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（总课时04）§1.2矩形的性质与判定 1
一.选择题：
1.如图，点E、F分别在矩形ABCD的边AD、AB上，连接EF，四边形ABFE沿EF翻折能与四边形A1B1FE重合，且A1B1与ED相交，若∠B1FC=50°，则∠A1ED=( )A．50° B．45° C．40° D．35°
2.如图，在矩形ABCD中，点A的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（2，4），则BD的长是（ ）
A．6 B．5 C．3 D．4
3．如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=6,P是CD边上的中点，E是BC边上的一动点，M,N分别是AE、PE的中点，则随着点E的运动，线段MN长为（ ）A． B． C． D．不确定
4．下列说法中，正确的有（ ）①全等的两个三角形一定成轴对称；②如果三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形；③三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等；④如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3个
5．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BC＝16，F是线段DE上一点，连接AF、CF，DE＝4DF，若∠AFC＝90°，则AC的长度是（ ）A．6 B．8 C．10 D．12
二.填空题
6.如图在矩形ABCD中，对角线AC与BD 相交于O点，且AB=OA=2cm，则BD为 cm，BC cm．
7.如图，在矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按图示方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF．则DE=____．
8.如图，BD是Rt△ABC斜边上的中线，且AB＝4cm，BD＝3cm．则AC=_____；△ABD的面积=_____．
9.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为EF，若∠ABE=20°，那么∠DEF的度数为_______.
10.如图，矩形ABCD中，AB=5，BC=7，E为BC上的动点，将矩形沿直线AE翻折，使点B的对应点B＇落在∠ADC的平分线上，过点B＇作B＇F⊥BC于点F，求△B＇EF的周长______.
三.解答题：
11.已知四边形ABCD是矩形,O是对角线的交点.图中共有几对三角形全等
并选择一对加以
证明.（1）有________对.
（2）证明:
12.如图，矩形ABCD中，∠ABD、∠CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于点E、F.
求证；四边形BEDF是平行四边形。
13.如图：BE、CF是锐角△ABC的两条高，M、N分别是BC、EF的中点，若EF=6，BC=24.
（1）证明：∠ABE=∠ACF；（2）判断EF与MN的位置关系，并证明你的结论；
（3）求MN的长.
四.提高题：
14.在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O(0，0)，点A(5，0)，点B(0，3)．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F．
(Ⅰ)如图①，当点D落在BC边上时，求点D的坐标；
(Ⅱ)如图②，当点D落在线段BE上时， AD与BC交于点H．
①求证△ADB≌△AOB；②求点H的坐标．
(Ⅲ)记K为矩形AOBC对角线的交点，S为△KDE的面积，求S的取值范围(直接写出结果即可)．
第9题
第11题
第12题
第13题
第14题
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（总课时04）§1.2矩形的性质与判定 1
一.选择题：
1.如图，点E、F分别在矩形ABCD的边AD、AB上，连接EF，四边形ABFE沿EF翻折能与四边形A1B1FE重合，且A1B1与ED相交，若∠B1FC=50°，则∠A1ED=( A )A．50° B．45° C．40° D．35°
2.如图，在矩形ABCD中，点A的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（2，4），则BD的长是（ B ）
A．6 B．5 C．3 D．4
3．如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=6,P是CD边上的中点，E是BC边上的一动点，M,N分别是AE、PE的中点，则随着点E的运动，线段MN长为（ A ）
A． B． C． D．不确定
4．下列说法中，正确的有（ D ）①全等的两个三角形一定成轴对称；②如果三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形；③三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等；④如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3个
5．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BC＝16，F是线段DE上一点，连接AF、CF，DE＝4DF，若∠AFC＝90°，则AC的长度是（ D ）
A．6 B．8 C．10 D．12
二.填空题:6.如图在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于O点，且AB=OA=2cm，则BD为 4 cm，BC 2 cm．
7.如图，在矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按图示方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE=__．
8.如图，BD是Rt△ABC斜边上的中线，且AB＝4cm，BD＝3cm．则AC=_6_；△ABD的面积=_4_．
9.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠ABE=20°，那么
∠DEF的度数为55 .
