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（总课时05）§1.2矩形的性质与判定（2）
【学习目标】掌握矩形判定定理并能运用.
【学习重难点】矩形判定定理的应用．
【导学过程】
一.知识回顾:
1．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点．
（1）若BC=6，AC=8，则CD=5．
（2）若AE//CD，CE//AB，则四边形ADCE为菱形．当△ABC满足AC=BC时，四边形ADCE是矩形？
二.探究新知
1．探究：如图2是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化．
（1）随着∠α的变化，两条对角线的长度将发生什么样的变化？∠α由锐角变为直角，对角线由不等变为相等.
（2）当两条对角线相等时，平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？平行四边形变为矩形.
2．判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形．
已知：如图3，在□ABCD中，AC，BD是它的两条对角线，AC=BD．
求证：□ABCD是矩形．证：由AC=BD，AB=DC，BC=CB得△ABC≌△DCB
∴∠ABC=∠DCB∵∠ABC+∠DCB=180°∴∠ABC=90°∴□ABCD是矩形
3.思考：我们知道，矩形的四个角都是直角．反过来，一个四边形至少有几个角
是直角时，这个四边形就是矩形呢？
4.判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形．
已知：如图4，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90 ．
求证：四边形ABCD是矩形．
证：∵∠A+∠B=180 ∴AD‖BC∵∠B+∠C=180
∴AB‖DC∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠C=90
∴四边形ABCD是矩形.
5．思考：（1）如何证明一个四边形是矩形？①用定义；②判定定理1；③判定定理2.
（2）如果仅有一根较长的绳子,你有什么方法检查教室安装的门框是不是矩形？
三.典例与练习：
例1．如图5，在△ABC中，AD为BC边上的中线，延长AD至E，使DE=AD，连接BE、CE．
（1）试判断四边形ABEC的形状；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ABEC是矩形？
解：（1）四边形ABEC是平行四边形.（2）当△ABC是直角三形且∠BAC=90 时，四边
形ABEC是矩形
练习：1.如图6，点B在直线MN上，过AB的中点O作MN的平行线，分别交∠ABM的平分线和∠ABN的平分线于点C，D，试判断四边形ACBD的形状，并证明你的结论．
解：四边形ACBD是矩形.证：∵CD‖MN∴∠ODB=∠NBD
∵∠OBD=∠NBD∴∠OBD=∠ODB
∴OD=OB；同理得：OC=OB,∴OC=OD∵OA=OB
∴四边形ACBD是平行四边形，且2OC=2OB，即：CD=AB
∴四边形ACBD矩形。
例2：如图7，□ABCD对角线AC和BD相交于O,△AOB是等边三角形,AB=4.求□ABCD的面积.
解：由OA=OB得AC=BD，∴□ABCD是矩形.由AB=4，AC=8得BC=4
∴□ABCD的面积=16
练习：
2．如图8，在△ABC中，点Q是AC边上一个动点，过点Q作直线EF∥BC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E、F．（1）若CE=8，CF=6，则QC=5；
（2）连接AE、AF．问：当点Q在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？
解：当点Q运动到AC的中点时四边形AECF是矩形.
证：由AQ=CQ，EQ=FQ得四边形AECF是平行四边形；
∵EC平分∠ACB、FC平分∠ACD且∠ACB+∠ACD=180
∴∠ECF=90 ∴四边形AECF是矩形.
四.课堂小结：
矩形判定方法：①用定义判断；②对角线相等的平行四边形是矩形．③有三个角是直角的四边形是矩形．
五.分层过关：
1．甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，一木工师傅要他们拿卷尺帮助检测一个窗框的形状是否是矩形，他们各自做了如下检测，你认为最有说服力的是:( D )
A．甲量得窗框的一组邻边相等 B．乙量得窗框两组对边分别相等
C．丙量得窗框的对角线长相等 D．丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线也相等
2．如图9，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB上一动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是( C )A．4 B．4.6 C．4.8 D．5
3.如图10，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB.
