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专题14 多边形与平行四边形
【考情预测】
本考点内容是考查重点，年年都会考查，分值为12分左右，预计2023年浙江各地中考还将出现，并且在选择、填空题中考查多边形的内角和、平行四边形性质和判定及中位线的可能性比较大。解答题中考查平行四边形的性质和判定，一般和三角形全等、解直角三角形综合应用的可能性比较大，对于本考点内容，要注重基础，反复练习，灵活运用。
【考点梳理】
1．多边形的相关概念
1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．
2）对角线：从n边形的一个顶点可以引(n–3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n–2)个三角形；n边形对角线条数为．
2．多边形的内角和、外角和
1）内角和：n边形内角和公式为(n–2)·180°；2）外角和：任意多边形的外角和为360°.
3．正多边形
1）定义：各边相等，各角也相等的多边形.
2）正n边形的每个内角为，每一个外角为．
3）正n边形有n条对称轴.
4）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形．
4．平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“”表示.
5．平行四边形的性质
1）边：两组对边分别平行且相等．2）角：对角相等，邻角互补．3）对角线：互相平分．
4）对称性：中心对称但不是轴对称．
注意：利用平行四边形的性质解题时一些常用到的结论和方法：
1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半．
2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题．
3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长．
6．平行四边形中的几个解题模型
1）如图①，AE平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABE为等腰三角形，即AB=BE．
2）平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形，如图②中△ABD≌△CDB；
两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形，如图②中△AOD≌△COB,△AOB≌△COD；
根据平行四边形的中心对称性，可得经过对称中心O的线段与对角线所组成的居于中心对称位置的三角形全等，如图②△AOE≌△COF.图②中阴影部分的面积为平行四边形面积的一半．
3）如图③，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE.
4）如图④，根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD．
7、平行四边形的判定
1）方法一（定义法）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
2）方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
3）方法三：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
4）方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
5）方法五：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
8、三角形的中位线
1）定义：三角形两边中点的连线叫中位线。
2）性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
【重难点突破】
考点1. 多边形的内（外）角和
【解题技巧】
多边形内角和：n边形内角和公式为(n–2)·180°；多边形外角和：任意多边形的外角和为360°；
【典例精析】
例1．（2022·山东烟台·中考真题）一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1，则这个正多边形是（ ）
A．正方形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形
【答案】C
【分析】设这个外角是x°，则内角是3x°，根据内角与它相邻的外角互补列出方程求出外角的度数，根据多边形的外角和是360°即可求解．
【详解】解：∵一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1，
∴设这个外角是x°，则内角是3x°，
根据题意得：x+3x＝180°，解得：x＝45°，360°÷45°＝8（边），故选：C．
【点睛】本题考查了多边形的内角和外角，根据内角与它相邻的外角互补列出方程是解题的关键．
例2．（2021·浙江丽水市·中考真题）一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为，则原多边形的边数是__________．
【答案】6或7
【分析】求出新的多边形为6边形，则可推断原来的多边形可以是6边形，可以是7边形．
【详解】解：由多边形内角和，可得（n-2）×180°=720°，∴n=6，∴新的多边形为6边形，
∵过顶点剪去一个角，∴原来的多边形可以是6边形，也可以是7边形，故答案为6或7．
【点睛】本题考查多边形的内角和；熟练掌握多边形的内角和与多边形的边数之间的关系是解题关键．
【变式训练】
变式1．（2022·浙江舟山·中考真题）正八边形的一个内角的度数是____ 度．
【答案】135
【分析】根据多边形内角和定理：（n﹣2） 180°（n≥3且n为正整数）求出内角和，然后再计算一个内角的度数即可.
【详解】正八边形的内角和为：（8﹣2）×180°=1080°，
每一个内角的度数为： 1080°÷8=135°，故答案为135.
变式2.（2022·湖南常德·中考真题）剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；……；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为________．
【答案】6
【分析】根据多边形的内角和进行即可求解．
【详解】解：根据题意用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，则每剪一次，所有的多边形的内角和增加360°，10张纸片，则剪了9次，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，设还有一张多边形纸片的边数为，
，解得．故答案为：．
【点睛】本题考查了多边形内角和公式，理解题意是解题的关键．
变式3．（2020·山东德州市·中考真题）如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°……照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（ ）
A．80米 B．96米 C．64米 D．48米
【答案】C
【分析】根据多边形的外角和即可求出答案．
【详解】解：根据题意可知，他需要转360÷45=8次才会回到原点，所以一共走了8×8=64米．
故选：C．
【点睛】本题考查了利用多边形的外角和定理求多边形的边数．任何一个多边形的外角和都是360°．
考点2. 多边形的对角线问题
【解题技巧】
多边形的对角线：从n边形的一个顶点可以引(n–3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n–2)个三角形；n边形对角线条数为．
【典例精析】
例1．（2021·内蒙古包头·三模）正多边形每个内角为，则它共有_____条对角线．
【答案】20
【分析】先求出正多边形的边数，再利用从多边形对角线条数的计算公式求解．
【详解】解：正多边形每个内角为，，解得：，
这个正多边形对角线的条数为：，故答案是：．
【点睛】本题考查了正多边形对角线问题，解题的关键是：记住正多边形对角线的条数公式为：．
例2．（2022·山东·二模）（问题）用边形的对角线把边形分割成（个三角形，共有多少种不同的分割方案？
（探究）为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进转化，最后猜想得出结论．不妨假设n边形的分割方案有种．
探究一：用四边形的对角线把四边形分割成2个三角形，共有多少种不同的分割方案？如图①，图②，显然，只有2种不同的分割方案．所以，．
探究二：用五边形的对角线把五边形分割成3个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成三类：
第1类：如图③，用点，与连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有种不同的分割方案，所以，此类共有种不同的分割方案．
第2类：如图④，用点，与连接，把五边形分割成3个三角形，有1种不同的分割方案，可视为种分割方案．
第3类：如图⑤，用点，与连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有f（4）种不同的分割方案，所以，此类共有f（4）种不同的分割方案．
所以，（种）
探究三：用六边形的对角线把六边形分割成4个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成四类：
第1类：如图⑥，用，与连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有种不同的分割方案，所以，此类共有种不同的分割方案．
第2类：如图⑦，用，与连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有种不同的分割方案．所以，此类共有种分割方案．
第3类：如图⑧，用，与连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有种不同的分割方案．所以，此类共有种分割方案．
第4类：如图，用，与连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有种不同的分割方案．所以，此类共有种分割方案．
所以，
（种）
探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，则与的关系为，共有______种不同的分割方案．……
（结论）用边形的对角线把边形分割成个三角形，共有多少种不同的分割方案？（直接写出与之间的关系式，不写解答过程）
（应用）用九边形的对角线把九边形分割成7个三角形，共有多少种不同的分割方案？（应用上述结论中的关系式求解）
【答案】探究四：18，42；[结论]；[应用]429种
【分析】[探究]根据探究的结论得到规律计算即可；
[结论]根据五边形，六边形，七边形的对角线把图形分割成三角形的方案总结规律即可得到答案；
[应用]利用规律求得八边形及九边形的对角线把图形分割成三角形的方案即可．
【详解】所以，
==42．故答案为：18，42．
[结论]由题意知，，，…；
[应用]根据结论得：．．
则用九边形的对角线把九边形分割成7个三角形，共有429种不同的分割方案．
【点睛】此题考查多边形的对角线，图形变化类规律题，研究了多边形对角线分割多边形成三角形的关系，关键是能够得到规律，此题有难度，注意利用数形结合的思想．
【变式训练】
变式1．（2021·广东·一模）若从一个n边形的一个顶点出发，最多可以引7条对角线，则n＝_____．
【答案】10
【分析】可根据n边形从一个顶点引出的对角线与边的关系：n-3，列方程求解．
【详解】解：设多边形有n条边，则n-3=7，解得n=10．故答案为：11．
【点睛】本题考查了多边形的对角线．解题的关键是明确多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点所有的对角线有（n-3）条，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n-2）个三角形．
变式2．（2021·山东·一模）我们知道，三角形的稳定性在日常生活中被广泛运用.要使不同的木架不变形，四边形木架至少要再钉1根木条；五边形木架至少要再钉2根木条；…按这个规律，要使边形木架不变形至少要再钉______________根木条.（用表示，为大于3的整数）
【答案】n-3
【分析】根据三角形具有稳定性，需要的木条数等于过多边形的一个顶点的对角线的条数．
【详解】过n边形的一个顶点可以作（n-3）条对角线，把多边形分成（n-2）个三角形，
所以，要使一个n边形木架不变形，至少需要（n-3）根木条固定．故答案为：（n-3）．
【点睛】考查了三角形的稳定性以及多边形的对角线的问题，解题关键是将问题转换成把多边形分成三角形的问题．
考点3. 正多边形相关问题
【解题技巧】正多边形是各边相等，各角也相等的多边形．
【典例精析】
例1．（2022·四川遂宁·中考真题）如图，正六边形ABCDEF的顶点A、F分别在正方形BMGH的边BH、GH上．若正方形BMGH的边长为6，则正六边形ABCDEF的边长为______．
【答案】4
【分析】连接，根据正六边形的特点可得，根据含30度角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】如图，连接，
正六边形ABCDEF的顶点A、F分别在正方形BMGH的边BH、GH上
正六边形每个内角为，为对称轴
则则，
正方形BMGH的边长为6，设，则
解得 故答案为：4
【点睛】本题考查了正多边形的性质，正方形的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
例2．（2022·四川南充·中考真题）如图，在正五边形中，以为边向内作正，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用正多边形各边长度相等，各角度数相等，即可逐项判断．
【详解】解：∵多边形是正五边形，∴该多边形内角和为：，，
∴，故D选项正确；
∵是正三角形，∴，，
∴，，
∴，故B选项正确；∵，，∴，故A选项正确；
∵，，∴，故C选项错误，故选：C．
【点睛】本题考查正多边形的性质以及多边形内角和公式，熟练掌握正多边形“各边长度相等，各角度数相等”是解题的关键．
【变式训练】
变式1．（2020·湖南湘西·中考真题）一个正多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数是______．
【答案】6
【分析】利用正多边形的外角和以及正多边形的内角和定理即可解决问题．
【详解】解：∵正多边形的外角和是360度，正多边形的内角和是外角和的2倍，
则内角和是720度， 720÷180+2=6， ∴这个多边形的边数为6． 故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了正多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．
变式2．（2021·广西梧州·中考真题）如图，正六边形ABCDEF的周长是24cm，连接这个六边形的各边中点G，H，K，L，M，N，则六边形GHKLMN的周长是 ___cm．
【答案】
【分析】如图，连接 过作于 再求解正六边形的边长为 证明 再求解 再利用三角形的中位线定理可得答案.
【详解】解：如图，连接 过作于 正六边形ABCDEF的周长是24cm，
分别为的中点， 同理：
六边形GHKLMN的周长是 故答案为：
【点睛】本题考查的是三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，正多边形的性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键.
变式3．（2022·山东临沂·中考真题）如图，在正六边形中，，是对角线上的两点，添加下列条件中的一个：①；②；③；④．能使四边形是平行四边形的是__________（填上所有符合要求的条件的序号）．
【答案】①②④
【分析】根据正六边形的性质，依次结合题给的条件，先证有关三角形是否全等，再证四边形是平行四边形．
【详解】解：由正六边形的性质知：∠ABM=∠DEN，AB=DE，∠BAF=∠CDE，
①若BM=EN，在△ABM和△DEN中，，∴（SAS），
∴AM=DN，∠AMB=∠DNE，∴∠AMN=∠DNM，∴AMDN，∴四边形是平行四边形；
②若，则∠BAN=∠EDM，
在和中，，∴(ASA)，
∴AN=DM，∠ANM=∠DMN， ∴ANDM∴四边形是平行四边形；
③若，结合条件AB=DE，∠ABM=∠DEN，SSA无法证明，也就无法证明四边形是平行四边形；
④若，在△ABM和△DEN中，，∴（AAS），
∴AM=DN，∠AMB=∠DNE，∴∠AMN=∠DNM，∴AMDN，∴四边形是平行四边形；
综上所述，①②④符合题意．故答案为：①②④．
【点睛】此题考查了正六边形的性质、全等三角形的判定以及平行四边形的判定．解题的关键是熟练运用上述知识逐一进行判断．
考点4.平行四边形的性质
【解题技巧】平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分.
