2022-2023学年广东省梅州市平远县冬青实验中学八年级（下）开学数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省梅州市平远县冬青实验中学八年级（下）开学数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在实数，，，，中，无理数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2. 若点在第二象限内，则应是( )
A. 正数 B. 负数 C. 非负数 D. 有理数
3. 已知一个正方形的边长为，面积为，则( )
A. B. 的平方根是
C. 是的算术平方根 D.
4. 当时，一次函数的图象不经过( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5. 一次函数交轴于点，则关于的方程的解是( )
A. B. C. D. 无法求解
6. 已知点与点关于轴对称，若点的坐标为，点的坐标为，则( )
A. B. C. D.
7. 函数自变量的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 在函数中，自变量的取值范围( )
A. B. C. D.
9. 下列各组数中，以，，为边的三角形不是直角三角形的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
10. 如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果，那么的度数是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）
11. 使得二次根式在实数范围内有意义的的取值范围是______．
12. 若二次根式有意义，则实数的取值范围是 ．
13. 在函数中，自变量的取值范围是______．
14. 一个弹簧，不挂物体时长，挂上物体后，所挂物体质量每增加，弹簧就伸长，但总质量不得超过，则弹簧的总长度单位：与所挂物体质量单位：之间的函数解析式是 ，其中自变量的取值范围是 ．
15. 如图，一根竹子高尺尺米，折断后竹子顶墙落在离竹子底端尺处，则折断处离地面的高度是______尺．
16. 如图，利用函数图象可知方程组的解为______．
17. 若，则代数式的值是______．
三、解答题（本大题共8小题，共65.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. 本小题分
已知，，三点在同一直线上，，，
求证：；
若，，求的度数．
19. 本小题分
一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得，，，，，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？
20. 本小题分
如图，点为等边三角形内一点，连接，，，将线段绕点顺时针旋转到，连接，．
求证：；
若，，，判断的形状并证明．
21. 本小题分
在平面直角坐标系中，直线经过点和点，与轴交于点，与直线交于点．
求出直线的解析式；
当时，直接写出时自变量的取值范围；
直线绕着点任意旋转，与轴交于点，当是等腰三角形时，点有几种位置？请你分别求出点的坐标．
22. 本小题分
如图，已知在平面直角坐标中，直线：分别交两坐标轴于、两点，是
线段上一个动点，设点的横坐标为，的面积为．
写出与的函数关系式；
当的面积是面积的时，求点的坐标；
当是以为底的等腰三角形，求它的面积．
23. 本小题分
通过学习锐角三角比，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值是一一对应的，因此，两条边长的比值与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对，如图在中，，底角的邻对记作，这时，容易知道一个角的大小与这个角的邻对值也是一一对应的．根据上述角的邻对的定义，解下列问题：
______；
如图，已知在中，，，，求的周长．
24. 本小题分
甲、乙两车分别从地将一批物资运往地，两车离地的距离千米与其相关的时间小时变化的图象如图所示．读图后填空：
地与地之间的距离是______千米；
甲车由地前往地时所对应的与的函数解析式及定义域是______；
甲车由地前往地比乙车由地前往地多用了______小时．
25. 本小题分
在平面直角坐标系中，为轴上一点，为轴上的一点，且，满足，的平分线交轴于点 ．
求，两点的坐标；
如图所示，为线段上的一个动点，过点作的垂线交轴于点，为垂足，的平分线交直线于点，当点运动时，的度数是否改变？若不变，请你求出的度数；若改变，请说明理由；
如图所示，若过点作的平行线交轴于点，的平分线交直线于点，当点运动时，的度数是否改变？若不变，请求出的度数，若改变，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，是无理数，
故选：．
根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，注意带根号的数不一定是无理数，开方开不尽的才是无理数．
2.【答案】
【解析】解：点在第二象限，
，即为负数．
故选：．
在第二象限时，横坐标，纵坐标，因而就可得到，即可得解．
解决本题的关键是熟记在各象限内点的坐标的符号，第一象限点的坐标符号为，第二象限点的坐标符号为，第三象限点的坐标符号为，第四象限点的坐标符号为．
3.【答案】
【解析】解：根据题意得：
，
是的算术平方根，
故选：．
根据算术平方根，即可解答．
本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“，的图象在一、二、四象限”是解题的关键．
由可得出，结合一次函数图象与系数的关系即可得出一次函数的图象经过第一、二、四象限，此题得解．
【解答】
解：，
，
一次函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：由题意可知：当时，函数值为；
因此当时，，
即方程的解为：．
故选：．
令一次函数的值为，此时一次函数可转化为所求的方程；因此函数与轴的交点横坐标，即为所求方程的解．
此题主要考查了一次函数与一元一次方程，正确理解一次函数与一元一次方程的关系是解决本题的关键．
6.【答案】
【解析】解：点和关于轴对称，
，，
．
故选：．
根据关于轴对称的两点的坐标特点得到，，然后代入中计算即可．
本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标：点关于轴对称的点的坐标为，关于轴对称的点的坐标为．
7.【答案】
【解析】解：根据题意得：，
故选：．
该函数是分式，分式有意义的条件是分母不等于，故分母即可．
本题主要考查函数自变量的取值范围和分式有意义的条件，分式有意义的条件，则分母不能为．
8.【答案】
【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故选：．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于，分母不等于，可以求出的范围．
本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
9.【答案】
【解析】解：、，，
，
