8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球表面积和体积 课件（共58张PPT）

8.3.2 圆柱、圆锥、圆台和圆
的表面积与体积
l
O
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2πr
r
2πr
O
S
l
r
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O
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2πr'
r
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2πr
我们知道了多面体的表面积，那你认为旋转体——圆柱、圆锥、圆台、球的表面积又是怎样的呢？
圆柱、圆锥、圆台的表面积是围成它们的各个面的面积和,即
复习引入
一、圆柱的表面积
l
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新知探索
2πr
O
S
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r
二、圆锥的表面积
新知探索
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2πr
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三、圆台的表面积
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新知探索
圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间有什么关系？你能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗？
r’=r
r’=0
上底扩大
上底缩小
S圆台=π(r’?+r?+r’l+rl)
S圆柱=2πr(r+l)
S圆锥=πr(r+l)
思考
新知探索
高h
柱体的体积 V=Sh
底面积S
棱柱和圆柱的体积
新知探索
A
B
C
D
E
O
S
底面积S
高h
棱锥和圆锥的体积
锥体的体积
新知探索
高h
棱台和圆台的体积
台体的体积
新知探索
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圆柱、圆锥、圆台体积
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新知探索
圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系?你能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗?
r’=r
r’=0
上底扩大
上底缩小
思考
新知探索
新知探索
辨析1：判断正误.
1.圆锥的侧面展开图为扇形，其中扇形的弧长为圆锥底面圆的周长.（ ）
2.若圆柱的底面圆的直径与圆柱的高相等，则圆柱的侧面展开图是正方形. （ ）
答案：√，×.
辨析2：若圆柱的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为( ).
A.2???? B.3???? C.???? D.4????
?
答案：D.
割圆术
早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面积公式而发明了“倍边法割圆术”.他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面积之差更小，即所谓“割之弥细，所失弥小”.这样重复下去，就达到了“割之又割，以至于不可再割，则与圆合体而无所失矣”.这是世界上最早的“极限”思想.
新知探索
????球=????????????????
?
把一个半径为R的球的上半球横向切成n(无穷大)份， 每份等高并且把每份看成一个类似圆台，球的表面积为所有圆台的侧面积之和.
A
O
球体由n个这样的形状组成
球的表面积是大圆面积的4倍
新知探索
思考：在小学,我们学习了圆的面积公式,你还记得是如何求得的吗?类比这种方法，你能由球的表面积公式推导出球的体积公式吗?
如图,把球O的表面分成n个小网格,连接球心O和每个小网格的顶点,整个球体就被分割成n个“小锥体”.
O
A
B
C
D
O
A
B
C
D
当n越大,每个小网格越小时,每个“小锥体”的底面就越平,“小锥体”就越近似于棱锥,其高越近似于球半径R,设O-ABCD是其中一个“小锥体”,它的体积是
新知探索
思考：在小学,我们学习了圆的面积公式,你还记得是如何求得的吗?类比这种方法，你能由球的表面积公式推导出球的体积公式吗?
O
A
B
C
D
O
A
B
C
D
由于球的体积就是这n个“小锥体”的体积之和,而这n个“小锥体”的底面积之和就是球的表面积.因此,球的体积
由此，我们得到球的体积公式
新知探索
例1 如右图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成,半球的直径是0.3m，圆柱高0.6m.如果在 浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料?(π取3.14)
解：一个浮标的表面积为
2π×0.15×0.6 + 4π×0.152 =0.8478(m2)
所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料
0.8478×0.5×1000 =423.9(kg).
例析
例2 如右图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径， 求球与圆柱的体积之比.
O
R
解:（1）设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R.
问题：球的表面积与圆柱的侧面积之比呢？
例析
练习
题型一：圆柱、圆锥、圆台的表面积
例1.(1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为????1，????2，过直线????1????2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( ).
A.122???? B.12???? C.82???? D.10????
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练习
题型一：圆柱、圆锥、圆台的表面积
例1.(1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为????1，????2，过直线????1????2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( ).
A.122???? B.12???? C.82???? D.10????
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答案：B.
解：因为过直线????1????2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为22，底面圆的直径22为，所以该圆柱的表面积为2×????×(2)2+2????×2×22=12????.故选B.
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练习
例1.(2)已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的侧面积为_______.
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答案：2????.
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解：设母线长为????，由题意得12????????????????????? 60°=3，所以母线长????=2，又底面半径为1，所以侧面积为????×1×2=2????.
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练习
方法技巧：
圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤：
1.得到空间几何体的平面展开图.
2.依次求出各个平面图形的面积.
