青岛十九中 2022～2023学年度第二学期 4 月份阶段性诊断 7．在平行四边形 ABCD中，| AB | 6,| AD | 4．若点M , N 满足BM 3MC, DN 2NC ，则 AM NM
高一数学试题 的值为（ ） 2023.04
A．6 B．9 C．20 D．36
说明：1．本试卷分第 I卷和第 II卷。满分 150分。答题时间 120分钟。
π
2．请将第 I 卷题目的答案选出后用 2B 铅笔涂在答题纸对应题目的代号上；第 II 卷用黑色签字 8．已知非零平面向量a ，b ， c 满足 a 2， b c 1，若a 与b 的夹角为 ，则 a c 的最小值3
笔将正确答案写在答题纸对应的答题区域，答在试卷上作废。 为（ ）
3
A． 3 1 B． 3 C． 3 1 D． 第 I 卷（选择题，共 60分） 2
一、单选题（每题 5 分，共 8 小题） 二、多选题（每题 5分，共 4 小题。漏选得 2 分，错选不得分）
1．sin 40 sin50 cos 40 cos50 等于（ ） 9．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是
A． 1 B．1 C．0 D． cos10 （ ）
2．如图，在 ABC 中，D 为 AB 的中点，E 为 CD 的中点，设 AB a ， A．圆柱的侧面积为2 R2
AC b ，以向量 a ，b 为基底，则向量 AE （ ） B．圆锥的侧面积为 5 R2
1 1 1
A． a b B． a b C．圆柱的侧面积与球面面积相等
2 4 2
D．圆锥的表面积最小
1 1 1
C． a b D． a b 10．下列命题中，正确的是（ ）
2 4 2
A．在 ABC中， A B， sin A sin B
3．若复数 z 满足 (1 i)2 z 3 4i ，则在复平面内 z 的共轭复数所对应的点位于（ ）
B．在锐角 ABC中，不等式sin A cos B 恒成立
A．第一象限 B．第二象限
C．在 ABC中，若a cos A bcos B ，则 ABC必是等腰直角三角形
C．第三象限 D．第四象限
D．在 ABC中，若B 600，b2 ac，则 ABC必是等边三角形
4．已知一个正三棱锥的高为 3，如下图是其底面用斜二测画法所画出的
11．设 z1 ， z2 ， z3为复数，且 z1 0 ，下列命题中正确的是（ ）
水平放置的直观图，其中O 为B C
3
的中点，O A ，则此正三棱锥的
2 A．若 z1z2 z1z3 ，则 z2 z3 B．若 z1z2 z1z3 ，则 z2 z3
体积为（ ） 3 2C．若 z2 z
3
，则 z2 z3 3 D．若 z1z2 z1 ，则 z1 z2
3 3 3
A． 3 B．3 3 C． D．
4 4 12．已知函数 f x cos x ( 0, ) 的部分图象
2
5．在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，若bcosC ccosB asinA，则角 A的 如图所示，则下列说法正确的是（ ）
值为（ ）
A．
π π π π 4
A． B． C． D．
3 6 4 2 B．f（x）的最小正周期为 2
6．如图，为测量山高 MN，选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点， C．将 f（x）的图象向右平移 1 个单位长度，得到函数
从 A 点测得 M 点的仰角∠MAN＝60°，C 点的仰角∠CAB＝45°以及∠ 5
y cos( x ) 的图象
MAC＝75°，从 C 点测得∠MCA＝60°，已知山高 BC＝100 m，则山高 4
MN＝（ ） 2 11 7
D．若 f（x）在区间[2，t]上的值域为[－1， ]，则 t的取值范围为[ ， ]
A．150 m B．150 2 m 2 4 2
C．150 3 m D．50 6 m
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第 II 卷（非选择题，共 90分） π
20．已知函数 f x 4sin x sin x 1.
三、填空题（每题 5 分，共 4 小题） 3
13．复数 z 2i i2 i3
5π
（ i 为虚数单位），则|z|的值为______． (1)求 f 的值；
6
14．在梯形 ABCD中，AB AD，AD / /BC ，BC 2AD 2AB 2 .将梯形 ABCD绕 AD所在的直
8 π
线旋转一周形成的曲面所围成的几何体的体积为________. (2)设 A 是 ABC 中的最小角， f (A) ，求 f A 的值.