10.如图，矩形ABCD中，AB=5，BC=7，E为BC上的动点，将矩形沿直线AE翻折，
使点B的对应点B＇落在∠ADC的平分线上，过点B＇作B＇F⊥BC于点F，
求△B＇EF的周长_4或6_.
三.解答题：11.已知四边形ABCD是矩形,O是对角线的交点.图中共有几对三角形全等 并选择一对加以证明.（1）有_8_对.（1）根据矩形的性质和全等三角形的性质可知，
有△AOB≌△DOC，△AOD≌△BOC，△ABD≌△DCA，△ABD≌△CDB，
△ABD≌△BAC，△DCA≌△CDB，△DCA≌△BAC，△CDB≌△BAC，
共8对，故答案为：8；
（2）△ABD≌△CDB，
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，
又∵BD=DB，∴△ABD≌△CDB（SSS）.
12.如图，矩形ABCD中，∠ABD、∠CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于点E、F.
求证；四边形BEDF是平行四边形.
解：∵AB∥CD，BC∥AD，∴∠ABD=∠BDC,
∵BE平分∠ABD，DF平分BDC,∴∠EBD=∠FDB,
∴BE∥DF，且BC∥DE,∴四边形BEDF是平行四边形．
13.如图：BE、CF是锐角△ABC的两条高，M、N分别是BC、EF的中点，若EF=6，BC=24.
（1）证明：∠ABE=∠ACF；（2）判断EF与MN的位置关系，并证明你的结论；
（3）求MN的长.
解：（1）∵∠ABE＋∠A＝90°，∠ACF＋∠A＝90°，
∴∠ABE＝∠ACF；
（2）如图，连接EM、FM，∵BE、CF是锐角△ABC的两条高，M是BC的中点，
∴EM＝FM＝0.5BC，
∵N是EF的中点，∴MN垂直平分EF；
（3）∵EF＝6，BC＝24，∴EM＝0.5BC＝12，EN＝0.5EF＝3，
由勾股定理得，MN＝．
四、提高题：14.在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O(0，0)，点A(5，0)，点B(0，3)．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F．
(1)如图①，当点D落在BC边上时，求点D的坐标；
(2)如图②，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H．
①求证△ADB≌△AOB；②求点H的坐标．
(3)记K为矩形AOBC对角线的交点，S为△KDE的面积，求S的取值范围(直接写出结果即可)．
解(1)如图①中，∵OA=5，OB=3，∴AC=OB=3，OA=BC=5，
∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到，∴AD=AO=5，
在Rt△ADC中，CD=，
∴BD=BC﹣CD=1，∴D(1，3)；
(2)①如图②中，连结AB，由四边形ADEF是矩形，得到∠ADE=90°，
∵点D在线段BE上，∴∠ADB=90°，
∵AD=AO，AB=AB，∠AOB=90°，∴Rt△ADB≌Rt△AOB(HL)；
②如图②中，由△ADB≌△AOB，得到∠BAD=∠BAO，
∵OA∥BC，∴∠CBA=∠OAB，∴∠BAD=∠CBA，
∴BH=AH，设AH=BH=m，则HC=BC﹣BH=5-m，在Rt△AHC中，
∵m2=32+(5m)2，∴m=，即BH=，∴H(，3)；
(3)如图③中，当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，
最小值=0.5DE DK=0.5×3×(5)=，
当点D在BA的延长线上时，△D′E′K的面积最大，
最大面积=0.5D′E′ KD′=0.5×3×(5+)=．
综上所述，．
2S的值等于3×KP，当P点与D点重合量KP最小，所以此时S是最小值。
第9题
第11题
第12题
第13题
第14题
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（总课时04）§1.2矩形的性质与判定 (1)
【学习目标】理解矩形的概念，会证明矩形的性质定理；掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
【学习重难点】理解矩形的概念；运用矩形性质定理解决问题．
【导学过程】
一.知识回顾：
平行四边形的定义是：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
性质：①两组对边分别平行②两组对边分别相等③对角线互相平分④两组对角相等；
判定方法：①定义②一组对边平行且相等③两组对边分别相等④对角线互相平分⑤两组对角分别相等。
二.探究新知：
1．引入：以课室为背景，观察门，窗，课桌面和课本封面这些图形，你能发现它们有什么样的共同特征？
矩形的定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形．
2．探讨：（1）思考：①矩形具有平行四边形的性质吗？你能列举吗？
②矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？是轴对称图形；有两条对称轴.
