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人教版七年级数学下册课件
实际问题与二元一次方程组
第八章 二元一次方程组
1.(2022新课标)能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程.
2.通过实践与探索，掌握列表的方式，并运用二元一次方程组解决实际问题.
知识点一：建立二元一次方程组模型
知识点二：常用的几种基本等量关系
(1)行程问题的几个关系式：
①速度×时间＝路程；
②速度＝；
③时间＝
(2)工程问题的几个关系式：
①工作效率×工作时间＝工作总量；
②工作效率＝；
③工作时间＝
当工作总量未知时，通常设为整体“1”.
(3)销售问题的几个关系式：
①标价＝进价＋进价×利润率＝进价×(1＋利润率)；
②售价＝标价×(当打x折销售时)；
③利润率＝×100%；
④利润＝售价－进价.
1.(人教7下P100)如图，长青化工厂与A，B两地有公路、铁路相连.这家工厂从A地购买一批每吨1 000 元的原料运回工厂，制成每吨8 000 元的产品运到B地.已知公路运价为1.5元/(t·km)，铁路运价为1.2元/(t·km)，且这两次运输共支出公路运输费15 000元，铁路运输费97 200元.这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元
产品x t 原料y t 合计
公路运费/元 20×1.5x 15 000
铁路运费/元 110×1.2x 97 200
价值/元 8 000x 112 200
1 000y
120×1.2y
10×1.5y
分析：销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关.设制成x t产品，购买y t原料.根据题中数量关系填写下表.
列方程组，得
解这个方程组，得
故8 000x－ －112 200＝ (元).
因此，这批产品的销售款比原料费与运输费的和多
元.
1 887 800
1 887 800
1 000y
2.【例1】一批货物要运往A地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知过去两次租用这两种货车的情况如下表：
第一次 第二次
甲种货车辆数(单位：辆) 2 3
乙种货车辆数(单位：辆) 3 6
共计运货吨数(单位：t) 15.5 27
现租用该公司4辆甲种货车和8辆乙种货车，一次刚好运完这批货，如果按每吨付运费30元计算，问货主携带1 000元是否够用 (不考虑其他费用)
解：设甲种货车每辆运货x t，乙种货车每辆运货y t，则有解得
因此这批货物的总吨数为4x＋8y＝4×4＋8×2.5＝36(t).
总费用为30×36＝1 080(元).
因为1 080＞1 000，所以货主携带的钱不够用.
3.【例2】(北师8上P119改编)某商场用36万元购进A，B两种商品，全部销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：
A B
进价(元/件) 1 200 1 000
售价(元/件) 1 380 1 200
(注：获利＝售价－进价)
求该商场购进A，B两种商品各多少件.
解：设购进A种商品x件，B种商品y件.根据题意，得
化简，得解得
答：该商场购进A，B两种商品分别为200件和120件.
4.某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，购买了黑、白两种颜色的文化衫共140件，进行手绘设计后出售，所获利润全部捐给山区留守儿童.每件文化衫的批发价和零售价如下表：
批发价(元) 零售价(元)
黑色文化衫 10 25
白色文化衫 8 20
假设文化衫全部售出，共获利1 860元，黑、白两种文化衫各有多少件
解：设黑色文化衫有x件，白色文化衫有y件，由题意得
解得
答：黑色文化衫有60件，白色文化衫有80件.
★5.(创新题)某校食堂的中餐与晚餐的资费标准如下表.小杰同学某星期从周一到周五每天的中餐与晚餐均在学校选用A类或B类中的一份套餐菜与一份米饭用餐，这五天共消费36元.请问小杰在这五天内，A，B类套餐菜各选用了多少次
种类 单价
米饭 0.5元/份
A类套餐菜 3.5元/份
B类套餐菜 2.5元/份
解：设小杰在这五天内，A类套餐菜选用了x次，B类套餐菜选用了y次，
根据题意得
解得
答：小杰在这五天内，A类套餐菜选用了6次，B类套餐菜选用了4次.