3.将各平面图形的面积相加.
练习
例1.(2)已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的侧面积为_______.
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答案：2????.
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解：设母线长为????，由题意得12????????????????????? 60°=3，所以母线长????=2，又底面半径为1，所以侧面积为????×1×2=2????.
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练习
变1.(1)圆柱的一个底面积是????，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( ).
A.4???????? B.2???????? C.???????? D.233????????
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练习
变1.(1)圆柱的一个底面积是????，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( ).
A.4???????? B.2???????? C.???????? D.233????????
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答案：A.
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解：底面半径是????????，所以正方形的边长是2π????????=2????????，故圆柱的侧面积是(2????????)2=4????????.故选A.
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练习
变1.(2)轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的( ).
A.4倍 B.3倍 C.2倍 D.2倍
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变1.(3)已知圆台的上、下底面半径分别是2，6，且侧面面积等于两底面面积之和，则圆台的表面积是_______.
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练习
变1.(2)轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的( ).
A.4倍 B.3倍 C.2倍 D.2倍
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答案：D.
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解：由已知得????=2????，????侧????底=????????????????????2=????????=2，故选D.
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变1.(3)已知圆台的上、下底面半径分别是2，6，且侧面面积等于两底面面积之和，则圆台的表面积是_______.
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答案：80????.
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解：设圆台母线长为????，则由题意得????(2+6)????=????×22+????×62，∴8????????=40????，∴????=5，∴????=????×(2+6)×5+????×22+????×62=40????+4????+36????=80????.
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练习
题型二：圆柱、圆锥、圆台的体积
例2.(1)若一个圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，则圆柱与圆锥的体积之比是( ).
A.1 B.1：2 C.3：2 D.3：4
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练习
题型二：圆柱、圆锥、圆台的体积
例2.(1)若一个圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，则圆柱与圆锥的体积之比是( ).
A.1 B.1：2 C.3：2 D.3：4
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答案：D.
解：设圆柱、圆锥的高都为?，底面半径分别为????，????，则有12?2?????=2?????，所以????=2????，????圆锥=13????????2?=43????????2?，????圆柱=????????2?，故????圆锥：????圆锥=3：4.故选D.
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练习
方法技巧：
求圆柱、圆锥、圆台的体积问题，一是要牢记公式，然后观察空间图形的构成，是单一的旋转体，还是组合体；二是注意旋转体的构成，以及圆柱、圆锥、圆台轴截面的性质，从而找出公式中需要的各个量，代入公式计算.
练习
例2.(2)设圆台的高为3，如图，在轴截面中母线????????1与底面直径????????的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，则圆台的体积为_____.
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解：设上、下底面半径，母线长分别为????，????，????.
作????1????⊥????????于点????，则????1????=3，∠????????1????=60°.
又∠????????1????=90°，∴∠????????1????=60°，∴????????=????1???????????????? 60°=3，∴?????????=3.
????????=????1?????????????????60°=33 ，∴????+????=33，∴????=23，????=3，而?=3.
∴????圆台=13?????(????2+????????+????2)=13????×3×[(23)2+23×3+(3)2]=21????.
∴圆台的体积为21????.
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练习
变2.(1)若圆台上、下底面面积分别是????，4????，侧面积是4????，则这个圆台的体积是( ).
A.233???? B.23 C.736???? D.733????
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答案：D.
?
解：????1=????，????2=4????,∴????=1，????=2，
????侧=6????=????(????+????)????，∴????=2，∴?=3.
∴????=13????(1+4+2)×3=733????.故选D.
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练习
变2.(2)若圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是162????，则圆锥的体积是( ).
A.643???? B.1283???? C.64???? D.1282????
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答案：A.
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解：设圆锥的底面半径为????,母线长为????.
∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形，∴2????=????2+????2，即????=2????.
由题意得，侧面积????侧=?????????????=2????????2=162????，
∴????=4.∴????=42，高?=????2?????2=4.
∴圆锥的体积????=13?????=13????×42×4=643????.故选A.
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练习
变2.(3)如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为( ).
A.5???? B.6???? C.20???? D.10????
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答案：D.
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解：用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为????×22×5=20????，故所求几何体的体积为10????.故选D.
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练习
题型三：与组合体有关的表面积与体积问题
例3.(1)如图，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中挖掉一个高为3的内接圆柱，求圆柱的表面积.
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解：设圆锥的底面半径为????，圆柱的底面半径为????，表面积为????.
则????=????????=2，????????=4，????????=42?22=23.