③你猜想矩形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流．
（2）例：已知，如图1，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与DB相交于点O．
求证：①∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°；②AC=DB．
证：①∵四边形ABCD是矩形∴它是平行四边形∴AD‖BC∴∠ABC+∠BAD=180
∵∠ABC=90°∴∠BAD=90 同理得：∠BCD=∠DAB=90°
②易证Rt△ABC≌Rt△DCB∴AC=BD
（3）总结：矩形特有的性质：
定理1：矩形的四个角都是直角．定理2：矩形的对角线相等．
结论：矩形是轴对称图形，对称轴有 两 条；矩形又是中心对称图形，对称中心为 两对角线的交点 ．
3．思考：如图1，矩形ABCD的对角线AC与DB相交于点O，那么BO是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？它与AC有什么大小关系？你能说明理由吗？BO是Rt△ABC斜边上的中线，等于AC的一半.
4.小结：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
三.典例与练习
例1.已知：如图2，矩形ABCD中，AB＝3，AD=4．
（1）求矩形的周长、面积、对角线；（2）求S△ABC、S△BOC；（3）作BE⊥AC，求BE．
解：（1）周长=14，面积=12，对角线=5；（2）6，3.（3）BE=2.4
练习：1．已知：如图3，在矩形ABCD中，AB＝3，∠AOB=60°，则矩形ABCD的对角线AC=_6_，周长=6+6.
2.已知：如图4，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，OE⊥AC，垂足是O，OE交BC于点E，则AE=______．
例2.将矩形OABC如图5放置，O为原点，若点A的坐标是（﹣1，2），点B的坐标是（2，），则点C的坐标是（ D ）A．（4，2） B．（2，4） C．（，3） D．（3，）
练习3.如图6，在矩形ABCD中，AB=30，点E在AD上，且AE=18，连接EC，将矩形ABCD沿直线BE翻折，点A恰好落在EC上的点F处，则CF____16___．
练习4.如图7，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH＝HF；④BC﹣CF＝2HE；⑤AB＝HF，其中正确的有_①②③④_（填写正确结论的序号）．
四.课堂小结：
定理1：矩形的四个角都是直角．定理2：矩形的对角线相等．
定理3：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
结论：矩形是轴对称图形，对称轴有2条；矩形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点．
五.分层过关：
1．矩形具有而菱形不具有的性质是( B )
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线平分一组对角
2．已知，在矩形ABCD中，=48cm2，若BC=6cm，则对角线AC的长是__10_cm．
3．已知□ABCD，请你添一个条件∠B=90 ，使它变为矩形．
4.如图8，已知：在ΔABC中，AD、BE分别是边BC、AC上的高，F是AB的中点，G是DE中点，连接FG。求证：FG⊥DE。证明：在△ABD中，AD⊥BD，则△ABD是直角三角形，AB是斜边．∵F是AB的中点，∴FD=AB．同理，FE=AB，∴FE=FD，∴△FDE是等腰三角形，∵G是DE的中点，∴FG⊥DE．
5.如图9，在矩形ABCD中，AD=AE，DF⊥AE于点F.
(1)求证：AB=DF；(2)连接DE，若∠AEB=30°，求∠CDE的度数.