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消元——解二元一次方程组(1)
第八章 二元一次方程组
1.(2022新课标)掌握代入消元法，能解二元一次方程组.
2.了解解二元一次方程组时的消元思想，“化未知为已知”的化归思想.
知识点一：用一个未知数表示另一个未知数
示例：已知x＋y＝1，
(1)用含x的代数式表示y，则y＝ ；
(2)用含y的代数式表示x，则x＝ .
1－y
1－x
1.(人教7下P93)已知2x－y＝3，
(1)用含y的代数式表示x，则x＝ ；
(2)用含x的代数式表示y，则y＝ .
2x－3
知识点二：消元思想(二元→一元)
二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的 _
一次方程.我们可以先求出一个未知数，再求另一个未知数.这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.
一元
2.解二元一次方程组时，第一个方程x＋y＝1可以写成x＝ ，再把第二个方程x＋2y＝3中的x换成
，这个方程就化为一元一次方程1－y＋2y＝3，解得y＝ .从而可以求出x的值，得到这个方程组的解.
2
1－y
1－y
知识点三：代入消元法
(1)代入消元法：把两个二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现 ，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.
消元
(2)代入法的解题步骤：
①变：选一个系数比较简单的方程进行变形，变成y＝ax＋b(或x＝ay＋b)的形式；
②代：将y＝ax＋b(或x＝ay＋b)代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
③解：解②中得到的一元一次方程，求出x(或y)的值；
④回代：将x(或y)的值代入方程组中的任意一个方程(y＝ax＋b或x＝ay＋b)，求出另一个未知数；
⑤联：将求得的两个未知数的值用“{”联立起来，就是原方程组的解.
3.用代入法解方程组：
4.用代入法解方程组：
5.【例1】(2022株洲)对于二元一次方程组将①式代入②式，消去y可以得到( )
A.x＋2x－1＝7 B.x＋2x－2＝7
C.x＋x－1＝7 D.x＋2x＋2＝7
B
6.【例2】用代入法解方程组：
解：
将①代入②，得3x＋2x－4＝1，解得x＝1.
把x＝1代入①，得y＝－2.
所以方程组的解为
7.【例3】(人教7下P91、北师8上P108改编)用代入法解方程组：
解：
由①得y＝x－3， ③
将③代入②，得3x－8(x－3)＝14，解得x＝2.
把x＝2代入③，得y＝－1.
所以方程组的解为
8.【例4】已知钢笔每支5元，圆珠笔每支2元，小明用16元钱买了这两种笔共5支，小明买钢笔和圆珠笔各多少支
解：设小明买钢笔x支，买圆珠笔y支.
根据题意列出方程组得解得
答：小明买钢笔2支，买圆珠笔3支.
9.方程组的解是( )
A B
C D
D
10.用代入法解方程组：
解：
由①得x＝2y， ③
将③代入②，得3×2y＋2y＝8，解得y＝1.
把y＝1代入③，得x＝2，
所以原方程组的解为
11.用代入法解方程组：
解：
由①得y＝2x＋4. ③
将③代入②，得4x－5(2x＋4)＝－23，解得x＝
将x＝代入③，得y＝5.
故方程组的解为
★12.某治污公司决定购买污水处理设备，现有A，B两种型号的设备，已知购买1台A型号设备比购买1台B型号设备多2万元，购买2台A型号设备比购买3台B型号设备少6万元.求A，B两种型号设备的单价.
解：设A型号设备每台x万元，B型号设备每台y万元，
根据题意得解得
答：A，B两种型号设备的单价分别为12万元，10万元.
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消元——解二元一次方程组(3)
第八章 二元一次方程组
1.(2022新课标)掌握消元法，能解二元一次方程组.
2.会灵活使用合适的方法解二元一次方程组.
3.了解解二元一次方程组时的消元思想，“化未知为已知”的化归思想.
