课件14张PPT。勾股定理(1) 这是1955年希腊曾经发行的纪念一位数学学派的邮票. 观察这枚邮票图案小方格的个数，你有什么发现？实验1：将每个小正方形的面积看作1，△ABC是以格点为顶点的直角三角形，分别以三边向外作正方形.你能计算以AB为边
的正方形的面积吗？BGH这是用“补”的方法ABCPQRSR =25
这是用“割”的方法PQRABCSR =25PQRABCSR =25 在方格纸上,画
一个顶点都在格点
上的直角三角形;并分别以这个直角三角形的各边为一边向三角形外作正方
形,仿照上面的方法
计算以直角边、斜边为一边的正方形的面积.实验2acbSP+SQ=SR 观察所得到的各组数据，你有什么发现？猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？a2+b2=c2CAB 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 勾股定理(毕达哥拉斯定理)勾→↑股←弦我国古代把直角三角形的较短的直角边叫做“勾”，较长的边叫做“股”，斜边称为“弦”，并且至少早于古希腊人500多年就已得到“勾三股四弦五”的结论．中国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问："我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？" 商高回答说："数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理：当直角三角形‘矩'得到的一条直角边‘勾'等于3，另一条直角边’股'等于4的时候，那么它的斜边'弦'就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。"?如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。 在稍后一点的《九章算术》一书中（约在公元50至100年间）（右图），勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的《勾股章》说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦。”。《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉以来的数学成就，共收集了246个数学的应用问题和各个问题的解法，列为九章，可能是所有中国数学著作中影响最大的一部。 练习
１．求下列直角三角形未知边的长：２．求下列图中未知数x,y,z的值：作 业P47 1 2 3
评价手册课件13张PPT。勾股定理（2）acb如图,是一些由正方形和直角三角形拼合成的图形,其中最大的正方形的边长7cm,你能求出正方形A,B,C,D的面积之和吗?
请试一试baca2+b2=c2勾股圆方图三国时期吴国的数学家赵爽形数结合如图,把火柴盒放倒,在这个过程中也能验证勾股定理,你能利用下图验证勾股定理吗?思考 1.观察下图中的△ABC和△DEF,它们是直角三角形吗?
2.观察下图,并分别以△ABC和△DEF的各边为边向外做正方形,其中2个小正方形的面积的和等于大正方形的面积吗?练习:1.Rt△ABC中,∠C=90。
(1)如果BC=9,AC=12,那么AB=__________
(2)如果BC=8,AB=10,那么AC=__________
(3)如果AC=20, BC=25,那么AB=_________
(4)如果AB=13,AC=12,那么BC=_________
(5)如果AB=61,BC=11,那么AC=_________15615560你能熟练记得11~19的平方吗？2.印度数学家什迦逻(1141年-1225年)曾提出过 “荷花问题”:
“平平湖水清可鉴,面上半尺生红莲;出泥不染亭亭立,忽被强风吹一边,渔人观看忙向前,花离原位二尺远;能算诸君请解题,湖水如何知深浅;”长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.
(1)如果梯子的顶端下滑1m,那么梯子的底端也将下滑1m吗?请说明你的理由;
(2)如果梯子的顶端下滑2m呢?说说你的理由.8m10m 在 “从面积到乘法公式”一章的学习中,我们把几个图形拼成一个新的图形,通过图形面积的计算得到了许多有用的式子. 勾股定理的两节课我们经历了探索勾股定理,用不同的割补图形的方法,验证勾股定理的过程.小结：在古印度,也有人利用如下的拼图证明了勾股定理.他是如何证明的呢?
试一试,看看你能否对此做出解释.课件14张PPT。2.2 神秘的数组美国哥伦比亚大学图书馆收藏着一块编号为 “普林顿322” (plimpton322)的古巴比伦泥板. 泥板上的一些身比符号事实上是一些数组.
这些神秘的数组揭示了什么奥秘呢? 经过专家的潜心研究,发现其中2列数字竟然是直角三角形的勾和弦,只要再添加一列数,那么每行的3个数就是一个直角三角形的边长!60BCA4575 例如,60,45,75是这张表中的一组数,而且
602+452=752 .