解：（1）证明：在矩形ABCD中，AD‖BC，∴∠DAF=∠AEB.
易证得 ADF≌ EAB.∴AB=DF.
(2)在矩形ABCD中，∴AB=DC.又∵AB=DF，∴DF=DC.易得：Rt△DEF≌△RrDEF.
∴∠CDE=∠FDE.∵∠AEB=30°，∴∠FEC=150°.∴∠FDC=30 .∴∠CDE=∠FDC=15°.
思考题：1.如图10所示，在长方形ABCD中，AB=8cm，BC=12cm，E为AB的中点，动点P在线段BC上以4cm/s的速度由点B向C运动，同时，动点Q在线段CD上由点C向点D运动，设运动时间为t（s）.
（1）当t=2时，求△EBP的面积；
（2）若动点Q以与动点P不同的速度运动，经过多少秒，△EBP与△CQP全等？此时点Q的速度是多少？
（3）若动点Q以（2）中的速度从点C出发，动点P以原来的速度从点B同时出发，都逆时针沿长方形ABCD的四边形运动，经过多少秒，点P与点Q第一次在长方形ABCD的哪条边上相遇？
解（1）当t=2时，BP=2×4cm=8cm∵E为AB的中点，
∴BE=AB=×8cm=4cm，S△EBP=BE BP=×4×8=16（cm2）．
（2）设点Q的速度是acm/s，则BP=4t（cm），CQ=at（cm），
∴PC=（12-4t）（cm），
∵△EBP与△CQP全等，∠B=∠C=90°∴△EBP≌△PCQ或△EBP≌△QCP
当△EBP≌△PCQ时，PC=EB，CQ=BP∴12-4t=4，解得t=2，
∴2a=4×2∴a=4，与动点Q以与动点P不同的速度运动矛盾．
当△EBP≌△QCP时，CP=BP，CQ=BE∴12-4t=4t，解得t=，∴a=4，解得a=（cm/s）；
答：经过秒，△EBP与△CQP全等；此时点Q的速度是cm/s；
（3）设经过x秒，点P与点Q第一次在长方形ABCD的边上相遇；
则：4x=12+x，解得：x=9此时点P运动路程为：4×9=36（cm），
∴点P在AB的中点处，答：经过9秒，点P与点Q第一次在长方形ABCD的边AB上相遇．
2.如图11，四边形MNPE是长方形，BC为Rt△ABC的斜边，∠CBA＝30°，△ABD，△ACF，△BCE均为正三角形，B点在EP上，点F在MN上，点D在NP上，若AC＝2，求图中空白部分的面积．
解∵△ABD，△ACF，△BCE均为正三角形，
∴BE＝CE＝BC，∠BCE＝∠BEC＝∠CBE＝∠ABD＝∠ACF＝60°，CF＝AC＝2，BD＝AB，
∵BC为Rt△ABC的斜边，∠CBA＝30°，
∴∠ACB＝60°，CE＝BE＝BC＝2AC＝4，BD＝AB＝AC＝2，
∵∠BCE+∠ACB+∠ACF＝180°，
∴E、C、F三点共线，∴EF＝CE+CF＝6，
∵四边形MNPE是长方形，
∴∠M＝∠MEP＝∠P＝90°，
∴∠MEF＝90°﹣60°＝30°，
∴MF＝EF＝3，EM＝MF＝3，
∵∠DBE＝60°+30°+60°＝150°，
∴∠PBD＝30°，
∴PD＝BD＝，BP＝PD＝3，
∴PE＝BE+BP＝7，
∴图中空白部分的面积＝矩形MNPE的面积﹣△BCE的面积﹣△ABD的面积﹣△ACF的面积＝；故答案是：13．
A
A
C
B
D
O
图1
图5
E图4
图3
图6
图7
图10
A
B
E
D
P
Q
C
图11
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（总课时04）§1.2矩形的性质与判定 (1)
【学习目标】理解矩形的概念，会证明矩形的性质定理；掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
【学习重难点】理解矩形的概念；运用矩形性质定理解决问题．
【导学过程】
一.知识回顾：
平行四边形的定义是 ；性质 ；判定方法 。
二.探究新知
1．引入：以课室为背景，观察门，窗，课桌面和课本封面这些图形，你能发现它们有什么样的共同特征？
矩形的定义：有一个内角是________的_______________叫做矩形．
2．探讨：（1）思考：①矩形具有平行四边形的性质吗？你能列举吗？
②矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？
③你猜想矩形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流．