知识点一：用代入法解二元一次方程组(复习)
代入消元法(代入法)：
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现 ，进而求得这个二元一次方程组的解.
消元
1.解方程组：
知识点二：用加减法解二元一次方程组(复习)
加减消元法(加减法)：
当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或
时，把这两个方程的两边分别相加或 ，
就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程.
相减
相等
2.解方程组：
知识点三：选用适当的方法解二元一次方程组
(1)解二元一次方程组的基本思路：
二元 _
(2)解二元一次方程组时要根据方程组系数的特点灵活选择较为简单的方法消元.当所给方程较为复杂时，应先变形，再选择最佳方法消元.
一元
3.方程组的最优解法是( )
A.由①，得y＝3x－2，再代入②
B.由②，得3x＝11－2y，再代入①
C.由②－①，消去x
D.由①×2＋②，消去y
C
4.解方程组：
5.【例1】(人教7下P111)解方程组：
解：
由①得x＝y＋4，③
把③代入②，得4y＋16＋2y＝－1，即y＝－
把y＝－代入③，得x＝
故方程组的解为
6.【例2】(人教7下P97)解方程组：
解：
①＋②，得4x＝8，解得x＝2.
把x＝2代入①，得2＋2y＝3，解得y＝
故方程组的解为
7.【例3】(人教7下P98)解方程组：
解：方程组变形得
①－②，得4y＝28，得y＝7.
把y＝7代入①中，得x＝＝5.
故方程组的解为
8.【例4】已知是二元一次方程组的解，求a－b的值.
解：把代入二元一次方程组得
①＋②，得4a＝8，解得a＝2.
②－①，得2b＝－2，解得b＝－1.
∴a－b＝2－(－1)＝3，即a－b的值是3.
9.(人教7下P97)解方程组：
解：
由①得t＝3s－5，③
把③代入②，得5s＋2(3s－5)＝15，解得s＝
把s＝代入①，得t＝
故方程组的解为
10.(2022淮坊)解方程组：
解：
①×3－②×2，得13y＝39，解得y＝3.
将y＝3代入②，得x＝2.
故方程组的解为
11.(人教7下P111)解方程组：
解：原方程组可化为
①×2＋②，得11x＝22，解得x＝2.
把x＝2代入①，得y＝3.
故方程组的解为
★12.(新题速递)已知(3m＋2n－16)2与|3m－n－1|互为相反数，求m＋n的值.
解：∵(3m＋2n－16)2与|3m－n－1|互为相反数，
∴(3m＋2n－16)2＋|3m－n－1|＝0，
∴解得
∴m＋n＝2＋5＝7，即m＋n的值是7.
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*三元一次方程组的解法
第八章 二元一次方程组
1.知道解三元一次方程组的基本思想方法是消元，即化“三元”为“二元”.
2.(2022新课标)*能解简单的三元一次方程组(选学).
知识点一：三元一次方程组的概念
(1)一个方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.
(2)注意：满足三元一次方程组的条件：
①方程组中含有三个未知数；
②所含未知数的项的次数是1；
③每个方程等号的左右两边是整式.
1.下列方程组不是三元一次方程组的是( )
A B
C D
D
知识点二：三元一次方程组的解法
(1)解三元一次方程组的基本思路：
(2)解三元一次方程组的一般步骤：
①通过“代入”或“加减”，把方程组中一个方程与另外两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
②解①中得到的二元一次方程组，求出两个未知数的值；
③将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程，求出另外一个未知数的值；
④用“{“将所求的三个未知数的值联立起来.
(3)温馨提示：在消元时，注意首先确定要消去哪个未知数，再根据情况选择进行代入消元还是加减消元，解题时要根据各方程的特点寻求较简单的解法.
2.三元一次方程组的解是( )
A B
C D
D
3.解三元一次方程组：
4.【例1】(人教7下P106)解三元一次方程组：
解：由①得x＝2y－9， ④
把④代入③，得y＋z＝28， ⑤
②与⑤组成方程组，得解得
把y＝15代入④，得x＝21.
