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(总课时06)§1.2矩形的性质与判定 3
一.选择题:
1.平行四边形ABCD的对角线相交于点O,分别添加下列条件:①∠ABC=90 ;②AC⊥BD;③AB=BC;④AC平分∠BAD;⑤AO=DO.其中能使□ABCD是矩形的有( D )A.①② B.②⑤ C.②③④ D.①⑤
2.在四边形ABCD中,AC和BD的交点为点O,则不能判断四边形ABCD是矩形的是( C )
A.AB=CD,AD=BC,AC=BD B.AO=CO,BO=DO,∠BAD=90
C.AB‖CD,AD‖BC,∠AOB=∠BOC D.AB‖CD,AB=CD,∠BAD=90
3.四边形ABCD的对角线互相平分,要使它变为矩形,需要添加的条件是( D )
A.AB=CD B.AB=BC C.AC⊥BD D.AC=BD
4.如图1,在△ABC中,BF平分∠ABC,过A点作AF⊥BF,垂足为F并延长交BC于点G,D为AB中点,连接DF延长交AC于点E。若AB=12,BC=20,则线段EF的长为( C )A.2 B.3 C.4 D.5
5.如图2,∠MON=90 ,矩形ABCD在∠MON的内部,顶点A,B分别在射线OM,ON上,AB=4,BC=2,则点D到点O的最大距离是( B )A. B. C. D.
二.填空题:6.如图3,在矩形ABCD中,E是AD的中点,将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE,延长BG交CD于F,连接EF,若AB=4,若BC=6,则DF的长为___ .
7.如图4,矩形ABCD沿AF折叠,使点D落在BC边上E处,如果∠BAE=50°,则∠DAF=_20 _.
8.如图5,把长方形纸片ABCD沿EF折叠后,点A落在CD边上A'处,点B落在B'处,若∠1=40°,则∠2=_115°_.
9.如图6,把矩形ABCD沿EF折叠,使点B落在边AD上的点B 处,点A落在点A 处.若AE=a、AB=b、BF=C,请写出a、b、c之问的一个等量关系_____________.
10.如图7,某同学有一块矩形纸片ABCD,已知AD=15,AB=9,M为射线AD上的一个动点,将△ABM沿BM折叠得到△MBN,若△NBC是直角三角形,则AM长为_3或27__.
三.解答题:11.如图8,在平行四边形ABCD中,过点D作DE⊥AB于点E,点F在边CD上,DF=BE,连接AF,BF.(1)求证:四边形BFDE是矩形;(2)若AD=BE,CF=3,BF=4,求AF的长.
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥DC,∵DF=BE,∴四边形BFDE是平行四边形,
∵DE⊥AB,∴∠DEB=90°,∴四边形BFDE是矩形;
(2)解:∵四边形BFDE是矩形,
∴∠BFD=90°,BE=DF,∴∠BFC=90°,
∵CF=3,BF=4,∴BC=5,
∵AD=BE,DF=BE,∴AD=DF,
∵AD=BC,∴DF=BE=BC=5,
∵AB=CD=8,∴AF=4.
12.如图9,在平行四边形ABCD中,∠A=60 ,AD=6,且AD⊥BD于点D,点E,F分别是边AB,CD上的动点,且AE=CF.①求证:四边形DEBF是平行四边形;
②当BE为何值时,四边形DEBF是矩形?
解(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD,AB‖CD
∵AE=CF∴DF=BE
∵DF‖BE∴四边形DEBF为平行四边形.
(2)当BE=9时,四边形DEBF为矩形.
理由是:过点D作DE⊥AB于点E∴∠DEA=90
∵∠A=60 ∴∠ADE=30 在Rt△ADE中,∴AE=AD=3,
∵AD⊥DB,∴∠ADB=90°
在Rt△ADB中,∠A=60 ∠ABD=30 AB=2AD=12
∴BE=AB-AE=12-3=9∴当BE=9时,∠DEB=∠DEA=90 ,
即平行四边形DEBF是矩形.
13.如图10.在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=18cm,BC=21cm,且M在AD上以1cm/s的速度由A向D运动,点N在BC上以2cm/s的速度由C向B运动.
