沪科版数学八年级下册 第18章 勾股定理 基础过关卷
一、单选题
1．（2023八下·鄱阳月考）由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，，
，
由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形，
故A不符合题意；
B、，，
，
由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形，
故B不符合题意；
C、，，
，
由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形，
故C符合题意；
D、，，
，
由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形，
故D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，据此逐项验证即可.
2．（2023八上·内江期末）已知的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．，，
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴是直角三角形，故A不符合题意；
∵，，
∴，
∴是直角三角形，故B不符合题意；
∵，，
∴，
∴，
∴是直角三角形，故C不符合题意；
∵，，
∴，
∴不是直角三角形，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理的逆定理，如果一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，那么这个三角形就是直角三角形，据此可判断A、B选项；根据三角形的内角和定理算出最大内角的度数，如果等于90°就是直角三角形，否则就不是，据此可判断C、D选项.
3．（2022八下·安宁期末）如图，数轴上的点A对应的实数是-1，点B对应的实数是1，过点B作，使，连接AC，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D对应的实数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：∵AB=2，BC=1，∠ABC=90°
∴，
∴D点对应的数为：．
故答案为：A．
【分析】利用勾股定理求出AC的长，即可得到点D对应的数。
4．（2022八上·越城期末）如图，在的正方形网格中，若小正方形的边长是1，则任意两个格点间的距离不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解： 在 的正方形网格中，若小正方形的边长是1 ，
任意两个格点间的距离为 ， ， ， 1，2，3， ， ， .
任意两个格点间的距离不可能是 ，
故答案为：A.
【分析】利用方根纸的特点及勾股定理算出任意两点间距离的所有情况，即可判断得出答案.
5．（2021八上·清新期中）如图，分别以三边向外作三个正方形，其面积分别用、、表示，若，，那么（ ）
A．9 B．5 C．14 D．3.5
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，AB2=BC2+AC2，
∵S1=AB2，S2=BC2，S3=AC2，
∴S1=S2+S3．
∵S2=7，S3=2，
∴S1=7+2=9．
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式可得S1=S2+S3，再根据S2=7，S3=2，可得S1=7+2=9。
6．（2023八下·重庆市开学考）如图，在长方形中，点E是上一点，连接，沿直线把折叠，使点D恰好落在边上的点F处.若，，则折痕的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵在长方形中，
∴，
∵
∴
∵沿直线把折叠，使点D恰好落在边上的点F处
∴，
∴
∴设，
∴
∴，即
∴解得
∴
∴
故答案为：A.
【分析】根据矩形的性质可得CD=AB=9，∠C=∠B=∠D=90°，则DE=CD-CE=5，由折叠的性质可得AD=AF，DE=EF=5，利用勾股定理可得CF，设AD=AF=BC=x，则BF=x-3，然后在Rt△ABF、Rt△ADE中，根据勾股定理求解即可.
7．（2021八下·吉林月考）在直角三角形中，若两条边的长分别是1cm、2cm，则第三边的长为（ ）
A．3cm B． cm C．2cm或 cm D． cm或 cm
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：当1cm、2cm的边为直角边时，第三边=cm，
当1cm为直角边，2cm为斜边时，第三边=cm，
∴ 第三边的 cm或 cm.
故答案为：D.
【分析】分两种情况讨论：当1cm、2cm的边为直角边时，当1cm为直角边，2cm为斜边时，根据勾股定理分别求出第三边的值，即可得出答案.