如图所示，易知?????????????~?????????????，所以????????????????=????????????????，即323=????2，所以????=1，
????底=2????????2=2????，????侧=2??????????=23????.
所以????=????底+????侧=2????+23????=(2+23)????.
所以圆柱的表面积为(2+23)????.
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练习
例3.(2)如图，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中挖掉一个高为3的内接圆柱，求圆柱的体积与圆锥的体积之比.
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解：由(1)知，圆柱的底面半径为????=1，高?=3，
所以圆柱的体积????1=????????2?=????×12×3=3????.
圆锥的体积????2=13????×22×23=833????.
所以圆柱与圆锥的体积比为3：8.
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练习
例3.(3)如图，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中挖掉一个高为?的内接圆柱，试求圆柱侧面积的最大值.
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解：设圆锥的底面半径为????，圆柱的底面半径为????，
则????=????????=2，????????=4，????????=42?22=23.
易知?????????????~?????????????，所以????????????????=????????????????，即23??23=????2，
所以?=23?3????，????圆柱侧=2?????????=2????????(23?3????)=?23????????2+43????????，
所以当????=1，?=3时，圆柱的侧面积最大，其最大值为23????.
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练习
方法技巧：
关于组合体的表面积与体积问题的解题策略
(1)分析结构特征：弄清组合体的组成形式，找准有关简单几何体的关键量.
(2)设计计算方法：根据组成形式，设计计算方法，特别要注意“拼接面”面积的处理，利用“切割”“补形”的方法求体积.
(3)计算求值：根据设计的计算方法求值.
[提醒]组合体分割成规则的几何体求表面积、体积之和(或差)，保证不重不漏.
练习
变3.如图所示，一圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的顶点是圆柱底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的另一个底面.圆柱的母线长为6，底面半径为2.求该组合体的表面积.
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解：挖去的圆锥的母线长为62+22=210，则圆锥的侧面积等于410????.圆柱的侧面积为2????×2×6=24????，圆柱的一个底面面积为????×22=4????，所以组合体的表面积为410????+24????+4????=(410+28)????.
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练习
题型一：球的表面积和体积
例1.(1)一个球的表面积是16????，则它的体积是( ).
A.64???? B.643???? C.32???? D.323????
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答案：D.
解：设球的半径为????，则由题意可知4????????2=16????，故????=2.
所以球的体积????=43????????3=323????.故选D.
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练习
例1.(2)已知球的体积为5003????，则它的表面积为_____.
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答案：100????.
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解：设球的半径为????，由已知得43????????3=5003????，故????=5.
所以球的表面积????=4????????2=4????×52=100????.
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练习
方法技巧：
1.球的体积与表面积的求法：必须知道半径????或者通过条件能求出半径????，然后代入体积或表面积公式求解.
2.关键要素：半径和球心是球的关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就轻松自如了.
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练习
变1.(1)若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为______.
答案：3.
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解：设此球的半径为R，则4????????2=43????????3，解得????=3.
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变2.(2)如果三个球的半径之比是1：2：3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的______倍.
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答案：95.
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解：设小球半径为1，则大球的表面积????大=36????，????小+????中=20????，36????20????=95.
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练习
题型二：球的截面问题
例2.(1)一平面截一球得到直径为25 ????????的圆面，球心到这个平面的距离是2 ????????，则该球的体积是( ).
A.12???? ????????3 B.36???? ????????3 C.646???? ????????3 D.108???? ????????3
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答案：B.
解：设球心为????，截面圆心为????1，连接????????1，则????????1垂直于截面圆????1，如图所示.在?????????????????1????中，????1????=5 ????????，????????1=2 ????????，
∴球的半径????=????????=22+(5)2=3(????????)，
∴球的体积????=43????×33=36????(????????3).故选B.
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练习
例2.(2)已知一个球内有相距9 ????????的两个平行截面，它们的面积分别为49???? ????????2和400???? ????????2，则球的表面积是_____????????2.
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答案：2500????.
?
解：当截面在球心的同侧时，如图①所示为球的轴截面，由球的截面性质知????????1//????????2，且????1，????2为两截面圆的圆心，则????????1⊥????????1，
????????2⊥????????2.设球的半径为????，
∵?????????2????2=49????，∴????2????=7 ????????.
同理，得????1????=20 ????????.
设????????1=???? ????????，则????????2=(????+9) ????????.
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练习
例2.(2)已知一个球内有相距9 ????????的两个平行截面，它们的面积分别为49???? ????????2和400???? ????????2，则球的表面积是_____????????2.
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在?????????????1????????中，????2=????2+202，①
在?????????????2????????中，????2=72+(????+9)2，②
联立①②可得????=15，????=25.
