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（总课时01）§1.1菱形的性质与判定 第一课时
一.选择题：
1．如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，F点是AC的中点，如果EF＝4，那么菱形ABCD的周长为（ ）A.9 B.12 C.32 D.24
2．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是( )
A．对角线平分一组对角 B．对角线互相平分 C．对边相等 D．对角相等
3．菱形对角线的平方和等于这个菱形一边长平方的（ ）A．1倍 B．2倍 C．4倍 D．8倍
4．如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别是6cm，8cm，AE⊥BC交BC于点E，则AE的长是（ ）A． B． C． D．
5.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交AC于点F，E为垂足，则
∠CDF=( )A．80° B．70° C．65° D．60°
二.填空题：
6．菱形的一个内角是60°，边长是5cm，则这个菱形的较短的对角线长是 cm．
7．如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为________．
第7题 第8题 第9题 第10题
8．如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），则点C的坐标为________．
9．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，过E作EGAD于G，连接GF，若∠A=80°，则∠DGF的度数为________．
三.解答题：
10．已知：如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，且BE=BF．
求证：（1）△ADE≌△CDF；
11．如图，E为菱形ABCD边AD的中点，EF⊥AC于H，交CB延长线于F，交AB于G，则AB与EF互相平分吗？说明理由．
12.（2019山东聊城）在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF．
求证：（1）△ABF≌△DAE；
（2）DE＝BF+EF．
13.已知E、F分别是ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．
（1）求证：；
（2）若BC=10，∠BAC=90，且四边形AECF是菱形，求BE的长．
四.提高题：
14.如图，在菱形ABCD中，∠B=60，M、N分别为线段AB、BC上的两点，且BM=CN，AN、CM相交于点E.
（1）证明：△BCM ≌△CAN。
（2）求∠AEM的度数。
（3）证明：AE+CE =DE。
F
D
B
A
E
C
第5题
第4题
第1题
D
A
E
F
B
C
B
M
A
O
C
N
DD
CB
AD
BC
EE
DA
G
F
y
O
A
D
C
B
x
第11题
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（总课时01）§1.1菱形的性质与判定1
一.选择题：
1．如图1，在菱形ABCD中，E是AB的中点，F点是AC的中点，如果EF＝4，那么菱形ABCD的周长为（ C ）A.9 B.12 C.32 D.24
2．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是( A )
A．对角线平分一组对角 B．对角线互相平分 C．对边相等 D．对角相等
3．菱形对角线的平方和等于这个菱形一边长平方的（C）A．1倍 B．2倍 C．4倍 D．8倍
4．如图2，已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别是6cm，8cm，AE⊥BC交BC于点E，则AE的长是（ D ）A． B． C． D．
5.如图3，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交AC于点F，E为垂足，则
∠CDF=( D )A．80° B．70° C．65° D．60°
二.填空题：
6．菱形的一个内角是60°，边长是5cm，则这个菱形的较短的对角线长是 5 cm．
7．如图4，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为__62°__．
如图4 如图5 如图6 如图7
8．如图5，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），则点C的坐标为_(4,4)_．
9．如图6，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，过E作EGAD于G，连接GF，若∠A=80°，则∠DGF的度数为__50 _．
三.解答题：
10．已知：如图7，在菱形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，且BE=BF．
求证：（1）△ADE≌△CDF；（2）∠DEF=∠DFE．
证明：(1)∵ABCD是菱形∴∠A=∠C，AD=DC,AB=BC,∵BE=BF∴AE=CF∴△ADE≌△CDF（边角边）(2)由（1）△ADE≌△CDF得：DE=DF，∴∠DEF=∠DFE．
11．如图8，E为菱形ABCD边AD的中点，EF⊥AC于H，交CB延长线
于F，交AB于G，则AB与EF互相平分吗？说明理由．
解：AB与EF互相平分.理由如下：∵AH⊥EF，AC平分∠DAB∴AE=AG
∵AD=AB，∴BG=AE∴AG=BG,∴易证 AGE≌ BGF∴EG=FG∴AB与EF互相平分.