8．（2022八下·交城期中）勾股定理是一个古老的数学定理，它有很多种证明方法．下面四幅几何图形中，不能用于证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：A、大正方形的面积为：c2；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4＋(b a)2＝a2＋b2，
∴a2＋b2＝c2，故能证明勾股定理．
B、大正方形的面积为：（a＋b）2；
也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a2＋b2＋2ab，
∴（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab，
∴不能证明勾股定理．
C、大正方形的面积为：（a＋b）2；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4＋c2＝2ab＋c2，
∴（a＋b）2＝2ab＋c2，
∴a2＋b2＝c2，故能证明勾股定理．
D、图形的面积两种求法：①2个直角三角形+一个大正方形：2ab＋c2
②两个正方形+两个直角三角形：a2＋b2+2ab；
∴2ab＋c2＝a2＋b2+2ab，
∴a2＋b2＝c2，故能证明勾股定理．
故答案为：B．
【分析】利用不同的表达式表示同一个图形的面积即可得到勾股定理的结论。
9．（2022八上·长春期末）《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺）如果我们假设折断后的竹子高度为尺，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意得：，
设折断处离地面的高度是x尺，
由勾股定理得：．
故答案为：D．
【分析】设折断处离地面的高度是x尺，利用勾股定理可得。
10．（2022八上·东阳期中）数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当0＜x＜12时，求代数式 的最小值”，其中 可看作两直角边分别为x和2的Rt△ACP的斜边长， 可看作两直角边分别是12-x和3的Rt△BDP的斜边长.于是将问题转化为求AP+BP的最小值，如图所示，当AP与BP共线时，AP+BP为最小.请你解决问题：当0＜x＜4时，则代数式 的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：依题意如图，AC＝1，DB＝2，CD＝4，CP＝x，PD＝4-x，
∴AE＝1+2＝3，BE＝4，
∴AB ＝5，
∴代数式 的最小值是5.
故答案为：B.
【分析】依题意可得：AC＝1，DB＝2，CD＝4，CP＝x，PD＝4-x，则AE=AC+CE=3，BE=4，利用勾股定理求出AB，进而可得代数式的最小值.
二、填空题
11．（2023八下·义乌开学考）若直角三角形的两条直角边的长分别为5和 12，则斜边上的中线长为 ．
【答案】6.5
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：直角三角形的斜边长为：，
∴该直角三角形斜边上的中线长为6.5.
故答案为：6.5.
【分析】先根据勾股定理算出直角三角形的斜边长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案.
12．（2023八上·开江期末）如图，一架梯子AB长5米，底端离墙的距离BC为3米，当梯子下滑到DE时，米，则BE＝ 米.
【答案】1
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵AB=5， BC=3，
∴AC=，
∵AD＝1，
∴CD=AC-AD=3，
∴CE=，
∴BE=CE-CB=米，
故答案为：1.
【分析】在Rt△ABC中，根据勾股定理可得AC的值，则CD=AC-AD=3，然后在Rt△CDE中，由勾股定理求出CE的值，再根据BE=CE-CB进行计算.
13．（2022八上·乐清期中）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：“有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的处，水深和芦苇长各是多少尺？”则该问题的水深是 ．
【答案】12尺
【知识点】勾股定理的应用；正方形的性质
【解析】【解答】解：设芦苇长AC＝AC′＝x尺，则水深AB＝（x-1）尺，
∵池塘地面是边长为10尺的正方形，
∴C′B＝5尺，
在Rt△ABC′中，AC′2=AB2+C′B2，
∴（x-1）2+52＝x2，
解得x＝13，
∴芦苇长13尺，水深为12尺.
故答案为：12尺．
【分析】设芦苇长AC＝AC′＝x尺，则水深AB＝（x-1）尺，由题意易得C′B＝5尺，再利用勾股定理可得AC′2=AB2+C′B2，即（x-1）2+52＝x2，解之即可求得芦苇长和水深.
14．如图，一只蚂蚁从长、宽都是4，高是6的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所行的最短路线的长是 ．
【答案】10
【知识点】勾股定理的应用；平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：有两种情况，如图所示：
连接AB，求出AB的长就可以，
①由题意知AC=4，BC=6+4=10，
由勾股定理得：AB= = ；
②由题意知：AC=4+4=8，BC=6，
由勾股定理得：AB= = =10，
③如图3，AC=8，BC=6，
由勾股定理得：AB= =10；
∵ ＞ ，
∴最短是10．故答案为：10．
【分析】把立体图形展开，连接AB，根据勾股定理分别求出AB的长的所有值，再比较即可.
15．（2022八下·桐梓月考）如图，在中，，，，是的平分线，若、分别是和上的动点，则的最小值是
【答案】
【知识点】垂线段最短；三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：如图，过点C作交于点，交于点P，过点P作交于点Q，
是的平分线，
，
根据垂线段最短可知，此时有最小值，最小值为的长，
，，，
由勾股定理可知，，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：.