平行四边形的性质为我们证明线段平行或相等，角相等提供了新的理论依据．
【典例精析】
例1．（2022·湖南岳阳·中考真题）下列命题是真命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．平行四边形的对角线互相垂直
C．三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交 D．三角分别相等的两个三角形是全等三角形
【答案】A
【分析】根据对顶角性质判断A，根据平行四边形的性质判断B，根据三角形的内心定义判断C，根据全等三角形的判定定理判断D．
【详解】A.对顶角相等是一个正确的命题，是真命题，故A符合题意；
B.菱形的对角线互相垂直，非菱形的平行四边形的对角线不垂直，所以平行四边形的对角线互相垂直是一个假命题，故B不符合题意；
C.三角形的内心是三角形内角平分线的交点，不一定是三边的垂直平分线的交点，则三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点是一个假命题，故C不符合题意；
D.三角分别相等的两个三角形不一定全等，故D不符合题意；故选：A．
【点睛】本题考查了真命题与假命题的判断，对顶角的性质，平行四边形的性质，三角形的内心定义，全等三角形的判定，熟练掌握这些性质、定义、定理是解决问题的关键．
例2．（2022·四川内江·中考真题）如图，在 ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线BM交CD边于点M，则DM的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】根据平行四边形的性质及角平分线的性质可得∠CBM＝∠CMB，利用等边对等角即可得MC＝BC＝8，进而可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝12，BC＝AD＝8，AB∥CD，∴∠ABM＝∠CMB，
∵BM是∠ABC的平分线，∴∠ABM＝∠CBM，∴∠CBM＝∠CMB，
∴MC＝BC＝8，∴DM＝CD﹣MC＝12﹣8＝4，故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和角平分线的性质，掌握其相关性质是解题的关键．
例3．（2022·湖南湘潭·中考真题）在中（如图），连接，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行四边形的对边平行和两直线平行内错角相等的性质，再通过等量代换即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴ABCD ∴∠DCA＝∠CAB，
∵∠DCA+∠ACB，，∴40 +80 =120 ，故选：C．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质和平行线的性质，解题的关键是熟记性质并熟练运用．
【变式训练】
变式1．（2022·广东·中考真题）如图，在中，一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，然后对各选项进行判断即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD，AD=BC 故选C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质．解题的关键在于熟练掌握平行四边形的性质．
变式2．（2022·湖南邵阳·中考真题）如图，在等腰中，，顶点在的边上，已知，则_________．
【答案】110
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ABC的度数；再根据平行四边形对边平行和两直线平行同旁内角互补的性质，得出∠2+∠ABE=180 ，代入求解即可．
【详解】解：∵是等腰三角形，∠A=120 ，∴∠ABC=∠C=(180 -∠A)÷2=30 ，
∵四边形是平行四边形，
∴OFDE，∴∠2+∠ABE=180 ，即∠2+30 +40 =180 ，
∴∠2=110 ．故答案为：110 ．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质和平行四边形的性质，解题的关键是数形结合，熟练运用上述知识求解．
变式3．（2022·江苏无锡·中考真题）如图，在ABCD中，，，点E在AD上，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点B作BF⊥AD于F，由平行四边形性质求得∠A=75°，从而求得∠AEB=180°-∠A-∠ABE=45°，则△BEF是等腰直角三角形，即BF=EF，设BF=EF=x，则BD=2x，DF=，DE=DF-EF=（-1）x，AF=AD-DF=BD-DF=（2-）x，继而求得AB2=AF2+BF2=（2-）2x2+X2=（8-4）x2，从而求得，再由AB=CD，即可求得答案．
【详解】解：如图，过点B作BF⊥AD于F，
∵ABCD，∴CD=AB，CDAB，∴∠ADC+∠BAD=180°，
∵∴∠A=75°，∵∠ABE=60°，∴∠AEB=180°-∠A-∠ABE=45°，
∵BF⊥AD，∴∠BFD=90°，∴∠EBF=∠AEB=45°，∴BF=FE，
∵AD=BD，∴∠ABD=∠A=75°，∴∠ADB=30°，设BF=EF=x，则BD=2x，由勾股定理，得DF=，
∴DE=DF-EF=（-1）x，AF=AD-DF=BD-DF=（2-）x，
由勾股定理，得AB2=AF2+BF2=（2-）2x2+x2=（8-4）x2，
∴∴，∵AB=CD，∴，故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，过点B作BF⊥AD于F，构建直角三角形与等腰直角三角形是解题的关键．
考点5. 平行四边形的判定
【解题技巧】平行四边形的判定方法有五种，在选择判定方法时应根据具体条件而定．对于平行四边形的判定方法，应从边、角及对角线三个角度出发，而对于边又应考虑边的位置关系及数量关系两方面．
【典例精析】
例1．（2022·内蒙古赤峰·中考真题）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形，其中一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（ ）
A．四边形周长不变 B． C．四边形面积不变 D．
【答案】D
【分析】由平行四边形的性质进行判断，即可得到答案．
【详解】解：由题意可知，∵，，∴四边形是平行四边形，
∴；故D符合题意；随着一张纸条在转动过程中，不一定等于，四边形周长、面积都会改变；故A、B、C不符合题意；故选：D
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形对边相等．
例2.（2022·四川达州·中考真题）如图，在中，点D，E分别是，边的中点，点F在的延长线上．添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用三角形中位线定理得到DE∥AC且DE=AC，结合平行四边形的判定定理进行选择．
【详解】解：∵在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AC且DE=AC，
A、根据∠B=∠F不能判定CF∥AD，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．
B、根据DE=EF可以判定DF=AC，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC为平行四边形，故本选项正确．
C、根据AC=CF不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．
D、根据AD=CF，FD∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形的中位线的性质和平行四边形的判定．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
例3．（2022·黑龙江大庆·中考真题）如图，在四边形中，点E，C为对角线上的两点，．连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，求证：．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【分析】（1）由可得，证明，则，，进而结论得证；（2）由，可知，，则，证明，进而结论得证．
(1)证明：∵，∴，∴，
在和中，∵，∴，
∴，∴，又∵，∴四边形是平行四边形．
(2)证明：由（1）知，，∴，
∵，∴，，∴，
在和中，∵，∴，∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定．解题的关键在于熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定．
【变式训练】
变式1．（2022·河北·中考真题）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平行四边形的判定及性质定理判断即可；
【详解】解：平行四边形对角相等，故A错误；
一组对边平行不能判断四边形是平行四边形，故B错误；
三边相等不能判断四边形是平行四边形，故C错误；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D正确；故选：D．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质，掌握平行四边形的判定及性质是解题的关键．
变式2．（2022·湖北荆州·中考真题）如图，点E，F分别在□ABCD的边AB，CD的延长线上，连接EF，分别交AD，BC于G，H．添加一个条件使△AEG≌△CFH，这个条件可以是______．（只需写一种情况）
【答案】（答案不唯一）
【分析】由平行四边形的性质可得： 证明 再补充两个三角形中的一组相对应的边相等即可．
【详解】解： ， 所以补充：
△AEG≌△CFH，故答案为：（答案不唯一）
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握“平行四边形的性质与利用ASA证明三角形全等”是解本题的关键．
变式3．（2022·广西贺州·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且，连接AF，CE，AC，EF，且AC与EF相交于点O．(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；(2)若AC平分，，求四边形AFCE的面积．
【答案】(1)详见解析；(2)24．
【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形解答；
（2）由平行线的性质可得，再根据角平分线的性质解得，继而证明，由此证明平行四边形AFCE是菱形，根据菱形的性质得到，结合正切函数的定义解得，最后根据三角形面积公式解答．
(1)证明：四边形ABCD是平行四边形
，即．四边形AFCE是平行四边形．
(2)解：，．平分，．．
，由（1）知四边形AFCE是平行四边形，
平行四边形AFCE是菱形．，在中，，．
．
【点睛】本题考查平行四边形的判定、菱形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的性质、正切函数的定义等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
考点6. 三角形的中位线
【典例精析】
例1．（2022·广东·中考真题）如图，在中，，点D，E分别为，的中点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】利用中位线的性质即可求解．
【详解】∵D、E分比为AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴，
∵BC=4，∴DE=2，故选：D．
【点睛】本题考查了中位线的判定与性质，掌握中位线的判定与性质是解答本题的关键．
例2．（2022·浙江台州·中考真题）如图，在中，，，，分别为，，的中点．若的长为10，则的长为________．
【答案】10
【分析】根据三角形中位线定理求出AB，根据直角三角形的性质解答．
【详解】解：∵E、F分别为BC、AC的中点，∴AB＝2EF＝20，
∵∠ACB＝90°，点D为AB的中点，∴，故答案为：10．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
例3．（2022·浙江宁波·中考真题）如图，在中，D为斜边的中点，E为上一点，F为中点．若，，则的长为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】D
【分析】根据三角形中位线可以求得AE的长，再根据AE＝AD，可以得到AD的长，然后根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系，可以求得BD的长．
【详解】解：∵D为斜边AC的中点，F为CE中点，DF＝2，∴AE＝2DF＝4，
∵AE＝AD，∴AD＝4，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，∴BD＝AC＝AD＝4，故选：D．
【点睛】本题考查直角三角线斜边上的中线和斜边的关系、三角形的中位线，解答本题的关键是求出AD长．
【变式训练】
变式1．（2022·四川眉山·中考真题）在中，，，，点，，分别为边，，的中点，则的周长为（ ）
A．9 B．12 C．14 D．16
【答案】A
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可得出△ABC的周长=2△DEF的周长．
【详解】∵D，E，F分别为各边的中点，
∴DE、EF、DF是△ABC的中位线，
∴DE=BC=3，EF=AB=2，DF=AC=4，∴△DEF的周长=3+2+4=9．故选：A．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理．解题的关键是根据中位线定理得出边之间的数量关系．
变式2．（2022·浙江丽水·中考真题）如图，在中，D，E，F分别是，，的中点．若，，则四边形的周长是（ ）
A．28 B．14 C．10 D．7
【答案】B
【分析】首先根据D，E，F分别是，，的中点，可判定四边形是平行四边形，再根据三角形中位线定理，即可求得四边形的周长．
【详解】解：D，E，F分别是，，的中点，、分别是的中位线，
，且，，
四边形是平行四边形，，，
四边形的周长为：，故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，三角形中位线定理，判定出四边形是平行四边形是解决本题的关键．
变式3．（2021·江苏泰州市·中考真题）如图，四边形ABCD中，AB＝CD＝4，且AB与CD不平行，P、M、N分别是AD、BD、AC的中点，设△PMN的面积为S，则S的范围是 ___．
【答案】0＜S≤2
【分析】过点M作ME⊥PN于E，根据三角形的中位线定理得出PM=PN=AB=CD=2，再根据三角形的面积公式得出S==ME，结合已知和垂线段最短得出S的范围；
【详解】解：过点M作ME⊥PN于E，
∵P、M、N分别是AD、BD、AC的中点，AB＝CD＝4，∴PM=PN=AB=CD=2，
∴△PMN的面积S==ME，∵AB与CD不平行，∴四边形ABCD不是平行四边形，
∴M、N不重合，∴ME＞0，∵ ME≤MP=2，∴0＜S≤2
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理以及三角形的面积，掌握三角形的中位线平行第三边，等于第三边的一半是解题的关键
考点7. 多边形的新定义问题
【典例精析】
例1．（2020·四川雅安市·中考真题）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则__________．
【答案】20
【分析】由垂美四边形的定义可得AC⊥BD，再利用勾股定理得到AD2+BC2=AB2+CD2，从而求解.
【详解】∵四边形ABCD是垂美四边形，∴AC⊥BD，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，
由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，∴AD2+BC2=AB2+CD2，
∵AD=2，BC=4，∴AD2+BC2=22+42=20，故答案为：20.
【点睛】本题主要考查四边形的应用，解题的关键是理解新定义，并熟练运用勾股定理.