请你添加一个条件AD⊥BD（答案不唯一），使四边形DBCE是矩形．
4.已知，如图11，在□ABCD中，M是AD的中点，且MB=MC．求证：四边形ABCD是矩形．
证：∵ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD,∠A+∠D=180°，
易得：△ABM≌△DCM，
∴∠A=∠D=90°
∴四边形ABCD是矩形．
5.已知,如图12，在□ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长交AB延长线于E，连接BD，EC．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠A=50°，则当∠BOD=100°时，四边形BECD是矩形,请说明理由
证（1）由BE‖DC得：∠OBE=∠OCD,
∵∠BOE=∠COD,BO=CO，∴△BOE≌△COD
∴OD=OE∴四边形BECD是平行四边形
(2)∵∠A=50 ∴∠ODC=∠BOD-∠OCD=100 -50 =50 ∴OC=OD∴BC=DE∴四边形BECD是矩形.
思考题：1.如图13.在平行四边形纸片ABCD中，AC⊥AB，AC与BD相交于点O，将△ABC沿对角线AC折叠得到△AB′C.(1)求证：以A、C、D、B′为顶点的四边形是矩形
（2）若四边形ABCD的面积S=12cm，求阴影部分的面积.
解(1)连接B'D.∵在□ABCD中，AB=CD，AB∥CD，△ABC沿对角线AC折叠，∴AB'=CD，∠BAC=∠B'AC.又∵AC⊥AB，∴∠BAC=∠B'AC=90°，∴B、A、B'在一条直线上，∴AB'∥CD，∴四边形ACDB'为平行四边形，∵∠B'AC=90°，∴以A、C、D、B'为顶点的四边形是矩形.
(2)设B'C与AD交于点E.∵四边形ABCD是平行四边形，S平行四边形ABCD=12cm，
∴S△ACD=S平行四边形ABCD=×12=6，∵四边形ACDB'为矩形，
∴AE=DE，∴S△AEC=S△ACD=×6=3，即阴影部分的面积是3.
2.如图14，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E为AB上一点，AE=2，点F在AD上，将△AEF沿EF折叠，当折叠后点A的对应点A′恰好落在BC的垂直平分线上时，求折痕EF的长．
解①当AF＜AD时，如图1，将△AEF沿EF折叠，当折叠后点A的对应点A′恰好落在BC的垂直平分线上，则A′E=AE=2，AF=A′F，∠FA′E=∠A=90°，设MN是BC的
垂直平分线，则AM=AD=3，过E作EH⊥MN于H，则四边形AEHM是矩形，∴MH=AE=2，∵A′H=，∴A′M=，∵MF2+A′M2=A′F2，∴（3-AF）2+（）2=AF2，∴AF=2，∴EF==4；
②当AF＞AD时，如图2，将△AEF沿EF折叠，当折叠后点A的对应点A′恰好落在BC的垂直平分线上，则A′E=AE=2，AF=A′F，∠FA′E=∠A=90°，设MN是BC的垂直平分线，过A′作HG∥BC交AB于G，交CD于H，则四边形AGHD是矩形，∴DH=AG，HG=AD=6，∴A′H=A′G=HG=3，
∴EG==，∴DH=AG=AE+EG=3，∴A′F==6，
∴EF==4，综上所述，折痕EF的长为4或4，
图1
B
D
A
E
C
图2
D
A
B
C
O
图3
D
A
B
C
图4
方法：①用绳子度量门框两组对边，若分别相等，则是平行四边形；②用绳子度量门框的对角线，若相等则是矩形。
C
B
E
A
D
图5
A
B
D
C
O
N
M
图6
D
A
B
C
O
图7
F
D
C
B
E
A
Q
图8
图11
图10
图9
图12
图13
图13
图14
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（总课时05）§1.2矩形的性质与判定 2
一.选择题：
1.如图1，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，且CE＝BC，AE＝AB，AE、DC相交于点O，连接DE．若∠AOD＝120°，AC＝4，则CD的大小为（ ）A.8 B.4 C.8 D.6
2．如图2，在△ABC中，AC的中垂线交AC,AB于点D,F,BE⊥DF交DF延长线于点E．若∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是（ ）A． B． C． D．
3.如图3，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一个动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，M为EF的中点，则AM的最小值是（ ）A. B. C. D.
