秘密★启用前
2023年省际名校联考二（冲刺卷）
数学参考答案详解及评分说明
评分说明：
1.考生如按其他方法或步骤解答，正确的，同样给分；有错的，根据错误的性质，参照评分说明中相应的规定
评分。
2.计算题只有最后答案而无演算过程的，不给分；只写出一般公式但未能与试题所给的具体条件联系的，不
给分。
A卷选择题答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. A
∵ = 1 + i 1 + i i - 1 1 1
2 2
【解析】 z
(1 - i) 2 = -2i = 2 = - 2 + 2 i，∴| z | = (- 1 ) + ( 12 2 ) = 22 .
2. C
【解析】1,2 ∈ , 1N 2 N，故N不是数域，A
a
错误，同理B错误；任意a,b ∈ Q，都有a + b、a - b、ab、 ∈ Q（除数 b ≠ 0），
b
故Q是一个数域 .对于集合A = {x | x ≠ 0,x ∈ R}，1,1 ∈ A,1 - 1 = 0 A，故{x | x ≠ 0,x ∈ R}不是数域 .
3. B
??? ???
【解析】设AB = λAN，
∵??? = 1 ??? = 1 × 1 (??? + ???)= 1 ??? + 1 ???= λ ??? + 1 ???AP 3 AD 3 2 AB AC 6 AB 6 AC 6 AN 6 AC，
∵ N,P,C三点共线，
∵λ又 6 +
1
6 = 1，∴λ = 5.
∴???AB = 5 ???AN，
∴??? = 1 ???AN 5 AB.
4. D
【解析】设点B1，B关于“折痕”所在直线对称，即折前点B在圆上对应的点为点B1.连接 AB1 B P
交“折痕”于点P，则点P到 A，B两点距离之和最小，且 |BP| + |AP| = |AB1| = 4.
1
所以P的轨迹 B A
是以A，B为焦点，且长轴长为 2a =4的椭圆，焦距2c = |AB| = 2，c = 1，故短半轴长b = 3，所
以△ 1MAB面积的最大值为 2 × 2c × b = 3. （第4题答图）
5. D
【解析】记小李路上所需时间为X，小王路上所需时间为Y.
A ( < 28) = 1 - P (28 ≤ Y ≤ 52)对于 ，P Y 2 = 0.00135 < 0.01，所以A合理；
对于B，小李在 7：50 ( < 50) = 1 - P (38 ≤ X ≤ 50)前到达晋祠的概率为P X 2 + P (38 ≤ X ≤ 50) = 0.99865，小王在
数学试题答案 第1页（共10页）
7 50 1 - P (28 ≤ Y ≤ 52)： 前到达晋祠的概率为P (Y < 50) < P (Y ≤ 52) = 2 + P (28 ≤ Y ≤ 52) = 0.99865，小李在 7：
50前到达晋祠的概率要大，所以选项B合理；
对于C，小李在 7：48前到达晋祠的概率为P (X < 48) = 1 - P (40 ≤ X ≤ 48)2 + P (40 ≤ X ≤ 48) = 0.97725，小王在
7：48前到达晋祠的概率为P (Y < 48) = 1 - P (32 ≤ Y ≤ 48)2 + P (32 ≤ X ≤ 48) = 0.97725，选项C合理；
对于 D 1，小李在 7：44前到达晋祠的概率为 P (X < 44) = 2，小王在 7：44前到达晋祠的概率为 P (Y < 44) =
1 - P (36 ≤ Y ≤ 44)
2 + P (36 ≤ X ≤ 44) = 0.84135，小王在7：44前到达晋祠的概率要大，选项D不合理 .
6. C
【解析】f ′(x) = xex - ax2 - x = x (ex - ax - 1)，
记g (x) = ex - ax - 1(x ≥ 0) ,g′(x) = ex - a ≥ ex - 1 ≥ 0，故g (x)在[0, + ∞)上单调递增，
g (x) ≥ g (0) = 0, f ′(x) ≥ 0，故 f (x)在[0, + ∞)上单调递增，故 f (x)有最小值 f (0) = -1，无最大值 .