例2．（2021·浙江南浔·一模）定义：如果一个四边形的一条对角线长度是另一条对角线长度的2倍，则称这个四边形为倍半四边形．
（1）已知在倍半四边形中，对角线与交于点，
①如图1，若，求的面积；
②如图2，若，且与的面积之比是，求的长度；
（2）如图3，已知在中，，过点作射线交于点，使得，点为射线上一动点，连结和，点分别为和的中点，连结，当四边形为倍半四边形时，求的值（用含的代数式表示）．
【答案】（1）①；②；（2）或．
【分析】(1) ①根据倍半四边形定义，求出AC，进而求出OC，利用三角形面积公式求解即可；②根据面积比求出，得出，再证，列出比例式即可求；
(2) 取中点，连结，分别交OA、OB于M、N．得到，作于点，解直角三角形求的值即可．
【详解】（1）①∵倍半四边形，
，，．
②如图1，作分别于点．
∵，∴，．
，．．
，
，即．
．
（2）取中点，连结，分别交OA、OB于M、N．
∴，∴四边形GMON是平行四边形，．
情况一：当时，如图2，，作于点，
，，
；
情况二：当时，如图3，，
作于点，易得等腰，，
，．
【点睛】本题考查四边形的综合中新定义问题，包括相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解题关键是恰当作辅助线构建相似三角形和直角三角形，通过比例式或解直角三角形求解计算．
【变式训练】
变式1．（2021·江苏秦淮·二模）百度百科这样定义凹四边形：把四边形的某边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．关于凹四边形（如图），以下结论：
①；②若，则；
③若，则；④存在凹四边形，有．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④
【答案】A
【分析】根据凹四边形的定义及相关知识，逐项加以甄别即可．
【详解】解：①如图1，连接AC并延长到点E．
即所以结论①正确；
②如图2，连接BD，作直线AC．
∴点A在线段BD的垂直平分线上．∴点C在线段BD的垂直平分线上．
∴点A和点C都在线段BD的垂直平分线上．∴直线AC是线段BD的垂直平分线．
所以结论②正确；③如图③，
由①可知，当时，有
因再无其它已知条件证得BC=CD，所以结论③错误；
④如图④，假设存在凹四边形ABCD，连接AC．
当时，
∴AB∥CD，BC∥DA．∴四边形ABCD是平行四边形．
∵平行四边形是凸四边形，这与“四边形ABCD是凹四边形”的假设相矛盾．
∴不存在凹四边形ABCD，使得所以结论④错误．故选：A
【点睛】本题考查了对新定义的理解、三角形的外角性质、线段的垂直平分线的判定、反证法等知识点，综合运用上述的知识点，对每个结论加以推理证明是解题的关键．
变式2．（2021·浙江越城·一模）我们定义：连接凸四边形一组对边中点的线段叫做四边形的“准中位线”．（1）概念理解：如图1，四边形ABCD中，F为CD的中点，∠ADB＝90°，E是AB边上一点，满足DE＝AE，试判断EF是否为四边形ABCD的准中位线，并说明理由．
（2）问题探究：如图2，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，动点E以每秒1个单位的速度，从点A出发向点C运动，动点F以每秒6个单位的速度，从点C出发沿射线CB运动，当点E运动至点C时，两点同时停止运动．D为线段AB上任意一点，连接并延长CD，射线CD与点A，B，E，F构成的四边形的两边分别相交于点M，N，设运动时间为t．问t为何值时，MN为点A，B，E，F构成的四边形的准中位线．（3）应用拓展：如图3，EF为四边形ABCD的准中位线，AB＝CD，延长FE分别与BA，CD的延长线交于点M，N，请找出图中与∠M相等的角并证明．
【答案】（1）是，见解析；（2）t＝或t＝2或t＝4；（3）∠M＝∠CNF，见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠EDA＝∠EAD，根据余角的性质得到∠EDB＝∠ABD，得到AE＝BE，于是得到结论；（2）当MN为点A，B，F，E构成的四边形的准中位线时，①如图①，当0≤t≤时，②当＜t≤6时，根据题意列方程即可得到结论；（3）连接BD，取BD的中点H，连接EH，FH，根据三角形的中位线定理得到EH∥AB，EH＝AB，求得∠M＝∠HEF，又根据三角形的中位线定理得到FH∥CD，FH＝CD，求得∠CNF＝∠HFE，于是得到结论．
【详解】解：（1）∵DE＝AE，∴∠EDA＝∠EAD，
∵∠EDA＋∠EDB＝90°，∠EAD＋∠ABD＝90°，
∴∠EDB＝∠ABD，∴DE＝BE，∴AE＝BE，
∵F为CD的中点，∴EF为四边形ABCD的准中位线；
（2）当MN为点A，B，F，E构成的四边形的准中位线时，
①如图①，当0≤t≤时，则需满足EF∥AB且M（D）为AB的中点，∴，解得：t＝；
②当＜t≤6时，需满足BE∥AF且M为AF的中点，∴，解得：t＝2或t＝4，
综上所述，当t＝或t＝2或t＝4时，MN为点A，B，E，F构成的四边形的准中位线；
（3）∠M＝∠CNF，
理由：连接BD，取BD的中点H，连接EH，FH，
∵E，H分别为AD，BD的中点，∴EH∥AB，EH＝AB，∴∠M＝∠HEF，
∵F，H分别为BC，BD的中点，∴FH∥CD，FH＝CD，∴∠CNF＝∠HFE，
∵AB＝CD，∴HE＝HF，∴∠HEF＝∠HFE，∴∠M＝∠CNF．
【点睛】本题考查了四边形的综合应用，围绕线段的中点，考察了等腰三角形的性质以及判定、三角形的中位线定理等知识，正确理解新概念四边形的“准中位线”是本题解题的关键.
变式3.（2021·广东·南山学校一模）阅读理解：我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称：______，_______．
（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点），，，请你画出以格点为顶点，，为勾股边且对角线相等的两个勾股四边形．
（3）如图2，将绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到，连接，，，写出线段，，的数量关系为_______，并证明．
【答案】（1）矩形，正方形；（2）见详解；（3）DC2＋BC2＝AC2，理由见详解
【分析】（1）利用含有直角的四边形找出特殊四边形中是勾股四边形的两种图形即可；（2）根据题意画出图形即可；（3）首先证明△ABC≌△DBE，得出AC＝DE，BC＝BE，连接CE，进一步得出△BCE为等边三角形；利用等边三角形的性质，进一步得出△DCE是直角三角形，问题得解．
【详解】解：（1）学过的特殊四边形中是勾股四边形的有矩形，正方形；故答案为：矩形，正方形；
（2）如图，
（3）线段DC，AC，BC的数量关系为：DC2＋BC2＝AC2．
证明：如图2，连接CE，
由旋转得：△ABC≌△DBE，∴AC＝DE，BC＝BE，
又∵∠CBE＝60°，∴△CBE为等边三角形，∴BC＝CE，∠BCE＝60°，
∵∠DCB＝30°，∴∠DCE＝∠DCB＋∠BCE＝30°＋60°＝90°，
∴DC2＋EC2＝DE2，∴DC2＋BC2＝AC2．故答案为：DC2＋BC2＝AC2．
【点睛】本题考查四边形综合题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．
考点8. 梯形
【解题技巧】
该考点部分地区教材已经删除，请根据各考区大纲要求自行选择即可。
【典例精析】
例1．（2021·上海静安·二模）如图，已知在梯形ABCD中，ADBC，AB＝CD，矩形DEFG的顶点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，如果DE＝5，tanC＝，那么AE的长为_____．
【答案】2
【分析】证明AE＝CG，解直角三角形求出CG，可得结论．
【详解】解：∵四边形DEFG是矩形，
∴EFCD，EF＝DG，∠FGD＝∠FGC＝90°，DE＝FG＝5，∴∠EFB＝∠C，
∵ADBC，AB＝CD，∴四边形ABCD是等腰梯形，∴∠B＝∠C，
∴∠B＝∠EFB，∴BE＝EF＝DG，∴AE＝CG，
在RtFGC中，tanC＝＝，∴CG＝2，∴AE＝CG＝2，故答案为：2．
【点睛】本题考查等腰梯形的性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
例2．（2021·上海崇明·二模）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，点E在下底BC上，∠AED＝∠B．（1）求证：CE AD＝DE2；（2）求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）通过证明△ADE∽△DEC，利用相似三角形的性质即可得结论；
（2）由相似三角形的性质可得，即可得结论．
【详解】证明：（1）∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∴∠B＝∠C，AB＝DC，∠ADE＝∠DEC，
∵∠AED＝∠B，∴∠C＝∠AED，∴△ADE∽△DEC，∴，∴CE AD＝DE2；
（2）∵△ADE∽△DEC，∴，∴，∴．．
【点睛】本题综合考查了等腰梯形的性质和相似三角形的判定与性质等内容，要求学生理解并掌握相关内容，能运用有关知识求出相等的角，能证明出相似的三角形，以及能利用相似三角形的性质解决不同的边之间的关系等问题，要求学生能在不同的三角形之间进行边和角的转化，蕴含了转化的思想方法．
【变式训练】
变式1．（2021·上海崇明·二模）如果一个等腰梯形的周长为50厘米，一条腰长为12厘米，那么这个梯形的中位线长为_____厘米．
【答案】13
【分析】根据梯形的周长公式列式进行计算即可得到两底的和，再根据梯形的中位线等于两底和的一半求出中位线的长即可．
【详解】∵等腰梯形的周长为50厘米，一条腰长为12厘米，∴两底的和为（厘米），
∴这个梯形的中位线长为（厘米），故答案为：13．
【点睛】本题考查了梯形的中位线等知识点，熟练掌握梯形的中位线求法是解题关键．
变式2．（2021·上海宝山·三模）如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=5，对角线BD平分∠ABC，（1）求边BC的长；（2）过点A作AE⊥BD，垂足为点E，求的值．
【答案】（1）13；（2）
【分析】（1）过点D作DF⊥BC于点F，则可得CF的长，由BD平分∠ABC，可得AB=AD，根据等腰梯形的性质，可求得BC的长；（2）在直角△DFC中，由勾股定理可求得DF，易得∠BDF=∠DAE，从而在直角△DBF中，可求得结果．
【详解】（1）如图，过点D作DF⊥BC于点F
则 ∵CD=5∴CF=4 ∵BD平分∠ABC∴∠ABD=∠CBD
∵AD∥BC∴∠ADB=∠CBD∴∠ADB=∠ABD∴AD=AB=5
∵AB=CD∴四边形ABCD是等腰梯形∴ ∴BC=13
（2）∵AE⊥BD，DF⊥BC∴∠AED=∠DFC=90゜
∵∠ADB=∠CBD∴∠BDF=∠DAE ∴
∵BF=BC-CF=13-4=9，
∴ ∴
【点睛】本题考查等腰梯形的性质、锐角三角函数等知识，关键是过点D作BC的垂线．另外
求∠DAE的余切值转化为与之相等的∠BDF的余切值，体现了转化思想，也是求三角函数值的一种常用方法．
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专题14 多边形与平行四边形
【考情预测】
本考点内容是考查重点，年年都会考查，分值为12分左右，预计2023年浙江各地中考还将出现，并且在选择、填空题中考查多边形的内角和、平行四边形性质和判定及中位线的可能性比较大。解答题中考查平行四边形的性质和判定，一般和三角形全等、解直角三角形综合应用的可能性比较大，对于本考点内容，要注重基础，反复练习，灵活运用。
【考点梳理】
1．多边形的相关概念
1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．
2）对角线：从n边形的一个顶点可以引(n–3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n–2)个三角形；n边形对角线条数为．
2．多边形的内角和、外角和
1）内角和：n边形内角和公式为(n–2)·180°；2）外角和：任意多边形的外角和为360°.
3．正多边形
1）定义：各边相等，各角也相等的多边形.
2）正n边形的每个内角为，每一个外角为．
3）正n边形有n条对称轴.
4）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形．
4．平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“”表示.
5．平行四边形的性质
1）边：两组对边分别平行且相等．2）角：对角相等，邻角互补．3）对角线：互相平分．
4）对称性：中心对称但不是轴对称．
注意：利用平行四边形的性质解题时一些常用到的结论和方法：
1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半．
2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题．
3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长．
6．平行四边形中的几个解题模型
1）如图①，AE平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABE为等腰三角形，即AB=BE．
2）平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形，如图②中△ABD≌△CDB；
两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形，如图②中△AOD≌△COB,△AOB≌△COD；
根据平行四边形的中心对称性，可得经过对称中心O的线段与对角线所组成的居于中心对称位置的三角形全等，如图②△AOE≌△COF.图②中阴影部分的面积为平行四边形面积的一半．
3）如图③，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE.
