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（总课时06）§1.2矩形的性质与判定 3
一.选择题：
1.平行四边形ABCD的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①∠ABC=90 ；②AC⊥BD；③AB=BC；④AC平分∠BAD；⑤AO=DO．其中能使□ABCD是矩形的有（ D ）A．①② B．②⑤ C．②③④ D．①⑤
2．在四边形ABCD中，AC和BD的交点为点O，则不能判断四边形ABCD是矩形的是（ C ）
A．AB=CD,AD=BC,AC=BD B．AO=CO,BO=DO,∠BAD=90
C．AB‖CD,AD‖BC,∠AOB=∠BOC D．AB‖CD,AB=CD,∠BAD=90
3．四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ D ）
A．AB=CD B．AB=BC C．AC⊥BD D．AC=BD
4.如图1，在△ABC中，BF平分∠ABC，过A点作AF⊥BF，垂足为F并延长交BC于点G，D为AB中点，连接DF延长交AC于点E。若AB=12，BC=20，则线段EF的长为（ C ）A．2 B．3 C．4 D．5
5.如图2，∠MON=90 ，矩形ABCD在∠MON的内部，顶点A，B分别在射线OM，ON上，AB=4，BC=2，则点D到点O的最大距离是（ B ）A． B． C． D．
二.填空题：6.如图3，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE,延长BG交CD于F，连接EF，若AB=4,若BC=6,则DF的长为___ .
7．如图4，矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边上E处，如果∠BAE=50°，则∠DAF=_20 _.
8．如图5，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上A'处，点B落在B'处，若∠1＝40°，则∠2＝_115°_．
9．如图6，把矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B 处，点A落在点A 处．若AE=a、AB=b、BF=C，请写出a、b、c之问的一个等量关系_____________．
10．如图7，某同学有一块矩形纸片ABCD，已知AD=15，AB=9，M为射线AD上的一个动点，将△ABM沿BM折叠得到△MBN，若△NBC是直角三角形，则AM长为_3或27__．
三.解答题：11.如图8，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AD＝BE，CF＝3，BF＝4，求AF的长．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，∵DF＝BE，∴四边形BFDE是平行四边形，
∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴四边形BFDE是矩形；
（2）解：∵四边形BFDE是矩形，
∴∠BFD＝90°，BE＝DF，∴∠BFC＝90°，
∵CF＝3，BF＝4，∴BC＝5，
∵AD＝BE，DF＝BE，∴AD＝DF，
∵AD＝BC，∴DF＝BE＝BC＝5，
∵AB＝CD＝8，∴AF＝4．
12.如图9，在平行四边形ABCD中，∠A=60 ，AD=6，且AD⊥BD于点D，点E,F分别是边AB,CD上的动点，且AE=CF.①求证：四边形DEBF是平行四边形；
②当BE为何值时，四边形DEBF是矩形？
解(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AB‖CD
∵AE=CF∴DF=BE
∵DF‖BE∴四边形DEBF为平行四边形.
（2）当BE=9时，四边形DEBF为矩形.
理由是：过点D作DE⊥AB于点E∴∠DEA=90
∵∠A=60 ∴∠ADE=30 在Rt△ADE中，∴AE=AD=3,
∵AD⊥DB，∴∠ADB=90°
在Rt△ADB中，∠A=60 ∠ABD=30 AB=2AD=12
∴BE=AB-AE=12-3=9∴当BE=9时，∠DEB=∠DEA=90 ，
即平行四边形DEBF是矩形.
13.如图10.在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=18cm,BC=21cm,且M在AD上以1cm/s的速度由A向D运动,点N在BC上以2cm/s的速度由C向B运动.
(1)几秒后MNCD为平行四边形 (2)几秒后ABNM为矩形
解：（1）根据题意得：MA＝t，CN＝2t，
则MD＝AD MA＝18 t，
∵AD∥BC，∴MD∥CN，
∴当MD＝CN时，四边形MNCD为平行四边形，
即18 t＝2t，解得：t＝6，
即6秒后，四边形MNCD为平行四边形；
（2）根据题意得：MA＝t，BN＝21-2t，
∵AM∥BN，∠B=90°，
∴当MA＝BN时，四边形ABNM是矩形，
即t＝21 2t，解得：t＝7，
即7秒后，四边形ABNM为矩形.