7. B
【解析】设底面四边形ABCD的中心为O，连接PO，则PO=h.
1 1
设点M到平面PCD的距离为MQ，则VM - PCD = VP - MCD 即 3 × S△PCD × MQ = 3 × S△MCD × PO
∴ = S△MCD × POMQ = 2h2 + 1 =2
h2 1
2 = 2 ，S△PCD h h + 1 1 + 1
h2
∵ h ∈ [ 3 ,2 2 ] , ∴ 1 ∈ é31 ê4 ,
8 ù
ú ,
1 + 9
h2
∴ ∈ é 4 2 ùMQ êê 3 , 3 úú.
8. A
???? ???? ???? ????
【解析】当点P为 (0,1)或 (0,3)时，存在Q (e-a,0)，使得OP·OQ = 0.当P点横坐标非零时，OP·OQ = 0，即 kOP·kOQ =
-1, - 1 = k
k OQ. 可 求 得 kOP ∈ (-∞, - 3 ] [ 3 , + ∞) -
1
， ∈ éê- 3 ,0 ÷ 0, 3 ùú. 设 Q (x,lnx + a)，kOQ =
OP kOP 3 è 3
lnx + a . lnx + a 1 - a - lnx记函数 f (x) = ，f ′(x) = 2 ，令 f ′(x) > 0，得0 < x < e1 - a；令 f ′(x) < 0，得 x > e1 - a，故 f (x)在x x x
(0,e1 - a)上单调递增，在 (e1 - a, + ∞)上单调递减，f (x) max = f (e1 - a) = 1 - a + a = ea - 1e1 - ，f (x)值域为 (-∞,e
a - 1]
a ，从而
k ∈ (-∞,ea - 1 é 3 3 ù ln3OQ ]，由 题 ê- ,0÷ 0, ú (-∞,ea - 1]，从 而 ea - 1 ≥ 3 ,a ≥ 1 - ，故 a 的 取 值 范 围 是
3 è 3 3 2
é
ê1 - ln3 , + ∞ ÷.
2
数学试题答案 第2页（共10页）
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的
得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9. AD
【解析】f (x) = cos (x + 2φ) - 2cosφcos (x + φ) - sinx
= cosφcos (x + φ) - sinφsin (x + φ) - 2cosφcos (x + φ) - sinx
= -cosφcos (x + φ) - sinφsin (x + φ) - sinx
= -cosx - sinx
= - 2 sin (x + π4 )，
π
对于A，令 x + 4 = kπ(k ∈ Z)，则 x = kπ -
π
4 (k ∈ Z)，当 k = 0时，x = -
π
4，
∴f (x) π的图象关于点(- 4 ,0)中心对称，A正确 .
π π
对于B，令 x + 4 = 2 + kπ(k ∈ Z)
π
，则 x = 4 + kπ(k ∈ Z)，B错误 . D1 C1
C π π π 3π π
E
A1 B1
对于 ，令- 2 + 2kπ ≤ x + 4 ≤ 2 + 2kπ(k ∈ Z)，则- 4 + 2kπ ≤ x ≤ 4 + 2kπ(k ∈ Z)，
∴ 3π π D
C
函数 f (x) é在 ê- 4 ,
ù
4 ú上单调递减，C错误 . A B
对于D = π （第10题A选项答图），当 x 4 时，f (x)取最小值- 2，D正确 . D1 C
10. BCD 1E
【解析】对于A A1 B1选项，E在棱 A1B1上运动时，DE 平面 A1B1CD，连接 A1D,AD1，则 AD1 ⊥平面
A B C1 1CD，∴AD1 ⊥ DE，A错误 . D
对于B选项，平面A1DE与平面ABCD所成二面角即为∠A1DA = π4，B正确 . A B（第10题C选项答图）
对于C选项，BC ∥ AD,∴BC ∥平面AED， D1 C
∴ 1当P是A1C与平面AED的交点时，BC ∥平面AEP，C正确 . A E1 B1