以，，为边的三角形是直角三角形，
故A不符合题意；
B、，，
，
以，，为边的三角形是直角三角形，
故B不符合题意；
C、，，
，
以，，为边的三角形不是直角三角形，
故C符合题意；
D、，，
，
以，，为边的三角形是直角三角形，
故D不符合题意；
故选：．
利用勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：根据题意可知，，
，
．
故选：．
本题主要利用两直线平行，同位角相等及余角的定义作答．
主要考查了平行线的性质和互余的两个角的性质．互为余角的两角的和为解此题的关键是能准确的从图中找出这两个角之间的数量关系，从而计算出结果．
11.【答案】
【解析】解：二次根式在实数范围内有意义，
，解得．
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：，
．
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件，先列出不等式，求解即可．
本题考查了二次根式，掌握二次根式有意义的条件是解决本题的关键．
13.【答案】且
【解析】解：由题意得，且，
解得且．
故答案为：且．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于，分母不等于，零指数幂的底数不等于列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
14.【答案】
【解析】解：由于不挂物体时弹簧长，即当时，，
所挂物体质量每增加，弹簧就伸长，故所求与之间的函数关系式为．
由于物体质量不超过，故．
故答案为：，．
弹簧的总长度初始长度挂物体后伸长的长度，其中初始长度为，挂物体后，弹簧伸长．
考查函数关系式及函数自变量的取值范围，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．应注意一次函数的一般形式为是常数，且，以及自变量的取值范围．
15.【答案】
【解析】解：设杆子折断处离地面尺，则斜边为尺，
根据勾股定理得：
解得：．
答：折断处离地面的高度是尺．
故答案为：
杆子折断后刚好构成一直角三角形，设杆子折断处离地面的高度是尺，则斜边为尺．利用勾股定理解题即可．
此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
16.【答案】
【解析】解：观察图象可知，与相交于点，
可求出方程组的解为，
故答案为：
观察函数的图象与相交于点，从而求解；
此题主要考查一次函数与二元一次方程组，关键是能根据函数图象的交点解方程组．
17.【答案】
【解析】解：根据题意得：，
解得：，
则．
故答案为：．
根据任何数的平方，以及绝对值都是非负数，两个非负数的和是，每个非负数都等于，即可求得，的值，进而就可求得的值．
本题主要考查了非负数的性质，解二元一次方程组，初中范围内常见的非负数有：任何数的平方，任何数的绝对值，以及二次根式．
18.【答案】证明：，
，
，
，
，
；
解：，，
，，
，，
，，
．
【解析】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的判定得出即可；
根据平行线的性质得出，，即可求出答案．
19.【答案】解：，，，
，
，，
，
，
．
答：这块钢板的面积等于．
【解析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．由勾股定理逆定理可得与均为直角三角形，进而可求解其面积．
20.【答案】解：结论：理由如下：
，，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
≌，
．
是直角三角形；理由如下：
在中，，，
，
是直角三角形．
【解析】结论：证明≌即可解决问题．
利用勾股定理的逆定理即可解决问题．
本题考查旋转变换，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21.【答案】解：把点和点分别代入，得
解得，
则直线的解析式为：；
如图所示，．
所以，当时，
过点作轴，交于点．
，点，
，，
，，
当时，点有种位置使得为等腰三角形，
当时，，
；
当时，，
；
当时，设，由等面积法可得
解得，
；
当时，点有种位置使得为等腰三角形．
当时，，
，
综上所述，点有种位置使得为等腰三角形，坐标分别为、、、．
【解析】本题考查了一次函数综合题，主要运用了待定系数法确定函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
利用待定系数法确定函数解析式；
由函数图象可以直接得到答案；
对于本题中的等腰的腰不确定，需要分类讨论：以为底和为腰．由方程思想解答即可．
22.【答案】解：针对于直线：，
令，则，
，
，
，
点在线段上，
，
，
针对于直线：，
令，则，
，
，
的面积是面积的，
，
由知，，
，
，
；
是以为底的等腰三角形，
点是的垂直平分线上，
点，
．
【解析】根据轴的坐标特点求出点坐标，再表示出点坐标，最后利用三角形的面积公式即可得出结论；
根据轴的坐标特点求出点坐标，进而利用三角形的面积公式求出的面积，进而求出的面积，即可得出结论；
先判定点是的垂直平分线上，进而求出的坐标，即可得出结论．
此题主要考查了坐标轴上点的特点，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，掌握坐标系中求三角形面积的方法是解本题的关键．
23.【答案】
【解析】解：
过点作于点，
，
，
，
是等腰三角形，
，
故；
过点作于点，
，则可设，，
，
，
，
解得：，
故AB，，
从而可得的周长为．
过点作于点，根据，可得出，结合等腰三角形的性质可得出，继而得出；
过点作于点，根据，设，，再由，可得出的值，继而求出周长．
本题考查了解直角三角形及勾股定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，表示出各个边的长度．
24.【答案】；
；

【解析】
解：由图象可得，
地与地之间的距离是千米，
故答案为：；
设甲车由地前往地时所对应的与的函数解析式为，
，得，
甲车由地前往地时所对应的与的函数解析式是，
故答案为：；
由图象可得，
甲车由地前往地比乙车由地前往地多用了：小时，
故答案为：．
【分析】
根据函数图象中的数据可以解答本题；
根据函数图象中的数据可以求得甲车由地前往地时所对应的与的函数解析式及定义域；
根据函数图象中的数据可以求得甲车由地前往地比乙车由地前往地多用的时间．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
25.【答案】解：，
，，
，；
不变，
，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
又，
；
不变，设与交于点，
，
，
平分，
，
，
，，
平分，
，
，
．
【解析】由非负性可求，，即可求解；
由余角的性质可得，由角平分线的性质可得，由三角形内角和定理可求解；
由余角的性质可得，由角平分线的性质，，即可求解．
本题是三角形综合题，考查了角平分线的性质，非负性，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
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