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（总课时02）§1.1菱形的性质与判定 (2)
【学习目标】能够掌握菱形的判定定理，选择合适的判定方法证明菱形．
【学习重难点】菱形的判定方法及其应用．
【导学过程】
一.知识回顾：菱形具有而平行四边形不具有的性质是( )
A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
二.探究新知：
1．已知线段AC,你能用尺规作图的方法做一个菱形ABCD,使AC为菱形的一条对角线吗
以下是小刚的作法：如图1，分别以A、C为圆心，以大于二分之一AC为半径作弧，两弧交于点B、D,依次连接A、B、C、D,四边形ABCD看上去是菱形,
你是怎么做的 你认为小刚的作法正确吗 与同伴交流.
【归纳】：四边都相等的四边形是菱形.
2.证明：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
已知：如图2，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD。
求证：□ABCD是菱形。
【思考】：对角线互相垂直平分的四边形是菱形吗？为什么？
三.典例与练习
例1.已知：如图3，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=，AC=4，BD=2．
求证：□ABCD是菱形．
练习1.已知:如图4,在□ABCD中,对角线AC的垂直平分线分别与AD、AC、BC相较于点E、O、F.求证:四边形AECF是菱形
例2.如图5，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且OC=OD,PD∥AC，PC∥BD，PD，PC相交于点P，四边形PCOD是菱形吗？试说明理由．
练习2.已知：如图6，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，
F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点．
求证：四边形EFGH是菱形．
四.课堂小结：菱形的判定方法：
（1）定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形．
（2）定理：四条边都相等的四边形是菱形．
（3）定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
五.分层过关：
1.下列说法中错误的是( )A.四边相等的四边形是菱形 B.菱形的对角线长度等于边长
C.一组邻边相等的平行四边形是菱形 D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形
2.如图7，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，且AC,BD互相垂直平分，若∠BAD=80°，AB上有一点E，使BE=BO，那么∠AOE=_______．
3.如图8，平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，BD=6，AC=4，，则四边形ABCD的形状是_____．
4.在直角坐标系中，点A（－1，0），B（1，0），C（0，），若使以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，则符合条件的点D的个数是___________．
5.如图9，将 ABC沿着AC边翻折，得到 ADC，且AB‖CD．
（1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；（2）若AC=16，BC=10，，求四边形ABCD的面积．
思考题：1.如图10，在平行四边形ABCD中，DB＝DA，∠ADB的平分线交AB于点F，交CB的延长线于点E，连接AE．（1）求证：四边形AEBD是菱形；
（2）若DC＝，EF：BF＝3，求菱形AEBD的面积．
2.如图11，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P，则DP的长是________.
图1
A
C
图2
A
O
D
B
C
图3
图4
图5
A
O
D
B
C
F
G
E
H
图6
图8
图7
图9
图10
图11
图11
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（总课时02）§1.1菱形的性质与判定 (2)
【学习目标】能够掌握菱形的判定定理，选择合适的判定方法证明菱形．
【学习重难点】菱形的判定方法及其应用．
【导学过程】
一.知识回顾：菱形具有而平行四边形不具有的性质是( D )
A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
二.探究新知：
1．已知线段AC,你能用尺规作图的方法做一个菱形ABCD,使AC为菱形的一条对角线吗
以下是小刚的作法：如图1，分别以A、C为圆心，以大于二分之一AC为半径作弧，两弧交于点B、D,依次连接A、B、C、D,四边形ABCD看上去是菱形
你是怎么做的 你认为小刚的作法正确吗 与同伴交流.
正确.∵AB=DC，AD=BC∴它是平行四边形，AB=AD∴它是菱形.
【归纳】：四边都相等的四边形是菱形
2.证明：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
已知：如图2，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD。
求证：□ABCD是菱形。
证：∵AC⊥BD，AO=CO∴ ABC是等腰三角形，∴AB=CB∴□ABCD是菱形
【思考】：对角线互相垂直平分的四边形是菱形吗？为什么？是菱形.
三.典例与练习：
例1.已知：如图3，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=，AC=4，BD=2．
求证：□ABCD是菱形．
证：∵AO2+BO2=4+1=5=AB2∴ ABC是直角三形，
∴AC⊥BD，∴□ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是∽.）
练习1.已知:如图4,在□ABCD中,对角线AC的垂直平分线分别与AD、AC、BC相较于点E、O、F.求证:四边形AECF是菱形.
证：易证 AOE≌ COF∴OE=OF，AC与EF互相垂直平分，∴四边形AECF是菱形.