4）如图④，根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD．
7、平行四边形的判定
1）方法一（定义法）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
2）方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
3）方法三：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
4）方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
5）方法五：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
8、三角形的中位线
1）定义：三角形两边中点的连线叫中位线。2）性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
【重难点突破】
考点1. 多边形的内（外）角和
【解题技巧】
多边形内角和：n边形内角和公式为(n–2)·180°；多边形外角和：任意多边形的外角和为360°；
【典例精析】
例1．（2022·山东烟台·中考真题）一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1，则这个正多边形是（ ）
A．正方形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形
例2．（2021·浙江丽水市·中考真题）一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为，则原多边形的边数是__________．
【变式训练】
变式1．（2022·浙江舟山·中考真题）正八边形的一个内角的度数是____ 度．
变式2.（2022·湖南常德·中考真题）剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；……；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为________．
变式3．（2020·山东德州市·中考真题）如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°……照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（ ）
A．80米 B．96米 C．64米 D．48米
考点2. 多边形的对角线问题
【解题技巧】
多边形的对角线：从n边形的一个顶点可以引(n–3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n–2)个三角形；n边形对角线条数为．
【典例精析】
例1．（2021·内蒙古包头·三模）正多边形每个内角为，则它共有_____条对角线．
例2．（2022·山东·二模）（问题）用边形的对角线把边形分割成（个三角形，共有多少种不同的分割方案？
（探究）为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进转化，最后猜想得出结论．不妨假设n边形的分割方案有种．
探究一：用四边形的对角线把四边形分割成2个三角形，共有多少种不同的分割方案？如图①，图②，显然，只有2种不同的分割方案．所以，．
探究二：用五边形的对角线把五边形分割成3个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成三类：
第1类：如图③，用点，与连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有种不同的分割方案，所以，此类共有种不同的分割方案．
第2类：如图④，用点，与连接，把五边形分割成3个三角形，有1种不同的分割方案，可视为种分割方案．
第3类：如图⑤，用点，与连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有f（4）种不同的分割方案，所以，此类共有f（4）种不同的分割方案．
所以，（种）
探究三：用六边形的对角线把六边形分割成4个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成四类：
第1类：如图⑥，用，与连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有种不同的分割方案，所以，此类共有种不同的分割方案．
第2类：如图⑦，用，与连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有种不同的分割方案．所以，此类共有种分割方案．
第3类：如图⑧，用，与连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有种不同的分割方案．所以，此类共有种分割方案．
第4类：如图，用，与连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有种不同的分割方案．所以，此类共有种分割方案．
所以，
（种）
探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，则与的关系为，共有______种不同的分割方案．……
（结论）用边形的对角线把边形分割成个三角形，共有多少种不同的分割方案？（直接写出与之间的关系式，不写解答过程）
（应用）用九边形的对角线把九边形分割成7个三角形，共有多少种不同的分割方案？（应用上述结论中的关系式求解）
【变式训练】
变式1．（2021·广东·一模）若从一个n边形的一个顶点出发，最多可以引7条对角线，则n＝_____．
变式2．（2021·山东·一模）我们知道，三角形的稳定性在日常生活中被广泛运用.要使不同的木架不变形，四边形木架至少要再钉1根木条；五边形木架至少要再钉2根木条；…按这个规律，要使边形木架不变形至少要再钉______________根木条.（用表示，为大于3的整数）
考点3. 正多边形相关问题
【解题技巧】正多边形是各边相等，各角也相等的多边形．
【典例精析】
例1．（2022·四川遂宁·中考真题）如图，正六边形ABCDEF的顶点A、F分别在正方形BMGH的边BH、GH上．若正方形BMGH的边长为6，则正六边形ABCDEF的边长为______．
例2．（2022·四川南充·中考真题）如图，在正五边形中，以为边向内作正，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
变式1．（2020·湖南湘西·中考真题）一个正多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数是______．
变式2．（2021·广西梧州·中考真题）如图，正六边形ABCDEF的周长是24cm，连接这个六边形的各边中点G，H，K，L，M，N，则六边形GHKLMN的周长是 ___cm．
变式3．（2022·山东临沂·中考真题）如图，在正六边形中，，是对角线上的两点，添加下列条件中的一个：①；②；③；④．能使四边形是平行四边形的是__________（填上所有符合要求的条件的序号）．
考点4.平行四边形的性质
【解题技巧】平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分.
平行四边形的性质为我们证明线段平行或相等，角相等提供了新的理论依据．
【典例精析】
例1．（2022·湖南岳阳·中考真题）下列命题是真命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．平行四边形的对角线互相垂直
C．三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交 D．三角分别相等的两个三角形是全等三角形
例2．（2022·四川内江·中考真题）如图，在 ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线BM交CD边于点M，则DM的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
例3．（2022·湖南湘潭·中考真题）在中（如图），连接，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
变式1．（2022·广东·中考真题）如图，在中，一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·湖南邵阳·中考真题）如图，在等腰中，，顶点在的边上，已知，则_________．
变式3．（2022·江苏无锡·中考真题）如图，在ABCD中，，，点E在AD上，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
考点5. 平行四边形的判定
【解题技巧】平行四边形的判定方法有五种，在选择判定方法时应根据具体条件而定．对于平行四边形的判定方法，应从边、角及对角线三个角度出发，而对于边又应考虑边的位置关系及数量关系两方面．
【典例精析】
例1．（2022·内蒙古赤峰·中考真题）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形，其中一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（ ）
A．四边形周长不变 B． C．四边形面积不变 D．
例2.（2022·四川达州·中考真题）如图，在中，点D，E分别是，边的中点，点F在的延长线上．添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
例3．（2022·黑龙江大庆·中考真题）如图，在四边形中，点E，C为对角线上的两点，．连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，求证：．
【变式训练】
变式1．（2022·河北·中考真题）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ）
A．B．C．D．
变式2．（2022·湖北荆州·中考真题）如图，点E，F分别在□ABCD的边AB，CD的延长线上，连接EF，分别交AD，BC于G，H．添加一个条件使△AEG≌△CFH，这个条件可以是______．（只需写一种情况）
变式3．（2022·广西贺州·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且，连接AF，CE，AC，EF，且AC与EF相交于点O．(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；(2)若AC平分，，求四边形AFCE的面积．
考点6. 三角形的中位线
【典例精析】
例1．（2022·广东·中考真题）如图，在中，，点D，E分别为，的中点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
例2．（2022·浙江台州·中考真题）如图，在中，，，，分别为，，的中点．若的长为10，则的长为________．
例3．（2022·浙江宁波·中考真题）如图，在中，D为斜边的中点，E为上一点，F为中点．若，，则的长为（ ）
A． B．3 C． D．4
【变式训练】
变式1．（2022·四川眉山·中考真题）在中，，，，点，，分别为边，，的中点，则的周长为（ ）
A．9 B．12 C．14 D．16
变式2．（2022·浙江丽水·中考真题）如图，在中，D，E，F分别是，，的中点．若，，则四边形的周长是（ ）
A．28 B．14 C．10 D．7
变式3．（2021·江苏泰州市·中考真题）如图，四边形ABCD中，AB＝CD＝4，且AB与CD不平行，P、M、N分别是AD、BD、AC的中点，设△PMN的面积为S，则S的范围是 ___．
考点7. 多边形的新定义问题
【典例精析】
例1．（2020·四川雅安市·中考真题）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则__________．
例2．（2021·浙江南浔·一模）定义：如果一个四边形的一条对角线长度是另一条对角线长度的2倍，则称这个四边形为倍半四边形．
（1）已知在倍半四边形中，对角线与交于点，
①如图1，若，求的面积；
②如图2，若，且与的面积之比是，求的长度；
（2）如图3，已知在中，，过点作射线交于点，使得，点为射线上一动点，连结和，点分别为和的中点，连结，当四边形为倍半四边形时，求的值（用含的代数式表示）．
【变式训练】
变式1．（2021·江苏秦淮·二模）百度百科这样定义凹四边形：把四边形的某边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．关于凹四边形（如图），以下结论：①；②若，则；
③若，则；④存在凹四边形，有．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④
变式2．（2021·浙江越城·一模）我们定义：连接凸四边形一组对边中点的线段叫做四边形的“准中位线”．（1）概念理解：如图1，四边形ABCD中，F为CD的中点，∠ADB＝90°，E是AB边上一点，满足DE＝AE，试判断EF是否为四边形ABCD的准中位线，并说明理由．
（2）问题探究：如图2，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，动点E以每秒1个单位的速度，从点A出发向点C运动，动点F以每秒6个单位的速度，从点C出发沿射线CB运动，当点E运动至点C时，两点同时停止运动．D为线段AB上任意一点，连接并延长CD，射线CD与点A，B，E，F构成的四边形的两边分别相交于点M，N，设运动时间为t．问t为何值时，MN为点A，B，E，F构成的四边形的准中位线．（3）应用拓展：如图3，EF为四边形ABCD的准中位线，AB＝CD，延长FE分别与BA，CD的延长线交于点M，N，请找出图中与∠M相等的角并证明．
变式3.（2021·广东·南山学校一模）阅读理解：我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称：______，_______．
（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点），，，请你画出以格点为顶点，，为勾股边且对角线相等的两个勾股四边形．
（3）如图2，将绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到，连接，，，写出线段，，的数量关系为_______，并证明．
考点8. 梯形
【解题技巧】
该考点部分地区教材已经删除，请根据各考区大纲要求自行选择即可。
【典例精析】
例1．（2021·上海静安·二模）如图，已知在梯形ABCD中，ADBC，AB＝CD，矩形DEFG的顶点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，如果DE＝5，tanC＝，那么AE的长为_____．
例2．（2021·上海崇明·二模）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，点E在下底BC上，∠AED＝∠B．（1）求证：CE AD＝DE2；（2）求证：．
【变式训练】
变式1．（2021·上海崇明·二模）如果一个等腰梯形的周长为50厘米，一条腰长为12厘米，那么这个梯形的中位线长为_____厘米．
变式2．（2021·上海宝山·三模）如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=5，对角线BD平分∠ABC，（1）求边BC的长；（2）过点A作AE⊥BD，垂足为点E，求的值．
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专题14 多边形与平行四边形
【考场演练1】热点必刷
1．（2022·黑龙江大庆·中考真题）如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点A落在E处．若，，则的度数为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据平行四边形的性质，得出，根据平行线的性质，得出，根据折叠得出，根据三角形内角和得出∠A的度数即可．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，，
根据折叠可知，，
∴，
，
∴，故C正确．故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，折叠性质，根据已知条件求出是解题的关键．
2.（2022·四川乐山·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF⊥AC，垂足为F．若AB=6，AC=8，DE=4，则BF的长为（ ）
A．4 B．3 C． D．2
【答案】B
【分析】利用平行四边形ABCD的面积公式即可求解．
【详解】解：∵DE⊥AB，BF⊥AC，
∴S平行四边形ABCD=DE×AB=2××AC×BF，