∴????球=4????????2=2500????(????????2)，
故球的表面积为2500???? ????????2 .
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练习
例2.(2)已知一个球内有相距9 ????????的两个平行截面，它们的面积分别为49???? ????????2和400???? ????????2，则球的表面积是_____????????2.
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解：当截面在球心的两侧时，如图②所示为球的轴截面，由球的截面性质知????1????//????2????，且????1，????2为两截面圆的圆心，则????????1⊥????1????，
????????2⊥????2????.设球的半径为????，
∵?????????2????2=49????，∴????2????=7 ????????.同理，得????1????=20 ????????.
设????????1=???? ????????，则????????2=(9?????) ????????.
在?????????????1????????中，????2=????2+400.在?????????????2????????中，????2=(9?????)2+49，
解得????=?15，不合题意，舍去.
综上所述，球的表面积为2500???? ????????2.
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练习
方法技巧：
球的截面问题的解决方法
1.作经过球心和截面圆圆心的轴截面.
2.利用直角三角形求解，球的半径????，球心到截面的距离????，截面圆半径????恰好构成一个直角三角形，利用????2=????2?????2可知二求一.
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练习
变2.平面????截球????的球面所得圆的半径为1，球的体积为43????，则球心????到平面????的距离为( ).
A.22 B.2 C.23 D.3
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答案：B.
?
解：如图，设截面圆的圆心为????‘，????为截面圆上任一点.
由球的体积公式????=43????????3=43????，∴????=3.又????‘????=1，
所以????????‘=(3)2?1=2.即球心????到平面????的距离为2.故选B.
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练习
题型三：与球有关的切、接问题
例3.(1)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为????，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ).
A.????????2 B.73????????2 C.113????????2 D.5????????2
?
答案：B.
解：由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为????.如图，????为三棱柱上底面的中心，????为球心，易知
????????=23×32????=33????，????????=12????，所以球的半径????=????????满足
????2=(33????)2+(12????)2=712????2，故????球=4????????2=73????????2.故选B.
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练习
例3.(2)球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为________.
答案：932或332.
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解：①当圆锥顶点与底面在球心两侧时，如图所示，设球的半径为????，则球心到该圆锥底面的距离是????2，于是圆锥的底面半径为????2?(????2)2=32????，高为32????.该圆锥的体积为13×????×(32????)2×32????=38????????3，球体积为43????????3，所以该圆锥的体积和此球体积的比值为38????????343????????3=932.
②同理，当圆锥顶点与底面在球心同侧时，该圆锥的体积和此球体积的比值为332.
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练习
方法技巧：
1.常见几何体与球的体与球的切、接问题的解决策略
(1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系.一般情况下，由于球的对称性，球心总在特殊位置，比如中心、对角线的中点等.
(2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键时根据“切点”和“接点”作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算.
练习
方法技巧：
2.几个常用结论
(1)球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径.
(2)球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线等于球的直径.
(3)球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径.
练习
变3.若棱长为????的正四面体的各个顶点都在同一个球面上，则球的表面积为______.
?
答案：32????????2.
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解：把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为????，则????=2????，由题意知
2????=3????=3×2????2=6????2，所以????球=4????????2=32????????2.
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课堂小结
1.圆柱、圆锥、圆台的表面积
????圆柱=????侧面+2????圆底
=2????????????+2????????2=2????????(????+????).
(????是底面半径，????是母线长)
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????圆锥=????侧面+????圆底
=12×2????????×????+????????2=????????(????+????).
(????是底面半径，????是母线长)
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课堂小结
1.圆柱、圆锥、圆台的表面积
????’
?
????圆台=????大锥?????小锥+????上底
=????????[(????+????‘)+????]?????????‘(????‘+????‘)+2????????‘2
=????????????+????????????‘+????????2?????????‘????‘+????????‘2
=????????????+????????2+????????‘2+????????‘(?????????‘)=????????????+????????????‘+????????2+????????‘2
=????(????‘2+????2+????????+????‘????).
(????‘,????分别是上、下底面半径，????是母线长)
?
课堂小结
2.圆柱、圆锥、圆台的体积
????圆柱=????????2?(????是底面半径，?是高)，
????圆锥=13????????2?(????是底面半径，?是高)，
????圆台=13?????(????‘2+????‘????+????2)(????‘,????分别是上、下底面半径，?是高).

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课堂小结
1.球的表面积
设球的半径为????，则球的表面积是
????球=4????????2.
2.球的体积
设球的半径为????，则球的体积公式????球=43????????3.