小丽画了以60mm,45mm,75mm为边长的△ABC(如图). 小丽所画的△ABC是直角三角形吗?说说你的理由.如果三角形的三边长a,b,c满足
a2+b2=c2 , 那么这个三角形是直角三角形.直角三角形的判定:如图,ABCD是一个盒子的正面,小明要知道AB边与DC边是否垂直于底边BC,他利用随身所带的卷尺量得AB=5CM,BC=12CM,A、C两点距离是13CM,由此,小明判断AB边垂直于BC边,你知道这是为什么吗?ABCD要判断AB边与BC边垂直,可设法说明∠B=900 即可，而通过小明测量得到的数据，连结AC后，利用判断△ABC是直角三角形的条件可知∠B是直角.ABCD解:连结AC,因为AB=5CM,BC=12CM, AC=13CM,
所以AB2+BC2=52+122=169,
又因为AC2=132=169,
所以AB2+BC2 = AC2
所以AB边垂直于BC直角三角形的判定:
如果三角形的三边长a,b,c满足
a2+b2=c2 , 那么这个三角形是直角三角形.勾股定理:
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
a2 + b2 = c2直角三角形的判定是勾股定理的逆定理满足a2+b2=c2的三个正整数a,b,c称为勾股数.例如, 3,4,5是一组勾股数,古巴比伦泥板上的神秘数组都是勾股数.利用勾股数可以构造直角三角形.还有哪些勾股数？练习:1.古代建筑师把12段同样长的绳子相互连成环状,把动点B到点C之间的5段绳子拉直,然后在点A将绳子拉紧,便形成直角.工人按这个 “构形” 施工,就可以将建筑物的拐角建成直角.你认为这样做有道理吗?下列三角形是直角三角形吗?为什么?ABC12915DEF467下列各组数是勾股数吗?为什么?(1)12,15,18 (2)7,24,25(3)15,36,39 (4)12,35,36小结：1.认识勾股数,会阐述直角三角形的判定条件(勾股定理的逆定理)2.会应用直角三角形的判定条件判定一个三角形是直角三角形.课件14张PPT。2.3 平方根22=________, (-2)2=________,
102=_______, (-10)2=________,
132=_______, (-13)2=________,
02=_____填空：你发现了什么？设图中小正方格的边长是1,你能分别说出图中2个长方形的对角线AB、A’B’的长吗?小丽:由勾股定理可知AB2=52+122=169, 所以长方形的对角线AB的长是13.小明:A’B’2=12+22=5,
A’B’=?要解决小明的问题,就要研究:如果一个数的平方等于a,那么这个数是几?如果一个数的平方是9,那么这个数是几?3或-3一个数的平方等于2呢?一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根(square root),也称为二次方根,也就是说,如果x2=a,那么x就叫做a的平方根.例如,22=4,(-2)2=4, ±2叫做4的平方根;
102=100,(-10)2=100, ±10叫做100的平方根;
132=169,(-13)2=169, ±13叫做169的平方根.一个正数的平方根有2个,它们互为相反数.一个正数a的正的平方根,记作 “ ”,正数a的负的平方根记作“- ”,这两个平方根合起来记作 “± ”,读作 “正、负根号a”.例如,2的平方根记作 “± ”.1. 9的平方根是什么?5的平方根是什么? 2. 0的平方根是什么?0的平方根有几个? 3. -4、-8、-36有平方根吗?为什么?一个正数有2个平方根,它们互为相反数;
0只有一个平方根,它是0本身;
负数没有平方根.求一个数a的平方根的运算,叫做开平方
(extraction of square root)解:(1)因为(±5)2=25,所以25的平方根是±5,即± =±5;(2)因为(± )2= ,所以 的平方根是
± ,即± = ± ;(3)15的平方根是±(4)因为(-2)2=4,所以(-2)2的平方根是±2,即± = ±2.要注意平方根的表示方法：
±练习:求下列各数的平方根:
81, 289, 0, 2 , 2.56, 10-2已知一个正方形的面积是11cm2,求它的边长.解:设正方形的边长为xcm.