4.如图4，在四边形ABCD中，∠A=60 ，∠ABC=∠ADC=90 ，BC=2，CD=11,过点D作
DH⊥AB于点H，则DH的长是（ ）A.7.5 B.7 C.6.5 D.5.5
二.填空题：
5.如图5所示，已知□ABCD，下列条件：①AC=BD;②AB=AD;③∠1=∠2;④AB⊥BC
中，能说明□ABCD是矩形的有 （填写序号）.
6.判断下面各题，其中正确的有： （只填序号）
（1）有一个角是直角的四边形是矩形。（2）四个角都相等的四边形是矩形。
（3）对角线相等的四边形是矩形。（4)对角线互相平分且相等的四边形是矩形，
（5）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形。
7.如图6，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，AE是△BAC的外角平分线，连接DE，当DE AB时（填写：“平行”，“不平行”，“相等”，“不相等”）四边形ADCE是矩形．
8.如图7，平行四边形ABCD中，AB=4，BC=5，∠B=60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF．当AE=___时，四边形CEDF是矩形。
9.如图8，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点M，N分别在AD，BC上，且AM＝AD，BN＝BC，E为直线BC上一动点，连接DE，将△DCE沿DE所在直线翻折得到△DC′E，当点C′恰好落在直线MN上时，CE的长为___．
三.解答题：10.如图9，在平行四边形ABCD中，AB=6,AC=10,AD=8.
求证：平行四边形ABCD是矩形.
11.如图10，、相交于点，且是、的中点，点在四边形外，且，求证：四边形是矩形.
12如图11，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BC，AC＝2，BC＝3．点E是BC延长线上一点，且CE＝3，连结DE．（1）求证：四边形ACED为矩形．（2）连结OE，求OE的长．
四、提高题：
13.已知△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点A在直线DE上，过C点作CF⊥DE于F，过B点作
BG⊥DE于G．
（1）发现问题：如图12.1，当B、C两点均在直线DE上方时，线段AG、BG和CF存在的数量关系是 ．
（2）类比探究：当△ABC绕点A顺时针旋转至图12.2的位置时，线段AG、BG和CF之间的数量关系是否会发生变化？如果不变，请说明理由；如果变化，请写出你的猜想，并给予证明；（3）拓展延伸：当△ABC绕点A顺时针旋转至图12.3的位置时，若CF＝1，AG＝2，请直接写出△ABC的面积．
图4
图3
图2
图1
图5
图6
图8
图7
图9
图10
图11
图12.3
图12.2
图12.1
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（总课时05）§1.2矩形的性质与判定 2
【学习目标】掌握矩形判定定理并能运用.【学习重难点】矩形判定定理的应用．
【导学过程】
一.知识回顾
1．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点．
（1）若BC=6，AC=8，则CD=______．
（2）若AE//CD，CE//AB，则四边形ADCE为______．当△ABC满足______时，四边形ADCE是矩形？
二.探究新知
1．探究：如图是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化．
（1）随着∠α的变化，两条对角线的长度将发生什么样的变化？_____________________________________
（2）当两条对角线相等时，平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？___________________
2．判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形．
已知：如图2，在□ABCD中，AC，BD是它的两条对角线，AC=BD．
求证：□ABCD是矩形．
3.思考：我们知道，矩形的四个角都是直角．反过来，一个四边形至少有几个角
是直角时，这个四边形就是矩形呢？
4.判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形．
已知：如图3，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90 ．
求证：四边形ABCD是矩形．
5．思考：（1）如何证明一个四边形是矩形？① ② ③
（2）如果仅有一根较长的绳子,你有什么方法检查教室安装的门框是不是矩形？
方法：_________________________________________________________
.
三.典例与练习：
例1．如图4，在△ABC中，AD为BC边上的中线，延长AD至E，使DE=AD，连接BE、CE．
（1）试判断四边形ABEC的形状；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ABEC是矩形？
练习：1.如图5，点B在MN上，过AB的中点O作MN的平行线，分别交∠ABM的平分线
和∠ABN的平分线于点C，D，试判断四边形ACBD的形状，并证明你的结论．
例2：如图6，□ABCD对角线AC和BD相交于O,△AOB是等边三角形,AB=4.
