衢温“5+1”联盟 2022 学年第二学期期中联考
高二年级数学学科参考答案
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
选项 D A B C A C C B
二、选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分）
9 10 11 12
AC BC BCD ABC
三、填空题（本大题共 4 小题，多空题每题 5 分，共 20 分)
3 22 5 2
13． 14． 15． 16．
5 19 9 2
四、解答题:本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步诹.
17.（1）因为an+1 = 2Sn + 2(n N )
所以an = 2Sn 1 + 2(n 2)
两式相减，得an+1 = 3an (n 2)
令 n =1, 有a2 = 2a1 + 2
a2 = 3a1, a1 = 2, an = 2 3
n 1
2 3n 1 1 1 1
bn = =
(2 3n 1 1)(2 3n 1) 2 2 3n 1 1 2 3
n 1
1 1 1 1 1 1 1
Tn = + + +
2 2 30
1 2 31 1 2 31 2
n 1 n
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1
1 1 1
= 1 n 2 2 3 1 2 .
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18.（1）选取的社区居民平均年龄 x = 22.5 0.05+ 27.5 0.3+32.5 0.35+37.5 0.2+ 42.5 0.1= 32.5，
因为 (0.01+ 0.06) 5= 0.35 0.5 , (0.01+ 0.06+ 0.07) 5 = 0.70 0.5 ,
15 225
所以中位数落于区间(30,35)之间，中位数为30 + = .
7 7
（2）因为社区居民年龄在[20，25）内的人数为 60×50×0.01=3 人，在[40.45]内的人数为 6 人，
所以 X 的可能取值为 0.1.2.3.
C3 C
1 2
5 3C6 15
则 P(X =0) = 6 = , P(X =1)= =
C3
，
3
9 21 C9 28
C2C1 33 6 3 C 1P(X = 2)= = 3， P(X = 3)= =
C39 14 C
3
9 84
故 X 的分布列为
0 X 1 2 3
5 15 3 1
P
21 28 14 84
5 15 3 1
其期望为 E(X )=0 +1 +2 +3 =1.
24 28 14 84
19.（1）证明:由题意可得：sin B+2sin BcosC = 2sin AcosC +cos AsinC
所以sin(A+C)+2sin BcosC = 2sin AcosC +cos AsinC ………………2分
展开整理得sin AcosC = 2sin BcosC …………………………4分
ABC 为锐角三角形， cosC 0，
sin A= 2sin B， a = 2b ………………………………………6分
b2 + c2 a2 a2 + c2 b2
（2） 16cos Acos B = 5， 16 = 5
2bc 2ac
3 2
a = 2b c = b
2
1 3 7
cosC = ,sin C =
8 8
1 3 7 3 7
S ABC = b 2b sinC = b
2
， S ABC = ,
2 8 2
b = 2,a = 4,c = 3 2 ， ABC的周长为6+3 2 .
高二数学学科 答案 第 2 页 共 6 页
20.（1）取 AC 的中点O,连接 PO, BO .
∵ AB = BC = 4 ,∴ BO ⊥ AC ,
∵ PA= PC ,∴ PO ⊥ AC ,
又 PO BO =O ,∴ AC ⊥平面 POB ,
∵ PB 平面 POB ,∴ AC ⊥ PB
（2）解法 1:取 PC 的中点 N,连接 AN,则 AN ⊥ AC ,
由已知在三角形 PAB, PCB中，∵PA2 +PB2 = AB2 , PC2 +PB2 =CB2, ，
∴ PB ⊥ PA, PB ⊥ PC ,
又 PA PC=P, PA, PC 平面 PAC ,∴PB ⊥平面PAC ,
∵AN 平面 PAC ,∴ PB ⊥AN
又 PA PC=P, PA, PC 平面 PAC ,∴AN⊥平面PAC
∴ AN 为平面PAC 的法向量,
以 AC 的中点 O 为原点，分别以OA,OB为空间直角坐标系的 x, y轴，以垂直于平面 ABC 的直线Oz
为 z 轴，则 B(0, 15,0), A(1,0,0),C( 1,0,0) ,
在直角三角形 BOP 中,
BP 2 5 5
OP = 3,sin BOP = = ,cos BOP = ，
BO 5 5
2 15 15
所以 PH =OPsin BOP = , PP1 =OH =OPcos BOP = ,
5 5
15 2 15 1 15 15 3 15 15
∴ P(0, , ), N( , , ),Q(0, , ) ，
5 5 2 10 5 5 5
3 15 15 3 15 15
设 M (x,0,0) ，则QM = (x, , )， AN = ( , , )
5 5 2 10 5
∵直线MQ 与平面PBC 所成角的正切值为 3 ,
3
∴直线MQ 与平面PBC 所成角 的正弦值为 ,
2
3
(x +1)
∴ AN QM 2 3sin = cos AN ,QM = = = ，
AN QM 3 x2 + 6 2
5 5 3 3
解得 x = ，而 AM = AC ，即 ( 1,0,0) = ( 2,0,0)，得 2 = ，所以 = .