x2 = 11
因为11的平方根是±所以x= ±又因为x>0,所以x=答:正方形的边长为 cm课件12张PPT。2.4立方根一个正数有2个平方根,它们互为相反数;
0只有一个平方根,它是0本身;
负数没有平方根.平方根的表示方法： ±算术平方根表示方法：23=________, (-2)3=________,
53=_______, (-5)3=________,
103=_______, (-10)3=________,
03=_____填空：你发现了什么？和平方数相比有什么不同？某种植物细胞可以近似看作是棱长为1的正方体,当它的体积增大1倍时,这个正方体的棱长是多少?棱长为1时,正方体的体积是13=1.设体积为2的正方体的棱长为x,那么x3=2.一般地,如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a的立方根(cube root),也称为三次方根.也就是说,如果x3=a,那么x叫做a的立方根,数a的立方根记作 “ ”,读作 “三次根号a”求一个数的立方根的运算叫做开立方(extraction of cubic root)例如,3的立方是27,所以3是27的立方根,记作 =3;又如x3=2,x是2的立方根,记作x=例 求下列各数的立方根:
(1)64; (2) - ; (3) 9.解:(1)因为43 = 64,所以64的立方根是4, 即 =4;(2)因为( - )3=- ,所以- 的立
方根是- ,即 = -(3) 9的立方根是 .下列各数有立方根吗?如果有,请写出来;如果没有,请说明理由. , 0.0001, 9 , -3, -64, - ,0正数的立方根是正数,
负数的立方根是负数,
0的立方根是0.在我们学过的数中,任何数都有一个立方根.和平方根有什么区别？练习:
1.写出写列各数的立方根:
-27, 0.008, ,-1 ,0.064, 4.2.有一个球形容器,你能用一只有刻度的量筒算出这个球形容器的容积及半径吗.(壁厚忽略不计)讨论
1. ( )3 等于多少?( )3 等于多少?2.等于多少?一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根一个正数有两个平方根； 0有一个平方根；负数没有平方根开平方开立方平方根与立方根的比较：课件16张PPT。2.5实数(1)讨论
是怎样的一个数?
试在数轴上画出表示 的点? 是一个整数吗? 是一个分数吗?( )2 = =2.25;…( )2= =1.96;…( )2 =2.25,因为( )2 =1.96;所以 < < ,即1.4< <1.5.
因为1.412=1.9881, 1.422=2.0164,
所以1.41< <1.42.
因为1.4142=1.999396,1.4152=2.002225.
所以1.414< <1.415.
如果保留4位小数, 的近似值是多少?保留5位小数呢?事实上,人们已经证明 是一个无限不循环小数,它的值为1.4142135623730950488016887242097…无限不循环小数称为无理数.有理数和无理数通称为实数（real number），即实数可以分为有理数和无理数.试一试……有理数集合无理数集合（2）实数还可以怎样分类？议一议……正实数集合负实数集合猜一猜 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全相同.想一想（1）a是一个实数，它的相反数为 ，绝对值为 ；（2）如果a不为0，那么它的倒数为 .-a|a|（1）如图，OA=OB，数轴上A点对应的数是什么？它介于哪两个整数之间？（2）如果将所有有理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗？ 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大.数轴上的每一个点都表示一个实数.即实数和数轴上的点是一一对应的.随堂练习：1、判断下列说法是否正确：
（1）无限小数都是无理数.
（2）无理数都是无限小数.
（3）带根号的数都是无理数.
（4）任何实数都有倒数、相反数.
（5）实数和数轴上的点是一一对应的.
?????-2a-2c小结1、什么是实数？你会给它分类吗？
2、与有理数相比，实数有什么相同的地方？又有什么不同的地方？课件10张PPT。2.5实数(2)在数轴上画出表示 的点呢？你还能表示出哪些类似的无理数？B实数和数轴上的点是一一对应的.无限不循环小数称为无理数.有理数和无理数通称为实数练一练P 58 1 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全相同.想一想 练 习P 60 2-2a-2c小结1、什么是实数？你会给它分类吗？
2、与有理数相比，实数有什么相同的地方？又有什么不同的地方？课件15张PPT。
2.6近似数与有效数字我问你答（2）请你测量数学书的长度.记录你们测量的数据！(1)你的铅笔盒里有几支笔？（3）在只有一把刻度尺的情况下，你能剪出长为 米的绳子吗？ 生活中，有些数据是精确的，有些数据是近似的.你的铅笔盒里有几支笔，这个数据就是精确的，而大家测量的书本长度的值是近似的.有的时候，在实际计算中，对于 这样的数，也常常需要取它们的近似数. 取一个数的近似数有多种方法,四舍五入法是最常用的一种方法.例如:圆周率π=3.1415926…
若精确到个位 (或精确到1),则π ≈3π若精确到十分位 (或精确到0.1),则π≈π若精确到百分位 (或精确到0.01),则π≈π若精确到千分位 (或精确到0.001),则π≈3.13.143.142由此可说明:一个近似数四舍五入到哪一位，那么这个近似数精确到哪一位 . 对一个近似数，从左面第一个不是零的数字起，到末位数字止，所有的数字都称为这个近似数的有效数字.