【分析】过点C作CQ′⊥AB交AB于点Q′，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC交AC于点Q，根据角平分线的性质可得PQ=PQ′，根据垂线段最短可知：此时PC+PQ有最小值，最小值为CQ′的长，由勾股定理逆定理知△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，然后根据等面积法进行计算可得CQ′的值，据此解答.
三、作图题
16．（2023八下·鄱阳月考）如图，在由的小正方形组成的网格中，每个小正方形的边长都是1，小正方形的 顶点叫格点．
（1）在图1中，以A为顶点，作一个三边长分别为2，和的格点三角形．
（2）在图2中，以A为顶点，作一个面积为的等腰直角三角形．
【答案】（1）解：作图如下：
（2）解：设这个等腰直角三角形的直角边长为
则，
解得或，
则斜边长为，
作图如下：
【知识点】勾股定理；作图-三角形
【解析】【分析】（1）根据勾股定理画出格点三角形即可；
（2）根据三角形的面积公式求出直角边长，利用勾股定理求出斜边长，然后作图即可.
四、解答题
17．（2023八下·鄱阳月考）随着3月12日植树节的到来，某企业计划对一块四边形空地进行绿化．如图，在四边形中，，米，米，米，米，若每平方米绿化的费用为60元，请预计绿化的费用．
【答案】解：连结，
因为，米，米，
所以米
因为米，米，，
所以，
所以
所以需费用（元）．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】连接BD，由勾股定理求出BD、CD的长，求出四边形ABCD的面积=△ABD的面积+△BCD的面积，再乘以60即得结论.
五、综合题
18．（2022八上·电白期中）如图，在长方形中，，E为上一点，把沿折叠，使点C落在边上的F处．
（1）求的长；
（2）求的长．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是长方形，
∴∠A=90°，AB=CD=10，
由折叠的性质可知DF=CD=10，
∴在Rt△ADF中，由勾股定理得；
（2）解：由折叠的性质可得CE=EF，
由长方形的性质可得∠B=90°，BC=AD=6，
设CE=EF=x，则BE=6-x，BF=AB-AF=2，
在Rt△BEF中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴．
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）根据折叠的性质可得DF=CD=10，再利用勾股定理求出AF的长即可；
（2）设CE=EF=x，则BE=6-x，BF=AB-AF=2，根据勾股定理可得，再求出x的值即可。
19．（2021八下·兖州期末）如图，已知 ， ， ， ， ．
（1）求AC的长．
（2）求图中阴影部分图形的面积．
【答案】（1）解：在 中， ，
由勾股定理，得：
（2）解： ，
是直角三角形，
图中阴影部分图形的面积
【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用
【解析】【分析】本题是三角形面积和勾股定理的综合应用
（1）直接根据勾股定理即可求
（2）求不规则图形的面积可以用割补法
20．（2022八下·綦江期末）今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力.如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响.
（1）求∠ACB的度数；
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【答案】（1）解：∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
（2）解：海港C受台风影响，理由：
过点C作CD⊥AB，
∵△ABC是直角三角形，
∴AC×BC＝CD×AB，
∴×300×400＝×500×CD，
∴CD＝240（km），
∵距离台风中心260km及以内的地区会受到影响，
∴海港C受台风影响；
（3）解：设台风中心的移动到点E处开始影响该海港，移动到点F处开始该海港开始不受影响，则EC＝FC＝260km，
由（2）得：CD⊥AB，CD=240km，
∴EF=2ED，
∵ED＝＝100（km），
∴EF＝200km，
∵台风的速度为28千米/小时，
∴200÷28＝（小时）.
答：台风影响该海港持续的时间为小时.
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据题意可得AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，则AC2+BC2＝AB2，结合勾股定理逆定理解答即可；
（2）过点C作CD⊥AB， 根据△ABC的面积公式可得CD的值，然后与260进行比较即可判断；
（3）设台风中心的移动到点E处开始影响该海港，移动到点F处开始该海港开始不受影响，则EC＝FC＝260km，由（2）得：CD⊥AB，CD=240km，根据等腰三角形的性质可得EF=2ED，由勾股定理求出ED，据此得到EF，然后除以速度可得时间.
21．（2023八上·安岳期末）如图，P是等边内的一点，连接，以为边作，且，连接.若，连接.