2 2 2 4
高二数学学科 答案 第 3 页 共 6 页
解法 2:如图,作MH / /AN ,∵AN⊥平面 PBC,∴MH⊥平面PBC
直线 MQ 与平面 PBC 所成的角就是角 MQH,
由已知得直线MQ 与平面PBC 所成角∠MQH = 60 ,
CA AN
设 AM= x ,则在三角形 CAN 和 CMH 中,由 =
CM MH
3 2 + x x
得 MH = (2 + x) ,同理得CH = ,所以 PH=1
2 2 2
x
在直角三角形 QPH 中,QH= QP2 + PH 2 = 3+ (1 )2 ,
2
3 x
所以在直角三角形 MQH 中有MH = 3QH ,即[ (2 + x)]2 = 3 [(1 )2 + 3]
2 2
3 3
解得, x = ,而 AM = AC ,所以 = .
2 4
21.（1） f (x) 的定义域为 (0,+ )，
a +1
2
2a + 2 2 ax + x (a +1)
2a x + (x 1)
a
f (x) = 2ax + 2 = = ，
x x x
因为 f (x) 存在两个极值点，所以 f (x) = 0在 (0,+ )有两个不等实根，
a +1 a +1 1 1 1
所以 0且 1 1 a 0且a ，即实数 a 的取值范围为 ( 1, ) ( ,0) .
a a 2 2 2
（2）方法一：（分类讨论）
当 a = 0时， f (x) = 2x 2ln x = 2(x ln x) 2[x (x 1)]= 2 0，符合题意；
a +1
2a + 2 2 ax
2 + x (a +1) 2a x + (x 1)a
当 a 0时， f (x) = 2ax + 2 = = ，
x x x
①若 a 0 ， f (x) 0对 x [1,2]恒成立， f (x) 在 [1,2] 单调递增， f (x)min = f (1) = a + 2 0，
符合题意；
②若 a 0 ，则
1 a +1
（i）当 a ， 1， f (x) 0恒成立， f (x) 在 [1,2]单调递减，
2 a
1
只需 f (x)min = f (2) = 4a + 4 (2a + 2)ln2 0 a 1 ，所以 1 a ；
2
1 a +1
（ii）当 a 0时， 2， f (x) 0恒成立， f (x) 在 [1,2]单调递增，，
3 a
1
只需 f (x)min = f (1) = a + 2 0，所以 a 0均符合题意；
3
高二数学学科 答案 第 4 页 共 6 页
1 1 a +1 a +1 a +1
（iii）当 a 时，1 2 ，当 x (1, ) , f (x) 0 ,当 x ( ,2)， f (x) 0，所
2 3 a a a
a +1 a +1
以 f (x) 在 (1, )单调递增，在 ( ,2) 单调递减，
a a
1 1
则 f (x)min =min f (1), f (2)}，而当 a 时， f (1) 0，f (2) 0 均成立，
2 3
1 1
所以 a 符合题意.
2 3
综上所述， a 1 .
