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（总课时07）§1.3正方形的性质与判定1
【学习目标】理解正方形的概念，能够应用正方形的性质定理解决问题．
【学习重难点】正方形的性质及其应用．
【导学过程】
一.知识回顾：
1．如图1，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形OCED的周长为__________．
二.探究新知：
1．观察：下图的四边形都是特殊的平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
2．思考：（1）正方形是菱形吗？是矩形吗？________________________________
（2）正方形是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？ _________________________________
总结：①正方形与菱形、矩形、平行四边形的关系；②正方形的性质：
结论：正方形是轴对称图形，对称轴有4条，分别是两条对角线所在的直线和过对边中点的直线；正方形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点．
符号语言：(定理1)∵正方形ABCD∴________________
三.典例与练习
例1：如图2，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE=CF．
BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由．
练习：如图3，正方形ABCD，E，F分别为AD，CD边上一点,且AE=DF．AF与BE有什么数量关系与位置关系？请说明理由．
2．如图4，正方形ABCD内有两条相交线段MN、EF，M、N、E、F分别在边AB、CD、AD、BC上．
小明认为：若MN=EF，则MN⊥EF；
小亮认为：若MN⊥EF，则MN=EF．你认为( )
A．仅小明对 B．仅小亮对 C．两人都对 D．两人都不对
例2：如图5，在正方形ABCD中，点F为对角线AC上的一点，连接BF、DF．你能找出图中的全等三角形吗？选择其中的一对进行证明．
练习：3.在正方形ABCD中，点F为对角线AC上一点，若AF=AB，则∠FBC=_____°
4.如图6，四边形ABCD是正方形，AC=EC，则∠DAE=______°
四.课堂小结：
1.正方形的定义：既是菱形又是矩形的四边形是正方形；
2.正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质；
3.正方形是轴对称图形，对称轴的条数=矩形对称轴的条数+菱形对称轴的条数
五.分层过关：
1．正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是（ ）
A．8 B．4 C．8 D．16
2．如图7，四边形ABCD、AEFG都是正方形，点E、G分别在AB，AD上，连接FC,过点E作EH∥FC,EH交BC于点H．若AB=4，AE=1，则BH的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．3
3．如图8，边长为4的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2=____．
4．如图9，正方形ABCD的边长为2，H在CD的延长线上，四边形CEFH也为正方形，则△DBF的面积为________．
5.如图10，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF=3，△EFC的周长为12，则EC的长为
6．已知：如图11，E、F是正方形ABCD对角线BD上的两点，且BE=DF，求证：四边形AECF是菱形．
思考题：1.如图12，正方形ABCD中，P在对角线BD上，E在CB的延长线上，且PE=PC，过点P作PF⊥AE于F，直线PF分别交AB、CD于G、H，
（1）求证：DH=AG+BE；（2）若BE=1，AB=3，求PE的长．
2.如图13,平面直角坐标系中，过点C（28，28）分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为B、A，一次函数y=x+3的图像分别与x轴和CB交于点D、E，点P是DE中点，连接AP.
⑴求点D与点E的坐标；
⑵求证：△ADO≌△AEC；
⑶求AP的长．
图1
2
2
2.5
3
3
2.5
正方形定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的的平行四边形叫做正方形．
具有平行四边形、菱形、矩形的所有性质
定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等；
定理2：正方形的对角线相等且互相垂直平分；
B
A
C
D
图2
A
BD
C
D
E
F
图3
B
D
C
A
N
M
F
E
图4
图5
图6
A
C
D
E
B
D
C
H
A
F
E
G
B
图7
A
B
E
C
D
F
图10
图9
图8
A
C
D
E
F
B
图11
图13
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（总课时07）§1.3正方形的性质与判定1
一.选择题：
1．已知：如图1，M是正方形ABCD内的一点，且MC=MD=AD，则∠AMB的度数为（ ）
A．120 B．135 C．145 D．150
2．如图2，在正方形ABCD中，E为DC边上的一点，沿线段BE对折后，若∠ABF比∠EBF大9°，则∠EBF的度数为（ ）
A．25° B．27° C．29° D．31°
3．已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC=12，则BO的长度和∠OAB的度数分别是（ ）
A．4，45 B．6，60 C．4，60 D．6，45
4.如图3，已知正方形ABCD，点E在边DC上，DE=4，EC=2，则AE的长为（）．
A.,B.5,C.4,D.3
5.如图4，已知正方形ABCD的边长为6，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于点G，连接DG，现在有如下3个结论：①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③在以上3个结论中，正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
二.填空题：
6.如图5，在正方形ABCD的外侧作等边三角形DCE，则∠AEC的度数是__________．
7.如图6，四边形ABCD是一个边长为6的正方形，点F在DC的延长线上，连接AF，过F作AF的垂线，交BC的延长线于点E，且AF=EF，则CE=_____.