（2）例：已知，如图1，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与DB相交于点O．
求证：①∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°；②AC=DB．
（3）总结：矩形特有的性质：
定理1：矩形的四个角都是直角．定理2：矩形的对角线相等．
结论：矩形是轴对称图形，对称轴有 条；矩形是中心对称图形，对称中心为 ．
3．思考：如图1，矩形ABCD的对角线AC与DB相交于点O，那么BO是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？它与AC有什么大小关系？你能说明理由吗？
4.小结：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
三.典例与练习：
例1.已知：如图2，矩形ABCD中，AB＝3，AD=4．
（1）求矩形的周长、面积、对角线；（2）求S△ABC、S△BOC；（3）作BE⊥AC，求BE．
练习：1．已知：如图3，在矩形ABCD中，AB＝3，∠AOB=60°，则矩形ABCD的对角线AC=____，周长=_____，面积=_____．
2.已知：如图4，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，OE⊥AC，则AE=______．
例2.将矩形OABC如图5放置，O为原点，若点A的坐标是（﹣1，2），点B的坐标是（2，），则点C的坐标是（ ）A．（4，2） B．（2，4） C．（，3） D．（3，）
3.如图6，在矩形ABCD中，AB=30，点E在AD上，且AE=18，连接EC，将矩形ABCD沿直线BE翻折，点A恰好落在上的点F处，则CF__________．
4.如图7，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH＝HF；④BC﹣CF＝2HE；⑤AB＝HF，其中正确的有_____（填写正确结论的序号）．
四.课堂小结：
定理1：矩形的四个角都是直角．定理2：矩形的对角线相等．
定理3：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
结论：矩形是轴对称图形，对称轴有2条；矩形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点．
五.分层过关：
1．矩形具有而菱形不具有的性质是( )
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线平分一组对角
2．已知，在矩形ABCD中，=48cm2，若BC=6cm，则对角线AC的长是________ cm．
3．已知□ABCD，请你添一个条件 ，使它变为矩形．
4.如图8，已知：在ΔABC中，AD、BE分别是边BC、AC上的高，F是AB的中点，G是DE中点，连接FG。求证：FG⊥DE。
5.如图9，在矩形ABCD中，AD=AE，DF⊥AE于点F.
(1)求证：AB=DF；(2)连接DE，若∠AEB=30°，求的度数.
思考题：1.如图10所示，在长方形ABCD中，AB=8cm，BC=12cm，E为AB的中点，动点P在线段BC上以4cm/s的速度由点B向C运动，同时，动点Q在线段CD上由点C向点D运动，设运动时间为t（s）.
（1）当t=2时，求△EBP的面积；
（2）若动点Q以与动点P不同的速度运动，经过多少秒，△EBP与△CQP全等？此时点Q的速度是多少？
（3）若动点Q以（2）中的速度从点C出发，动点P以原来的速度从点B同时出发，都逆时针沿长方形ABCD的四边形运动，经过多少秒，点P与点Q第一次在长方形ABCD的哪条边上相遇？
2.如图11，四边形MNPE是长方形，BC为Rt△ABC的斜边，∠CBA＝30°，△ABD，△ACF，△BCE均为正三角形，B点在EP上，点F在MN上，点D在NP上，若AC＝2，求图中空白部分的面积．
A
A
C
B
D
O
图1
E图4
图5
图6
图7
图10
图10
A
B
E
D
P
Q
C
图11
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