方法二：（分离参数） f (x) = ax2 + 2x (2a + 2)ln x 0 (x2 2ln x)a 2ln x 2x 恒成立,
2 1 1
设 g(x) = x2 2ln x, x [1,2]，则 g (x) = 2x = 2(x ) ，由 y = x 在[1,2] 单调递增，
x x x
1
得 x 0 ，即 g (x) 0，所以 g(x)在 [1,2]单调递增，所以 g(x) g(1) =1 0，
x
2ln x 2x 2ln x 2x
所以 (x2 2ln x)a 2ln x 2x a 恒成立，只需 a
2 . 2x 2ln x x 2ln x max
2ln x 2x 2(1 x)(ln x x 2)
设 h(x) = , x [1,2] ，则 h (x) =
2 2 2x 2ln x (x 2ln x)
1 1 x
设 (x) = ln x x 2, x [1,2]，则 (x) = 1= 0 ，所以 (x) 在 [1,2] 单调递减，
x x
所以 (x) (1) = 3 0 ，（或者由 ln x x 1 x + 2 ln x x 2 0）
从而得 h (x) 0，故 h(x) 在 [1,2]单调递增，
2ln2 4
所以 h(x)max = h(2) = = 1，
4 2ln2
所以 a 1 .
22.（1）设双曲线 E 的焦距为 2c ，取一条渐近线为bx ay = 0，又 A( a,0) ，
c
= 2a
a = 2
ab x2 y2
则由题意可得 = 3 b = 2 3 ，故双曲线 E 的标准方程为 =1．
a2 + b
2
4 12c = 4
a2
+ b2 = c2
（2）由题意可得直线 l 的斜率不为 0，设直线 l : x =my + 4，P(x1, y1)，Q (x2, y2 )．
x = my + 4
2 2
联立 x2 y2 ，消去 x 整理得 (3m 1) y + 24my + 36 = 0 ，
=1
4 12
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当 3m2 1 0时， = (24m)
2 4(3m2 1) 36 =144(m2 +1) 0，
24m 36
则 y1 + y2 = ，y1y2 = ．
3m2 1 3m2 1
1 1 S
S S = AB y y ，S = BF y y 1
S2
当 l 与双曲线交于两支时， 1 2 1 2 3 1 2 ， = 2 ，不合题意；
2 2 S3
1 1
当 l 与双曲线交于一支时， S1 S2 = AB y1 + y2 ，S3 = BF y1 y2 ，
2 2
S1 S2 2 y1 + y1 2 y= = 1
+ y1 4 m
则 = = 2 2 ，得m = 1，故 l : x = y + 4 .
S y y ( y + y )2 4y y 23 1 2 1 1 1 2 m +1
y1 3y1 3y 1
（3）直线 AP 的方程为 y = (x + 2) ，令 x =1，得 y = ，则 M 1, ．
x1 + 2 x1 + 2 x1 + 2
y 3y 3y
直线 AQ
2 2
的方程为 y = (x + 2) ，令 2x =1，得 y = ，则 N 1, ．
x2 + 2 x2 + 2 x2 + 2
3y 3y
因为 F(4,0)，所以 FM = 3,
1
，FN = 3,
2
，
x1 + 2 x2 + 2
3y1 3y2 9y1y2 9y yFM FN = 9 + = 9+ = 9 + 1 2
x1 + 2 x2 + 2 x1x2 + 2(x1 + x2 ) + 4 m
2 y1y2 + 6m ( y1 + y2 ) + 36
36
9 2
3m 1 9 36= 9 + = 9 + = 9 9 = 0
2 ，
2 36 24m 36m 144m
2 + 36 3m2 36
m + 6m + 36
3m2
2
1 3m 1
故 FM ⊥ FN ，即 MFN = ． 故 MFN 为定值 ．
2 2
高二数学学科 答案 第 6 页 共 6 页绝密★考试结束前
衢温“5+1”联盟 2022 学年第二学期期中联考
高二年级数学学科 试题
考生须知：
1．本卷共 4 页满分 150分，考试时间 120分钟。
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4．考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分
一、选择题:本题共 8小题,每小题 5 分,共 40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求.