8.如图7所示，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF，给出下列四个结论：①AP=EF；②△APD一定是等腰三角形；③∠PFE＝∠BAP；④PD=EC，其中正确结论的序号是_______.
9.如图8，正方形ABCD的边长为2，点E为AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE折叠，点A的对应点为F.连接CF，则CF的长为（ ）A． B． C． D．
解答题：10.如图，点E是正方形ABCD的对角线BD上一点，并且AD=DE，过点E作EF⊥BD交AB于点F.（1）求证：AF=BE,（2）若正方形的边长为1，求BF的长度.
11.如图10.1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形ABCD的外角∠DCG的平分线CF于点F．（1）如图10.2，取AB的中点H，连接HE，求证：AE＝EF．（2）如图10.3，若点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变结论“AE＝EF”仍然成立吗？如果正确，写出证明过程.
四、提高题：
12.在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动．将大小不相同的正方形ABCD与正方形AEFG按图11.1位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上．（1）小明发现DG＝BE且DG⊥BE，请你给出证明；（2）如图11.2，小明将正方形ABCD绕点A转动，当点B恰好落在线段DG上时.
①猜想线段DG和BE的位置关系是 ．
②若AD＝2，AE＝，求△ADG的面积．
图5
图2
图1
图4
图3
图6
图7
图8
图9
图10.2
图10.1
图10.3
图11.1
图11.2
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（总课时07）§1.3正方形的性质与判定 1
一.选择题：
1．已知：如图1，M是正方形ABCD内的一点，且MC=MD=AD，则∠AMB的度数为（ D ）
A．120 B．135 C．145 D．150
2．如图2，在正方形ABCD中，E为DC边上的一点，沿线段BE对折后，若∠ABF比∠EBF大9°，则∠EBF的度数为（B） A．25° B．27° C．29° D．31°
已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC=12，则BO的长度和∠OAB的度数分别是（ D ）
A．4，45 B．6，60 C．4，60 D．6，45
4.如图3，已知正方形ABCD，点E在边DC上，DE=4，EC=2，则AE的长为（A）．A.,B.5,C.4,D.3
5.如图4，已知正方形ABCD的边长为6，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于点G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③在以上3个结论中，正确的有（ C ）A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
二.填空题：
6.如图5，在正方形ABCD的外侧作等边三角形DCE，则∠AEC的度数是_45 __．
7.如图6，四边形ABCD是一个边长为6的正方形，点F在DC的延长线上，连接AF，过F作AF的垂线，交BC的延长线于点E，且AF=EF，则CE=_12_.
8.如图7所示，点P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF，给出下列四个结论：①AP=EF；②△APD一定是等腰三角形；③∠PFE＝∠BAP；④PD=EC，其中正确结论的序号是①③④_.
9.如图8，正方形ABCD的边长为2，点E为AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE折叠，点A的对应点为F.连接CF，则CF的长为（ D ）A． B． C． D．
三.解答题：10.如图9，点E是正方形ABCD的对角线BD上一点，并且AD=DE，过点E作EF⊥BD交AB于点F.（1）求证：AF=BE,（2）若正方形的边长为1，求BF的长度.
证明：（1）如图，连接DF，易证Rt△AFD≌Rt△EFD(HL)∴EF=AF
∵四边形ABCD是正方形∴∠EBF=45°∴∠BFE=45°∴∠EBF=∠EFB∴BE=EF∴AF=BE.
（2）由（1）知，AF=EF=BE，AB=DC=BC=AD=1，∴BD== ，
∵AD=DE∴BE=BD-DE=-1，∴AF=BE=-1，∴BF=AB-AF=1-（-1）=2-.
11.如图10.1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形ABCD的外角∠DCG的平分线CF于点F．（1）如图10.2，取AB的中点H，连接HE，求证：AE＝EF．
（2）如图10.3，若点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变结论“AE＝EF”仍然成立吗？如果正确，写出证明过程.
