知，袋子中红、黄、蓝球的个数分别是3，2，1，
共6个球，从中任取3个，得分之和为5，包括如下两种情况：
①一个红球，两个黄球，所求概率为；……8分
②两个红球，一个蓝球，所求概率为，……10分
故从该袋中一次性任取3个球，所得分数之和等于5的概率为. ……12分
20.解：（1）若，，则，……1分
令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，……3分
又，所以在处取得极小值，无极大值；……5分
（2），……6分
当时，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增；……9分
当时，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减. ……12分
21.解：（1），所以，……2分解得，……3分
所以，，
所以点在上，即，……4分解得；……5分
（2），因为有两个极值点，所以在上有两个不同的实数解，即在上有两个不同的实数解，……7分
所以……10分解得，实数的取值范围是. ……12分
22.证明：（1）若，，，
，
当时，则在上单调递减，，，
∴在上存在唯一零点；
（2），……6分
令，若，，……8分
令，则，
令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，……9分
所以，所以在上恒成立，……10分
所以. ……12分