1. 已知集合 A= x x2 x 6 0 ，B = x lg x 0 ，则 A B =（ ▲ ）
A. [ 2， 3] B. (1， 2] C. [ 3， 2] D. (1， 3]
2. 已知复数 z = a +bi ，且 z(1+ 2i) =1 i，则 a b =（ ▲ ）
2 1 2 1
A. B. C. D.
5 5 5 5
xsin x
3. 函数 y = 的图象大致为（ ▲ ）
x2 +1
4. 随着杭州亚运会的临近，吉祥物“琮琮、莲莲、宸宸”开始走俏国内外.现有 3个完全相同的“宸
宸”，甲、乙、丙 3位体育爱好者要与这 3个“宸宸”站成一排拍照留念，则有且只有 2 个“宸
宸”相邻的排队方法数为（ ▲ ）
A. 36 B. 48 C. 72 D. 144
5. 如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是正方形，PA⊥平面 ABCD，PA= AB = 2 ，E 是线
段 PB的中点， F 是线段 BC 的中点，则点D 到平面 AEF 的
距离是（ ▲ ）
2 6 2 5
A. B.
3 3
6 5
C. D.
3 3
高二数学学科 试题 第 1 页 共 4 页
高二数学学科 试题 第 1 页 共 1 页
6. 如图所示的是古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着的一个圆柱，圆柱内有一
个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等. 相传这个图形表达了阿基米
德最引以为荣的发现. 设圆柱的体积与球的体积之比为m ，圆柱的表面积与
n 1
球的表面积之比为 n ,则 ( x )6 的展开式中的常数项是（ ▲ ）
m x2
A. 15 B. 20 C. 15 D. 20
3
7. 已知圆C : (x +1)2 + (y 4)2 = r2(r 0) 和点 M ,0 ，O 为坐标原点，若圆C 上存在点 P 满足
2
| PO |= 2 | PM |，则 r的最大值为（ ▲ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
8． 设 a = e，b = e0.9 +0.1，c = e1.1 0.1，则（ ▲ ）
A． c b a B．b a c C． a b c D． c a b
二、选择题:本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9. 空间直角坐标系中，已知O(0,0,0)， OA= ( 1,2,1)， OB = ( 1,2, 1)， OC = (2,3, 1) ，则（ ▲ ）
A. AB = 2
B. △ABC 是等腰直角三角形
6 6 6 6 6 6
C. 与OA平行的单位向量的坐标为（ ,- ,- ）或（- , , ）
6 3 6 6 3 6
2 4 2
D. OA在OB 方向上的投影向量的坐标为（- , , ）
3 3 3
10. 已知函数 f (x) = (x +1)ln x + x 1，则（ ▲ ）
A. 函数 y = f (x)在 (1, f (1)) 处的切线方程是3x y +3= 0
B. 函数 y = f (x)的单调递减区间为 (0,1)
C. 函数 y = f (x) f (x) 有唯一的零点
D. 函数 y = f (x)的最大值为 3
11.《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马.如图正方体
ABCD A1B1C1D1的棱长为 2 ，点 F 是该正方体的侧面BB1C1C 上的一个动点（含边界），且 AF / /
平面DA1Q，Q ,M 分别是棱CC1 ， BB1 的中点，
则下列结论正确的是（ ▲ ）
A. 直线 FQ 与直线 A1D 不可能垂直
B. 三棱锥D A1FQ的体积为定值
2 2
C. 直线 FQ 与平面 A DQ 所成角的正弦值的最大值为 1 3
D. 阳马M A1B1C1D1的外接球 R 与内切球 r 的半径之比为 R : r = 3: (3 5)
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12. 已知O 为坐标原点，M 为抛物线C : y2 = 4x 上一点，直线 l : x =my + 3与C 交于 A,B两点，过 A,B
作C 的切线交于点 P ，则下列结论正确的是（ ▲ ）
A. OA OB = 3 B. 若点M 为 (9, 6) ，且直线 AM 与BM 倾斜角互补，则m = 3
C. 点 P 在定直线 x = 3上 D. 设Q 点为 (3,0)，则 MQ 的最小值为 3
非选择题部分
三、填空题:本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.