例2.如图5，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且OC=OD,PD∥AC，PC∥BD，PD，PC相交于点P，四边形PCOD是菱形吗？试说明理由．
解：∵PD∥AC，PC∥BD∴四边形PDOC是平行四边形∵OD=OC
∴四边形PCOD是菱形
练习2.已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点．求证：四边形EFGH是菱形．
证：∵菱形ABCD ∴AB=BC=CD=AD∵E、F、G、H分别是OA、OB、
OC、OD的中点∴
∴EF=FG=GH=EH∴四边形EFGH是菱形.
四.课堂小结：菱形的判定方法：
（1）定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形．
（2）定理：四条边都相等的四边形是菱形．
（3）定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
五.分层过关：
1.下列说法中错误的是( B )
A.四边相等的四边形是菱形； B.菱形的对角线长度等于边长；
C.一组邻边相等的平行四边形是菱形； D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形.
2.如图7，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，且AC,BD互相垂直平分，若∠BAD=80°，AB上有一点E，使BE=BO，那么∠AOE=_25°_．
3.如图8，平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，BD=6，AC=4，，则四边形ABCD的形状是__菱形___．
4.在直角坐标系中，点A（－1，0），B（1，0），C（0，），若使以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，则符合条件的点D的个数是__3__．
5.如图9，将 ABC沿着AC边翻折，得到 ADC，且AB‖CD．
（1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）若AC=16，BC=10，求四边形ABCD的面积．
解：（1）四边形ABCD是菱形；理由如下：
∵ ABC沿着AC边翻折，得到 ADC，∴AB=AD，BC=CD，∠BAC=∠DAC，
∠BCA=∠DCA，∵AB∥CD，∴∠BCA=∠DCA，∴∠BAC=∠DAC=∠BCA=∠DCA，
∴AD∥BC，AB=AD=BC=CD，∴四边形ABCD是菱形；
（2）连接BD交AC于O，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，，OB=OD，∴，∴，∴四边形ABCD的面积．
思考题：1.如图10，在平行四边形ABCD中，DB＝DA，∠ADB的平分线交AB于点F，交CB的延长线于点E，连接AE．（1）求证：四边形AEBD是菱形；（2）若DC＝，EF：BF＝3，求菱形AEBD的面积．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEB，
∵DE平分∠ADB，∴∠ADE＝∠BDE，∴∠BED＝∠BDE，∴BE＝BD，
∵BD＝DA，∴AD＝BE，且AD∥BE，∴四边形ADBE是平行四边形，
∵AD＝BD，∴四边形AEBD是菱形．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝，∵四边形AEBD是菱形，
∴AB⊥DE，AF＝FB＝AB＝，EF＝DF，∵EF：BF＝3，∴EF＝3BF＝，
∴DE＝2EF＝3，∴S菱形AEBD＝ AB DE＝××3＝15．
2.如图11，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P，则DP的长是__﹣1..
解:如图所示，连接BD交AC于O，∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝AB＝2，
∠BCD＝∠BAD＝60°，∠ACD＝∠BAC＝0.5∠BAD＝30°，OA＝OC，AC⊥BD，
∴OB＝0.5AB＝1，∴OA＝OB＝，∴AC＝2，由旋转的性质得：AE＝AB＝2，∠EAG＝∠BAD＝60°，∴CE＝AC﹣AE＝2﹣2，∵四边形AEFG是菱形，∴EF∥AG，∴∠CEP＝∠EAG＝60°，∴∠CEP+∠ACD＝90°，∴∠CPE＝90°，∴PE＝CE＝﹣1，PC＝PE＝3﹣，
∴DP＝CD﹣PC＝2﹣（3﹣）＝﹣1.
故答案为：﹣1.