（1）证明：；
（2）求的度数.
【答案】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，.
∵，
∴.
在和中，，
∴
（2）解：∵，
∴设，则，，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
由（1）可知，，
∴，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且.
∴.
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AB=BC，∠ABC=60°，由角的和差关系可得∠ABP=∠CBQ，由已知条件可知BQ=BP，然后根据全等三角形的判定定理进行证明；
（2）设PA=3a，则PB=4a，PC=5a，易得△PBQ为等边三角形，则∠PQB=60°，PQ=PB=4a，由全等三角形的性质可得∠APB=∠CQB，CQ=PA=3a，由勾股定理逆定理知△PQC为直角三角形，且∠PQC=90°，然后根据∠BQC=∠PQB+∠PQC进行计算.
22．（2023八上·镇海区期末）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE＝c，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”.
请解决下列问题：
（1）判断下列方程是否是“勾系一元二次方程”：
① （填“是”或“不是”）；
② （填“是”或“不是”）
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；
（3）若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求△ABC面积.
【答案】（1）不是；是
（2）证明：∵是“勾系一元二次方程”，
∴以a、b、c为三边长的三角形是直角三角形，且c为斜边的长，
∴
∵
；
∴关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；
（3）解：∵是“勾系一元二次方程”的一个根，
∴，
即，
∵四边形的周长是12，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：（1）①不是“勾系一元二次方程”，
∵，
解得，
∵，
∴，
∴以a、b、c为三边长的三角形是不是直角三角形，
∴不是“勾系一元二次方程”
故答案为：不是；
②是“勾系一元二次方程”，
∵
∴，
∵，
∴，
∴以a、b、c为三边长的三角形是直角三角形，且c为斜边的长，
∴是“勾系一元二次方程”，
故答案为：是；
【分析】（1）根据 “勾系一元二次方程” 的定义，找出a、b、c的值，进而根据勾股定理的逆定理判断以a、b、c为三边长的三角形是否是直角三角形，即可判断得出答案；
（2）根据 “勾系一元二次方程” 的定义知 以a、b、c为三边长的三角形是直角三角形，且c为斜边的长，故可得c2=a2+b2， 再算出该方程根的判别式的值，利用整体替换及偶数次幂的非负性可得判别式的值一定不为负数，从而即可得出结论；
（3）根据方程根的概念可得 ，再结合四边形ACDE的周长是12可求出c的值，从而可得a+b的值，进而结合完全平方公式的恒等变形及勾股定理可求出ab=4，最后利用三角形面积计算方法即可求出答案.
23．如图， 是边长为 的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，它们的速度都是 ，当点 到达点 时，P，Q两点停止运动，设点 的运动时间为 ，解答下列问题：
（1）求 的面积.
（2）当 为何值时， 是直角三角形？
（3）是否存在某一时刻 ，使四边形APQC的面积是 面积的 ？如果存在，求出 的值；如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：如图1，过点 作 于点 ，
则 .
∵ .
∴在Rt 中， ，
∴
（2）解：设经过 秒， 是直角三角形，
则 .
在 中， ，
∴ .
若 是直角三角形，则分两种情况：
①当 时， ，
即 ，解得
②当 时， ，
即 ，解得 .
综上所述，当 或 时， 是直角三角形.
（3）解：不存在这样的 .
理由：如图2，作 于 ，
则 ，
∴ ，
∴
，
当四边形APQC的面积是 面积的 时， 的面积是 面积的 ，
即 ，化简得 . ，
∴不存在这样的 ，使四边形APQC的面积是 面积的 .
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；一元二次方程的应用-几何问题；三角形-动点问题
【解析】【分析】(1) 过点 作 于点 ， 根据等边三角形的性质和勾股定理求出AD，然后计算△ABC的面积即可；
(2) 设经过 秒， 是直角三角形， 则 ，然后分两种情况讨论，即①当 时，根据 建立方程； ②当 时，根据建立方程 ，然后分别求解即可；
(3)作 于 ， 根据含30°角的直角三角形的性质表示QE，则可把△BQP的面积用含t的代数式表示，结合 的面积是 面积的 建立关于t的一元二次方程，然后利用一元二次方程的判别式判断即可.