∴4×6=2××8×BF，
∴BF=3，
故选：B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，利用平行四边形ABCD的面积公式求垂线段的长是解题的关键．
3．（2022·浙江嘉兴·中考真题）如图，在中，，点E，F，G分别在边，，上，，，则四边形的周长是（ ）
A．32 B．24 C．16 D．8
【答案】C
【分析】根据，，可得四边形AEFG是平行四边形，从而得到FG=AE，AG=EF，再由，可得∠BFE=∠C，从而得到∠B=∠BFE，进而得到BE=EF，再根据四边形的周长是2（AE+EF），即可求解．
【详解】解∶∵，，
∴四边形AEFG是平行四边形，
∴FG=AE，AG=EF，
∵，
∴∠BFE=∠C，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B=∠BFE，
∴BE=EF，
∴四边形的周长是2（AE+EF）=2（AE+BE）=2AB=2×8=16．
故选：C
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
4．（2022·湖南怀化·中考真题）一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（ ）
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
【答案】A
【分析】根据n边形的内角和是（n﹣2） 180°，列出方程即可求解．
【详解】解：根据n边形的内角和公式，得（n﹣2） 180°=900°，解得n=7，
∴这个多边形的边数是7，故选：A．
【点睛】本题考查了多边形的内角和，解题的关键是熟记内角和公式并列出方程．
5．（2022·山东临沂·中考真题）如图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形，这个五边形的内角和是（ ）
A．900° B．720° C．540° D．360°
【答案】C
【分析】n边形的内角和公式为：，再根据内角和公式计算即可．
【详解】解：（5-2）×180° =180°×3 =540° 因此五边形的内角和是540°． 故选：C
【点睛】本题考查多边形的内角和公式（n-2）×180°的灵活运用．熟悉多边形的内角和公式是解本题的关键．
6．（2021·四川宜宾市·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形 B．平行四边形的邻边相等
C．平行四边形的对角线互相垂直 D．平行四边形的对角线互相平分
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质，逐一判断各个选项，即可得到答案．
【详解】解：A. 平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形，故该选项错误，
B. 平行四边形的邻边不一定相等，故该选项错误，C. 平行四边形的对角线互相平分，故该选项错误，
D. 平行四边形的对角线互相平分，故该选项正确．故选D．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，是解题的关键．
7．（2021·贵州铜仁市·中考真题）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．工人师傅不能用下列哪种形状、大小完全相同的一种地砖在平整的地面上镶嵌（ ）
A．等边三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
【答案】C
【分析】进行平面镶嵌就是在同一顶点处的几个多边形的内角和应是，因此我们只需要验证是不是上面所给的几个正多边形的一个内角度数的整数倍即可．
【详解】解：A、等边三角形每个内角的度数为，，故该项不符合题意；
B、正方形的每个内角的度数为，，故该项不符合题意；
C、正五边形的每个内角的度数为，，故该项符合题意；
D、正六边形的每个内角的度数为，，故该项不符合题意；故选：C．
【点睛】此题考查镶嵌问题，正确掌握各正多边形的每个内角的度数及镶嵌的计算方法是解题的关键．
8．（2021·四川南充市·中考真题）如图，点O是对角线的交点，EF过点O分別交AD，BC于点E，F．下列结论成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先可根据平行四边形的性质推出△AEO≌△CFO，从而进行分析即可．
【详解】∵点O是对角线的交点，∴OA=OC，∠EAO=∠CFO，
∵∠AOE=∠COF，∴△AEO≌△CFO（ASA），∴OE=OF，A选项成立；
∴AE=CF，但不一定得出BF=CF，则AE不一定等于BF，B选项不一定成立；
若，则DO=DC，由题意无法明确推出此结论，C选项不一定成立；
由△AEO≌△CFO得∠CFE=∠AEF，但不一定得出∠AEF=∠DEF，
则∠CFE不一定等于∠DEF，D选项不一定成立；故选：A．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，理解基本性质，利用全等三角形的判定与性质是解题关键．
9．（2021·北京中考真题）下列多边形中，内角和最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据多边形内角和公式可直接进行排除选项．
【详解】解：A、是一个三角形，其内角和为180°；B、是一个四边形，其内角和为360°；
C、是一个五边形，其内角和为540°；D、是一个六边形，其内角和为720°；
∴内角和最大的是六边形；故选D．
【点睛】本题主要考查多边形内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键．
10．（2021·河北中考真题）如图1，中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（ ）
图2
A．甲、乙、丙都是 B．只有甲、乙才是 C．只有甲、丙才是 D．只有乙、丙才是
【答案】A
【分析】甲方案：利用对角线互相平分得证；乙方案：由，可得,即可得，再利用对角线互相平分得证；丙方案:方法同乙方案．
【详解】连接交于点
甲方案：四边形是平行四边形
四边形为平行四边形．
乙方案：四边形是平行四边形
，，
又 (AAS)
四边形为平行四边形．
丙方案:四边形是平行四边形
，，，
又分别平分， 即
（ASA）
四边形为平行四边形．所以甲、乙、丙三种方案都可以．故选A．
【点睛】本题考查了平行四边的性质与判定，三角形全等的性质和判定，角平分线的概念等知识，能正确的利用全等三角的证明得到线段相等，结合平行四边形的判定是解题关键．
11．（2022·四川南充·中考真题）数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的A，B两点的距离，同学们在外选择一点C，测得两边中点的距离为（如图），则A，B两点的距离是_______________m．
【答案】20
【分析】根据题意得出DE为 ABC的中位线，然后利用其性质求解即可．
【详解】解：∵点D、E为AC，BC的中点，∴DE为 ABC的中位线，
∵DE=10，∴AB=2DE=20，故答案为：20．
【点睛】题目主要考查三角形中位线的判定和性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解题关键．
12．（2022·湖南株洲·中考真题）如图所示，已知，正五边形的顶点、在射线上，顶点在射线上，则_________度．
【答案】48
【分析】是正五边形的一个外角，利用多边形外交和360°算出一个外角，再利用的内角和180°，即可算出
【详解】∵四边形ABCDE是正五边形，是一个外角 ∴
在中： 故答案为：48
【点睛】本题考查多边形外角和和三角形内角和，注意多边形外角和均为360°
13．（2022·江苏连云港·中考真题）如图，在中，．利用尺规在、上分别截取、，使；分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，则的长为_________．
【答案】
【分析】如图所示，过点H作HM⊥BC于M，由作图方法可知，BH平分∠ABC，即可证明∠CBH=∠CHB，得到，从而求出HM，CM的长，进而求出BM的长，即可利用勾股定理求出BH的长．
【详解】解：如图所示，过点H作HM⊥BC于M，
由作图方法可知，BH平分∠ABC，
∴∠ABH=∠CBH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠CHB=∠ABH，∠C=180°-∠ABC=30°，
∴∠CBH=∠CHB，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等等，正确求出CH的长是解题的关键．
14．（2022·广西梧州·中考真题）如图，在中，，点D，E分别是边上的中点，连接．如果，，那么的长是_______m．
【答案】4
【分析】由D、E分别是AB和AC的中点得到DE是△ABC的中位线，进而得到，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，由此即可求出．
【详解】解：∵D、E分别是AB和AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴，
∵，
∴由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知：，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理及直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，属于基础题，熟练掌握中位线定理是解决本题的关键．
15．（2022·广东广州·中考真题）如图，在□ABCD中，AD=10，对角线AC 与BD相交于点O，AC+BD=22，则△BOC的周长为________
【答案】21
【分析】根据平行四边形对角线互相平分，求出OC+OB的长，即可解决问题．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=OC=AC，BO=OD=BD，BC=AD=10,∵AC+BD=22，∴OC+BO=11，
∵BC=10，∴△BOC的周长=OC+OB+BC=16+10=21．故答案为：21．
【点睛】本题考查平行四边形的性质以及三角形周长等知识，解题的关键是记住平行四边形的对角线互相平分，属于中考基础题．
16．（2021·江苏镇江·中考真题）如图，花瓣图案中的正六边形ABCDEF的每个内角的度数是__．
【答案】120°
【分析】多边形的内角和可以表示成(n﹣2) 180°，因为所给多边形的每个内角均相等，可设这个正六边形的每一个内角的度数为x，故又可表示成6x，列方程可求解．
【详解】解：设这个正六边形的每一个内角的度数为x，
则6x＝(6﹣2) 180°，解得x＝120°．故答案为：120°．
【点睛】本题考查根据多边形的内角和计算公式及求正多边形的内角的度数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
17．（2022·湖南长沙·中考真题）如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，．
(1)求证：；(2)若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，，求BD的长及四边形ABCD的周长．
【答案】(1)见解析(2)，四边形ABCD的周长为
【分析】（1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得证；
（2）根据三角形中位线的性质可得，进而可得的长，中，勾股定理求得，根据菱形的性质即可求解．
(1)证明：四边形是平行四边，，
四边形是菱形，
；
(2)解：点E，F分别为AD，AO的中点，
是的中位线，，
，，
四边形是菱形，，
，在中，，，
，
菱形形的周长为．
【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，三角形中位线的性质，勾股定理，掌握菱形的性质与判定是解题的关键．
18．（2022·江苏无锡·中考真题）如图，在 ABCD中，点O为对角线BD的中点，EF过点O且分别交AB、DC于点E、F，连接DE、BF．
求证：(1)△DOF≌△BOE；(2)DE=BF．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）根据平行四边形ABCD的性质，利用ASA即可证明△DOF≌△BOE；
（2）证明四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，O是BD的中点，
∴AB∥DC，OB=OD，∴∠OBE=∠ODF．
在△BOE和△DOF中，，
∴△BOE≌△DOF（ASA）；
(2)证明：∵△BOE≌△DOF，∴EO=FO，
∵OB=OD，∴四边形BEDF是平行四边形．∴DE=BF．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，证明三角形全等是解决问的关键．
19．（2022·山东烟台·中考真题）如图，在 ABCD中，DF平分∠ADC，交AB于点F，BEDF，交AD的延长线于点E．若∠A＝40°，求∠ABE的度数．
【答案】70°
【分析】根据平行四边形的性质和平行线的性质即可得到结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A+∠ADC＝180°，
∵∠A＝40°，
∴∠ADC＝140°，
∵DF平分∠ADC，
∴∠CDF＝ADC＝70°，
∴∠AFD＝∠CDF＝70°，
∵DF∥BE，
∴∠ABE＝∠AFD＝70°．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
20．（2022·广西桂林·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，点E和点F是对角线BD上的两点，且BF＝DE．
(1)求证：BE＝DF；
(2)求证：ABE≌CDF．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据，得到，得到；
（2）根据，，，得到ABE≌CDF．
(1)
∵
∴
∴
(2)
∵四边形ABCD是平行四边形
∴,
∴
∵
∴ABE≌CDF（SAS）．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形、全等三角形的相关知识．
21．（2022·广西梧州·中考真题）如图，在中，E，G，H，F分别是上的点，且．求证：．
【答案】证明过程见解析
【分析】先由四边形ABCD为平行四边形得到∠A=∠C，AB=CD，进而根据BE=DH得到AE=CH，最后再证明△AEF≌△CHG即可．
【详解】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠C，AB=CD，
又已知BE=DH，
∴AB-BE=CD-DH，
∴AE=CH，
在△AEF和△CHG中
，
∴△AEF≌△CHG(SAS)，
∴EF=HG．
【点睛】本题考察了平行四边形的性质和三角形全等的判定方法，属于基础题，熟练掌握平行四边形的性质是解决本题的关键．
22．（2022·江苏宿迁·中考真题）如图，在平行四边形中，点，分别是边，的中点．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】利用是平行四边形，得到，，再证明，即可证明是平行四边形，利用平行四边形的性质即可得到．
【详解】证明：∵是平行四边形，
∴，，
∵点，分别是边，的中点，
∴，
∵，
∴是平行四边形，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，解题的关键是证明是平行四边形．
23．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，中，，相交于点，，分别是，的中点．
(1)求证：；(2)设，当为何值时，四边形是矩形？请说明理由．
【答案】(1)证明见解析(2)当时，四边形是矩形，理由见解析
【分析】（1）连接，先根据平行四边形的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，最后根据平行四边形的性质即可得证；
（2）先根据矩形的判定可得当时，四边形是矩形，再根据线段中点的定义、平行四边形的性质可得，由此即可得出的值．
(1证明：如图，连接，
四边形是平行四边形，，
分别是，的中点，，
四边形是平行四边形，．
(2)解：由（1）已证：四边形是平行四边形，
要使平行四边形是矩形，则，
，
，即，
，故当时，四边形是矩形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．
24．（2022·湖南株洲·中考真题）如图所示，点在四边形的边上，连接，并延长交的延长线于点，已知，．
(1)求证：；
