8.4.1平面 课件（共37张PPT）

(共37张PPT)
8.4.1平面
一、平面的含义
在初中,由现实事物直观感觉抽象得到了点和直线,那下图中的桌面、黑板面、平静的水面给我们以什么样的直观感觉？
几何里所说的“平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的.
平面
新知探索
①平
1.平面的特征：
②无厚薄
③无限延展的
2.平面的画法：
3.平面的表示：
①用希腊字母表示：平面α、平面β、平面γ等,
并写在平行四边形一个角内.
②用大写英文字母表示：平面ABCD、平面AC.
①水平放置：
②竖直放置：
A
B
C
D
α
β
一、平面的含义
新知探索
二、平面的基本性质
两点可以确定一条直线，那么几点可以确定一个平面呢 我们用日常生活中看到的现象来研究.
自行车用一个脚架和两个车轮着地就可以“站稳”,三脚架的三脚着地就可以支撑照相机. 由这些事实和类似经验说明什么？
基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.
也可以简单说成:
“不共线的三点确定一个平面”.
不在一条直线上三个点A,B,C所确定平面，可记为平面ABC.
基本事实1给出了
确定一个平面的依据
α
A
B
C
图形语言：
新知探索
例1 如下图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列命题是否正确，
并说明理由.
(1)直线AC1在平面CC1B1B内( )
(2)平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1( )
(3)由A,O,C确定一个平面( )
(4)由A,C1,B1确定的平面是平面ADC1B1( )
(5)由A,C1,B1确定的平面与由A,C1,D确定的平面是同一平面( )
D
B
C
A
D1
C1
B1
A1
O
O1
例析
点A在直线l上,记作A∈l;
点B在直线l外,记作B l.
点A在平面α内,记作A∈α；
点P在平面α外,记作P α.
直线上有无数个点,平面内有无数个点，
直线、平面都可以看成是点的集合.
α
A
B
P
l
二、平面的基本性质
如果直线l上所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，记作l α；否则，就说直线l不在平面α内，记作l α.
平面内有无数条直线,平面可以看成是直线的集合.
新知探索
如果直线l与平面α有一个公共点P,直线l是否在平面α内？如果直线l与平面α有两个公共点呢
二、平面的基本性质
基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上．
上述经验和类似的事实可以归纳为以下基本事实:
新知探索
α
l
利用基本事实2可以判断直线是否在平面内
A
B
图形语言：
符号语言：
A∈l，B∈l,且A∈α, B∈α l α.
二、平面的基本性质
基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
基本事实2表明，可以用直线的“直”刻画平面的“平”，用直线的“无限延伸”刻画平面的“无限延展”.
新知探索
由基本事实1,给定不共线三点A,B,C，它们可以确定一个平面ABC;
连接AB,BC,CA，由基本事实2，这三条直线都在平面ABC内，
进而连接这三条直线上任意两点所得直线也都在平面ABC内，所有这些直线可以编织成一个“直线网”，这个“直线网”可以铺满平面ABC.
组成这个“直线网”的直线的“直"和向各个方向无限延伸，说明了平面的“平”和“无限延展”.
利用信息技术工具，可以方便地作出这个图形，观察“直线网”的形成和编织成平面的过程，想象直线和平面的关系.
A
B
C
二、平面的基本性质
新知探索
如下图,把三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与课桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
想象三角尺所在的无限延展的平面，用它去“穿透”课桌面.可以想象，两个平面相交于一条直线.
B
α
二、平面的基本性质
教室里相邻墙面在地面的墙角处有一个公共点，这两个墙面相交于过这个点的一条直线.由此我们又得到一个基本事实:
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
作用：判断两个平面位置关系的基本依据.
新知探索
图形语言：
如无特殊说明，本章中的两个平面均指两个不重合的平面.
α
l
P
二、平面的基本性质
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
基本事实3告诉我们，如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交于过这个公共点的一条直线.两个平面相交成一条直线的事实，使我们进一步认识了平面的“平”和“无限延展”.
平面α与β相交于直线l,记作α∩β=l.
符号语言：
P∈α，且P∈β α∩β=l,且P∈l.
新知探索
在画两个相交平面时,如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常把被挡住的部分画成虚线或不画,这样可使画出的图形立体感更强一些(如下图).
α
A
B
α
A
B
上述三个关于平面的基本事实,是人们长期观察与实践总结出来的,是几何推理基本依据,也是我们进一步研究立体图形的基础.
二、平面的基本性质
新知探索
利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”， 可以得到下面三个推论：
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
α
a
A
α
α
b
a
b
a
P
基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.
基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
二、平面的基本性质
新知探索
α
l
A
B
C
现在我们来证明一下推论1，如右图.
在直线l上任取两点B和C，由基本事实1得，经过A,B,C三点确定一个平面α.
由基本事实2，直线l也在平面α内，则平面α经过直线l和点A，即一条直线和这条直线外一点确定一个平面.
用类似的方法你能说明推论2和推论3成立吗
推论1~3给我们提供了确定“一个平面的另外几种方法.
二、平面的基本性质
新知探索
不共线的三点、一条直线和这条直线外一点、两条相交直线、两条平行直线，都能唯一确定一个平面，这些结论在后续研究直线和平面之间平行、垂直关系时也会用到.
思考：如右下图,如何判断桌子四条腿的底端是否在同一个平面内？
可以用两根细绳沿桌子四条腿的对角拉直，如果这两根细绳相交，说明桌子四条腿的底端在同一个平面内，否则就不在同一个平面内，其依据就是推论2.