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一、单选题
1．（2023八下·鄱阳月考）由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
2．（2023八上·内江期末）已知的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．，，
C． D．
3．（2022八下·安宁期末）如图，数轴上的点A对应的实数是-1，点B对应的实数是1，过点B作，使，连接AC，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D对应的实数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022八上·越城期末）如图，在的正方形网格中，若小正方形的边长是1，则任意两个格点间的距离不可能是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021八上·清新期中）如图，分别以三边向外作三个正方形，其面积分别用、、表示，若，，那么（ ）
A．9 B．5 C．14 D．3.5
6．（2023八下·重庆市开学考）如图，在长方形中，点E是上一点，连接，沿直线把折叠，使点D恰好落在边上的点F处.若，，则折痕的长度为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021八下·吉林月考）在直角三角形中，若两条边的长分别是1cm、2cm，则第三边的长为（ ）
A．3cm B． cm C．2cm或 cm D． cm或 cm
8．（2022八下·交城期中）勾股定理是一个古老的数学定理，它有很多种证明方法．下面四幅几何图形中，不能用于证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022八上·长春期末）《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺）如果我们假设折断后的竹子高度为尺，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022八上·东阳期中）数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当0＜x＜12时，求代数式 的最小值”，其中 可看作两直角边分别为x和2的Rt△ACP的斜边长， 可看作两直角边分别是12-x和3的Rt△BDP的斜边长.于是将问题转化为求AP+BP的最小值，如图所示，当AP与BP共线时，AP+BP为最小.请你解决问题：当0＜x＜4时，则代数式 的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、填空题
11．（2023八下·义乌开学考）若直角三角形的两条直角边的长分别为5和 12，则斜边上的中线长为 ．
12．（2023八上·开江期末）如图，一架梯子AB长5米，底端离墙的距离BC为3米，当梯子下滑到DE时，米，则BE＝ 米.
13．（2022八上·乐清期中）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：“有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的处，水深和芦苇长各是多少尺？”则该问题的水深是 ．
14．如图，一只蚂蚁从长、宽都是4，高是6的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所行的最短路线的长是 ．
15．（2022八下·桐梓月考）如图，在中，，，，是的平分线，若、分别是和上的动点，则的最小值是
三、作图题
16．（2023八下·鄱阳月考）如图，在由的小正方形组成的网格中，每个小正方形的边长都是1，小正方形的 顶点叫格点．
（1）在图1中，以A为顶点，作一个三边长分别为2，和的格点三角形．
（2）在图2中，以A为顶点，作一个面积为的等腰直角三角形．
四、解答题
17．（2023八下·鄱阳月考）随着3月12日植树节的到来，某企业计划对一块四边形空地进行绿化．如图，在四边形中，，米，米，米，米，若每平方米绿化的费用为60元，请预计绿化的费用．
五、综合题
18．（2022八上·电白期中）如图，在长方形中，，E为上一点，把沿折叠，使点C落在边上的F处．
（1）求的长；
（2）求的长．
19．（2021八下·兖州期末）如图，已知 ， ， ， ， ．
（1）求AC的长．
（2）求图中阴影部分图形的面积．
20．（2022八下·綦江期末）今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力.如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响.
（1）求∠ACB的度数；
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
21．（2023八上·安岳期末）如图，P是等边内的一点，连接，以为边作，且，连接.若，连接.
（1）证明：；
（2）求的度数.
22．（2023八上·镇海区期末）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE＝c，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”.
请解决下列问题：
（1）判断下列方程是否是“勾系一元二次方程”：
① （填“是”或“不是”）；
② （填“是”或“不是”）
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；
（3）若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求△ABC面积.
23．如图， 是边长为 的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，它们的速度都是 ，当点 到达点 时，P，Q两点停止运动，设点 的运动时间为 ，解答下列问题：
（1）求 的面积.
（2）当 为何值时， 是直角三角形？
（3）是否存在某一时刻 ，使四边形APQC的面积是 面积的 ？如果存在，求出 的值；如果不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，，
，
由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形，
故A不符合题意；
B、，，
，
由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形，
故B不符合题意；
C、，，
，
由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形，
故C符合题意；
D、，，
，
由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形，
故D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，据此逐项验证即可.
