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（总课时03）§1.1菱形的性质与判定（3）
【学习目标】能综合运用菱形的性质和判定解决问题.【学习重难点】提高综合运用能力.
【学导过程】
一.知识回顾:
菱形的定义: ；性质定理: ；判定定理: ．
二.典例与练习
例1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且AC=16，BD=12．
（1）求菱形的边长AB；（2）求AB边上的高DH．
练习：1．如图1，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，H为边AD中点，则OH的长为_______．
2．如图2，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，当菱形的两条对角线长分别是6和8时，阴影部分的面积是_____．
3．如图3，已知菱形ABCD的两条对角线长分别是6和8，M，N分别是边BC，CD的中点，点P是对角线BD上一动点，则PM+PN的最小值为___________．
图2 图3 图4
已知：如图5，在四边形ABCD中，AD=BC，点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点．
求证：四边形EGFH是菱形．
练习：4．如图6，已知点E、F分别是平行四边形ABCD的边BC、AD的中点，且∠BAC=90°．
求证：四边形AECF是菱形；
若∠B=30°，BC=10，求菱形AECF的面积．
5．如图7，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D．作CD的垂直平分线EF，分别交AC、DC、BC于点E、G、F，连接DE、DF．
求证：四边形DFCE是菱形；
若∠ABC=60°，∠ACB=45°，BD=2，试求BF的长．
三.课堂小结：1.菱形具有平行四边形的所有性质；
2.证明一个四边形是菱形，首先证明它是一个平行四边形，再证明它是一个菱形.
四.分层过关：
1．如图8，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是（ ）
A．△ABD与△ABC的周长相等 B．△ABD与△ABC的面积相等
C．菱形的周长等于两条对角线之和的两倍 D．菱形的面积等于两条对角线之积的两倍
2．如图9，菱形ABCD的边长为4，过点A、C作对角线AC的垂线，分别交CB和AD的延长线于点E、F，若AE=3，则四边形AECF的周长为（ ）A.22 B.18 C.14 D.11
3.（2019四川绵阳）如图10，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O（0，0），A（4，0），∠AOC=60°，则对角线交点E的坐标为（ ）A.（2， ） B.（，2） C. （，3） D. （3，）
4.如图11，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且BE∥CF．
(1)求证：△BDE≌△CDF,(2)连接BF，CE，若AB=AC时，判断四边形BECF的形状.
5．如图12，在△ABC中，BD为的角平分线，EF垂直平分BD分别交AB、BC于点E、F，垂足为点G，连接DE、DF．（1）求证：四边形BEDF为菱形；
（2）若∠ABC=45°，∠A=30°，BE=2，求AE的长．
思考题：
1.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论中一定成立的是 __ ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）①OG＝AB；②与△EGD全等的三角形共有5个；③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布
2.如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠D＝120°，将菱形翻折，使点A落在边CD的中点E处，折痕交边AD，AB于点G，F，求AF的长.
C
D
A
H
B
O
图1
B
M
C
N
D
A
P
A
O
D
B
C
H
C
B
A
D
O
C
A
E
B
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F
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G
图5
D
E
C
A
F
B
图6
C
F
B
E
A
D
G
图7
图11
C
B
E
F
D
A
图9
B
C
D
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图8
图10
C
F
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E
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G
H
图12
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（总课时03）§1.1菱形的性质与判定（3）
一.选择题：1.下列说法中，错误的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．菱形的对角线互相垂直 D．平行四边形的对角线互相平分
2．如图1，将两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD B.AB＝BC C．AB＝CD，AD＝BC D．∠DAB+∠BCD＝180°
如图2，O是菱形ABCD的对角线的交点，E、F分别是OA、OC的中点，下列结论：①四边形BFDE是菱形；②S四边形ABCD＝EF×BD；③∠ADE＝∠EDO；④△DEF是轴对称图形．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图3，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，CE⊥AB于点E，点F、G分别是AD、BC的中点，连接CF、EF、FG，下列结论：①CE⊥FG；②四边形ABGF是菱形；③EF＝CF；④∠EFC＝2∠CFD．其中正确的个数是（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二.填空题：5.如图4，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．且AD交EF于点O，则∠AOF＝ 度．