例 如 3.14有 个有效数字,分别是
0.010320有 个有效数字,分别是33、1、451、0、3、2、0有效数字例1 小亮用天平称得罐头的质量为2.026千克，
按下列要求取近似数，并指出每个近似数的有效
数字： (1)精确到0.01千克
(2) 精确到0.1千克
(3) 精确到1千克解 (1)2.03千克.有3个有效数字2、0、3
(2)2.0千克.有2个有效数字2、0(3)2千克.有1个有效数字2 注意
(1)四舍五入法是根据要求精确到哪一位的下一位数字而决定是“舍”还是“入”.注意：
(2)按四舍五入法取近似数时，不能随便将小数点后面的零去掉 .例3 用四舍五入法对下列各数取近似数，并用科学
记数法表示：
地球上七大洲的总面积约为149 480 000km2
（保留2个有效数字）2.某人一天饮水1890ml（精确到1000ml）3.小明身高1.595m（保留3个有效数字）4.人的眼睛可以看见的红光的波长为0.000 077cm
（精确到0.000 01cm）注意：对较大的数取近似数首先用科学记数法表示，再四舍五入.
例4 下列四舍五入得到的近似数各精确到哪
一位？各有几个有效数字？（1）0．0302
（2）3．02万
（3）3．0×104练一练1. 下列数据，哪些是精确的？哪些是近似的？
（1）某词典有1752页；
（2）量杯里有50ml的水；
（3）女子跑100m世界纪录为10.49s；
（4）世界上有61亿人.2. 小明量得课桌长为1.025米，请按下列要求取这个数的近似数：
（1）四舍五入到百分位；
（2）四舍五入到十分位；
（3）四舍五入到个位.解：四舍五入到百分位为1.03米；四舍五入到十分位为1.0米；四舍五入到个位为1米.练一练小结：1、请说说如何区分近似数、精确数？2、你觉得近似数对我们有什么用处？课件11张PPT。 一架长为10m的梯子AB斜靠在墙上，如果如果梯子的顶端下滑1m,那么它的底端是否也滑动1m?问题导引2.7勾股定理的应用㈠1.勾股定理的内容是什么？ 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. ( a2+b2=c2 )2.怎样判断一个三角形是直角三角形？ 如果三角形的三边长分别是a、b、c，满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.知识回顾 南京玄武湖东西隧道与中央路北段及龙蟠路大致成直角三角形,从C处到B处,如果直接走湖底隧道CB,比绕道CA (约1.36km)和AB (约2.95km)减少多少行程?(精确到0.1km)解:在Rt△ABC中,由勾股定理,得
BC= = ≈2.62(km)
BA+AC≈1.36+2.95=4.31(km),
(BA+AC)－BC≈4.31-2.62=1.69≈1.7(km).
答:直接走湖底隧道比绕道BA和AC减少行程约1.7km.
ABC一架长为10m的梯子AB斜靠在墙上.⑴ 若梯子的顶端距地面的垂直距离为8m,则梯子的顶端A与它的底端B哪个距墙角C远?ABC⑵在⑴中如果梯子的顶端下滑1m,那么它的底端是否也滑动1m?⑶有人说,在滑动过程中,梯子的底端滑动的距离总比顶端下滑的距离大,你赞同吗?ABC1.如图,太阳能热水器的支架AB长为90cm,与AB垂直的BC长120cm.太阳能真空管AC有多长?2. 如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 （ ）
A.7m B.8m C.9m D.10m8m8m2m3. 一种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做多长？ 思考题 有位科学家在国外买了一种长1.72米的棍形的实验器材想带回国，但他发现乘坐飞机时，规定乘客只能带长宽高均不超过1米的物品，你有什么办法让科学家把器材带回来？ 小结 你认为勾股定理有什么用途？一般如何用?作 业P67 习题2.7 1，2，3, 4
评价手册课件11张PPT。问题回忆 还记得吗？我们用一把刻度尺画出长为 厘米的近似线段.那么，利用尺规能否准确作出长为 厘米的线段？2.7勾股定理的应用(二)1.如何在数轴上找到平方为2的数所对应的点呢？讨论例1.如图，等边三角形ABC的边长是6cm，求△ABC的面积.DCAB例2.如图，在△ABC中，AB=26，BC=20，边BC上的中线AD=24，求AC.DCAB例3 李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD和BC是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺.