提高题：
14.如图11，在四边形纸片ABCD中，AB＝10，CD＝2，AD＝BC＝5，∠A＝∠B，现将纸片沿EF折叠，使点A的对应点A′落在边AB上，连接A′C，如果△A′BC恰好是以A′C为腰的等腰三角形，求AE的长．
解：如图11.1，过点C作CM⊥AB于点M，
过点D作DN⊥AB于点N，
易证△ADN≌△BCM（AAS）
∴AN＝BM，DN＝CM，且DN∥CM，∴四
边形DCMN是矩形，∴CD＝MN＝2∴AN＝BM＝，
∵将纸片沿EF折叠，使点A的对应点A'落在AB边上，
∴AE＝A'E，
若A'C＝BC，
∵CM⊥AB，∴BM＝A'M＝4，
∴AA'＝AB﹣A'B＝10﹣8＝2，
∴AE＝1，若A'C＝A'B，如图11.2所示：
∵CM2＝BC2﹣BM2＝A'C2﹣A'M2，
∴25﹣16＝A'B2﹣（4﹣A'B）2，解得：A'B＝，
∴AA'＝AB﹣A'B＝10﹣＝，∴AE＝AA'＝；
故答案为：1或．
图8
图9
图10
图11
图11.1
图11.2
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（总课时06）§1.2矩形的性质与判定3
【学习目标】综合运用矩形的性质定理和判定定理解决问题.【学习重难点】运用定理解决综合问题．
【导学过程】
一.知识回顾：矩形的定义: ;
性质定理 ;
判定定理: ．
二.典例与练习
例1.如图1，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC和BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，DE＝3BE，
求AE的长．
练习：1．如图2，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ACB=30°，BD=4，则矩形ABCD的面积为 ．
2．如图3，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，点F在边CD上，点E在边AB上,点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是 ．
例2．已知：如图4，四边形ABCD由两个全等的等边三角形ABD和CBD组成，M，N分别是BC和AD的中点．求证：四边形BMDN是矩形．
练习：3．如图5，AF、BF、CE、DE都是平行四边形ABCD的角平分线．
求证：四边形EHFG是矩形．
4.已知：如图6，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，四边形ABDE是平行四边形．
求证：四边形ADCE是矩形．
三.课堂小结：1.互相交流矩形的性质与判定 ( http: / / www.21cnjy.com )定理，何时该选用性质定理，何时选择判定定理;
2.理解矩形与平行四边形、菱形的关系；
3.遇到矩形综合题目时如何分析思路，攻克难题。www21-cn-jy.com
四.分层过关：1．下列关于矩形的说法中正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形 B．矩形的对角线相等且互相平分
C．对角线互相平分的四边形是矩形 D．矩形的对角线互相垂直且平分
2．如图7，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60 ，AC=6cm，则AB的长是( )
A．3cm B．6cm C．10cm D．12cm
3．如图8，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC=，∠AEO=120°，则FC的长度为（ A ）A．1 B．2 C． D．
4．如图9，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为 ．
5．如图10，在矩形ABCD中，AB=，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是______ ．
6.如图11，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F．求PE+PF的值．
思考题：如图12.四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在的直线上，连接CE，以CE为边，作正方形CEFG(点D，点F在直线CE的同侧)，连接BF.
(1)如图a，当点E与点A重合时，则BF=__；
(2)如图b，当点E在线段AD上时，AE=1，
①求点F到AD的距离；
②求BF的长．
图1
A
B
E
C
D
O
D
A
B
C
O
图2
D
A
C
B
F
G
E
H
图5
E
A
C
B
D
图6
A
B
C
A
B
D
C
O
D
O
E
F
图7
图8
A
B
E
C
D
F
图10
图9
图7
图11
图12(a)
图12(b)
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（总课时06）§1.2矩形的性质与判定3
一.选择题：1.平行四边形ABCD的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①∠ABC=90 ；②AC⊥BD；③AB=BC；④AC平分∠BAD；⑤AO=DO．其中能使□ABCD是矩形的有（ ）
A．①② B．②⑤ C．②③④ D．①⑤
2．在四边形ABCD中，AC和BD的交点为点O，则不能判断四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．AB=CD,AD=BC,AC=BD B．AO=CO,BO=DO,∠BAD=90
C．AB‖CD,AD‖BC,∠AOB=∠BOC D．AB‖CD,AB=CD,∠BAD=90
3．四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）
A．AB=CD B．AB=BC C．AC⊥BD D．AC=BD
4.如图1，在△ABC中，BF平分∠ABC，过A点作AF⊥BF，垂足为F并延长交BC于点G，D为AB中点，连接DF延长交AC于点E。若AB=12，BC=20，则线段EF的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5.如图2，∠MON=90 ，矩形ABCD在∠MON的内部，顶点A，B分别在射线OM，ON上，AB=4，BC=2，则点D到点O的最大距离是（ ）
A． B． C． D．
二.填空题：6.如图3，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE,延长BG交CD于F，连接EF，若AB=4,若BC=6,则DF的长为_______ .
7．如图4，矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边上E处，如果∠BAE=50°，则∠DAF=_______.
8．如图5，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上A'处，点B落在B'处，若∠1＝40°，则
∠2＝_____．
9．如图6，把矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B 处，点A落在点A ．
若AE=a、AB=b、BF=C，请写出a、b、c之问的一个等量关系_______.
10．如图7，某同学有一块矩形纸片ABCD，已知AD=15，AB=9，M为射线AD上的一个动点，将△ABM沿BM折叠得到△MBN，若△NBC是直角三角形，则AM长为__________．
三.解答题：11.如图8，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AD＝BE，CF＝3，BF＝4，求AF的长．
12.如图9，在平行四边形ABCD中，∠A=60 ，AD=6，且AD⊥BD于点D，点E,F分别是边AB,CD上的动点，且AE=CF.①求证：四边形DEBF是平行四边形；
②当BE为何值时，四边形DEBF是矩形？
13.如图10.在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=18cm,BC=21cm,且M在AD上以1cm/s的速度由A向D运动,点N在BC上以2cm/s的速度由C向B运动.