2．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴是直角三角形，故A不符合题意；
∵，，
∴，
∴是直角三角形，故B不符合题意；
∵，，
∴，
∴，
∴是直角三角形，故C不符合题意；
∵，，
∴，
∴不是直角三角形，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理的逆定理，如果一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，那么这个三角形就是直角三角形，据此可判断A、B选项；根据三角形的内角和定理算出最大内角的度数，如果等于90°就是直角三角形，否则就不是，据此可判断C、D选项.
3．【答案】A
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：∵AB=2，BC=1，∠ABC=90°
∴，
∴D点对应的数为：．
故答案为：A．
【分析】利用勾股定理求出AC的长，即可得到点D对应的数。
4．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解： 在 的正方形网格中，若小正方形的边长是1 ，
任意两个格点间的距离为 ， ， ， 1，2，3， ， ， .
任意两个格点间的距离不可能是 ，
故答案为：A.
【分析】利用方根纸的特点及勾股定理算出任意两点间距离的所有情况，即可判断得出答案.
5．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，AB2=BC2+AC2，
∵S1=AB2，S2=BC2，S3=AC2，
∴S1=S2+S3．
∵S2=7，S3=2，
∴S1=7+2=9．
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式可得S1=S2+S3，再根据S2=7，S3=2，可得S1=7+2=9。
6．【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵在长方形中，
∴，
∵
∴
∵沿直线把折叠，使点D恰好落在边上的点F处
∴，
∴
∴设，
∴
∴，即
∴解得
∴
∴
故答案为：A.
【分析】根据矩形的性质可得CD=AB=9，∠C=∠B=∠D=90°，则DE=CD-CE=5，由折叠的性质可得AD=AF，DE=EF=5，利用勾股定理可得CF，设AD=AF=BC=x，则BF=x-3，然后在Rt△ABF、Rt△ADE中，根据勾股定理求解即可.
7．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：当1cm、2cm的边为直角边时，第三边=cm，
当1cm为直角边，2cm为斜边时，第三边=cm，
∴ 第三边的 cm或 cm.
故答案为：D.
【分析】分两种情况讨论：当1cm、2cm的边为直角边时，当1cm为直角边，2cm为斜边时，根据勾股定理分别求出第三边的值，即可得出答案.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：A、大正方形的面积为：c2；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4＋(b a)2＝a2＋b2，
∴a2＋b2＝c2，故能证明勾股定理．
B、大正方形的面积为：（a＋b）2；
也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a2＋b2＋2ab，
∴（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab，
∴不能证明勾股定理．
C、大正方形的面积为：（a＋b）2；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4＋c2＝2ab＋c2，
∴（a＋b）2＝2ab＋c2，
∴a2＋b2＝c2，故能证明勾股定理．
D、图形的面积两种求法：①2个直角三角形+一个大正方形：2ab＋c2
②两个正方形+两个直角三角形：a2＋b2+2ab；
∴2ab＋c2＝a2＋b2+2ab，
∴a2＋b2＝c2，故能证明勾股定理．
故答案为：B．
【分析】利用不同的表达式表示同一个图形的面积即可得到勾股定理的结论。
9．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意得：，
设折断处离地面的高度是x尺，
由勾股定理得：．
故答案为：D．
【分析】设折断处离地面的高度是x尺，利用勾股定理可得。
10．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：依题意如图，AC＝1，DB＝2，CD＝4，CP＝x，PD＝4-x，
∴AE＝1+2＝3，BE＝4，
∴AB ＝5，
∴代数式 的最小值是5.
故答案为：B.
【分析】依题意可得：AC＝1，DB＝2，CD＝4，CP＝x，PD＝4-x，则AE=AC+CE=3，BE=4，利用勾股定理求出AB，进而可得代数式的最小值.
11．【答案】6.5
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：直角三角形的斜边长为：，
∴该直角三角形斜边上的中线长为6.5.
故答案为：6.5.
【分析】先根据勾股定理算出直角三角形的斜边长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案.
12．【答案】1
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵AB=5， BC=3，
∴AC=，
∵AD＝1，
∴CD=AC-AD=3，
∴CE=，
∴BE=CE-CB=米，
故答案为：1.