对于D选项，连接BC1与B1C交于O，连接PO， P O
则在△A1B1C中,PO ∥ A1B1，又∵PO 平面PBC1，A1B1 D平面PBC C1，
∴A1B1 ∥平面PBC1，∴E到平面PBC1的距离为定值， A B
∴三棱锥E - PBC1体积不变，D正确 . （第10题D选项答图）
11. ABD
【解析】每次传球可将球传给另外两人中的任何一人，故 n次传球共2n种方法数，若第 n次传球后球在甲手中，则
第 n - 1次传球后球必不在甲手中，从而 a n - 1n = 2 - an - 1,an + an - 1 = 2n - 1，故 A正确；由 an + an - 1 = 2n - 1，得
n-1
(-1) na -(-1) n-1 =- -2 na ( ) n-1，从 而 (-1) n 1 1n n-1 an -(-1) a1 =-(-2) -(-2) 2 -…-(-2) n-1 =--2[ 1-(-2) ]= 2+(-2)1-(-2) 3 ，
又 a = 0，故 = 2n + 2 (-1)
n
1 an 3 ，故B正确；an - 2an - 1 = 2 (-1)
n
，故{an - 2an - 1}为等比数列，又 an + an - 1 = 2n - 1，故
n n n
{an + an - 1}为等比数列，故C错误；当 n为偶数时， 2 + 2 (-1) 2an = 3 > 3，易知 an + 2bn = 2
n，则 2 (bn - an) = 2n -
3an < 0,an > bn，故D正确 .
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12. BCD
π 2
【解析】不妨设∠PFx = θ ∈ (0, 2 )，则2 + | PF |cosθ = | PF | ,∴ | PF | = 1 - cos ，θ
2 2 2
同理|MF | = 1 + sin ，|QF | =θ 1 + cos ，|NF | =θ 1 - sin .θ
A 1 + 1 = 1 - cosθ + 1 + cosθ对于 ， 2 2 = 1，A错误；| PF | |QF |
对于B，| PQ | = | PF | + |QF | = 2 + 2 4 41 - cosθ 1 + cos =θ sin2 ，同理|MN | =θ cos2 ，θ
1 1 sin2θ
所以 + = + cos2θ = 1，B正确；
| PQ | |MN | 4 4 4
对于C | 4 4 4 16 π，PQ | + |MN | = sin2 +θ cos2 =θ sin2 =θcos2θ sin22 ≥ 16，当且仅当 θ = 4 时取最小值16，C正确；θ
2
对于D，直角三角形GFH中，| GH | = | GF |2 + |HF |2
2
= ( 1 - 1 ) + ( 1 - 1
2 2
) = ( 2cosθ ) + ( 2sinθ
2
) = 4 (cos6θ + sin6θ)1 - cosθ 1 + cosθ 1 - sinθ 1 + sinθ 1 - cos2θ 1 - sin2θ sin4θcos4θ
= 4 (cos4θ + sin4θ - sin2θcos2θ) 4 (1 - 3sin2θcos2θ)sin4θcos4 =θ sin4θcos4 ，θ
1
令 sin2 cos2 = t，t ∈ [ 4, +∞)，即| GH |
2 = 4 (t2 - 3t) , t ∈ [ 4, +∞),
θ θ
π
所以当 t = 4时，| GH |最小，此时 θ = 4，即 l1，l2关于 x轴对称，所以G，H两点也关于 x轴对称，故直线GH的斜率
不存在，D正确 .
B卷选择题答案
1. A 2. C 3. B 4. D 5. D 6. C 7. B 8. A 9. AD 10. BCD 11. ABD 12. BCD
AB卷非选择题答案
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 243
230 + 256
【解析】28×75%=21，可知第75百分位数为第21项和第22项数据的平均数 2 =243.