（1）你能替他想办法完成任务吗？（2）李叔叔量得AD长是30厘米，AB长是40厘米，BD长是50厘米. AD边垂直于AB边吗？（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？ 例4 如图是一个正方体土块，在正方体下底部的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面B点的食物(BC=3cm)，需爬行的最短路程是多少？BACDC如果可以钻洞的话，最短路程是多少？练 习P67 1 2 3 小结 请你试着谈谈你对应用勾股定理解决问题的想法.思考在正方形ABCD上,AB=8，P在AC上,E是AB上一点,BE=2.则当点P运动到何处时,△PBE的周长最小?最小值是多少？作 业P67 习题2.7 4，5，6
评价手册课件24张PPT。小结与思考设计思路:勾股定理你能通过计算所拼图形的面积验证勾股定理吗?一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根(square root),也称为二次方根,也就是说,如果x2=a,那么x就叫做a的平方根.例如,22=4,(-2)2=4, ±2叫做4的平方根;
102=100,(-10)2=100, ±10叫做100的平方根;
132=169,(-13)2=169, ±13叫做169的平方根.一个正数的平方根有2个,它们互为相反数.一个正数a的正的平方根,记作 “ ”,正数a的负的平方根记作“- ”,这两个平方根合起来记作 “± ”,读作 “正、负根号a”.例如,2的平方根记作 “± ”.一个正数有2个平方根,它们互为相反数;
0只有1个平方根,它是0本身;
负数没有平方根.求一个数a的平方根的运算,叫做开平方
(extraction of square root)正数a有两个平方根,其中正的平方根,也叫做a的算术平方根.
例如,4的平方根是±2,其中2叫做4的算术平方根,记作 =2; 2的平方根是± ,其中 叫做2的算术平方根.
0只有一个平方根,0的平方根也叫做0的算术平方根,即 =0.一般地,如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a的立方根(cube root),也称为三次方根.也就是说,如果x3=a,那么x叫做a的立方根,数a的立方根记作 “ ”,读作 “三次根号a”求一个数的立方根的运算叫做开立方(extraction of cubic root)例如,3的立方是27,所以3是27的立方根,记作 =3;又如x3=2,x是2的立方根,记作x=正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0.在我们学过的数中,任何数都有一个立方根.一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根一个正数有两个平方根； 0有一个平方根；负数没有平方根开平方开立方平方根与立方根的比较：无限不循环小数称为无理数.有理数和无理数通称为实数（real number），即实数可以分为有理数和无理数.（1）如图，OA=OB，数轴上A点对应的数是什么？它介于哪两个整数之间？（2）如果将所有有理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗？ 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.即实数和数轴上的点是一一对应的. 在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大. 对一个近似数，从左面第一个不是零的数字起，到末位数字止，所有的数字都称为这个近似数的有效数字.
例 如 3.14有 个有效数字,分别是
0.010320有 个有效数字,分别是33、1、451、0、3、2、01．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。
3．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是________m。
4．已知两条线段的长为5cm和12cm,当第三条线段的长为???????????????? cm时,这三条线段能组成一个直角三角形.
习题:2．9的算术平方根是 ， 27的立方根是___.
5．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。496.小明的叔叔家承包了一个矩形鱼池，已知其面积为48m2，其对角线长为10m，为建栅栏，要计算这个矩形鱼池的周长，你能帮助小明算一算吗？107．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
ADEBC1510258．已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，求四边形ABCD的面积。
ABCD341213作 业P70 6 9 10 129．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高____________米。