【分析】在Rt△ABC中，根据勾股定理可得AC的值，则CD=AC-AD=3，然后在Rt△CDE中，由勾股定理求出CE的值，再根据BE=CE-CB进行计算.
13．【答案】12尺
【知识点】勾股定理的应用；正方形的性质
【解析】【解答】解：设芦苇长AC＝AC′＝x尺，则水深AB＝（x-1）尺，
∵池塘地面是边长为10尺的正方形，
∴C′B＝5尺，
在Rt△ABC′中，AC′2=AB2+C′B2，
∴（x-1）2+52＝x2，
解得x＝13，
∴芦苇长13尺，水深为12尺.
故答案为：12尺．
【分析】设芦苇长AC＝AC′＝x尺，则水深AB＝（x-1）尺，由题意易得C′B＝5尺，再利用勾股定理可得AC′2=AB2+C′B2，即（x-1）2+52＝x2，解之即可求得芦苇长和水深.
14．【答案】10
【知识点】勾股定理的应用；平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：有两种情况，如图所示：
连接AB，求出AB的长就可以，
①由题意知AC=4，BC=6+4=10，
由勾股定理得：AB= = ；
②由题意知：AC=4+4=8，BC=6，
由勾股定理得：AB= = =10，
③如图3，AC=8，BC=6，
由勾股定理得：AB= =10；
∵ ＞ ，
∴最短是10．故答案为：10．
【分析】把立体图形展开，连接AB，根据勾股定理分别求出AB的长的所有值，再比较即可.
15．【答案】
【知识点】垂线段最短；三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：如图，过点C作交于点，交于点P，过点P作交于点Q，
是的平分线，
，
根据垂线段最短可知，此时有最小值，最小值为的长，
，，，
由勾股定理可知，，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：.
【分析】过点C作CQ′⊥AB交AB于点Q′，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC交AC于点Q，根据角平分线的性质可得PQ=PQ′，根据垂线段最短可知：此时PC+PQ有最小值，最小值为CQ′的长，由勾股定理逆定理知△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，然后根据等面积法进行计算可得CQ′的值，据此解答.
16．【答案】（1）解：作图如下：
（2）解：设这个等腰直角三角形的直角边长为
则，
解得或，
则斜边长为，
作图如下：
【知识点】勾股定理；作图-三角形
【解析】【分析】（1）根据勾股定理画出格点三角形即可；
（2）根据三角形的面积公式求出直角边长，利用勾股定理求出斜边长，然后作图即可.
17．【答案】解：连结，
因为，米，米，
所以米
因为米，米，，
所以，
所以
所以需费用（元）．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】连接BD，由勾股定理求出BD、CD的长，求出四边形ABCD的面积=△ABD的面积+△BCD的面积，再乘以60即得结论.
18．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是长方形，
∴∠A=90°，AB=CD=10，
由折叠的性质可知DF=CD=10，
∴在Rt△ADF中，由勾股定理得；
（2）解：由折叠的性质可得CE=EF，
由长方形的性质可得∠B=90°，BC=AD=6，
设CE=EF=x，则BE=6-x，BF=AB-AF=2，
在Rt△BEF中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴．
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）根据折叠的性质可得DF=CD=10，再利用勾股定理求出AF的长即可；
（2）设CE=EF=x，则BE=6-x，BF=AB-AF=2，根据勾股定理可得，再求出x的值即可。
19．【答案】（1）解：在 中， ，
由勾股定理，得：
（2）解： ，
是直角三角形，
图中阴影部分图形的面积
【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用
【解析】【分析】本题是三角形面积和勾股定理的综合应用
（1）直接根据勾股定理即可求
（2）求不规则图形的面积可以用割补法
20．【答案】（1）解：∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
（2）解：海港C受台风影响，理由：
过点C作CD⊥AB，
∵△ABC是直角三角形，
∴AC×BC＝CD×AB，
∴×300×400＝×500×CD，
∴CD＝240（km），
∵距离台风中心260km及以内的地区会受到影响，
∴海港C受台风影响；
（3）解：设台风中心的移动到点E处开始影响该海港，移动到点F处开始该海港开始不受影响，则EC＝FC＝260km，
由（2）得：CD⊥AB，CD=240km，
∴EF=2ED，
∵ED＝＝100（km），
∴EF＝200km，
∵台风的速度为28千米/小时，
∴200÷28＝（小时）.