14. 2 + 3或1
| 3 a - 2 |
【解析】圆C与直线 l1，l
| |
2都相切，所以
a + 2
3 + 1 = 1 + 3 = r，即 | 3 a - 2 | = | a + 2 |，当 3 a - 2 = a + 2时，
a = 2 ( 3 + 1)，此时 r = 2 + 3；当2 - 3 a = a + 2时，a = 0，此时 r = 1.
15. 1 1 2630 3 - (n - 1)n (n + 1)
1
【解析】由题意知，将杨辉三角从第 1行开始的每一个数C rn都换成分数 (n + 1)C r，得到的三角形为“莱布尼茨三n
1 1
角形”，观察表中数字，题中要求第8行第5个数，所以n=8，r=4，所以第8行第5个数为 (8 + 1)C84 = 630 .
∵ 1 1 1( +n + 1)Cn - 2n (n + 1)C - 3 =n nCn - 3 ,n n - 1
1 1 1
nC - 3 +nn - 1 nC =n - ，n - 14 (n - 1)Cnn -- 24
数学试题答案 第4页（共10页）
1 1 1
(n - 1)C + =n - 4 (n - 1)Cn - 5 (n - 2)Cn - 5，…，n - 2 n - 2 n - 3
1 1 1 1 1 1
5C1 + =4 5C24 4C1，4C1 +3 3 4C30 = 3C0，2
1 + 1 + 1 1 1 1将上述各式相加，得 (n + 1)Cn - 2 + + + =n (n + 1)Cn - 3n nCn - 4n - 1 20 4 3，
∴ 1 1(n + 1)C - 2 + Sn =n 3，n
∴ = 1 - 2Sn 3 (n - 1)n (n + 1) .
16. 32
( 3 + π ) ((- ) 3 + π ) = - ( 3 + π ) , ( 2π【解析】由题 f x 3 为奇函数，故 f x 3 f x 3 等价于 f 3 - x) = -f (x)，
由g (x)
π 2π
的图象关于直线 x = 3 对称，可得g ( 3 - x) = g (x)，
-f (x) + g ( ) = ( 2πx f 3 - x) + g ( 2π - ) = sin ( 2π3 x 3 - x)，
sin + sin ( 2πx
( ) = 3
- x) 3
故g x 2 = 2 sin (x + π 36 )，故g (x)的最大值是 2 .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（1）证明：连接MD，
∵△BCD是等边三角形，
∴BD = CD.
A
在△ABD和△ACD中，∠ADB = ∠ADC，AD = AD，
∴△ABD≌△ACD，
∴AB = AC，………………………………………………………………………………… 2分
∵M是BC边的中点， B M C
∴BC ⊥ MA,BC ⊥ MD. D
∵MA MD = M，MA 平面AMD，MD 平面AMD， （第17题答图1）
∴BC ⊥平面AMD，
又AD 平面AMD，
∴BC ⊥ AD. ……………………………………………………………………………………………………… 4分
（2）选①解：以M为原点建立空间直角坐标系如图所示，
(- 3 ,0, 3 3由题可得：A 2 2 ) ,B (0, - 3 ,0) ,C (0, 3 ,0) ,D (3,0,0) ,M (0,0,0). z A
设平面ACD的法向量为n = (x,y, ) ??? 3 3 3 ????z ，AC = ( 2 , 3 , - 2 )，CD = (3, - 3 ,0).
??? ì
{n·AC = 0,
3 3 3
∴ (x,y,z) ( 2 , 3 , - 2 )
B
= 0, yì3 M C∴ 2 x + 3 y -
3 3
2 z = 0,则 ???? D
n·CD = 0, í í (x,y,z) (3, - 3 ,0) = 0, 3x - 3 y = 0, x
（第17题答图2）
数学试题答案 第5页（共10页）
令 x = 1，则 y = 3 ,z = 3，
∴n = (1, 3 , 3 )， ……………………………………………………………………………………………… 6分
∵????又 BD = (3, 3 ,0)，
????