(1)几秒后MNCD为平行四边形 (2)几秒后ABNM为矩形
解:(1)根据题意得:MA=t,CN=2t,
则MD=AD MA=18 t,
∵AD∥BC,∴MD∥CN,
∴当MD=CN时,四边形MNCD为平行四边形,
即18 t=2t,解得:t=6,
即6秒后,四边形MNCD为平行四边形;
(2)根据题意得:MA=t,BN=21-2t,
∵AM∥BN,∠B=90°,
∴当MA=BN时,四边形ABNM是矩形,
即t=21 2t,解得:t=7,
即7秒后,四边形ABNM为矩形.
提高题:
14.如图11,在四边形纸片ABCD中,AB=10,CD=2,AD=BC=5,∠A=∠B,现将纸片沿EF折叠,使点A的对应点A′落在边AB上,连接A′C,如果△A′BC恰好是以A′C为腰的等腰三角形,求AE的长.
解:如图11.1,过点C作CM⊥AB于点M,
过点D作DN⊥AB于点N,
易证△ADN≌△BCM(AAS)
∴AN=BM,DN=CM,且DN∥CM,∴四
边形DCMN是矩形,∴CD=MN=2∴AN=BM=,
∵将纸片沿EF折叠,使点A的对应点A'落在AB边上,
∴AE=A'E,
若A'C=BC,
∵CM⊥AB,∴BM=A'M=4,
∴AA'=AB﹣A'B=10﹣8=2,
∴AE=1,若A'C=A'B,如图11.2所示:
∵CM2=BC2﹣BM2=A'C2﹣A'M2,
∴25﹣16=A'B2﹣(4﹣A'B)2,解得:A'B=,
∴AA'=AB﹣A'B=10﹣=,∴AE=AA'=;
故答案为:1或.
图8
图9
图10
图11
图11.1
图11.2
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(总课时06)§1.2矩形的性质与判定3
【学习目标】综合运用矩形的性质定理和判定定理解决问题.【学习重难点】运用定理解决综合问题.
【导学过程】
一.知识回顾:矩形的定义: ;
性质定理 ;
判定定理: .
二.典例与练习
例1.如图1,在矩形ABCD中,AD=6,对角线AC和BD相交于点O,AE⊥BD,垂足为E,DE=3BE,
求AE的长.
练习:1.如图2,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,∠ACB=30°,BD=4,则矩形ABCD的面积为 .
2.如图3,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,点F在边CD上,点E在边AB上,点G、H在对角线AC上.若四边形EGFH是菱形,则AE的长是 .
例2.已知:如图4,四边形ABCD由两个全等的等边三角形ABD和CBD组成,M,N分别是BC和AD的中点.求证:四边形BMDN是矩形.
练习:3.如图5,AF、BF、CE、DE都是平行四边形ABCD的角平分线.
求证:四边形EHFG是矩形.
4.已知:如图6,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,四边形ABDE是平行四边形.
求证:四边形ADCE是矩形.
三.课堂小结:1.互相交流矩形的性质与判定 ( http: / / www.21cnjy.com )定理,何时该选用性质定理,何时选择判定定理;
2.理解矩形与平行四边形、菱形的关系;
3.遇到矩形综合题目时如何分析思路,攻克难题。www21-cn-jy.com
四.分层过关:1.下列关于矩形的说法中正确的是( )
A.对角线相等的四边形是矩形 B.矩形的对角线相等且互相平分
C.对角线互相平分的四边形是矩形 D.矩形的对角线互相垂直且平分
2.如图7,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60 ,AC=6cm,则AB的长是( )
A.3cm B.6cm C.10cm D.12cm
3.如图8,矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O,过点O作BD的垂线分别交AD,BC于E,F两点.若AC=,∠AEO=120°,则FC的长度为( A )A.1 B.2 C. D.
4.如图9,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E为BC的中点,将△ABE沿AE折叠,使点B落在矩形内点F处,连接CF,则CF的长为 .
5.如图10,在矩形ABCD中,AB=,E是BC的中点,AE⊥BD于点F,则CF的长是______ .
6.如图11,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,P是AD上不与A和D重合的一个动点,过点P分别作AC和BD的垂线,垂足为E,F.求PE+PF的值.
思考题:如图12.四边形ABCD是边长为4的正方形,点E在边AD所在的直线上,连接CE,以CE为边,作正方形CEFG(点D,点F在直线CE的同侧),连接BF.
(1)如图a,当点E与点A重合时,则BF=__;
(2)如图b,当点E在线段AD上时,AE=1,
①求点F到AD的距离;
②求BF的长.