(1)几秒后MNCD为平行四边形 (2)几秒后ABNM为矩形
提高题：14.如图11，在四边形纸片ABCD中，AB＝10，CD＝2，AD＝BC＝5，∠A＝∠B，现将纸片沿EF折叠，使点A的对应点A′落在边AB上，连接A′C，如果△A′BC恰好是以A′C为腰的等腰三角形，求AE的长．
图8
图9
图10
图11
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（总课时06）§1.2矩形的性质与判定3
【学习目标】综合运用矩形的性质定理和判定定理解决问题.
【学习重难点】运用定理解决综合问题．
【导学过程】
一.知识回顾：矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形;
性质：①具有平行四边形的所有性质
②四个角都是
③对角线相等
④既是轴对称图形又是中心对称图形;
判定:①用定义
②有三个角是直角的四边形是矩形
③对角线相等的平行四边形是矩形．
二.典例与练习:
例1.如图1，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC和BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，DE＝3BE，求AE的长．
解：设BE=x，DE=3x，AC=4x，∵矩形ABCD∴BO=OA=2x ∴BE=x=OE
∵AE⊥BD∴∠AEB=∠AED=90°，
∵AD=6∴，，∴AE=3
练习：
1．如图2，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ACB=30°，BD=4，则矩形ABCD的面积为 ．
2．如图3，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，点F在边CD上，点E在边AB上,点G、H在对角线
AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是 5 ．
例2．已知：如图4，四边形ABCD由两个全等的等边三角形ABD和CBD组成，M，N分别是BC和AD的中点．求证：四边形BMDN是矩形．
证：∵M，N是中点∴DM⊥BC，BN⊥AD
∴DM‖BN且DM=BN
∴四边形BMDN是平行四边形；
又∠DNB=90 ∴四边形BMDN是矩形.
练习：3．如图5，AF、BF、CE、DE都是平行四边形ABCD的角平分线．求证：四边形EHFG是矩形．
证：∵DC‖AB，CE平分∠DCB，BF平分∠ABC
∴CE⊥BF,同理得DE⊥AF，AF⊥BF，
∴∠FHE=∠F=∠FHE=90 ∴四边形EHFG是矩形.
4.已知：如图6，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，四边形ABDE是平行四边形．
求证：四边形ADCE是矩形．
证：∵平行四边形ABDE∴AE//BD,AE=BD
∵D是BC中点，AB＝AC
∴AD⊥BC，CD＝BD∴CD＝AE，CD//AE
∴四边形ADCE为平行四边形
∵AD⊥BC∴平行四边形ADCE为矩形.
三.课堂小结：1.互相交流矩形的性质与判定 ( http: / / www.21cnjy.com )定理，何时该选用性质定理，何时选择判定定理;
2.理解矩形与平行四边形、菱形的关系；
3.遇到矩形综合题目时如何分析思路，攻克难题。
四.分层过关：1．下列关于矩形的说法中正确的是（ B ）
A．对角线相等的四边形是矩形； B．矩形的对角线相等且互相平分;
C．对角线互相平分的四边形是矩形; D．矩形的对角线互相垂直且平分.
2．如图7，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60 ，AC=6cm，则AB的长是 ( A )
A．3cm B．6cm C．10cm D．12cm
3．如图8，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC=，∠AEO=120°，则FC的长度为（ A ）A．1 B．2 C． D．
4．如图9，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为 .
5．如图10，在矩形ABCD中，AB=，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是____．
6.如图11，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F．求PE+PF的值．
解：连接PO，∵矩形ABCD的两边AB=3，BC=4，
∴=12，
AC=5，
=3=+=OA PE+OD PF=OA(PE+PF）=×(PE+PF）=3，
∴PE+PF=2.4，
思考题：12.如图12.四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在的直线上，连接CE，以CE为边，作正方形CEFG(点D，点F在直线CE的同侧)，连接BF，(1)如图a，当点E与点A重合时，则BF=__；(2)如图b，当点E在线段AD上时，AE=1，①求点F到AD的距离；②求BF的长．
解：(1)当点E与点A重合时,点C、D、F在一条直线，
连接CF，在中，，
同理可得
(2)①过点F作交AD的延长线于点H，如图所示∵四边形CEFG是正方形，∴，∴，又∵四边形ABCD是正方形，∴，∴又∵，∴∵，，∴，∴，即点F到AD的距离为3．②延长FH交BC的延长线于点K，如图所示∴，∴四边形CDHK为矩形，∴，，∵，∴，∴，∴，在中，
图1
A
B
E
C
D
O
D
A
B
C
O
图2
D
A
C
B
F
G
E
H
图5
E
A
C
B
D
图6
A
B
C
A
B
D
C
O
D
O
E
F
图7
图8
A
B
E
C
D
F
图10
图9
图7
图11
图12(a)
图12(b)
图12(a)
图12(b)
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