∴原方程组的解为
5.【例2】已知＝0，则
a2＋b2＋c2等于( )
A.10 B.12
C.14 D.16
C
6.【例3】(人教7下P106、北师8上P131)一个三位数，个位、百位上的数字的和等于十位上的数字，百位上的数字的7倍比个位、十位上的数字的和大2，个位、十位、百位上数字的和是14，求这个三位数.
解：设个位数字为x，十位数字为y，百位数字为z.
由题意得解得
∴这个三位数为275.
7.(人教7下P106)解三元一次方程组：
解：①＋②，得5x＋2y＝16， ④
①－③，得2x－2y＝－2， ⑤
④＋⑤，解得x＝2，
把x＝2代入④，得y＝3.
把x＝2，y＝3代入③，得z＝1.
∴原方程组的解为
8.已知方程组则x＋y的值为( )
A.14 B.2
C.－14 D.－2
B
★9.(人教7下P112改编)汽车在平路上每小时行30公里，上坡时每小时行28公里，下坡时每小时行35公里，现在行驶142公里的路程用去4小时30分钟，回来时用去4小时42分钟，问这段平路有多少公里 去时上、下坡路各有多少公里
解：设去时上坡路有x公里，平路有y公里，下坡路有z公里.
由题意得解得
答：去时上坡路有42公里，平路有30公里，下坡路有70公里.
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第1课时 二元一次方程组
第八章 二元一次方程组
1.认识二元一次方程和二元一次方程组.
2.了解二元一次方程的解和二元一次方程组的解，会求二元一次方程的解.
知识点一：二元一次方程
(1)概念：一个方程含有 个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 ，像这样的方程叫做二元一次方程.
(2)要点：
①含有两个未知数，即未知数的系数不能为0；
②含有未知数的项的次数都是1；
③二元一次方程的等号两边必须是整式.
1
两
1.下列方程中，是二元一次方程的是( )
A.x－5＝3
B.x＋＝3
C.x＋y＝1
D.xy＝3
C
知识点二：二元一次方程组
(1)概念：一个方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是 ，并且一共有 个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组.
(2)要点：①一共有两个方程；②方程组中共含有两个未知数；③所含未知数的项的次数都是1；④二元一次方程的等号两边必须是整式.
两
1
2.下列方程组中，不是二元一次方程组的是( )
A B
C D
D
知识点三：二元一次方程的解
(1)一般地，使二元一次方程两边的值 的两个未
知数的 ，叫做二元一次方程的解.
(2)注意：一般地，一个二元一次方程有 个解.
无数
值
相等
3.下列各组数中，是方程x＋2y＝17的解的是( )
A B
C D
C
知识点四：二元一次方程组的解
(1)一般地，二元一次方程组的两个方程的 解，叫做二元一次方程组的解.
(2)注意：①书写方程组的解时，用“{”把各个未知数的值连接在一起，写成的形式；②一般地，二元一次方程组的解是唯一的，但也有方程组有无数个解(未知数的对应系数成比例时).
公共
4.下列各组数中，是方程组的解的是( )
A B
C D
B
5.【例1】下列是二元一次方程的是( )
A.8x2＋1＝y B.y＝8x＋1
C.y＝ D.xy＝1
B
6.【例2】(人教7下P90改编、北师8上P105改编)下列各组数中，是二元一次方程4x－3y＝5的解的是( )
A B C D
C
7.【例3】已知是方程6x＋by＝32的解，则b＝ .
7
8.【例4】已知 是方程组 的解，则a＋b＝ .
0
9.【例5】如果方程xm＋1＋yn－1＝0是二元一次方程，那么
m＝ ，n＝ .
2
0
10.【例6】(人教7下P90)如果三角形的三个内角分别是x°，y°，y°，求：
(1)x，y满足的关系式；
(2)当x＝90时，y的值；
(3)当y＝60时，x的值.
解：(1)由三角形内角和定理，可得x＋2y＝180.