12.如图9,在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF．
求证：（1）△ABF≌△DAE；（2）DE＝BF+EF．
证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AD∥BC，∴∠BPA＝∠DAE，∵∠ABC＝∠AED，∴∠BAF＝∠ADE，∵∠ABF＝∠BPF，∠BPA＝∠DAE，∴∠ABF＝∠DAE，∵AB＝DA，∴△ABF≌△DAE（ASA）；
（2）∵△ABF≌△DAE，∴AE＝BF，DE＝AF，∵AF＝AE+EF＝BF+EF，∴DE＝BF+EF．
13.已知E、F分别是□ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．
（1）求证： ABE≌ CDF；
（2）若BC=10，∠BAC=90，且四边形AECF是菱形，求BE的长．
证：（1）∵□ABCD∴AB=CD，∠B=∠D，BE=DF∴ ABE≌ CDF
解：（2）∵四边形AECF是菱形∴AE=EC，∠EAC=∠ECA∴∠B=∠BAE∴EA=EB=EC=BC=5
四.提高题：
14.如图11，在菱形ABCD中，∠B=60，M、N分别为线段AB、BC上的两点，且BM=CN，AN、CM相交于点E。（1）证明：△BCM≌△CAN。
（2）求∠AED的度数。（3）证明：AE+CE=DE。
解：（1）∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,∵∠B=60°,
∴△ACD,△ABC是等边三角形,∴BC=AC,∠B=∠ACN=60°,
∴△BCM≌△CAN（SAS）．
（2）∵△BCM≌△CAN,∴∠BCM=∠CAN,∴∠AEM=∠ACE+∠EAC=∠ACE+∠BCM=60°,
如图,作DG⊥AN于G,DH⊥MC,交MC的延长线于H,
∵∠AEM=60°,∴∠AEC=120°,∵∠DGE=∠H=90°,∴∠GEH+∠GDH=180°,
∴∠GDH=∠ADC=60°,∴∠ADG=∠CDH,∴△DGA≌△DHC（AAS）,
∴DG=DH,∵DG⊥AN,DH⊥MC,∴∠DEG=∠DEH,∴DE平分∠AEC,即∠AED=60°．
（3）证明：由（2）可知,∠GED=60°,在Rt△DEG中,∵∠EDG=30°,∴DE=2EG,
∴△DEG≌△DEH（AAS）,∴EG=EH,
∵△DGA≌△DHC,∴GA=CH,∴EA+EC=EG+AG+EH-CH=2EG=DE.即EA+EC=ED．
F
D
B
A
E
C
如图3
如图2
如图1
D
A
E
F
B
C
B
M
A
O
C
N
DD
CB
AD
BC
EE
DA
G
F
y
O
A
D
C
B
x
如图8
图9
图10
图11
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（总课时01）§1.1菱形的性质与判定1
【学习目标】理解菱形的概念，会应用菱形的性质定理解决问题．【学习重难点】菱形的性质及其应用．
【导学过程】一.知识回顾：平行四边形的定义、性质和判定方法．
二.探究新知:
【知识点1】菱形的概念:下面几幅图片中都含有一些平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
【归纳】：定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
【思考】：菱形具有平行四边形的性质吗？你能列举吗？例：__对边平行且相等__。
【知识点2】菱形的性质（1）设计折纸活动探究：用菱形纸片折一折，回答下列问题：
①菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？
答：菱形是轴对称图形；它有两条对称轴，两条对称轴互相垂直平分.
②菱形中有哪些相等的线段？答：四条边相等；对角线互相平分构成两对相等线段.
（2）已知：如图1，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC、BD相交于点O．
求证：①AB=BC=CD=AD；
②AC⊥BD．
证明：①∵菱形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，
∵AB=AD，∴CD=BC，∴AB=BC=CD=AD.②∵AB=AD,DO=BO,AO=AO
∴ AOB≌ AOD∴∠AOD=∠AOB=90°∴AC⊥BD.
【归纳】：菱形的性质：性质1：菱形具有平行四边形所有的性质；性质2：菱形的四条边相等．
性质3：菱形的对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角．
性质4：菱形是轴对称图形，对称轴有2条；菱形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点．
三.典例与练习:
例1．如图2，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长．
解：∵菱形ABCD,∠BAD=60°
∴ ABD是等边三角形，
∴AB=BD=6.OB=3,AO=∴AC=
练习：1.如图3，在菱形ABCD中，对角线AC=8，BD=6，则菱形的边长AB=5_，菱形ABCD的面积为_12_．
2：如图4，菱形ABCD的周长为24cm，∠BAD:∠ABC=1:2，则对角线AC=__cm，BD=_6_cm．
总结经验：菱形的面积等于两对角线乘积的一半。
例2：如图5，在菱形ABCD中，∠B=30°，点E在CD边上，若AE=AC,DE=6，求AC的长.