二、平面的基本性质
1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√ ”，错误的画“X”
(1)书桌面是平面. ( )
(2)平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点. ( )
(3)如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合. ( )
2.下列命题正确的是( ).
(A)三点确定一个平面 (B)一条直线和一个点确定一个平面
(C)圆心和圆上两点可确定一个平面 (D)梯形可确定一个平面
3.不共面的四点可以确定几个平面 请画出图形说明你的结论.
4.用符号表示下列语句，并画出相应的图形:
(1) 点A在平面α内，点B在平面α外；
(2)直线a既在平面α内，又在平面β内.
√
X
X
D
4
A∈α，B α
a α，a β
小练
例2 如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ, CB的延长线交于M，RQ, DB的延长线交于N，RP, DC的延长线交于K.求证：M, N, K三点共线.
证明：∵M∈PQ，直线PQ 平面PQR，M∈BC，直线BC 平面BCD，
同理可证，N、K也在直线l上.
所以，M、N、K三点共线.
∴M是平面PQR与平面BCD的一个公共点，即M在平面PQR与平面BCD的交线l上.
例析
练习
题型一：文字语言、图形语言、符号语言的相互转化
例1.用符号语言表示下面的语句，并画出图形.
(1)三个平面，，相交于，且平面与平面相交于平面与平面相交于平面与平面相交于；
练习
题型一：文字语言、图形语言、符号语言的相互转化
例1.用符号语言表示下面的语句，并画出图形.
(1)三个平面，，相交于，且平面与平面相交于平面与平面相交于平面与平面相交于；
解(1)：符号语言表示：，，，，图形表示：如图.
练习
例1.用符号语言表示下面的语句，并画出图形.
(2)平面与相交于直线，直线与，分别相交于点，.
练习
例1.用符号语言表示下面的语句，并画出图形.
(2)平面与相交于直线，直线与，分别相交于点，.
解(2)：用符号表示：，，，如图.
练习
方法技巧：
三种语言转换的注意点
1.用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先要仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，然后试着用文字语言、符号语言表示.
2.要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用“”或“”，直线与平面的位置关系只能用“”或“”.
3.根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.
练习
变1.用符号语言表示下列语句，并画出图形.
(1)点，在平面内，直线与平面交于点，点不在直线上；
(2)直线，分别在平面，内，且点在平面与平面的交线上.
练习
变1.用符号语言表示下列语句，并画出图形.
(1)点，在平面内，直线与平面交于点，点不在直线上；
(2)直线，分别在平面，内，且点在平面与平面的交线上.
解(1)：用符号表示：，，，，如图.
解(2)：用符号表示：，，，，如图.
练习
题型二：点、线共面问题
例2.如图所示，已知，，.求证：直线，，在同一平面内.
练习
题型二：点、线共面问题
例2.如图所示，已知，，.求证：直线，，在同一平面内.
证明(法一：纳入平面法)：
∵，∴和确定一个平面.
∵，∴.
又∵，∴.
同理可证.又∵，，∴.
∴直线，在同一个平面内.
练习
题型二：点、线共面问题
例2.如图所示，已知，，.求证：直线，，在同一平面内.
证明(法一：纳入平面法)：
∵，∴和确定一个平面.
∵，∴.
又∵，∴.
同理可证.又∵，，∴.
∴直线，在同一个平面内.
练习
例2.如图所示，已知，，.求证：直线，，在同一平面内.
证明(法二：辅助平面法)：
∵，∴，确定一个平面.
∵，∴，确定一个平面.
∵，,∴.∵，,∴.
同理可证.
∴不共线的三个点，，既在平面内，又在平面内.
∴平面和重合，即直线，在同一个平面内.
练习
方法技巧：
证明点、线共面问题的常用方法
1.纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内.
2.辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面，重合.
练习
变2.已知直线，直线与都相交.求证：过，有且只有一个平面.
练习
变2.已知直线，直线与都相交.求证：过，有且只有一个平面.
解：如图所示.∵，
∴过有且只有一个平面.
设，，
∴，，且，，
∴.即过有且只有一个平面.
练习
题型三：点共线、线共点问题
例3.如图，在正方体中，设与平面交于点,求证：三点共线.
练习
题型三：点共线、线共点问题
例3.如图，在正方体中，设与平面交于点,求证：三点共线.
证明：如图，连接，，显然平面，
平面，∴平面.
同理平面.
∴平面平面.
∵平面，∴平面.
又∵平面，∴平面.
∴点在平面与平面的交线上，
即，故三点共线.
练习
方法技巧：
证明三点共线的方法
1.首先找出两个平面，然后证明这三点但是这两个平面的公共点，根据基本事实3可知，这些点都在两个平面的交线上.
2.选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上.
练习
变3.三个平面两两相交于三条直线，即，，，若直线和不平行，求证：三条直线必相交于同一点.
练习
变3.三个平面两两相交于三条直线，即，，，若直线和不平行，求证：三条直线必相交于同一点.
证明：如图，∵，，
∴.
∴直线和不平行，∴必相交.
设，则，.
∴，∴.
又，∴.
故三条直线必相交于同一点.
1.平面的含义：
2.平面的性质：
(1)平面的特征：
(2)平面的表示：
①用希腊字母表示：平面a、平面β、平面γ.
②用大写英文字母表示：平面ABCD、平面AC.
①平
②无厚薄
③无限延展的
如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
(2)基本事实2
过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.
也可以简单说成“不共线的三点确定一个平面”.
(1)基本事实1
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
(3)基本事实3
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
课堂小结