5 4
15．若 | a | 1, | b | 2 , a , b 的夹角为60 ，若 3a 5b ma b ，则m 的值为________．
16．在平面四边形 ABCD 中， A B C 75 , BC 2，则 AB 的取值范围是
_____________
A, B,C a,b,c (sin B sin C)2 sin2 A sin B sin C
四、解答题（共 6 题，其中 17题 10 分，其余各题均 12 分） 21．已知 ABC的内角 的对边分别为 ，若 ，
17．已知 a 4 b 1, 3 a 3 ，向量 ．
（1）求A ；
(1)若向量a∥b，求向量 a 的坐标；
（2）若 ABC为锐角三角形，求b c 的取值范围．
(2)若向量 a 与向量b 的夹角为 120°，求 a b ．
3 3 π
18．在 ABC 中， sin A ， C ， c 7． 22 已知函数 f (x) Asin( x ) B A 0, 0,| | 的部分图象如图所示.
14 3 2
(1)求 a 和 b 的值； (1)求函数 f (x) 的解析式；
(2)判断 ABC 是否是锐角三角形，并说明理由． π
(2)将函数 y f (x)图象上所有的点向右平移 个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标
4
13π
变为原来的 2 倍（纵坐标不变），得到函数 y g(x) 的图象.当 x 0, 时，方程 g(x) a 0恰
6
19．为解决社区老年人“一餐热饭”的问题，某社区与物业、第三方餐饮企业联合打造了社区食堂， 有三个不相等的实数根， x1, x2 , x3 x1 x2 x3 ，求实数 a 的取值范围以及 x1 2x2 x3的值
每天为居民提供品种丰富的饭菜，还可以提供送餐上门服务，既解
决了老年人的用餐问题，又能减轻年轻人的压力，受到群众的一致
好评.如图，送餐人员小夏从A 处出发，前往 B，C ，D三个地点
送餐.已知 AB 300m， AD 200m ，CD 100m，且 AB∥CD ，
BAD 60 .
(1)求 AC 的长度.
(2)假设 AB ，BC ，CD，AD均为平坦的直线型马路，小夏骑着电
动车在马路上以250m / min的速度匀速行驶，每到一个地点，需要 2 分钟的送餐时间，到第三个
地点送完餐，小夏完成送餐任务.若忽略电动车在马路上损耗的其他时间（例如：等红绿灯，电
动车的启动和停止…），求小夏完成送餐任务的最短时间.
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高一数学试题答案 2023.04
一、单选题 CDAA DABA
二、多选题
9. BCD 10ABD 11. AD 12.BD
三、填空题
13. 14. 15 16.
四、解答题
17.【详解】（1）由，设，∴，
∵，∴，解得或
所以或．
（2）∵，，，
∴，
∴，∴．
18(1)因为，，，
所以由正弦定理可知：，
由余弦定理可知：，或舍去，即；
(2)因为，所以角最大，
由余弦定理可知：，
所以角是钝角，因此是钝角三角形，不是锐角三角形.
19．【详解】（1）因为，，所以，
在中，由余弦定理，得
.
（2）在中，由余弦定理，得，
所以，
所以.
在中，由余弦定理，得
，解得.
假设小夏先去地，走路线，路长，
假设小夏先去地，因为，所以走路线，路长，
假设小夏先去地，走路线，路长，
由于，
所以小夏走路线，且完成送餐任务的最短时间为.
20.【详解】（1）
（2）
，
则
∴ .
21【详解】（1），
根据正弦定理可化简为：，由余弦定理可知：
，因此有，
；
（2）由（1）可知：，由三角形内角和定理可知：，
由正弦定理：
,
22【详解】（1）由图示得：，解得：，
又，所以，所以，
所以.
又因为过点，所以，即，
所以，解得，
又，所以，所以.
（2）图象上所有的点向右平移个单位长度，得到，
将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到，
当时，，
令，则，
令，在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，
且，
,
所以时，.当时，方程恰有三个不相等的实数根.
因为有三个不同的实数根，
且关于对称，关于对称，
则，
两式相加得：，
即，所以.