求□ABCD的面积
练习：
2．如图7，在△ABC中，点Q是边AC上一个动点，过点Q作直线EF∥BC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E、F．（1）若CE=8，CF=6，则QC=________；
（2）连接AE、AF．问：当点Q在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？
四.课堂小结：
矩形判定方法：①__________；②___________________________；③____________________________．
五.分层过关：
1．甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，一木工师傅要他们拿卷尺帮助检测一个窗框的形状是否是矩形，他们各自做了如下检测，你认为最有说服力的是:( )
A．甲量得窗框的一组邻边相等 B．乙量得窗框两组对边分别相等
C．丙量得窗框的对角线长相等 D．丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线也相等
2．如图8，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB上一动点，
过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是( )
A．4 B．4.6 C．4.8 D．5
3.如图9，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件___________，使四边形DBCE是矩形．
4.已知，如图10，在□ABCD中，M是AD的中点，且MB=MC．求证：四边形ABCD是矩形．
5.已知,如图11，在□ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长交AB延长线于E，连接BD，EC．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠A=50°，则当∠BOD_______时，四边形BECD是矩形,请说明理由.
思考题：1.如图12.在平行四边形纸片ABCD中，AC⊥AB，AC与BD相交于点O，将△ABC沿对角线AC折叠得到△AB'C.(1)求证：以A、C、D、B′为顶点的四边形是矩形
（2）若四边形ABCD的面积S=12cm，求阴影部分的面积.
2.如图13，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E为AB上一点，AE=2，点F在AD上，将△AEF沿EF折叠，当折叠后点A的对应点A′恰好落在BC的垂直平分线上时，求折痕EF的长．
B
D
A
E
C
图1
D
A
B
C
O
图2
D
A
B
C
图3
C
B
E
A
D
图4
A
B
D
C
O
N
M
图5
D
A
B
C
O
图6
F
D
C
B
E
A
Q
图7
图13
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（总课时05）§1.2矩形的性质与判定 2
一.选择题：
1.如图1，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，且CE＝BC，AE＝AB，AE、DC相交于点O，连接DE．若∠AOD＝120°，AC＝4，则CD的大小为（ A ）
A.8 B.4 C.8 D.6
2．如图2，在△ABC中，AC的中垂线交AC,AB于点D,F,BE⊥DF交DF延长线于点E．若∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是（ A ）
A． B． C． D．
3.如图3，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一个动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，M为EF的中点，则AM的最小值是（ A ）
A. B. C. D.
4.如图4，在四边形ABCD中，∠A=60 ，∠ABC=∠ADC=90 ，BC=2，CD=11,过点D作DH⊥AB于点H，则DH的长是（ A ）
A.7.5 B.7 C.6.5 D.5.5
二.填空题：5.如图5所示，已知□ABCD，下列条件：①AC=BD;②AB=AD;③∠1=∠2;④AB⊥BC中，能说明□ABCD是矩形的有①④（填写序号）.
6.判断下面各题，其中正确的有： （2） （4) （5） （只填序号）
（1）有一个角是直角的四边形是矩形。
（2）四个角都相等的四边形是矩形。
（3）对角线相等的四边形是矩形。
（4)对角线互相平分且相等的四边形是矩形，
（5）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形。
7.如图6，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，AE是△BAC的外角平分线，连接DE，当DE ① AB时（填写：“平行”，“不平行”，“相等”，“不相等”）四边形ADCE是矩形．
8.如图7，平行四边形ABCD中，AB=4，BC=5，∠B=60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF．当AE=4.时，四边形CEDF是矩形。
9.如图8，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点M，N分别在AD，BC上，且AM＝AD，BN＝BC，E为直线BC上一动点，连接DE，将△DCE沿DE所在直线翻折得到△DC′E，当点C′恰好落在直线MN上时，CE的长为_2.5或10_．
三.解答题：10.如图9，在平行四边形ABCD中，AB=6,AC=10,AD=8.求证：平行四边形ABCD是矩形.