6.如图5，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的平分线交AC于点D．过点A作AE⊥BC于点E，交BD于点G，过点D作DF⊥BC于点F，过点G作GH∥BC，交AC于点H，则下列结论：①∠BAE＝∠C；②∠ADF＝2∠CDF；③四边形AGFD是菱形；④CH＝DF．其中正确结论的序号是 ．
7．如图6所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝6，CD＝8，E，F分别是边AB、CD的中点，DH⊥BC于点H，现有下列结论；①∠CDH＝30°；②EF＝4；③四边形EFCH是菱形；④S△EFC＝3S△BEH．你认为结论正确的有 ．（填写正确结论的序号）
三.解答题:8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长DE至F，使得AF∥CD，连接BF，CF．（1）求证：四边形AFCD是菱形；（2）当AC＝5，BC＝5时，判断△DFB的形状，并说明理由．
9.如图8，△ABC中，AB＝BC，过A点作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接BD与AC交于点O，连接CD．（1）求证四边形ABCD是菱形；（2）过点D作DE⊥BC与BC的延长线交于E点，连接EO，若CE＝3，DE＝4，求OE的长．
10．如图9，已知平行四边形ABCD中，EF垂直平分线段BD，连接BE，DF．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若AB＝3，AD＝6，∠BAD＝135°，求AE的长．
四.提高题：11.如图11，在□ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作□ECFG．（1）证明□ECFG是菱形；（2）若∠ABC＝120°，连结BD、CG、DG，求∠BDG的度数；
图7
图8
图9
图11
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（总课时03）§1.1菱形的性质与判定 （3）
一.选择题：1.下列说法中，错误的是（ A ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．菱形的对角线互相垂直 D．平行四边形的对角线互相平分
2．如图1，将两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（ D ）
A．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD B．AB＝BC C．AB＝CD，AD＝BC D．∠DAB+∠BCD＝180°
3.如图2，O是菱形ABCD的对角线的交点，E、F分别是OA、OC的中点，下列结论：①四边形BFDE是菱形；②S四边形ABCD＝EF×BD；③∠ADE＝∠EDO；④△DEF是轴对称图形．其中正确的结论有（ C ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图3，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，CE⊥AB于点E，点F、G分别是AD、BC的中点，连接CF、EF、FG，下列结论：①CE⊥FG；②四边形ABGF是菱形；③EF＝CF；④∠EFC＝2∠CFD．其中正确的个数是（ D ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二.填空题：5.如图4，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．且AD交EF于点O，则∠AOF＝ 90 度．
6.如图5，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的平分线交AC于点D．过点A作AE⊥BC于点E，交BD于点G，过点D作DF⊥BC于点F，过点G作GH∥BC，交AC于点H，则下列结论：①∠BAE＝∠C；②∠ADF＝2∠CDF；③四边形AGFD是菱形；④CH＝DF．其中正确结论的序号是①②④．
7．如图6所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝6，CD＝8，E，F分别是边AB、CD的中点，DH⊥BC于点H，现有下列结论；①∠CDH＝30°；②EF＝4；③四边形EFCH是菱形；④S△EFC＝3S△BEH．你认为结论正确的有①②③．（填写正确结论的序号）
三.解答题:8.如图7，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，
延长DE至F，使得AF∥CD，连接BF，CF．（1）求证：四边形AFCD是菱形；
（2）当AC＝5，BC＝5时，判断△DFB的形状，并说明理由．
（1）证明：∵AF∥CD，∴∠EAF＝∠ECD，∵E是AC中点，∴AE＝EC，易证△AEF≌△CED（ASA），
∴AF＝CD，∴四边形AFCD是平行四边形，∵∠ACB＝90°，AD＝DB，∴CD＝AD＝BD，∴四边形AFCD是菱形．
（2）△DFB是等腰三角形．
9.如图8，△ABC中，AB＝BC，过A点作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接BD与AC交于点O，连接CD．（1）求证四边形ABCD是菱形；（2）过点D作DE⊥BC与BC的延长线交于E点，连接EO，若CE＝3，DE＝4，求OE的长．
证明：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB∴AB＝AD，且AB＝BC，∴AD＝BC，且AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，
（2）∵DE⊥BC，CE＝3，DE＝4，
∴CD＝5，∴BC＝CD＝5，BO＝DO∴BE＝8，∴BD＝4，
∵BO＝DO，DE⊥BC∴OE＝2
10．如图9（1），已知平行四边形ABCD中，EF垂直平分线段BD，连接BE，DF．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若AB＝3，AD＝6，∠BAD＝135°，求AE的长．
（1）证明：∵AD∥BC，AD＝BC，OB＝OD，∠ODE＝∠OBF，易证△ODE≌△OBF（ASA），∴DE＝BF，∴四边形BEDF是平行四边形，又∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形；
（2）如图9（2），过点B作BM⊥AD于M，∴∠BAM＝45°，且BM⊥AD，AB＝3，∴BM＝AM＝3，∵BE＝DE，∵BE2＝BM2+EM2，∴（6﹣AE）2＝（AE+3）2+9，
∴AE＝1.