答：台风影响该海港持续的时间为小时.
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据题意可得AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，则AC2+BC2＝AB2，结合勾股定理逆定理解答即可；
（2）过点C作CD⊥AB， 根据△ABC的面积公式可得CD的值，然后与260进行比较即可判断；
（3）设台风中心的移动到点E处开始影响该海港，移动到点F处开始该海港开始不受影响，则EC＝FC＝260km，由（2）得：CD⊥AB，CD=240km，根据等腰三角形的性质可得EF=2ED，由勾股定理求出ED，据此得到EF，然后除以速度可得时间.
21．【答案】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，.
∵，
∴.
在和中，，
∴
（2）解：∵，
∴设，则，，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
由（1）可知，，
∴，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且.
∴.
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AB=BC，∠ABC=60°，由角的和差关系可得∠ABP=∠CBQ，由已知条件可知BQ=BP，然后根据全等三角形的判定定理进行证明；
（2）设PA=3a，则PB=4a，PC=5a，易得△PBQ为等边三角形，则∠PQB=60°，PQ=PB=4a，由全等三角形的性质可得∠APB=∠CQB，CQ=PA=3a，由勾股定理逆定理知△PQC为直角三角形，且∠PQC=90°，然后根据∠BQC=∠PQB+∠PQC进行计算.
22．【答案】（1）不是；是
（2）证明：∵是“勾系一元二次方程”，
∴以a、b、c为三边长的三角形是直角三角形，且c为斜边的长，
∴
∵
；
∴关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；
（3）解：∵是“勾系一元二次方程”的一个根，
∴，
即，
∵四边形的周长是12，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：（1）①不是“勾系一元二次方程”，
∵，
解得，
∵，
∴，
∴以a、b、c为三边长的三角形是不是直角三角形，
∴不是“勾系一元二次方程”
故答案为：不是；
②是“勾系一元二次方程”，
∵
∴，
∵，
∴，
∴以a、b、c为三边长的三角形是直角三角形，且c为斜边的长，
∴是“勾系一元二次方程”，
故答案为：是；
【分析】（1）根据 “勾系一元二次方程” 的定义，找出a、b、c的值，进而根据勾股定理的逆定理判断以a、b、c为三边长的三角形是否是直角三角形，即可判断得出答案；
（2）根据 “勾系一元二次方程” 的定义知 以a、b、c为三边长的三角形是直角三角形，且c为斜边的长，故可得c2=a2+b2， 再算出该方程根的判别式的值，利用整体替换及偶数次幂的非负性可得判别式的值一定不为负数，从而即可得出结论；
（3）根据方程根的概念可得 ，再结合四边形ACDE的周长是12可求出c的值，从而可得a+b的值，进而结合完全平方公式的恒等变形及勾股定理可求出ab=4，最后利用三角形面积计算方法即可求出答案.
23．【答案】（1）解：如图1，过点 作 于点 ，
则 .
∵ .
∴在Rt 中， ，
∴
（2）解：设经过 秒， 是直角三角形，
则 .
在 中， ，
∴ .
若 是直角三角形，则分两种情况：
①当 时， ，
即 ，解得
②当 时， ，
即 ，解得 .
综上所述，当 或 时， 是直角三角形.
（3）解：不存在这样的 .
理由：如图2，作 于 ，
则 ，
∴ ，
∴
，
当四边形APQC的面积是 面积的 时， 的面积是 面积的 ，
即 ，化简得 . ，
∴不存在这样的 ，使四边形APQC的面积是 面积的 .
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；一元二次方程的应用-几何问题；三角形-动点问题
【解析】【分析】(1) 过点 作 于点 ， 根据等边三角形的性质和勾股定理求出AD，然后计算△ABC的面积即可；
(2) 设经过 秒， 是直角三角形， 则 ，然后分两种情况讨论，即①当 时，根据 建立方程； ②当 时，根据建立方程 ，然后分别求解即可；
(3)作 于 ， 根据含30°角的直角三角形的性质表示QE，则可把△BQP的面积用含t的代数式表示，结合 的面积是 面积的 建立关于t的一元二次方程，然后利用一元二次方程的判别式判断即可.
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