证：∵AB=6,AC=10,AD=8.
∴CD=6,AC=10,AD=8∴CD2+AD2=AC2
∴∠D=90°，
∴平行四边形ABCD为矩形.
11.如图10，AC、BD相交于点O，且O是AC、BD的中点，点E在四边形ABCD外，且∠AEC=∠BED=90°，
求证：四边形ABCD是矩形.
解：连接EO如图所示：
∵O是AC、BD的中点，∴AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
在Rt△EBD中，∵O为BD中点，∴EO=0.5BD，在Rt△AEC中，
∵O为AC中点，∴EO=0.5AC，∴AC=BD，
又∵四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形.
12.如图11，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BC，AC＝2，BC＝3．点E是BC延长线上一点，且CE＝3，连结DE．
（1）求证：四边形ACED为矩形．
（2）连结OE，求OE的长．
（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，AD＝BC＝3，AD∥BC，
∵CE＝3，∴AD＝CE，∴四边形ACED是平行四边形，
∵∠ACE＝90°，∴四边形ACED为矩形；
（2）解：∵BO＝DO，∴OE＝0.5DB=0.5×2＝
四.提高题：
13.已知△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点A在直线DE上，过C点作CF⊥DE于F，过B点作BG⊥DE于G．
（1）发现问题：如图1，当B、C两点均在直线DE上方时，线段AG、BG和CF存在的数量关系是AG＝2CF﹣BG．
（2）类比探究：当△ABC绕点A顺时针旋转至图2的位置时，线段AG、BG和CF之间的数量关系是否会发生变化？如果不变，请说明理由；如果变化，请写出你的猜想，并给予证明；
（3）拓展延伸：当△ABC绕点A顺时针旋转至图3的位置时，若CF＝1，AG＝2，请直接写出△ABC的面积．
解：（1）发现问题：如图12.1，过点B作BH⊥CF于点H，
∵BH⊥CF，BG⊥AE，CF⊥AE，
∴四边形BGFH是矩形，∴BH＝FG，FH＝BG，
∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠ACF+∠FCB＝90°，且∠FCB+∠CBH＝90°，∴∠ACF＝∠CBH，且AC＝BC，∠AFC＝∠BHC＝90°，
∴△ACF≌△CBH（AAS），∴CH＝AF，BH＝CF＝FG，
∵AG＝AF+FG，∴AG＝AF+CF＝CH+CF＝CF+CF﹣HF＝2CF﹣BG；
故答案为：AG＝2CF﹣BG，
（2）类比探究：数量关系发生改变，AG＝2CF+BG
理由如下：如图12.2，过点B作BH⊥CF于H，
∵BH⊥CF，BG⊥AE，CF⊥AE，∴四边形BGFH是矩形，∴BH＝FG，FH＝BG，
∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠ACF+∠FCB＝90°，且∠FCB+∠CBH＝90°，
∴∠ACF＝∠CBH，且AC＝BC，∠AFC＝∠BHC＝90°，
∴△ACF≌△CBH（AAS），
∴CH＝AF，BH＝CF＝FG，∴AG＝AF+FG＝CH+BH＝CF+FH+CF＝2CF+BG；
（3）拓展延伸：如图12.3，过点C作CH⊥BG于H，
∵CH⊥BG，BG⊥AE，CF⊥AE，∴四边形CHGF是矩形，∴CH＝FG，CF＝GH，∠FCH＝90°，
∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝90°＝∠FCH，
∴∠ACF＝∠BCH，且AC＝BC，∠AFC＝∠BHC＝90°，∴△ACF≌△BCH（AAS），
∴CH＝CF＝GF＝1，∴AF＝AG+GF＝3，∴AC＝CB＝＝＝，
∴S△ABC＝×AC×BC＝5．
图4
图3
图2
图1
图5
图7
图6
图8
图9
图10
图11
图12.3
图12.2
图12.1
图12.1
图12.2
图12.3
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