四.提高题：11.如图11，在□ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作□ECFG．（1）证明□ECFG是菱形；（2）若∠ABC＝120°，连结BD、CG、DG，求∠BDG的度数；
解：（1）证明：∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF，
∵AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，
∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴四边形ECFG为菱形.
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，
∵∠ABC＝120°，∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°
由（1）知，四边形CEGF是菱形，
∴CE＝GE，∠BCG＝0.5∠BCF＝60°，∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，
∵EG∥DF，∴∠BEG＝120°＝∠DCG，
∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，
∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，
∴BE＝CD，∴△BEG≌△DCG（SAS），∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，
∴∠BGD＝∠CGE，∵CG＝GE＝CE，∴△CEG是等边三角形，
∴∠CGE＝60°，∴∠BGD＝60°，
∵BG＝DG，∴△BDG是等边三角形，∴∠BDG＝60°.
图7
图8
图9（2）
图9（1）
图11
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（总课时03）§1.1菱形的性质与判定 （3）
【学习目标】能综合运用菱形的性质和判定解决问题.
【学习重难点】提高综合运用能力.
【学导过程】
一.知识回顾：菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
性质定理:①菱形的四条边相等．②菱形的对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角．③菱形是轴对称图形，对称轴有2条；菱形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点．
判定定理:①四条边都相等的四边形是菱形．②对角线互相垂直的平行四边形是菱形．③定义.
二.典例与练习:
例1．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且AC=16，BD=12．
（1）求菱形的边长AB；（2）求AB边上的高DH．
解（1）AB=10;(2)DH=9.6；
练习：1．如图2，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，H为边AD中点，则OH的长为_2.5_．
2．如图3，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，当菱形的两条对角线长分别是6和8时，阴影部分的面积是_12_．
3．如图4，已知菱形ABCD的两条对角线长分别是6和8，M，N分别是边BC，CD的中点，点P是对角线BD上一动点，则PM+PN的最小值为_5_．
图2 图3 图4
已知：如图5，在四边形ABCD中，AD=BC，点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点．
求证：四边形EGFH是菱形．
证明：∵E、F、G、H分别为AB、CD、AC、BD的中点
∴
∵AD=BC∴FG=EG=EH=FH∴四边形EGFH为菱形
练习：4．如图6，已知点E、F分别是平行四边形ABCD的边BC、AD的中点，且∠BAC=90°．
求证：四边形AECF是菱形；
若∠B=30°，BC=10，求菱形AECF的面积．
（1）证明：∵平行四边形ABCD∴AD=BC，AD//BC∵E、F分别为BC、AD的中点
∴∴AF=EC,AF//EC∴四边形AECF为平行四边形
∵∠BAC=90°，E为BC中点 ∴AE=CE∴平行四边形AECF为菱形
（2）∵∠B=30°，BC=10，∠BAC=90°∴AC=5，AB=∴
5．如图7，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D．作CD的垂直平分线EF，分别交AC、DC、BC于点E、G、F，连接DE、DF．（1）求证：四边形DFCE是菱形；
（2）若∠ABC=60°，∠ACB=45°，BD=2，试求BF的长．
(1)证明：∵EF是CD的垂直平分线,∴DE=CE,DF=CF，DG=CG,∠EGC=∠FGC=90°
∵BD平分∠ABC,∴∠ECG=∠FCG,又∴CG=CG,∴△CFG≌△CEG
∴CE=CF ∴DE=CE=CF=DF ∴四边形DECF为菱形
（2）如图，作DH垂直BC于H，则∠DHF=∠DHB=90°
∵∠ABC=60°∴∠BDH=30°∵BD=2 ∴BH=1，DH=
∵菱形DECF∴DF//EC∴∠DFH=∠ACB=45°
∴∠FDH=45°=∠DFH∴BF=1+
三.课堂小结：1.菱形具有平行四边形的所有性质；
2.证明一个四边形是菱形，首先证明是一个平行四边形，再证明是一个菱形.