（1）证明：取AB的中点H，连接EH；如图2所示
∵四边形ABCD是正方形，AE⊥EF；
∴∠1+∠AEB＝90°，∠2+∠AEB＝90°
∴∠1＝∠2，
∵BH＝BE，∠BHE＝45°，且∠FCG＝45°，
∴∠AHE＝∠ECF＝135°，AH＝CE，
易证△AHE≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF；
（2）解：AE＝EF成立，
理由如下：如图2，延长BA到M，使AM＝CE，
∵∠AEF＝90°，
∴∠FEG+∠AEB＝90°．
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠FEG，
∴∠MAE＝∠CEF．
∵AB＝BC，∴AB+AM＝BC+CE，即BM＝BE．
∴∠M＝45°，
∴∠M＝∠FCE．易证△AME≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF．
四.提高题：
12.在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动．将大小不相同的正方形ABCD与正方形AEFG按图11(1)位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上．（1）小明发现DG＝BE且DG⊥BE，请你给出证明；（2）如图11(2)，小明将正方形ABCD绕点A转动，当点B恰好落在线段DG上时
①猜想线段DG和BE的位置关系是DG⊥BE．②若AD＝2，AE＝，求△ADG的面积．
证明：（1）如图1，延长EB交DG于点H，
∵四边形ABCD与
四边形AEFG是正方形，∴AD＝AB，∠DAG＝∠BAE＝90°，
AG＝AE，易证△ADG≌△ABE（SAS），
∴∠AGD＝∠AEB，DG＝BE，
∵△ADG中，∠AGD+∠ADG＝90°，∴∠AEB+∠ADG＝90°，
∵△DEH中，∠AEB+∠ADG+∠DHE＝180°，
∴∠DHE＝90°，∴DG⊥BE；
（2）②如图2，过点A作AM⊥DG交DG于点M，∠AMD＝∠AMG＝90°，
∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠MDA＝45°在Rt△AMD中，
∵∠MDA＝45°，AD＝2，∴AM＝DM＝2，
在Rt△AMG中，∵AM2+GM2＝AG2∴GM＝＝3，
∵DG＝DM+GM＝2+3＝5，
∴S△ADG＝DG AM＝×5×2＝5．
图4
图5
图2
图3
图1
图2
图6
图7
图8
图9
图3
图10.2
图10.1
图10.3
图11.2
图11.1
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（总课时07）§1.3正方形的性质与判定1
【学习目标】理解正方形的概念，能够应用正方形的性质定理解决问题．
【学习重难点】正方形的性质及其应用．
【导学过程】
一.知识回顾
1．如图1，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形OCED的周长为_8__．
二.探究新知：
1．观察：图2的四边形都是特殊的平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
2．思考：（1）正方形是菱形吗？是矩形吗？正方形是菱形.是矩形.
（2）正方形是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？ 正方形是轴对称图形；是中心对称图形.
总结：①正方形与菱形、矩形、平行四边形的关系；②正方形的性质：
结论：正方形是轴对称图形，对称轴有4条，分别是两条对角线所在的直线和过对边中点的直线；正方形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点．
符号语言：(定理1)如图3，∵正方形ABCD∴∠A=∠B=∠C=∠D.
三.典例与练习：
例1：如图4，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE=CF．BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由．
解：BE=DF且BE⊥DF.理由：易证△BCE≌△DCF∴BE=DF.延长BE交DF于H点，则∠DHB=∠ECB=90 ∴BE⊥DF.
练习1：如图5，正方形ABCD，E，F分别为AD，CD边上一点,且AE=DF．AF与BE有什么数量关系与位置关系？请说明理由．解：AF=BE，AF⊥BE.理由：易证ADF≌△BAE∴AF=BE，∠ABE=∠EAF
∵∠ABE+∠BAF=90 ∴AF⊥BE.