图1
A
B
E
C
D
O
D
A
B
C
O
图2
D
A
C
B
F
G
E
H
图5
E
A
C
B
D
图6
A
B
C
A
B
D
C
O
D
O
E
F
图7
图8
A
B
E
C
D
F
图10
图9
图7
图11
图12(a)
图12(b)
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(总课时06)§1.2矩形的性质与判定3
一.选择题:1.平行四边形ABCD的对角线相交于点O,分别添加下列条件:①∠ABC=90 ;②AC⊥BD;③AB=BC;④AC平分∠BAD;⑤AO=DO.其中能使□ABCD是矩形的有( )
A.①② B.②⑤ C.②③④ D.①⑤
2.在四边形ABCD中,AC和BD的交点为点O,则不能判断四边形ABCD是矩形的是( )
A.AB=CD,AD=BC,AC=BD B.AO=CO,BO=DO,∠BAD=90
C.AB‖CD,AD‖BC,∠AOB=∠BOC D.AB‖CD,AB=CD,∠BAD=90
3.四边形ABCD的对角线互相平分,要使它变为矩形,需要添加的条件是( )
A.AB=CD B.AB=BC C.AC⊥BD D.AC=BD
4.如图1,在△ABC中,BF平分∠ABC,过A点作AF⊥BF,垂足为F并延长交BC于点G,D为AB中点,连接DF延长交AC于点E。若AB=12,BC=20,则线段EF的长为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
5.如图2,∠MON=90 ,矩形ABCD在∠MON的内部,顶点A,B分别在射线OM,ON上,AB=4,BC=2,则点D到点O的最大距离是( )
A. B. C. D.
二.填空题:6.如图3,在矩形ABCD中,E是AD的中点,将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE,延长BG交CD于F,连接EF,若AB=4,若BC=6,则DF的长为_______ .
7.如图4,矩形ABCD沿AF折叠,使点D落在BC边上E处,如果∠BAE=50°,则∠DAF=_______.
8.如图5,把长方形纸片ABCD沿EF折叠后,点A落在CD边上A'处,点B落在B'处,若∠1=40°,则
∠2=_____.
9.如图6,把矩形ABCD沿EF折叠,使点B落在边AD上的点B 处,点A落在点A .
若AE=a、AB=b、BF=C,请写出a、b、c之问的一个等量关系_______.
10.如图7,某同学有一块矩形纸片ABCD,已知AD=15,AB=9,M为射线AD上的一个动点,将△ABM沿BM折叠得到△MBN,若△NBC是直角三角形,则AM长为__________.
三.解答题:11.如图8,在平行四边形ABCD中,过点D作DE⊥AB于点E,点F在边CD上,DF=BE,连接AF,BF.
(1)求证:四边形BFDE是矩形;
(2)若AD=BE,CF=3,BF=4,求AF的长.
12.如图9,在平行四边形ABCD中,∠A=60 ,AD=6,且AD⊥BD于点D,点E,F分别是边AB,CD上的动点,且AE=CF.①求证:四边形DEBF是平行四边形;
②当BE为何值时,四边形DEBF是矩形?
13.如图10.在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=18cm,BC=21cm,且M在AD上以1cm/s的速度由A向D运动,点N在BC上以2cm/s的速度由C向B运动.
(1)几秒后MNCD为平行四边形 (2)几秒后ABNM为矩形
提高题:14.如图11,在四边形纸片ABCD中,AB=10,CD=2,AD=BC=5,∠A=∠B,现将纸片沿EF折叠,使点A的对应点A′落在边AB上,连接A′C,如果△A′BC恰好是以A′C为腰的等腰三角形,求AE的长.
图8
图9
图10
图11
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(总课时06)§1.2矩形的性质与判定3
【学习目标】综合运用矩形的性质定理和判定定理解决问题.
【学习重难点】运用定理解决综合问题.
【导学过程】
一.知识回顾:矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形;
性质:①具有平行四边形的所有性质
②四个角都是
③对角线相等
④既是轴对称图形又是中心对称图形;
判定:①用定义
②有三个角是直角的四边形是矩形
③对角线相等的平行四边形是矩形.
二.典例与练习:
例1.如图1,在矩形ABCD中,AD=6,对角线AC和BD相交于点O,AE⊥BD,垂足为E,DE=3BE,求AE的长.