图1
A
C
图2
A
O
D
B
C
图3
图4
图5
A
O
D
B
C
F
G
E
H
图6
图7
图8
图9
图10
图11
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（总课时02）§1.1菱形的性质与判定 (2)
一.选择题：1.如图，AC＝AD，BC＝BD，则正确的结论是（ ）A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分 D．四边形ABCD是菱形
2.如图，□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是OA，OC的中点，下列条件中，不能判断四边形BEDF是菱形的是（ ）A.AC⊥BD B.AC＝2BD C.AC平分∠BAD DAB＝BC
3．下列条件中，能判断四边形是菱形的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的四边形 B．对角线互相垂直的四边形
C．对角线相等的平行四边形 D．对角线互相垂直平分的四边形
4．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②EG＝GF；③△EFG≌△GBE；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的是（ ）A．①②③ B．①③④ C．①②⑤ D．②③⑤
5．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AF＝6，则四边形AEDF的周长是（ ）A．24 B．28 C．32 D．36
二.填空题：6.如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF．给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB＝AC；从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是 （只填写序号）．
7．如图，在□ABCD中，添加一个条件 或 使平行四边形ABCD是菱形．
8．如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，若要使四边形EFGH成为菱形，则□ABCD应满足的条件是 （写出一种即可）．
9．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝ 时，平行四边形CDEB为菱形．
10.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若AG＝13，BG＝5，则CF＝ ．
三.解答题：
11.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH＝EH．求证：四边形EBFC是菱形．
12．如图，在△ABC中，D、E、F分别为边AB、BC、CA的中点．
（1）求证：四边形DECF是平行四边形．
（2）当AC、BC满足何条件时，四边形DECF为菱形？
13．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AF＝BD．（2）求证：四边形ADCF是菱形．
四.提高题：
14.如图，在△ABC中，BD是AC边上的中线，F是BD上的一点，过点C作CE∥AF，交BD的延长线于点E．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形．
（2）若AB＝BC，求证：四边形AFCE是菱形．
第14题
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（总课时02）§1.1菱形的性质与判定 (2)
一.选择题：
1.如图，AC＝AD，BC＝BD，则正确的结论是（A）
A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分 D．四边形ABCD是菱形
2.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是OA，OC的中点，下列条件中，不能判断四边形BEDF是菱形的是（ B）A．AC⊥BD B．AC＝2BD C．AC平分∠BAD D．AB＝BC
3．下列条件中，能判断四边形是菱形的是（ D ）
A．对角线互相垂直且相等的四边形 B．对角线互相垂直的四边形
C．对角线相等的平行四边形 D．对角线互相垂直平分的四边形
4．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②EG＝GF；③△EFG≌△GBE；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的是（ B ）A．①②③ B．①③④ C．①②⑤ D．②③⑤
5．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AF＝6，则四边形AEDF的周长是（ A ）A．24 B．28 C．32 D．36
二.填空题：
6.如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF．给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB＝AC；从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是_③_（只填写序号）．
7．如图，在□ABCD中，添加一个条件AB＝BC或AC⊥BD使平行四边形ABCD是菱形．
8．如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，若要使四边形EFGH成为菱形，则□ABCD应满足的条件是 AB＝AD （写出一种即可）．
9．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝ 时，平行四边形CDEB为菱形．
10.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若AG＝13，BG＝5，则CF＝ 6 ．
三.解答题：
11.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH＝EH．求证：四边形EBFC是菱形．
证明：∵AB＝AC，AH⊥CB，∴BH＝HC，
∵FH＝EH，∴四边形EBFC是平行四边形，
又∵AH⊥CB，∴四边形EBFC是菱形．
12．如图，在△ABC中，D、E、F分别为边AB、BC、CA的中点．（1）求证：四边形DECF是平行四边形．（2）当AC、BC满足何条件时，四边形DECF为菱形？
证明：（1）∵D、F分别为边AB、CA的中点．
∴DF∥BC，DF＝BC，
∵E为边BC的中点∴EC＝BC，
∴DF＝EC，且DF∥EC∴四边形DECF是平行四边形，
（2）当AC＝BC时，四边形DECF为菱形；理由如下，∵E、F分别为边BC、CA的中点，∴EC＝BC，CF＝AC，且AC＝BC∴EC＝CF，∴平行四边形DECF是菱形．
13．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AF＝BD．（2）求证：四边形ADCF是菱形．
证明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE
∵△ABC是直角三角形，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，
∴AE＝DE，BD＝CD易证△AFE≌△DBE∴AF＝BD
（2）由（1）知，AF＝BD，且BD＝CD，
∴AF＝CD，且AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴∴四边形ADCF是菱形
四、提高题：14.如图，在△ABC中，BD是AC边上的中线，F是BD上的一点，过点C作CE∥AF，交BD的延长线于点E．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形．
（2）若AB＝BC，求证：四边形AFCE是菱形．
证明：（1）∵CE∥AF，∴∠DAF＝∠DCE，∠AFD＝∠CED，
易得：△ADF≌△CED（AAS），∴AF＝CE，∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）∵四边形AFCE是平行四边形，∴AD＝DC，DF＝DE，
∵AB＝BC，AD＝DC，∴AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形．
第14题
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