四.分层过关：
1．如图8，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是（ B ）
A．△ABD与△ABC的周长相等 B．△ABD与△ABC的面积相等
C．菱形的周长等于两条对角线之和的两倍 D．菱形的面积等于两条对角线之积的两倍
2．如图9，菱形ABCD的边长为4，过点A、C作对角线AC的垂线，分别交CB和AD的延长线于点E、F，若AE=3，则四边形AECF的周长为（ A ）A.22 B.18 C.14 D.11
3．如图10，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O（0，0），A（4，0），∠AOC=60°，则对角线交点E的坐标为（ D ）A.（2，）B.（，2）C.（，3）D.（3，）
4.如图11，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且BE∥CF．
(1)求证：△BDE≌△CDF,(2)连接BF，CE，若AB=AC时，判断四边形BECF的形状.
证：(1)∵BD=CD,BE∥CF∴易得：△BDE≌△CDF.
（2）四边形BECF是菱形.∵AB=AC，点D是BC的中点∴AD⊥BC；由（1）知，BEFC是平行四边形，∴四边形BECF是菱形.
5．如图12，在△ABC中，BD为∠B的角平分线，EF垂直平分BD分别交AB、BC于点E、F，垂足为点G，连接DE、DF．（1）求证：四边形BEDF为菱形；（2）若∠ABC=45°，∠A=30°，BE=2，求AE的长．
证明：(1)证明：∵EF是CD的垂直平分线∴DE=BE,DF=BF，DG=BG,∠BGF=∠BGE=90°
∵BD平分∠ABC∴∠EBG=∠FCG又∴BG=BG∴△BFG≌△BEG
∴BE=BF∴DE=BE=BF=DF∴四边形BEDF为菱形.
(2）作DH垂直AB于H，则∠HDF=∠DHA=90°∵菱形BEDF，BE=2∴DE=2，DE//BF
∴∠AED=∠ABC=45°∴∠EDH=45°=∠HED ∴EH=HD 设EH=HD=x，则DE==2，
∴DH=EH=，∴AD=2DH=，AH=，∴AE=.
思考题：1.如图13，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论中一定成立的是 ①③ ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）①OG＝AB；②与△EGD全等的三角形共有5个；③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．
解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD，∵CD＝DE，∴AB＝DE，易得：△ABG≌△DEG（AAS），∴AG＝DG，∴OG是△ACD的中位线，∴OG＝CD＝AB，①正确；
∵AB∥CE，AB＝DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∵∠BCD＝∠BAD＝60°，
∴△ABD、△BCD是等边三角形，∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，
∴OD＝AG，四边形ABDE是菱形，③正确；∴AD⊥BE，由菱形的性质得：△ABG≌△BDG≌△DEG，
易得△ABG≌△DCO（SAS），∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，②不正确；正确的是①③．故答案为：①③．
2.如图14，在菱形ABCD中，AB＝2，∠D＝120°，将菱形翻折，使点A落在边CD的中点E处，折痕交边AD，AB于点G，F，求AF的长.
解过点E作EN⊥AB于N，过点A作AM⊥CD于M，如图
∵ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD=AB=CD=AB=2
∵∠D＝120°，∴∠ADM=∠BAD=∠HDE=60°，
在Rt△AMD中，AD=2，AM⊥DM，∠ADM=60°∴MD=1，AM=，
∵AB∥CD，AM∥EN∴AMEN是平行四边形且AM⊥CD∴AMEN是矩形
∴AN=ME=1+1=2，（即N与B重合）AM=EN=，在Rt△FBE中，EF2=EN2+FB 2
EF2=（2-EF）2+3∴EF=.
C
D
A
H
B
O
图1
B
M
C
N
D
A
P
A
O
D
B
C
H
C
B
A
D
O
G
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C
A
E
B
D
F
图5
D
E
C
A
F
B
图6
C
F
B
E
A
D
G
图7
B
C
D
A
图8
C
B
E
F
D
A
图9
图10
图11
C
F
B
D
E
A
G
H
图12
图13
图14
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