解：如图，过点E作EF⊥AD于F，
∵四边形ABCD是菱形，∠B＝30°，∴∠D＝30°，AB＝AD，
∴∠BAC＝∠ACB＝75°＝∠ACD，∵AE＝AC，
∴∠AEC＝∠ACE＝75°，∵∠AEC＝∠D＋∠DAE，∴∠DAE＝45°，
∵EF⊥AD，∠D＝30°，DE＝6，∴EF＝3，∴AE＝EF＝3，∴AC=3.
练习：3.如图6，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB=8.求：
（1）∠ABC的度数；（2）对角线AC的长；（3）菱形ABCD的面积
解：（1）连接BD，∵E是AB的中点，且DE⊥AB，∴AD=BD
又AD=AB，∴ ABD是等边三角形，∴∠ABD=60 ，∠ABC=120
（2）设AC与BD相交于O∴OB=4∴BC=AB=8
根据勾股定理可得OC=，∴AC=2×4=8．
（3）菱形ABCD的面积=8×8×=32.
四.课堂小结：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
2.性质：性质1：菱形具有平行四边形所有的性质；性质2：菱形的四条边都相等；性质3：菱形的对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角;性质4：菱形是轴对称图形，对称轴有2条；菱形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点．
3.重要结论：菱形的面积等于两对角线乘积的一半。
五.分层过关：
1.已知菱形两个邻角的度数比是1︰5，一边上的高是，则菱形的周长是（ C ）
A. B. C. D.
2.如图7，菱形ABCD中，点E、F分别是AB、AD的中点，若BC=5，AC=6，则EF的长为( A )
A.4 B. C.5 D.
3.如图8，菱形ABCD的周长是20，对角线AC、BD相交于点O.若BO=3，则菱形ABCD的面积为_24_.
4.如图9，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD＝75°，
（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要
求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．
解：（1）如图所示，直线EF即为所求；
∵四边形ABCD是菱形，∴CD=CB,∴∠CDB＝∠CBD＝75°，∠C=30°．
∴∠A=∠C=30°∵EF垂直平分线段AB，∴AF＝FB，∴∠A＝∠FBA＝30°，
∴∠DBF＝∠ABD﹣∠FBE＝75°-30°=45°．
5.如图10，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E,F将对角线AC三等分，且AC=6，连接DE,DF,BE,BF.
（1）求证：四边形DEBF为菱形（2）求菱形DEBF的面积；
（3）若P是菱形ABCD的边上的点，则满足的点P的个数是_8_个.
解（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB，∠DAE=∠BAE，∴△AED≌△AEB（SAS）
同理可证：△AEB≌△CFD≌△CFB，∴DE=BE=DF=BF,∴四边形DEBF为菱形.
(2)连接DB，交AC于O，∵四边形ABCD是菱形，
∴DB⊥AC，，又∵AE=EF=FC=2，
∴AO=3，AD=2DO，∴，∴，
(3)不妨假设点P在线段AD上，作点E关于AD的对称点E′，连接FE′交AD于点P，此时PE＋PF的值最小．易知PE＋PF的最小值＝2当点P由A运动到D时，PE＋PF的值由最大值6减小到2再增加到4，∵PE＋PE＝，2＜＜4，∴线段AD上存在两个点P，满足PE＋PF＝∴根据对称性可知：菱形ABCD的边上的存在8个点P满足条件．
思考题：1.如图11，边形ABCD为菱形，点E为对角线AC上的一个动点，连接DE并延长交AB的延长线于点F，连接BE.
(1)如图11，求证：∠AFD=∠EBC；
(2)如图12，若DE=EC，且BE⊥AF，求∠DAB的度数.
证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BCE=∠DCE，∵BC＝CD，CE＝CE∴△BCE≌△DCE，∴∠CDE=∠CBE∵AB∥CD，∴∠AFD=∠CDE，∴∠AFD=∠CBE．
(2)∵DE=CE；∴∠EDC=∠ECD由（1）知∠EDC=∠EBC，∠CAD=∠CAB，设∠EDC=∠ECD=∠CBE=x；∴∠DCB=∠CBF=2x，∵BE⊥AF，∴∠EBF=x+2x=3x=90°，则x=30°；∴∠DAB=60°.