解:设BE=x,DE=3x,AC=4x,∵矩形ABCD∴BO=OA=2x ∴BE=x=OE
∵AE⊥BD∴∠AEB=∠AED=90°,
∵AD=6∴,,∴AE=3
练习:
1.如图2,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,∠ACB=30°,BD=4,则矩形ABCD的面积为 .
2.如图3,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,点F在边CD上,点E在边AB上,点G、H在对角线
AC上.若四边形EGFH是菱形,则AE的长是 5 .
例2.已知:如图4,四边形ABCD由两个全等的等边三角形ABD和CBD组成,M,N分别是BC和AD的中点.求证:四边形BMDN是矩形.
证:∵M,N是中点∴DM⊥BC,BN⊥AD
∴DM‖BN且DM=BN
∴四边形BMDN是平行四边形;
又∠DNB=90 ∴四边形BMDN是矩形.
练习:3.如图5,AF、BF、CE、DE都是平行四边形ABCD的角平分线.求证:四边形EHFG是矩形.
证:∵DC‖AB,CE平分∠DCB,BF平分∠ABC
∴CE⊥BF,同理得DE⊥AF,AF⊥BF,
∴∠FHE=∠F=∠FHE=90 ∴四边形EHFG是矩形.
4.已知:如图6,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,四边形ABDE是平行四边形.
求证:四边形ADCE是矩形.
证:∵平行四边形ABDE∴AE//BD,AE=BD
∵D是BC中点,AB=AC
∴AD⊥BC,CD=BD∴CD=AE,CD//AE
∴四边形ADCE为平行四边形
∵AD⊥BC∴平行四边形ADCE为矩形.
三.课堂小结:1.互相交流矩形的性质与判定 ( http: / / www.21cnjy.com )定理,何时该选用性质定理,何时选择判定定理;
2.理解矩形与平行四边形、菱形的关系;
3.遇到矩形综合题目时如何分析思路,攻克难题。
四.分层过关:1.下列关于矩形的说法中正确的是( B )
A.对角线相等的四边形是矩形; B.矩形的对角线相等且互相平分;
C.对角线互相平分的四边形是矩形; D.矩形的对角线互相垂直且平分.
2.如图7,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60 ,AC=6cm,则AB的长是 ( A )
A.3cm B.6cm C.10cm D.12cm
3.如图8,矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O,过点O作BD的垂线分别交AD,BC于E,F两点.若AC=,∠AEO=120°,则FC的长度为( A )A.1 B.2 C. D.
4.如图9,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E为BC的中点,将△ABE沿AE折叠,使点B落在矩形内点F处,连接CF,则CF的长为 .
5.如图10,在矩形ABCD中,AB=,E是BC的中点,AE⊥BD于点F,则CF的长是____.
6.如图11,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,P是AD上不与A和D重合的一个动点,过点P分别作AC和BD的垂线,垂足为E,F.求PE+PF的值.
解:连接PO,∵矩形ABCD的两边AB=3,BC=4,
∴=12,
AC=5,
=3=+=OA PE+OD PF=OA(PE+PF)=×(PE+PF)=3,
∴PE+PF=2.4,
思考题:12.如图12.四边形ABCD是边长为4的正方形,点E在边AD所在的直线上,连接CE,以CE为边,作正方形CEFG(点D,点F在直线CE的同侧),连接BF,(1)如图a,当点E与点A重合时,则BF=__;(2)如图b,当点E在线段AD上时,AE=1,①求点F到AD的距离;②求BF的长.
解:(1)当点E与点A重合时,点C、D、F在一条直线,
连接CF,在中,,
同理可得
(2)①过点F作交AD的延长线于点H,如图所示∵四边形CEFG是正方形,∴,∴,又∵四边形ABCD是正方形,∴,∴又∵,∴∵,,∴,∴,即点F到AD的距离为3.②延长FH交BC的延长线于点K,如图所示∴,∴四边形CDHK为矩形,∴,,∵,∴,∴,∴,在中,
图1
A
B
E
C
D
O
D
A
B
C
O
图2
D
A
C
B
F
G
E
H
图5
E
A
C
B
D
图6
A
B
C
A
B
D
C
O
D
O
E
F
图7
图8
A
B
E
C
D
F
图10
图9
图7
图11
图12(a)
图12(b)
图12(a)
图12(b)
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