∴cos ???? BD·nBD ,n = 21| ???? =| 7 .………………………………………………………………………………… 8分BD | n |
∴直线BD与平面ACD 2 7所成角的余弦值为 7 .……………………………………………………………… 10分
选②解：设三棱锥的高为h，
∵ 1 1 π 1VA - BCD = 3 S△BCDh = 3 × 2 3 × 2 3 × sin 3 × 2 × h = 3 3，
∴h = 3 = MA，
∴MA⊥底面BCD. ………………………………………………………………………………………………… 6分
以M为原点建立直角坐标系如图所示，
z
则A (0,0,3) ,B (0, - 3 ,0) ,C (0, 3 ,0) , D (3,0,0) ,M (0,0,0)， A
设平面ACD的法向量为n = (x,y,z) ???，AC = (0, 3 , - 3) ????，CD = (3, - 3 ,0)，
???
{n·AC = 0,∴{(x,y,z)·(0, 3 , - 3) = 0,∴ 3 y - 3z = 0, B M则 ????n·CD = 0, C y(x,y,z)·(3, - 3 ,0) = 0, {3x - 3 y = 0, D
令 x = 1,则y = 3 , z = 1，∴n = (1, 3 ,1). x
∵????又 BD = (3, 3 ,0
（第17题答图3）
)，
????
∴cos ???? , = BD·nBD n 15| ???? =| 5 ， ……………………………………………………………………………… 8分BD | n |
∴直线BD与平面ACD所成角的余弦值为 105 .……………………………………………………………… 10分
18.解：由正弦定理得2sinCcosB=（3sinA-2sinB）cosC，
∴ 2sinCcosB = 3sinAcosC - 2sinBcosC，………………………………………………………………………… 2分
∴ 2sinCcosB + 2sinBcosC = 3sinAcosC，
∴ 2sin (B + C) = 3sinAcosC， …………………………………………………………………………………… 4分
∴ 2sinA = 3sinAcosC，
∵ 2A为三角形内角,sinA ≠ 0, ∴ cosC = 3 . ……………………………………………………………………… 5分
（2）由（1）可得，sinC= 53 .
∵ B = 2C, ∴ sinB = sin2 4 5C = 2sinCcosC = ，cosB=1-2sin29 C=-
1
9.………………………………………… 6分
∴ sin = sin ( ) = sin cos + cos sin = 7 5A B + C B C B C 27 . ……………………………………………………… 8分
∵ a b csin =A sin = ,a = 7,B sin C
∴ b = 12, c = 9.
数学试题答案 第6页（共10页）
∵ 1 1S△ABC = 2 ab sin C = 2 × 7 × 12 ×
5
3 = 14 5 , ………………………………………………………… 10分
设△ABC内切圆半径为r,
1
则S△ABC = 2 r (a + b + c) = 14r = 14 5 ,r = 5 ,
∴ 1S△AMC = 2 × 12 × 5 = 6 5 . ……………………………………………………………………………… 12分
19.解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为 q.
{1 + d = q,依题意得 2 + 2 = 2,，…………………………………………………………………………………………… 1分d q
d = 1, d = -1,
解得{q = 2,或{q = 0, （舍）……………………………………………………………………………………… 3分
故an = 1 + (n - 1) × 1 = n，b n - 1 n - 1n = 1 × 2 = 2 .………………………………………………………………… 4分
（2）∑n c2k - 1 = (1 + 20) + (3 + 22) + + (2n - 1 + 22n - 2)
k = 1
= [ 1 + 3 + + (2n - 1) ] + (20 + 22 + + 22n - 2)
= (1 + 2n - 1) n + 20 (1 - 4n)2 1 - 4
= 4n - 1n2 + 3 ,………………………………………………………………………………………… 6分
∑n c2k = 2 × 21 + 4 × 23 + 6 × 25 + + 2 (n - 1) × 22n - 3 + 2n × 22n - 1
k = 1
= 1 × 41 + 2 × 42 + 3 × 43 + + (n - 1) × 4n - 1 + n × 4n,
4∑n c2 = 1 × 42 + 2 × 43k + 3 × 44 + + (n - 1) × 4n + n × 4n + 1, …………………………………………… 8分
k = 1
两式相减得
-3∑n c2k = 4 + 42 + 43 + + 4n - n × 4n + 1
k = 1
= 4 (1 - 4n)1 - 4 - n × 4n + 1
= 1 - 3n 4n + 1 - 43 · 3 , …………………………………………………………………………………… 10分
∑n = 3n - 1c2 9 ·4n + 1k + 49 , ……………………………………………………………………………………… 11分k = 1
∑2n =∑n +∑n = 2 + 4n - 1 + 3n - 1 4 (12n - 1) 4n + 1因此， ck c2k - 1 c2k n
k = 1 k = 1 k = 1 3 9 4
n + 1 + 9 = 9 + n2.