117
13. 在三次独立重复射击中，若至少有一次击中目标的概率为 ，则每次射击击中目标的概率
125
是 ▲ .
S a
14. 已知数列 an 为等差数列，其前 n项和为 Sn ，若
5 = 2 ，则 5 = ▲ .
S2 + S3 a2 + a3
2cos
15. 若 tan + = ，则 sin 2 = ▲ .
4 3 2sin
x2 y2 a2
16. 已知椭圆 + =1(a b 0)的左右顶点为 A，B ，点 P 为直线 l : x = 上一点，若 PAB 的外
a2 b2 c
接圆的面积的最小值为 2πa2 ，则该椭圆的离心率为 ▲ .
四、解答题:本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步诹.
17.（10分）已知等比数列 an 的前 n项和为 S ，且a
.
n n+1 = 2Sn + 2(n N )
（1）求数列 an 的通项公式；
a 1
（2）若b = nn ，Tn 为数列 b 的前n 项和，求证：T .( ) n nan 1 (an+1 1) 2
18.（12分）在 2023年 3月10日，十四届全国人大一次会议在北京召开.中共中央总书记、国家主席、
中央军委主席习近平在十四届全国人大一次会议闭幕会上发表重要讲话.出席全国两会的代表
委员和全国各地干部群众纷纷表示，这一重要讲话坚定历史自信、饱含人民情怀、彰显使命担
当、指引前进方向，必将激励我们在新征程上团结奋斗，开拓创新，坚定信心，勇毅前行，作
出无负时代、无负历史、无负人民的业绩，为推进强国建设、民族复兴作出应有贡献.某社区为
调查社区居民对这次会议的关注度，随机抽取了60名年龄在 [20,45]的社区居民，并将结果绘制
成如图所示的频率分布直方图.
（1）求选取的社区居民平均年龄及选取的社区居民年
龄的中位数；
（2）现若 [20,25) 和 [40,45]年龄段的所有居民都观看
了会议讲话，社区计划从中抽取 3人分享此次观
看会议的感受，设 X 表示年龄段在 [20,25) 的人
数，求 X 的分布列及期望.
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19.（12 分）在△ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 若△ABC 为锐角三角形，且满足
sin B(1+ 2cosC) = 2sin AcosC + cos AsinC.
（1）证明： a = 2b；
3 7
（2）若16cos AcosB = 5，△ABC 的面积为 S= ，求△ABC 的周长.
2
20.（12分）如图，在三棱锥 P ABC 中,已知侧面 PAC 是边长为 2 的等边三角形， AB = BC = 4 ,
点Q为侧棱 PB的中点.
（1）求证： AC ⊥ PB ；
（2）若 PB = 2 3 , AM = AC ,若直线MQ 与平面 PBC
所成角的正切值为 3 ，求 的值.
21.（12分）设函数 f (x) = ax2 + 2x (2a + 2)ln x，a R .
（1）若函数 f (x) 存在两个极值点，求实数 a 的取值范围；
（2）若 x [1,2]时，不等式 f (x) 0 恒成立，求实数 a 的取值范围.
x2 y2
22.（12分）已知离心率为 2 的双曲线 E : =1(a 0，b 0)的左右顶点分别为 A,B，顶点到渐
a2 b2
近线的距离为 3 .过双曲线 E 右焦点 F 的直线 l 与双曲线 E 交于 P，Q（异于点 A,B）两点.
（1）求双曲线 E 的标准方程；
S1 S
（2）记△ABP， △ABQ， △BPQ
2
的面积分别为 S1，S2，S3 ，当 = 2 2 时，求直线 l 的方程；
S3
（3）若直线 AP ， AQ 分别与直线 x =1交于M ，N 两点，试问 MFN 是否为定值？若是，求出
该定值；若不是，请说明理由．
命题学校：开化中学 校审学校：常山一中
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