(2)若，求证：四边形为平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用SAS可以直接证明；
（2）由可得，由内错角相等，两直线平行，得出，结合已知条件即可证明四边形为平行四边形．
(1)
证明：∵与是对顶角，
∴，
在与中，
，
∴
(2)
证明：由（1）知，
∴，
∴，
∵点在的延长线上，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定和平行四边形的判定，难度较小，熟练掌握全等三角形、平行线及平行四边形的判定方法是解题的关键．
25．（2022·浙江嘉兴·中考真题）小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，OB＝OD．求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．
小惠：证明：∵AC⊥BD，OB＝OD，∴AC垂直平分BD．∴AB＝AD，CB＝CD，∴四边形ABCD是菱形． 小洁：这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明．
若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．
【答案】赞成小洁的说法，补充证明见解析
【分析】先由OB＝OD，证明四边形是平行四边形，再利用对角线互相垂直，从而可得结论．
【详解】解：赞成小洁的说法，补充
证明：∵OB＝OD，
四边形是平行四边形，
AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定，菱形的判定，掌握“菱形的判定方法”是解本题的关键．
26．（2022·浙江温州·中考真题）如图，在中，于点D，E，F分别是的中点，O是的中点，的延长线交线段于点G，连结，，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)当，时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据E，F分别是，的中点，得出，根据平行线的性质，得出，，结合O是的中点，利用“AAS”得出，得出，即可证明是平行四边形；
（2）根据，E是中点，得出，即可得出，即，根据，得出CD=2，根据勾股定理得出AC的长，即可得出DE，根据平行四边形的性，得出．
(1)
解：（1）∵E，F分别是，的中点，
∴，
∴，，
∵O是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
(2)
∵，E是中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵四边形DEFG为平行四边形，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线四边形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，三角形全等的判定和性质，三角函数的定义，平行线的性质，中位线的性质，根据题意证明
，是解题的关键．
27．（2022·四川自贡·中考真题）如图，用四根木条钉成矩形框，把边固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．
(1)通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段由旋转得到，所以．我们还可以得到＝ ， ＝ ；
(2)进一步观察，我们还会发现∥，请证明这一结论；
(3)已知，若 恰好经过原矩形边的中点 ，求与之间的距离．
【答案】(1)CD，AD；
(2)见解析；
(3)EF于BC之间的距离为64cm．
【分析】（1）由推动矩形框时，矩形ABCD的各边的长度没有改变，可求解；
（2）通过证明四边形BEFC是平行四边形，可得结论；
（3）由勾股定理可求BH的长，再证明△BCH∽△BGE，得到，代入数值求解EG，即可得到答案．
(1)
解：∵ 把边固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．
∴由旋转的性质可知矩形ABCD的各边的长度没有改变，
∴AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD，
故答案为：CD，AD；
(2)
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴ADBC，AB＝CD，AD＝BC，
∵AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD，
∴BE＝CF，EF＝BC，
∴四边形BEFC是平行四边形，
∴EFBC，
∴EFAD；
(3)
解：如图，过点E作EG⊥BC于点G，
∵DC＝AB＝BE＝80cm，点H是CD的中点，
∴ CH＝DH＝40cm，
在Rt△BHC中，∠BCH＝90°，
BH＝（cm），
∵ EG⊥BC，
∴∠EGB＝∠BCH＝90°，
∴CHEG，
∴ △BCH∽△BGE，
∴，
∴，
∴EG＝64，
∵ EFBC，
∴EF与BC之间的距离为64cm．
【点睛】此题考查了矩形的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
28．（2022·新疆·中考真题）在中，点D，F分别为边AC，AB的中点．延长DF到点E，使，连接BE．
(1)求证：；(2)求证：四边形BCDE是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用SAS直接证明；
（2）利用和已知条件证明，即可推出四边形BCDE是平行四边形．
(1)
证明：∵点F为边AB的中点，
∴，
在与中，
，
∴；
(2)证明：∵点D为边AC的中点，∴，
由（1）得，∴，，
∴，，∴四边形BCDE是平行四边形．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定方法，难度较小，根据所给条件正确选用平行四边形的判定方法是解题的关键．
29．（2021·浙江丽水市·中考真题）如图，在的方格纸中，线段的端点均在格点上，请按要求画图．
（1）如图1，画出一条线段，使在格点上；
（2）如图2，画出一条线段，使互相平分，均在格点上；
（3）如图3，以为顶点画出一个四边形，使其是中心对称图形，且顶点均在格点上．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）根据“矩形对角线相等”画出图形即可；（2）根据“平行四边形对角线互相平分”，找出以AB对角线的平行四边形即可画出另一条对角线EF；（3）画出平行四边形ABPQ即可．
【详解】解：（1）如图1，线段AC即为所作；（2）如图2，线段EF即为所作；（3）四边形ABPQ为所作；
【点睛】本题考查作图-复杂作图，矩形的性质以及平行四边形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
【考场演练2】重难点必刷
1．（2022·河北·中考真题）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为，，则正确的是（ ）
A． B． C． D．无法比较与的大小
【答案】A
【分析】多边形的外角和为，△ABC与四边形BCDE的外角和均为，作出选择即可．
【详解】解：∵多边形的外角和为，
∴△ABC与四边形BCDE的外角和与均为，∴，故选：A．
【点睛】本题考查多边形的外角和定理，注意多边形的外角和为是解答本题的关键．
2．（2022·山东泰安·中考真题）如图，平行四边形的对角线，相交于点O．点E为的中点，连接并延长交于点F，，．下列结论：①；②；③四边形是菱形；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】通过判定为等边三角形求得，利用等腰三角形的性质求得，从而判断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结合菱形的性质和含直角三角形的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④．
【详解】解：点为的中点，，
又，，
，是等边三角形，
，，
，即，故①正确；
在平行四边形中，，，，
，
在和中，，
，，
四边形是平行四边形，
又，点为的中点，，
平行四边形是菱形，故③正确；
，在中，，
，故②正确；
在平行四边形中，，
又点为的中点，，故④正确；
综上所述：正确的结论有4个，故选：A．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，含的直角三角形的性质，掌握菱形的判定是解题关键．
3．（2021·浙江宁波市·中考真题）如图是一个由5张纸片拼成的，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为，另两张直角三角形纸片的面积都为，中间一张矩形纸片的面积为，与相交于点O．当的面积相等时，下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据△AED和△BCG是等腰直角三角形，四边形ABCD是平行四边形，四边形HEFG是矩形可得出AE=DE=BG=CG=a， HE=GF，GH=EF，点O是矩形HEFG的中心，设AE=DE=BG=CG=a， HE=GF= b ，GH=EF= c，过点O作OP⊥EF于点P，OQ⊥GF于点Q，可得出OP，OQ分别是△FHE和△EGF的中位线，从而可表示OP，OQ的长，再分别计算出，，进行判断即可
【详解】解：由题意得，△AED和△BCG是等腰直角三角形，∴
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，CD=AB，∠ADC=∠ABC，∠BAD=∠DCB
∴∠HDC=∠FBA，∠DCH=∠BAF，∴△AED≌△CGB，△CDH≌ABF∴AE=DE=BG=CG
∵四边形HEFG是矩形∴GH=EF，HE=GF 设AE=DE=BG=CG=a， HE=GF= b ，GH=EF= c
过点O作OP⊥EF于点P，OQ⊥GF于点Q， ∴OP//HE，OQ//EF
∵点O是矩形HEFG的对角线交点，即HF和EG的中点，
∴OP，OQ分别是△FHE和△EGF的中位线，∴，
∵
∵ ∴，即 而，
所以，，故选项A符合题意，
∴，故选项B不符题意，而于都不一定成立，故都不符题意，
故选A
【点睛】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的面积等知识，解题的关键是求出S1，S2，S3之间的关系．
4．（2021·浙江衢州市·中考真题）如图，在中，，，，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，连结DE，EF，则四边形ADEF的周长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】B
【分析】根据中点的定义可得AD、AF的长，根据三角形中位线的性质可得DE、EF的长，即可求出四边形ADEF的周长．
【详解】∵，，，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，
∴AD=2，AF=，DE、EF为△ABC的中位线，
∴EF=2，DE==，∴四边形ADEF的周长=2+2+=9，故选：B．
【点睛】本题主要考查三角形中位线的性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；熟练掌握三角形中位线的性质是解题关键．
5．（2021·山东滨州·中考真题）在锐角中，分别以AB和AC为斜边向的外侧作等腰和等腰，点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，连接MD、MF、FE、FN．根据题意小明同学画出草图（如图所示），并得出下列结论：①，②，③，④，其中结论正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半和三角形中位线定理判断结论①，连接DF，EN，通过SAS定理证明△MDF≌△FEN判断结论②，利用全等三角形的性质结合平行四边形的判定和性质判断结论③，利用相似三角形的判定和性质判定结论④．
【详解】解：∵D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，且△ABM是等腰直角三角形，
∴DM=AB，EF=AB，EF∥AB，∠MDB=90°，∴DM=EF，∠FEC=∠BAC，故结论①正确；
连接DF，EN，∵D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，且△ACN是等腰直角三角形，
∴EN=AC，DF=AC，DF∥AC，∠NEC=90°，∴EN=DF，∠BDF=∠BAC，∠BDF=∠FEC，
∴∠BDF+∠MDB=∠FEC+∠NEC，∴∠MDF=∠FEN，
在△MDF和△FEN中，，∴△MDF≌△FEN（SAS），∴∠DMF=∠EFN，故结论②正确；
∵EF∥AB，DF∥AC，∴四边形ADFE是平行四边形，∴∠DFE=∠BAC，
又∵△MDF≌△FEN，∴∠DFM=∠ENF，∴∠EFN+∠DFM=∠EFN+∠ENF=180°-∠FEN
=180°-（∠FEC+∠NEC）=180°-（∠BAC+90°）=90°-∠BAC，
∴∠MFN=∠DFE+∠EFN+∠DFM=∠BAC+90°-∠BAC=90°，∴MF⊥FN，故结论③正确；
∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，∴，∴，∴S△CEF=S四边形ABFE，故结论④错误，
∴正确的结论为①②③，共3个，故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，题目难度适中，有一定的综合性，适当添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
6．（2022·江苏扬州·中考真题）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片，第1次折叠使点落在边上的点处，折痕交于点；第2次折叠使点落在点处，折痕交于点．若，则_____________．
【答案】6
【分析】根据第一次折叠的性质求得和，由第二次折叠得到，，进而得到，易得MN是的中位线，最后由三角形的中位线求解．
【详解】解：∵已知三角形纸片，第1次折叠使点落在边上的点处，折痕交于点，∴，．
∵第2次折叠使点落在点处，折痕交于点，
∴，，∴，∴．
∵，∴MN是的中位线，
∴，．
∵，，
∴．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质和三角形中位线的性质，理解折叠的性质，三角形的中位线性质是解答关键．
7．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，，，，分别以A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形AECF的周长为______．
【答案】10
【分析】根据作图可得，且平分，设与的交点为，证明四边形为菱形，根据平行线分线段成比例可得为的中线，然后勾股定理求得，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得的长，进而根据菱形的性质即可求解．
【详解】解：如图，设与的交点为，
根据作图可得，且平分，，
四边形是平行四边形，，，
又， ，，，
，四边形是平行四边形，
垂直平分，，四边形是菱形，
，，，，为的中点，
中， ，，，，
四边形AECF的周长为．故答案为：．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，菱形的性质与判定，勾股定理，平行线分线段成比例，平行四边形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．
8．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，在中，，点P为边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长度的最小值为_________．
【答案】##2.4
【分析】利用勾股定理得到BC边的长度，根据平行四边形的性质，得知OP最短即为PQ最短，利用垂线段最短得到点P的位置，再证明利用对应线段的比得到的长度，继而得到PQ的长度．
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PO＝QO，CO＝AO，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作BC的垂线，
∵,
∴,
∴，
∴，
∴，
∴则PQ的最小值为，
故答案为：．
【点睛】考查线段的最小值问题，结合了平行四边形性质和相似三角形求线段长度，本题的关键是利用垂线段最短求解，学生要掌握转换线段的方法才能解出本题．