n
所以，数列{c } 2 (12n - 1) 4 + 1n 的前 n项和为 9 + n2. ………………………………………………………… 12分
20.解：（1）(0.014 + 0.006) × 10 = 0.2，即随机调查一位市民需要降低追求目标或充分休息的概率为0.2.
所以X~B (10,0.2)，∴ E (X) = 10 × 0.2 = 2； …………………………………………………………………… 2分
（2）样本中压力分数在［80，90）的人数为 0.014 × 10 × 1000 = 140，样本中压力分数在［90，100］的人数为
0.006 × 10 × 1000 = 60，用样本量比例分配的分层随机抽样的方法抽取的 10人中，压力分数在［80，90）的样本
140
量为 140 + 60 × 10 = 7，在［90，100
60
］的样本量为 140 + 60 × 10 = 3.
从这 10人中随机选出 3人共C310 = 120种选法，其中恰有两人压力分数在［80，90）中有C72C13 = 63种选法，选出
数学试题答案 第7页（共10页）
= C23 2 80 90 P 7C
13 21
的 人中恰有 人压力分数在［ ， ）中的概率为 C3 = 40；…………………………………………… 5分10
m - -3 ①- = x + n y m
-
= x + n
-y
（）证明： ω + + + ，即得证， ………………………………………………………… 7分m n m n m n
② 2 = 1 é∑m 2 n 2- - ùs m + ê (xi - ω) +∑(yj - ωn ) ú i = 1 j = 1
= 1 é∑m 2 n 2( ù+ ê xi - -x + -x - -ω) +∑(y -j - y + -y - -ωm n ) ú，…………………………………………………… 9分 i = 1 j = 1
∵∑m (xi - - mx) =∑x - m -i x = 0，
i = 1 i = 1
∴∑m 2 m(xi - -x) (-x - -ω) = 2 (-x - -ω)∑(x -i - x) = 0，
i = 1 i = 1
n
同理可得，∑2 (y -j - y) (-y - -ω) = 0， …………………………………………………………………………… 10分
j = 1
2 2 2 2
∴ 1 é ms2 = ∑(x - - mx) +∑(-x - -ω) +∑n n(y - -y) +∑(-y - - ùm + ω)n ê i j ú i = 1 i = 1 j = 1 j = 1
= 1+ [ms2
- -
1 + m ( x - ω )2 + ns22 + n ( -y - -ω )2 ]，m n
- -
∴ = m [ s21 + ( x - ω )2 ] + n [ s2
-
2 2 + ( y - -ω )2 ]s + ，即得证 . ………………………………………………………… 12分m n
21.解：（1 x2）双曲线E：3 - y2 =1的左、右焦点分别为F1(-2,0)，F2(2,0)，
设A(t, - 23 t) (t ≠ 0).