2．如图6，正方形ABCD内有两条相交线段MN、EF，M、N、E、F分别在边AB、CD、AD、BC上．小明认为：若MN=EF，则MN⊥EF；小亮认为：若MN⊥EF，则MN=EF．你认为( B )
A．仅小明对 B．仅小亮对 C．两人都对 D．两人都不对
例2：如图7，在正方形ABCD中，点F为对角线AC上的一点，连接BF、DF．你能找出图中的全等三角形吗？选择其中的一对进行证明．解：△CDF≌△CAF,△ADF≌△ABF,△ABC≌△ADC;
证明：（略）
练习：3.如图7在正方形ABCD中，点F为对角线AC上的一点，若AF=AB，则∠FBC=22.5°
4.如图8，四边形ABCD是正方形，AC=EC，则∠DAE=22.5°
四.课堂小结：
1.正方形的定义：既是菱形又是矩形的四边形是正方形；
2.正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质；
3.正方形是轴对称图形，对称轴的条数=矩形对称轴的条数+菱形对称轴的条数
五.分层过关：
1．正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是（A）A．8 B．4 C．8 D．16
2．如图9，四边形ABCD、AEFG都是正方形，点E、G分别在AB，AD上，连接FC,过点E作EH∥FC,EH交BC于点H．若AB=4，AE=1，则BH的长为（C）A．1 B．2 C．3 D．3
3．如图10，边长为4的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2=_．
4．如图11，正方形ABCD的边长为2，H在CD的延长线上，四边形CEFH也为正方形，则△DBF的面积为_2__．
5.如图12，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF=3，△EFC的周长为12，则EC的长为 5
6．已知：如图13，E、F是正方形ABCD对角线BD上的两点，且BE=DF，求证：四边形AECF是菱形．
证明：连接AC交BD于点O∵正方形ABCD∴AC⊥BD，AO=CO，DO=BO
∵BE=DF∴BE-BO=DF-DO∴OE=OF∴四边形AECF为平行四边形
∵AC⊥EF∴□AECF为菱形
思考题：1.如图14，正方形ABCD中，P在对角线BD上，E在CB的延长线上，且PE=PC，过点P作PF⊥AE于F，直线PF分别交AB、CD于G、H，（1）求证：DH=AG+BE；（2）若BE=1，AB=3，求PE的长．
解：（1）在DC上截取DM=BE，连接AM，易证△ABE≌ADM，∴∠1=∠2，
∴∠1+∠BAM=∠2+∠BAM=90°，∴AM⊥AE．又∵PF⊥AE于F，∴AM∥FH，
又∵AB∥CD，∴四边形AGHM是平行四边形，∴AG=MH，∵DH=DM+MH，∴DH=AG+BE．
（2）连接AP．易证△ABP≌△CBP，∴PA=PC，∠3=∠4，∵PE=PC，∴PA=PE，∠4=∠5，∴∠3=∠5，又∵∠ANP=∠ENB，∴∠3+∠ANP=∠5+∠ENB=90°，∴AP⊥PE，即△APE是等腰直角三角形，∵BE=1，AB=3，∴AE=，
∴ PE=．
2.如图15,平面直角坐标系中，过点C（28，28）分别作x轴、y轴的垂线，
垂足分别为B、A，一次函数y=x+3的图像分别与x轴和CB交于点D、E，
点P是DE中点，连接AP.
⑴求点D与点E的坐标；⑵求证：△ADO≌△AEC；⑶求AP的长．
解：（1）∵CE垂直x轴，点C（28，28）∴E点横坐标为28
∵一次函数y=x+3的图像分别与x轴和CB交于点D、E,当y=0时，
解得：x=-4，当x=28时，解得：y=24∴点D的坐标为（-4，0），
点E的坐标为（28，24）
（2）∵点D的坐标为（-4，0），点E的坐标为（28，24），点C（28，28）
∴OD=4，CE=28－24=4∴OD=CE
∵过点C（28，28）分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为B、A，
∴四边形AOBC是正方形∴AO =AC，∠AOD=∠C=90°，点B的坐标为（28,0）
∴△ADO≌△AEC
（3）∵△ADO≌△AEC∴∠OAD=∠CAE，AD=AE∴∠OAD＋∠OAE=∠CAE＋∠OAE
∴∠DAE=∠OAC=90°∴△ADE为等腰直角三角形
∵点P 是DE中点
∴AP=DE∵点B的坐标为（28,0），点D（-4，0），点E（28，24）
∴BD=28－（-4）=32，BE=24－0=24根据勾股定理：DE=∴AP=DE=20
图1
2
2
2.5
3
3
2.5
正方形定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的的平行四边形叫做正方形．
图2
具有平行四边形、菱形、矩形的所有性质
定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等；
定理2：正方形的对角线相等且互相垂直平分；
正方形
B
A
C
D
图3
图4
A
BD
C
D
E
F
图5
B
D
C
A
N
M
F
E
图6
图8
A
C
D
E
B
图7
A
B
E
C
D
F
图12
D
C
H
A
F
E
G
B
图9
图11
图10
A
C
D
E
F
B
图13
图14
图15
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