9．（2022·山东烟台·中考真题）如图1，△ABC中，∠ABC＝60°，D是BC边上的一个动点（不与点B，C重合），DEAB，交AC于点E，EFBC，交AB于点F．设BD的长为x，四边形BDEF的面积为y，y与x的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P的坐标为（2，3），则AB的长为 _____．
【答案】
【分析】根据抛物线的对称性知，BC＝4，作FH⊥BC于H，当BD＝2时， BDEF的面积为3，则此时BF＝，AB＝2BF，即可解决问题．
【详解】解：∵抛物线的顶点为（2，3），过点（0，0），
∴x＝4时，y＝0，
∴BC＝4，
作FH⊥BC于H，当BD＝2时， BDEF的面积为3，
∵3＝2FH，
∴FH＝，
∵∠ABC＝60°，
∴BF＝＝，
∵DE∥AB，
∴AB＝2BF＝，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了动点的函数图象问题，抛物线的对称性，平行四边形的性质，特殊角的三角函数值等知识，求出BC＝4是解题的关键．
10.（2022·江苏南京·南师附中树人学校校考二模）如图，在平行四边形中，，的平分线分别交AD于点E，F．若，，则BE的长为____．（用含a，b的代数式表示）．
【答案】
【分析】过点E作，，得到，，根据平行四边形的性质得到，推出四边形与四边形都是平行四边形，推出，，根据角平分线的定义得到，，推出，得到，推出，根据，推出，推出，得到，根据勾股定理得到．
【详解】过点E作，，则，，
∵中， ，∴四边形与四边形都是平行四边形，
∴，，∵BE平分，CF平分，
∴，，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
∴．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形，角平分线，等腰三角形，勾股定理等，解决问题的关键是添加辅助线，熟练掌握平行四边形性质和判定，角平分线定义，等角对等边，勾股定理解直角三角形．
11．（2021·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD是平行四边形，以点B为圆心，BC的长为半径作弧交AD于点E，分别以点C，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AD的延长线于点F，∠CBE＝60°，BC＝6，则BF的长为________
【答案】
【分析】利用基本作图得到，平分，则，再根据平行四边形的性质和平行线的性质证明，所以，过点作于，如图，则，然后利用30°的三角函数值即可求出，从而得到的长．
【详解】解：由作法得，平分，又∵∠CBE＝60°，，
四边形为平行四边形，，，，，
如图，过点作于，
∵，，∴，在中，，
，．故答案为：．
【点睛】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定及性质以及解直角三角形的应用．
12．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）如图，在中，对角线，BD交于点O,，于点，若AB=2，，则的长为__________________．
【答案】
【分析】根据勾股定理求得AC的长，结合平行四边形的性质求得AO的长，然后利用相似三角形的判定和性质求解．
【详解】解：∵，，AB=2∴在Rt△ABC中，AC=
∴在中，AO=在Rt△ABO中，BO=
∵，∴
又∵∴∴，解得：AH=故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质以及勾股定理解直角三角形，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．
13．（2022·广东广州·执信中学校考模拟预测）有一组对边平行，一个内角是它对角的两倍的四边形叫做倍角梯形．
(1)已知四边形ABCD是倍角梯形，AD∥BC，∠A＝100°，请直接写出所有满足条件的∠D的度数；
(2)如图1，在四边形ABCD中，∠BAD+∠B＝180°，BC＝AD+CD．求证：四边形ABCD是倍角梯形；
(3)如图2，在（2）的条件下，连结AC，当AB＝AC＝AD＝2时，求BC的长．
【答案】(1)满足条件的∠D的度数为160°或130°；(2)见解析；(3)
【分析】（1）利用平行线的性质可得，根据题目中倍角梯形的定义可得或，然后将两种情况分别进行讨论，利用各角之间的数量关系求解即可得；
（2）过点D作，交BC于点E，根据平行线的判定可得，由平行四边形的判定定理得出四边形ABED为平行四边形，根据其性质得出，，结合图形，由各线段间的数量关系进行等量代换可得，依据等边对等角可得，据此进行角度间的等量代换及倍角梯形的定义即可证明；
（3）过点A作交BC于点E，根据等边对等角可得，，依据平行四边形的判定和性质可得四边形AECD为平行四边形，，，设，则，由三角形内角和定理求解可得，利用相似三角形的判定和性质可得，，设，则，代入式子求解，由线段间的数量关系即可得出结果．
(1)解：∵，∴，∵，∴，
∵四边形ABCD是倍角梯形，∴或，
若，则；若，则，；
故所有满足条件的的度数为或；
(2)证明：过点D作，交BC于点E，
∵，∴，∵，∴四边形ABED为平行四边形，
∴，，∵，∴，
又∵，∴，，
∴，∴，∴四边形ABCD是倍角梯形；
(3)解：如图所示：过点A作交BC于点E，
∵，∴，∵，∴，
∵，，∴四边形AECD为平行四边形，
∴，，设，则，
∵，∴，∴，
∴，∴，∵，∴，∴，
设，则，∴，∴，
∴或（舍去），∴．∴．
【点睛】题目主要考查平行线的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
14．（2022·江西赣州·统考二模）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．例如：如图①，，则四边形为“等邻角四边形”．
(1)定义理解：以下平面图形中，是等邻角四边形的是___________．
①平行四边形；②矩形；③菱形；④等腰梯形．
(2)深入探究：
①已知四边形为“等邻角四边形”，且，则________．②如图②，在五边形中， ，对角线平分，求证：四边形为等邻角四边形．
(3)拓展应用：如图③，在等邻角四边形中，，点P为边BC上的一动点，过点P作，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，的值是否会发生变化？请说明理由．
【答案】(1)②④(2)①或或；②见解析(3)不会发生变化，理由见解析
【分析】（1）根据平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形的性质即可解答；
（2）①分当和、时三种情况求解；
②由得，根据对角线平分，得，故，即证得四边形为等邻角四边形；
（3）过C作于H，过P作于G，由，，得四边形是矩形，得，可证明，得，即有，从而说明在点P的运动过程中，的值总等于C到的距离，不会变化．
（1）解：①平行四边形的邻角互补，不是等邻角四边形；
②矩形四个角都是直角，则邻角相等，是等邻角四边形；
③菱形的邻角互补，不是等邻角四边形；
④等腰梯形的两个底角相等，是等邻角四边形．
综上，②④是等邻角四边形．故答案为：②④；
（2）解：①当时，四边形为“等邻角四边形”，
∵，∴；
当时，四边形为“等邻角四边形”，
当时，四边形为“等邻角四边形”，
；故答案为：或或；
②∵，∴，
∵对角线平分，∴，∴，
∴四边形为等邻角四边形；
（3）解：在点P的运动过程中，的值不会发生变化，理由如下：
过C作于H，过P作于G，如图：
∵，，∴，
∴四边形是矩形，∴，，即，∴，
∵，∴，∵，∴，
在和中，，∴（），∴，
∴，即在点P的运动过程中，的值总等于C到AB的距离，是定值．
【点睛】本题考查多边形综合应用，涉及新定义、多边形内角和、三角形全等的判定及性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．
15．（2022·贵州毕节·中考真题）如图1，在四边形中，和相交于点O，．
(1)求证：四边形是平行四边形；(2)如图2，E，F，G分别是的中点，连接，若，求的周长．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)24
【分析】(1)由得到BC//AD，再证明△AOD≌△COB得到BC=AD，由此即可证明四边形ABCD为平行四边形；
(2)由ABCD为平行四边形得到BD=2BO，结合已知条件BD=2BA得到BO=BA=CD=OD，进而得到△DOF与△BOA均为等腰三角形，结合F为OC中点得到∠DFA=90°，GF为Rt△ADF斜边上的中线求出；过B点作BH⊥AC于H，求出BH=9，再证明四边形BHGE为平行四边形得到GE=BH=9，最后将GE、GF、EF相加即可求解．
(1)
证明：∵，
∴BC∥AD，
在△AOD和△COB中：，
∴△AOD≌△COB(ASA)，
∴BC=AD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
(2)
解：∵点E、F分别为BO和CO的中点，
∴EF是△OBC的中位线，
∴；
∵ABCD为平行四边形，
∴BD=2BO，
又已知BD=2BA，
∴BO=BA=CD=OD，
∴△DOF与△BOA均为等腰三角形，
又F为OC的中点，连接DF，
∴DF⊥OC，
∴∠AFD=90°，
又G为AD的中点，
由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知：；
过B点作BH⊥AO于H，连接HG，如上图所示：
由等腰三角形的“三线合一”可知：AH=HO=AO=AC=4，
∴HC=HO+OC=4+8=12，
在Rt△BHC中，由勾股定理可知,
∵H为AO中点，G为AD中点，
∴HG为△AOD的中位线，
∴HG∥BD，即HG∥BE，
且，
∴四边形BHGE为平行四边形，
∴GE=BH=9，
∴．
【点睛】本题考察了三角形全等的判定方法、平行四边形的性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等，熟练掌握各图形的性质及定理是解决本题的关键．
16．（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，在平行四边形中，是一条对角线，且，，，是边上两点，点在点的右侧，，连接，的延长线与的延长线相交于点．
(1)如图1，是边上一点，连接，，与相交于点．
①若，求的长；
②在满足①的条件下，若，求证：；
(2)如图2，连接，是上一点，连接．若，且，求的长．
【答案】(1)①；②证明见解析
(2)
【分析】（1）①解：根据平行四边形的性质可证，得到，再根据，，，结合平行四边形的性质求出的长，代入比例式即可求出的长；
②先根据证明可得，再根据，求出，进一步证明，最后利用等腰三角形的三线合一可证明结论．
（2）如图，连接，先根据证明，再结合，说明，利用平行线分线段成比例定理可得，接着证明，可得到，设，则，根据构建方程求出，最后利用可得结论．
(1)
①解：如图，
∵四边形是平行四边形，，，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
②证明：∵，
∴，
∵，
在和中，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
(2)
如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵，
在和中，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
∴的长为．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的三线合一，平行线的判定及性质，平行线分线段成比例定理等知识．灵活运用相似三角形和全等三角形的判定及性质是解答本题的关键．
17．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，在中，分别平分，交于点．
(1)求证：；
(2)过点作，垂足为．若的周长为56，，求的面积．
【答案】(1)见详解
(2)84
【分析】（1）由平行四边形的性质证即可求证；
（2）作，由即可求解；
(1)
证明：在中，
∵，
∴，
∵分别平分，，
∴，
在和中，
∵
∴，
∴，
∴．
(2)
如图，作，
∵的周长为56，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、三角形的全等、角平分线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
18．（2021·浙江绍兴市·中考真题）问题：如图，在中，，，，的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长．
答案：．
探究：（1）把“问题”中的条件“”去掉，其余条件不变．①当点E与点F重合时，求AB的长；②当点E与点C重合时，求EF的长．（2）把“问题”中的条件“，”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值．
【答案】（1）①10；②5；（2），，
【分析】（1）①利用平行四边形的性质和角平分线的定义先分别求出，，即可完成求解；②证明出即可完成求解；（2）本小题由于E、F点的位置不确定，故应先分情况讨论，再根据每种情况，利用 ，以及点 C，D，E，F相邻两点间的距离相等建立相等关系求解即可．
【详解】（1）①如图1，四边形ABCD是平行四边形，，．
平分，．．．
同理可得：．点E与点F重合，．
②如图2，点E与点C重合，同理可证，∴ ABCD 是菱形，
，点F与点D重合，．
（2）情况1，如图3，可得，．
情况2，如图4，同理可得，，
又，．
情况3，如图5，由上，同理可以得到，
又，．综上：的值可以是，，．
【点睛】本题属于探究型应用题，综合考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、菱形的判定与性质等内容，解决本题的关键是读懂题意，正确画出图形，建立相等关系求解等，本题综合性较强，要求学生有较强的分析能力，本题涉及到的思想方法有分类讨论和数形结合的思想等．
19．（2021·浙江温州市·中考真题）如图，在中，，是对角线上的两点（点在点左侧），且．（1）求证：四边形是平行四边形．（2）当，，时，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】（1）由平行四边形的性质得到AB=CD，，和已知条件一起，用于证明三角形全等，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定定理得出结论；（2）根据平行四边形的性质得到一组对角相等，通过等量代换，得到，则相等的角正切值也相等，根据比值算出结果．
【详解】（1）证明，∴，
在中，，，∴，
∴，∴，∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵，∴BE=DF，
∵四边形是平行四边形，∴，
在中，，∴AE=3，BE=4．
∵BE=DF，AE=CF，∴BE=DF=4，AE=CF=3，
，，∴，
∴tan∠CBF=，tan∠ECF=，
∴，得到EF=，或EF=（舍去），
∴BD=4+4+=，即BD=．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定以及相等的角的正切值也相等．解决本题的关键在于等量代换出角相等，应用相等的角的正切值也相等来解题．
20．（2021·山西中考真题）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为，为的中点，连接，，试猜想与的数量关系，并加以证明；独立思考：（1）请解答老师提出的问题；
实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将沿着（为的中点）所在直线折叠，如图②，点的对应点为，连接并延长交于点，请判断与的数量关系，并加以证明；
问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将沿过点的直线折叠，如图③，点A的对应点为，使于点，折痕交于点，连接，交于点．该小组提出一个问题：若此的面积为20，边长，，求图中阴影部分（四边形）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．
【答案】（1）；见解析；（2），见解析；（3）．
【分析】
（1）如图，分别延长，相交于点P，根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，，利用AAS可证明△PDF≌△BCF，根据全等三角形的性质可得，根据直角三角形斜边中线的性质可得，即可得；
（2）根据折叠性质可得∠CFB=∠C′FB=∠CFC′，FC=FC′，可得FD=FC′，根据等腰三角形的性质可得∠FDC′=∠FC′D，根据三角形外角性质可得∠CFC′=∠FDC′+∠FC′D，即可得出∠C′FB=∠FC′D，可得DG//FB，即可证明四边形DGBF是平行四边形，可得DF=BG=，可得AG=BG；