2
k1=
- 3 t - 0 2t 2t
t + 2 = - 3( ，同理可得 k = - .t + 2) 2 3( t - 2)
∴ 1 + 1 = - 3( t + 2) - 3( t - 2)2 2 = -
6t
k k t t 2 = -3t . ………………………………………………………………… 3分1 2
（2）设M (x1,y1) ,N (x2,y2) ,P (x3,y3) ,Q (x4,y4)，
直线AF1方程为：y = k1 (x + 2)，
代入双曲线方程可得：(1 - 3k1 2) x2 - 12k1 2x - 12k1 2 - 3 = 0，
12k 2 -12k 2 - 3
所以 x1 + x = 12 1 - 3 2，x1x2 =
1
1 - 3 2 ，…………………………………………………………………… 5分k1 k1
kOM + kON = y1 + y2 = y1x2 + y2x1x1 x2 x1x2
= k1 (x1 + 2) x2 + k1 (x2 + 2) x1
x1x2
= 2k1x1x2 + 2k1 (x2 + x1)
x1x2
24k1 3
= 2 + 1 - 3kk 1 21 -12k1 2 - 3
1 - 3k1 2
数学试题答案 第8页（共10页）
= 2k14k 2 + 1， …………………………………………………………………………………………… 8分1
2k
同理 k
2
OP + kOQ = 4k ，2 2 + 1
2k1
即 4 2 + 1 +
2k2
k 4k 2 + 1 = 0，……………………………………………………………………………………… 9分1 2
即(k1 + k2) (4k1k2 + 1) = 0，
∴ 1k1 + k2 = 0，或 k1k2 = - 4 .
1 + 1又 = -3k k ，………………………………………………………………………………………………… 10分1 2
若 k1 + k2 = 0，无解，舍去 .
∴k1k2 = - 14，解得 k1 = -
1
4，k2 = 1，或 k1 = 1
1
，k2 = - 4
= - 1 2 1若 k1 4，k2 = 1，由A在直线AF1上可得，- 3 t = - 4 (t + 2)
∴t= 6 6 45，此时A( 5 , - 5 ).
若 k1 = 1 1 2，k2 = - 4，由A在直线AF1上可得，- 3 t = t + 2
∴ = - 6 6 4t 5，此时A(- 5 , 5 ).
∴存在点A( 65 , - 45 )，或(- 65 , 45 )，满足 kOM + kON + kOP + kOQ = 0. …………………………………………… 12分
22.解：（1）f ′(x) = sinx + xcosx, f ″ (x) = 2cosx - xsinx. ……………………………………………………………… 1分
①当 x ∈ π 2kπ,2kπ + ù2 ú , k ∈ N时，f ′(x) ≥ sinx > 0，f (x)单调递增，无极值点；……………………………… 2分è
②当 x ∈ (2 π + πk 2 ,2kπ + π) ,k ∈ N时，f ″ (x) < 2cosx < 0，f ′( ) ′(2 π + πx 单调递减，f k 2 ) = 1 > 0, f ′(2kπ + π) =
-(2kπ + π) < 0 π，故存在唯一 x1 ∈ (2kπ + 2 ,2kπ + π) ,k ∈ N，使得 f ′(x1) = 0，
π
当2kπ + 2 < x < x1时，f ′(x) > 0；当 x1 < x < 2kπ + π时，f ′(x) < 0，
故 f (x)在(2kπ + π2 ,x1)上单调递增，在(x1,2kπ + π)上单调递减，f (x)有极大值点 x1；……………………… 3分
综上，f (x)在区间(2kπ,2kπ + π) ,k ∈ N上有1个极值点 . ……………………………………………………… 4分
（2）若 x0为 f ( x )的极值点，则 f ′(x0) = sinx0 + x0cosx0 = 0,tanx0 = -x0. ………………………………………… 5分
2 2 2
| f ( ) | = | sin | = | | sin xx x x 0 tan x0 x0 10 0 0 x0 sin2 + cos2 = | x0 | tan2 + 1 = 22 + 1 = x0 + 1 - 2 + 1，………… 7分x0 x0 x0 x0 x0