(2)当x＝90时，90＋2y＝180，解得y＝45.
(3)当y＝60时，x＋120＝180，解得x＝60.
11.【例7】(北师8上P106)某班共有学生45人，其中男生比女生的2倍少9人，该班的男生、女生各有多少人 根据题意列二元一次方程组.
解：设该班的男生有x人，女生有y人，由题意得
12.下列是二元一次方程组的是( )
A B
C D
A
13.(人教7下P90改编、北师8上P105改编)方程组的解为( )
A B C D
D
14.已知是方程5x－ky＝7的一个解，则k＝ .
1
15.写出一个以 为解的二元一次方程组是
.
(答案不唯一)
16.已知3x＋4y＝9，如果有2y＝6，那么x＝ .
－1
17.(北师8上P106)甲种物品每个重4 kg，乙种物品每个重7 kg，现有甲种物品x个，乙种物品y个，共重76 kg.
(1)列出关于x，y的二元一次方程：
；
(2)若x＝12，则y＝ ；
(3)若乙种物品有8个，则甲种物品有 个.
5
4
4x＋7y＝76
★18.(北师8上P106)有一摞笔记本，每个同学5本，则剩下8本；每个同学8本，又差了7本，共有多少本笔记本，多少个同学 请用二元一次方程组表示题中的数量关系并找出问题的解.
解：设有x本笔记本，y个同学，
由题意得，找出方程组的解为
答：有33本笔记本，5个同学.
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消元——解二元一次方程组(2)
第八章 二元一次方程组
1.(2022新课标)掌握加减消元法，能解二元一次方程组.
2.了解解二元一次方程组时的消元思想，“化未知为已知”的化归思想.
知识点一：加减消元法
当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或
时，把这两个方程的两边分别相加或 ，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.
相减
相等
1.(2022桂林)解二元一次方程组
方程①和方程②中x的系数 ，y的系数 ，则：
②－①，得 ；
①＋②，得 .
2x＝4
2y＝2
相反
相等
知识点二：加减法的解题步骤
(1)化：方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数的绝对值不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；
(2)加减：根据其系数特点将变形后的两个方程相加或相减，得到一元一次方程；
(3)解：解(2)中得到的一元一次方程，求出x(或y)的值；
(4)回代：将x(或y)的值代入方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数；
(5)联：将求得的两个未知数的值用“{”联立起来，就是原方程组的解.
2.解方程组：
3.(2022柳州)解方程组：
4.解方程组：
5.【例1】用加减法解方程组：
6.【例2】用加减法解方程组：
7.【例3】用加减法解方程组：
8.【例4】用加减法解方程组：
解：先消去y，
①×5＋②×2，得15x＋10y＋8x－10y＝100＋38，
即23x＝138，解得x＝6.
将x＝6代入①，得3×6＋2y＝20，解得y＝1.
因此方程组的解为
9.【例5】(人教7下P97、北师8上P133)某船顺流航行，每小时行20 km，逆流航行，每小时行16 km，求船在静水中的速度及水流速度.
解：设船在静水中的速度是x千米/时，水流速度为y千米/时，
根据题意，得，解得
答：船在静水中的速度是18千米/时，水流速度为2千米/时.
10.用加减法解方程组：
11.用加减法解方程组：
12.用加减法解方程组：
13.用加减法解方程组：
解：①×2＋②×3，得4x－6y＋9x＋6y＝6＋33，
即13x＝39，解得x＝3.
将x＝3代入①，得y＝1.
因此方程组的解为
★14.(人教7下P97改编)运输414吨化肥，装载了7节火车皮与16辆汽车；运输548吨化肥，装载了10节火车皮与12辆汽车.每节火车皮与每辆汽车平均各装多少吨化肥
解：设每节火车皮与每辆汽车平均各装x吨和y吨化肥，
根据题意，得解得
答：每节火车皮与每辆汽车平均各装50吨和4吨化肥.
感谢大家！