（3）如图，过点M作MQ⊥A′B于Q，根据平行四边形的面积可求出BH的长，根据折叠的性质可得A′B=AB，∠A=∠A′，∠ABM=∠MBH，根据可得A′B⊥AB，即可证明△MBQ是等腰直角三角形，可得MQ=BQ，根据平行四边形的性质可得∠A=∠C，即可得∠A′=∠C，进而可证明△A′NH∽△CBH，根据相似三角形的性质可得A′H、NH的长，根据NH//MQ可得△A′NH∽△A′MQ，根据相似三角形的性质可求出MQ的长，根据S阴=S△A′MB-S△A′NH即可得答案．
【详解】（1）．如图，分别延长，相交于点P，
∵四边形是平行四边形，∴，∴，,
∵为的中点，∴，在△PDF和△BCF中，，
∴△PDF≌△BCF，∴，即为的中点，∴，
∵，∴，∴，∴．
（2）． ∵将沿着所在直线折叠，点的对应点为，
∴∠CFB=∠C′FB=∠CFC′，，
∵为的中点，∴，∴，∴∠FDC′=∠FC′D，
∵=∠FDC′+∠FC′D，∴，∴∠FC′D=∠C′FB，∴，
∵四边形为平行四边形，∴，DC=AB，
∴四边形为平行四边形，∴，∴，∴．
（3）如图，过点M作MQ⊥A′B于Q，
∵的面积为20，边长，于点，∴BH=50÷5=4，
∴CH=，A′H=A′B-BH=1，∵将沿过点的直线折叠，点A的对应点为，
∴A′B=AB，∠A=∠A′，∠ABM=∠MBH，
∵于点，AB//CD，∴，∴∠MBH=45°，∴△MBQ是等腰直角三角形，∴MQ=BQ，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∴∠A′=∠C，
∵∠A′HN=∠CHB，∴△A′NH∽△CBH，∴，即，解得：NH=2，
∵，MQ⊥A′B，∴NH//MQ，∴△A′NH∽△A′MQ，
∴，即，解得：MQ=，
∴S阴=S△A′MB-S△A′NH=A′B·MQ-A′H·NH=×5×-×1×2=．
【点睛】本题考查折叠的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
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专题14 多边形与平行四边形
【考场演练1】热点必刷
1．（2022·黑龙江大庆·中考真题）如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点A落在E处．若，，则的度数为( )
A． B． C． D．
2.（2022·四川乐山·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF⊥AC，垂足为F．若AB=6，AC=8，DE=4，则BF的长为（ ）
A．4 B．3 C． D．2
3．（2022·浙江嘉兴·中考真题）如图，在中，，点E，F，G分别在边，，上，，，则四边形的周长是（ ）
A．32 B．24 C．16 D．8
4．（2022·湖南怀化·中考真题）一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（ ）
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
5．（2022·山东临沂·中考真题）如图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形，这个五边形的内角和是（ ）
A．900° B．720° C．540° D．360°
6．（2021·四川宜宾市·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形 B．平行四边形的邻边相等
C．平行四边形的对角线互相垂直 D．平行四边形的对角线互相平分
7．（2021·贵州铜仁市·中考真题）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．工人师傅不能用下列哪种形状、大小完全相同的一种地砖在平整的地面上镶嵌（ ）
A．等边三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
8．（2021·四川南充市·中考真题）如图，点O是对角线的交点，EF过点O分別交AD，BC于点E，F．下列结论成立的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·北京中考真题）下列多边形中，内角和最大的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·河北中考真题）如图1，中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（ ）
图2
A．甲、乙、丙都是 B．只有甲、乙才是 C．只有甲、丙才是 D．只有乙、丙才是
11．（2022·四川南充·中考真题）数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的A，B两点的距离，同学们在外选择一点C，测得两边中点的距离为（如图），则A，B两点的距离是_______________m．
12．（2022·湖南株洲·中考真题）如图所示，已知，正五边形的顶点、在射线上，顶点在射线上，则_________度．
13．（2022·江苏连云港·中考真题）如图，在中，．利用尺规在、上分别截取、，使；分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，则的长为_________．
14．（2022·广西梧州·中考真题）如图，在中，，点D，E分别是边上的中点，连接．如果，，那么的长是_______m．
15．（2022·广东广州·中考真题）如图，在□ABCD中，AD=10，对角线AC 与BD相交于点O，AC+BD=22，则△BOC的周长为________
16．（2021·江苏镇江·中考真题）如图，花瓣图案中的正六边形ABCDEF的每个内角的度数是__．
17．（2022·湖南长沙·中考真题）如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，．
(1)求证：；(2)若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，，求BD的长及四边形ABCD的周长．
18．（2022·江苏无锡·中考真题）如图，在 ABCD中，点O为对角线BD的中点，EF过点O且分别交AB、DC于点E、F，连接DE、BF．求证：(1)△DOF≌△BOE；(2)DE=BF．
19．（2022·山东烟台·中考真题）如图，在 ABCD中，DF平分∠ADC，交AB于点F，BEDF，交AD的延长线于点E．若∠A＝40°，求∠ABE的度数．
20．（2022·广西桂林·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，点E和点F是对角线BD上的两点，且BF＝DE．(1)求证：BE＝DF；(2)求证：ABE≌CDF．
21．（2022·广西梧州·中考真题）如图，在中，E，G，H，F分别是上的点，且．求证：．
22．（2022·江苏宿迁·中考真题）如图，在平行四边形中，点，分别是边，的中点．求证：．
23．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，中，，相交于点，，分别是，的中点．(1)求证：；(2)设，当为何值时，四边形是矩形？请说明理由．
24．（2022·湖南株洲·中考真题）如图所示，点在四边形的边上，连接，并延长交的延长线于点，已知，．
(1)求证：；(2)若，求证：四边形为平行四边形．
25．（2022·浙江嘉兴·中考真题）小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，OB＝OD．求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．
小惠：证明：∵AC⊥BD，OB＝OD，∴AC垂直平分BD．∴AB＝AD，CB＝CD，∴四边形ABCD是菱形． 小洁：这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明．
若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．
26．（2022·浙江温州·中考真题）如图，在中，于点D，E，F分别是的中点，O是的中点，的延长线交线段于点G，连结，，．
(1)求证：四边形是平行四边形．(2)当，时，求的长．
27．（2022·四川自贡·中考真题）如图，用四根木条钉成矩形框，把边固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．
(1)通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段由旋转得到，所以．我们还可以得到＝ ， ＝ ；(2)进一步观察，我们还会发现∥，请证明这一结论；(3)已知，若 恰好经过原矩形边的中点 ，求与之间的距离．
28．（2022·新疆·中考真题）在中，点D，F分别为边AC，AB的中点．延长DF到点E，使，连接BE．(1)求证：；(2)求证：四边形BCDE是平行四边形．
29．（2021·浙江丽水市·中考真题）如图，在的方格纸中，线段的端点均在格点上，请按要求画图．
（1）如图1，画出一条线段，使在格点上；
（2）如图2，画出一条线段，使互相平分，均在格点上；
（3）如图3，以为顶点画出一个四边形，使其是中心对称图形，且顶点均在格点上．
【考场演练2】重难点必刷
1．（2022·河北·中考真题）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为，，则正确的是（ ）
A． B． C． D．无法比较与的大小
2．（2022·山东泰安·中考真题）如图，平行四边形的对角线，相交于点O．点E为的中点，连接并延长交于点F，，．下列结论：①；②；③四边形是菱形；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（2021·浙江宁波市·中考真题）如图是一个由5张纸片拼成的，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为，另两张直角三角形纸片的面积都为，中间一张矩形纸片的面积为，与相交于点O．当的面积相等时，下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·浙江衢州市·中考真题）如图，在中，，，，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，连结DE，EF，则四边形ADEF的周长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
5．（2021·山东滨州·中考真题）在锐角中，分别以AB和AC为斜边向的外侧作等腰和等腰，点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，连接MD、MF、FE、FN．根据题意小明同学画出草图（如图所示），并得出下列结论：①，②，③，④，其中结论正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．（2022·江苏扬州·中考真题）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片，第1次折叠使点落在边上的点处，折痕交于点；第2次折叠使点落在点处，折痕交于点．若，则_____________．
7．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，，，，分别以A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形AECF的周长为______．
8．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，在中，，点P为边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长度的最小值为_____．
9．（2022·山东烟台·中考真题）如图1，△ABC中，∠ABC＝60°，D是BC边上的一个动点（不与点B，C重合），DEAB，交AC于点E，EFBC，交AB于点F．设BD的长为x，四边形BDEF的面积为y，y与x的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P的坐标为（2，3），则AB的长为 _____．
10.（2022·江苏南京·南师附中树人学校校考二模）如图，在平行四边形中，，的平分线分别交AD于点E，F．若，，则BE的长为____．（用含a，b的代数式表示）．
11．（2021·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD是平行四边形，以点B为圆心，BC的长为半径作弧交AD于点E，分别以点C，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AD的延长线于点F，∠CBE＝60°，BC＝6，则BF的长为________
12．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）如图，在中，对角线，BD交于点O,，于点，若AB=2，，则的长为__________________．
13．（2022·广东广州·执信中学校考模拟预测）有一组对边平行，一个内角是它对角的两倍的四边形叫做倍角梯形．
(1)已知四边形ABCD是倍角梯形，AD∥BC，∠A＝100°，请直接写出所有满足条件的∠D的度数；
(2)如图1，在四边形ABCD中，∠BAD+∠B＝180°，BC＝AD+CD．求证：四边形ABCD是倍角梯形；
(3)如图2，在（2）的条件下，连结AC，当AB＝AC＝AD＝2时，求BC的长．
14．（2022·江西赣州·统考二模）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．例如：如图①，，则四边形为“等邻角四边形”．
(1)定义理解：以下平面图形中，是等邻角四边形的是___________．
①平行四边形；②矩形；③菱形；④等腰梯形．
(2)深入探究：①已知四边形为“等邻角四边形”，且，则_．②如图②，在五边形中， ，对角线平分，求证：四边形为等邻角四边形．
(3)拓展应用：如图③，在等邻角四边形中，，点P为边BC上的一动点，过点P作，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，的值是否会发生变化？请说明理由．
15．（2022·贵州毕节·中考真题）如图1，在四边形中，和相交于点O，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)如图2，E，F，G分别是的中点，连接，若，求的周长．
16．（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，在平行四边形中，是一条对角线，且，，，是边上两点，点在点的右侧，，连接，的延长线与的延长线相交于点．(1)如图1，是边上一点，连接，，与相交于点．
①若，求的长；②在满足①的条件下，若，求证：；(2)如图2，连接，是上一点，连接．若，且，求的长．
17．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，在中，分别平分，交于点．(1)求证：；(2)过点作，垂足为．若的周长为56，，求的面积．
18．（2021·浙江绍兴市·中考真题）问题：如图，在中，，，，的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长．
答案：．
探究：（1）把“问题”中的条件“”去掉，其余条件不变．①当点E与点F重合时，求AB的长；②当点E与点C重合时，求EF的长．（2）把“问题”中的条件“，”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值．
19．（2021·浙江温州市·中考真题）如图，在中，，是对角线上的两点（点在点左侧），且．（1）求证：四边形是平行四边形．（2）当，，时，求的长．
20．（2021·山西中考真题）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为，为的中点，连接，，试猜想与的数量关系，并加以证明；独立思考：（1）请解答老师提出的问题；
实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将沿着（为的中点）所在直线折叠，如图②，点的对应点为，连接并延长交于点，请判断与的数量关系，并加以证明；
问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将沿过点的直线折叠，如图③，点A的对应点为，使于点，折痕交于点，连接，交于点．该小组提出一个问题：若此的面积为20，边长，，求图中阴影部分（四边形）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．
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