8.6.3平面与平面垂直（第2课时） 课件（共18张PPT）

(共18张PPT)
8.6.3平面与平面垂直
（第2课时）
1.以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
2.一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
3.面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．
O
A
B
β
α
l


m
复习引入
如图，已知平面α⊥平面β， α∩β=a，则β内异于a的直线b与a是什么位置关系？相应地，b与α是什么位置关系？
因为b与a在同一平面内，
故可能平行，也可能相交
b//a → b//α
b与a相交 → b与α相交
思考：教室内的黑板所在的平面与地面所在的平面垂直,在黑板上任意画一条直线与地面垂直吗 怎样画才能保证所画直线与地面垂直
创设情境
思考：当平面α⊥平面β时， β内什么样的直线b与α垂直？
你能将上述结论用符号语言表述出来，并对其进行证明吗？
猜想：b⊥a → b⊥α．
符号语言：
设b∩a＝A，在α内过点A作直线c⊥a，则直线b,c所成的角就是二面角α-a-β的平面角.
又因为b⊥a，a∩c＝A，
所以b⊥α．
证明：
由α⊥β，故b⊥c．
新知探索
定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
两平面垂直的性质定理
面面垂直 线面垂直
符号语言：
新知探索
思考：设平面α⊥平面β，点P在平面α内，过点P作平面β的垂线a，则直线a与平面α具有什么位置关系？
所以直线a与直线b重合，因此a ．
证明：设α∩β＝c．
过点P在平面α内作直线b⊥c．
由平面与平面垂直的性质定理可知，b⊥β．
因为过一点有且仅有一条直线与平面β垂直
a在平面α内
新知探索
例1 如图，已知平面α⊥平面β，不在平面α内的直线a⊥β，判断a与α的位置关系．
解：在α内作垂直于α与β的交线的直线b．
∵α⊥β
∴b⊥β
∵a⊥β
∴a∥b
∵a
∴a∥α，即直线a与平面α平行
例析
例2　如图，已知PA⊥平面ABC，平面PAB ⊥平面PBC．
求证：BC⊥平面PAB．
P
A
B
C
证明：过点A作AE⊥PB，垂足为E．
∵平面PAB⊥平面PBC，
平面PAB∩平面PBC＝PB，
∴AE⊥平面PBC．
∵BC 平面PBC，∴AE⊥BC．
又∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴PA⊥BC．
又PA∩AE＝A，∴BC⊥平面PAB．
例析
√
×
×
（4）过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.
√
小练
例2 如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABC是边长为a的菱形且∠DAB=60°，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD的中点，求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB.
(1)连接BD，菱形ABCD，∠DAB=60° △ABD为正三角形
BG⊥AD 由平面与平面垂直的性质定理得出结论
(2)连接PG，要证AD⊥PB，只需证AD⊥平面PBG即可.
例析
(1)如图,在菱形ABCD中,连接BD,
∵∠DAB=60°,∴△ABD为正三角形,
∵G是AD的中点,∴BG⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD,
且平面PAD∩平面ABCD=AD,∴BG⊥平面PAD.
(2)如图,连接PG.
∵△PAD是正三角形,G是AD的中点,
∴PG⊥AD,由(1)知BG⊥AD.又∵PG∩BG=G.
∴AD⊥平面PBG.而PB 平面PBG,∴AD⊥PB.
证明：
例析
1.在平面四边形ABCD中, 已知AB=BC=CD=a, ∠ABC=90°,∠BCD=135°, 沿AC将四边形折成直二面角B-AC -D.
(1)求证: 平面ABC⊥平面BCD.
(2)求平面ABD与平面ACD所成的角的度数.
解:(1)在四边形ABCD中,∵AB=BC,AB⊥BC,
∴∠ACB=45°,
而∠BCD=∠ACB+∠ACD=135°,
∴∠ACD=90°,即CD⊥AC.
又平面ABC⊥平面ACD,且平面ABC∩平面ACD=AC,
∴CD⊥平面ABC,又CD 平面BCD,
∴平面ABC⊥平面BCD.
巩固练习
(2)过点B作BE⊥AC交AC于E，又过点E在平面ACD内作EF⊥AD交AD于F,连接BF.
∵平面ABC⊥平面ACD,且平面ABC∩平面ACD=AC,
∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AD
又EF⊥AD，且EF∩BE=E，∴AD⊥平面BEF
∴BF⊥AD,故∠BFE是二面角B-AD-C的平面角.
故平面ABD与平面ACD所成的角的度数为60°.
∴∠BFE=60°,
又sin∠DAC= =sin∠EAF,
∴AE= AC= a.
∵E为AC的中点,
∴tan∠BFE=
∴在Rt ABC中，EF=AE·sin∠EAF= a
新知探索
题型二 平面与平面平行性质定理的应用
例4.如图所示，两条异面直线BA，DC与两平行平面α，β分别交于点B，A和D，C，点M，N分别是AB，CD的中点，求证：MN∥平面α.
【解答】如图，过点A作AE∥CD交α于点E，取AE的中点P，连接MP，PN，BE，ED，BD，AC.
因为AE∥CD，所以AE，CD确定平面AEDC.
则平面AEDC∩α＝DE，平面AEDC∩β＝AC，因为α∥β，所以AC∥DE.
练习巩固
又P，N分别为AE，CD的中点，
所以PN∥DE，PN α，DE α，所以PN∥α.
又M，P分别为AB，AE的中点，
所以MP∥BE，且MP α，BE α.
所以MP∥α，因为MP∩PN＝P，
所以平面MPN∥α.
又MN 平面MPN，所以MN∥平面α.
例析
应用平面与平面平行性质定理的基本步骤
解题技巧
面面平行性质定理的实质：面面平行 线线平行，体现了转化思想．与判定定理交替使用，可实现线面、线线、面面平行间的相互转化．
例析
变1：如图,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别是PA,PB,PC的中点,M是AB上一点,连接MC,N是PM与DE的交点,连接NF.求证:NF∥CM.
【解答】因为D,E,F分别为PA,PB,PC的中点,所以DE∥AB,
又DE 平面ABC,AB 平面ABC,所以DE∥平面ABC,
同理EF∥平面ABC,又DE∩EF=E,所以平面DEF∥平面ABC,
又平面PMC∩平面ABC=MC,平面PMC∩平面DEF=NF,由面面平行的性质定理得,NF∥MC.
例析
平面与平面垂直
二面角
面面垂直的定义
面面垂直的判定定理
面面垂直的性质定理
课堂小结