令 t = x20 + 1 ≥ 1，| f (x0) | ≥ λln (1 + x02)，即 t - 1 ≥ 2λlnt. …………………………………………………… 8分t
数学试题答案 第9页（共10页）
( ) = - 1记g t t - 2λlnt ( t ≥ 1),即g (t) ≥ 0, g′( 1t) = 1 + 2 - 2λ = t
2 - 2λt + 1
2 .………………………………… 9分t t t t
① λ = 1 ′( ) = (t - 1)
2
当 时，g t 2 ≥ 0，故g (t)在[1, + ∞)上单调递增，g (t) ≥ g (1) = 0，符合题意；…………… 10分t
②当λ ≥ 2 t2 - 4t + 1时，若1 ≤ t < 2 + 3，则g′(t) ≤ 2 < 0，故g (t)在(1,2 + 3 )上单调递减，t
π
由（1）：f (x) 在 区 间 ( 2 ,π) 上 存 在 极 值 点 ，记 为 x1，则 1 < 1 + x12 < 1 + π2 < 2 + 3，故
g ( 1 + x21 ) < g (1) = 0，不符题意； …………………………………………………………………………… 11分
综上，整数λ的最大值为1.……………………………………………………………………………………… 12分
数学试题答案 第10页（共10页）姓名
准考证号
试题类型：A
纸片展F,并留卜一条折痕，折狼上到A,B两点距离之和最小的点为P,如此往复，就能
秘密★启用前
得到越来越多的折痕，设P点的轨迹为曲线C,在(G上任取一点M,则△MAB面积的最大
数学
值足
A.2
B.3
C.②
D.v/3
注意事项：
5.小李，小正相约啮日到晋祠游玩，两人约定早上7：00各白从家出发，小李乘坐301路公
1.答卷前，考生务必将白已的姓名、洗考证号等填写在试卷和答题卡指定位置卜。
交，路上所需时间（单位：分钟）肢从币态分布V(44,4).小王乘坐804路公交，路上所需时
2.可答选择趣时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
问（单位：分钟）服从币态分布W(40,6).下列说法从统计角度可认为不合理的是
黑。鄭需攻动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案用0.5m
(参考数据：乙~Y(.g2),则P(u-黑色笔迹签宁笔与在答题卡上，写在本试卷上无效。
(w-3w3.考试结束斤，将本试卷和答题卡一并交回。
A.小土上在7：28前到达晋祠的可能性不超过1%
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
B.小王比小李在7：50前到达晋祠的可能性更小
项是符合题目要求的。
C.小李和小王在7：48前到达晋祠的能性一样
1.复数z满足(1-)2名=1+i,则|z=
D.小李比小王在7：44前到达晋祠的可能性更火
4.2
8习
C.V2
d.2
2
6E知a1.函数=红-1。-营2
2(x≥0.则
2.设A是个数集，且至少含有两个数，若对任意a,bEA,都有a+ia-b,b,号∈A(除数
在.(x)有最小值，有最大伯
B.f(x)无最小值，有最大值
b≠0)，则称1是一个数域，则下列集合为数域的是
C.f(x)有最小值，无最大偵
D.f(x)无成小值，尤最大值
A.N
B.Z
7.正四棱柱ABCD-A,BC,D,中，AB=2,P为F底面A,B,C,D1的中心，M是棱AR的中点，
C.Q
ID.{xx≠0x∈R}
正四棱柱的高∈[V3,2V2],点M到平画P℃D的距离的取值范围是
3.如图，在△ABC巾，D是BC边中点，P=了而，CP的延长线与AB交于
N,则
A=子丽
B=涵
(第3题图)
c[v3,2]
c丽-丽
引
D.丽-
8.若对圆Cx2+(y-2)=1上任意一点P,山线y=lx+a上行在点Q,使得0厘.00=0，
4.折纸是一种以纸张折城各种不同形状的艺术活动，折纸大约起源
于公元1世纪或者2世纪时的中国，折纸与月然科学结合在一起，
则实数a的取值范围是
不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学成为现代几利
学的一个分支.如图，现有一半径为4的圆纸片(A为圆心，B为圆内
+
的一定点)，且|AB引=2，如图将圆折起一角，使圆周止好过点B,把
(第4题图)
C.[1-2ln3,+o)
D.[1+2ln3,+0)
数学试题A第1页（共6页）
数学试趣A第2页（共6页）