2.如图13，已知菱形OABC的边OA在x轴上，点B的坐标为(8，4)，P是对角线OB上的一个动点，点D(0，1)在y轴上，当PC＋PD最短时，点P的坐标为__（，）______．
解：如图连接AC，AD，分别交OB于G、P，作BK⊥OA于K．
在Rt△OBK中，OB=4，∵AC⊥OB，GC=AG，OG=BG=2，
设OA=AB=x，在Rt△ABK中，∵AB2=AK2+BK2，∴x2=（8-x）2+42，∴x=5，
∴A（5，0），∵A、C关于直线OB对称，∴PC+PD=PA+PD=DA，
∴此时PC+PD最短，∵直线OB解析式为y=0.5x，直线AD解析式为y=-0.2x+1，
∴点P坐标（，）.
A
D
B
C
O
A
D
B
C
O
图5
图6
O
图8
图7
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图10
图12
图11
图13
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（总课时01）§1.1菱形的性质与判定1
【学习目标】理解菱形的概念，会应用菱形的性质定理解决问题．
【学习重难点】菱形的性质及其应用．
【导学过程】
一.知识回顾：平行四边形的定义、性质和判定方法．
二.探究新知:
【知识点1】菱形的概念:下面几幅图片中都含有一些平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
【归纳】：定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
【思考】：菱形具有平行四边形的性质吗？你能列举吗？例：__________________。
【知识点2】菱形的性质：（1）设计折纸活动探究：用菱形纸片折一折，回答下列问题：
①菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？
答：_______________________________________________________________________________.
②菱形中有哪些相等的线段？
答：_________________________________________________________________.
（2）已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC、BD相交于点O．
求证：①AB=BC=CD=AD；②AC⊥BD．
【归纳】：菱形的性质：性质1：菱形具有平行四边形所有的性质；性质2：菱形的四条边相等．
性质3：菱形的对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角．
性质4：菱形是轴对称图形，对称轴有2条；菱形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点．
三.典例与练习：例1．如图2，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长．
练习：1.如图3，在菱形ABCD中，对角线AC=8，BD=6，则菱形的边长AB=_______，菱形ABCD的面积为________．
2：如图4，菱形ABCD的周长为24cm，∠BAD:∠ABC=1:2，则对角线AC=_____cm，BD=_______cm．
总结经验：菱形的面积等于两对角线乘积的一半.
例2：如图4，在菱形ABCD中，∠B=30°，点E在CD边上，若AE=AC,DE=6，求AC的长.
练习：3.如图6，在菱形中，是的中点，且，.求：
（1）的度数；
（2）对角线的长；
（3）菱形的面积
四.课堂小结：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
2.性质：性质1：菱形具有平行四边形所有的性质；性质2：菱形的四条边都相等；性质3：菱形的对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角;性质4：菱形是轴对称图形，对称轴有2条；菱形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点．
3.重要结论：菱形的面积等于两对角线乘积的一半。
五.分层过关：
1.已知菱形两个邻角的度数比是1︰5，一边上的高是8，则菱形的周长是（ ）
A.16 B.32 C.64 D.128
2.如图7，菱形ABCD中，点E、F分别是AB、AD的中点，若BC=5，AC=6，
则EF的长为( )A.4 B. C.5 D.
3.如图8，菱形ABCD的周长是20，对角线AC、BD相交于点O.若BO=3，
则菱形ABCD的面积为_________.
4.如图9，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD＝75°，
（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；
（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．
5.如图10，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E,F将对角线AC三等分，且AC=6，连接DE,DF,BE,BF.
（1）求证：四边形DEBF为菱形（2）求菱形DEBF的面积；
（3）若P是菱形ABCD的边上的点，则满足的点P的个数是 个.
思考题：
1.如图11，边形ABCD为菱形，点E为对角线AC上的一个动点，连接DE并延长交AB的延长线于点F，连接BE.
(1)如图11，求证：∠AFD=∠EBC；
(2)如图12，若DE=EC，且BE⊥AF，求∠DAB的度数.
2.如图13，已知菱形OABC的边OA在x轴上，点B的坐标为(8，4)，P是对角线OB上的一个动点，点
D(0，1)在y轴上，当PC＋PD最短时，点P的坐标为______．
B
A
C
D
O
图1
A
D
B
C
O
A
D
B
C
O
图6
图7
图9
图10
图12
图11
图13
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