河南省南阳市2022-2023学年高二下学期期中数学模拟试题（三）（含答案）

南阳市2023年春期期中模拟高二年级
数 学 试 题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.为比较相关变量的线性相关程度，5位同学各自研究一组数据，并计算出变量间的相关系数r如表所示：
同学甲 同学乙 同学丙 同学丁 同学戊
相关系数r 0.45 ﹣0.69 0.74 ﹣0.98 0.82
则由表可知（　　）
A．乙研究的那组数据线性相关程度最低，戊研究的那组数据线性相关程度最高
B．甲研究的那组数据线性相关程度最低，丁研究的那组数据线性相关程度最高
C．乙研究的那组数据线性相关程度最低，丁研究的那组数据线性相关程度最高
D．甲研究的那组数据线性相关程度最低，丙研究的那组数据线性相关程度最高
2.如图所示，水波的半径以1m/s的速度向外扩张，当半径为5m时，这水波面的圆面积的膨胀率是（　）m2/s．
A．10π B．15π C．20π D．25π
3.已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4.已知函数的导函数为，，则（ ）
A． B． C． D．
5.已知数列{an}的前n项和Sn=1-5+9-13+17+…+(-1)n-1·(4n-3),则S15+S22-S31的值是 (　　)
A.13　　　　　　　　B.-76　　　　　　C.46　　　　　　　　D.76
6.设是函数f（x）的导数，若＞0，且 x1，x2∈R（x1≠x2），f（x1）+f（x2）＜2f（），则下列各项错误的是（　　）
A．f（2）＜f（e）＜f（π）
B．＜＜
C．＜f（3）﹣f（2）＜
D．＜f（3）﹣f（2）＜
7．在一项调查中有两个变量x和y，如图是由这两个变量近8年来的取值数据得到的散点图，那么适宜作为y关于x的回归方程的函数类型是（　　）
A．y＝a+bx B．y＝p+qcx（q＞0）
C．y＝m+nx2（n＞0） D．
8.已知数列的首项，其前项和为，且满足，则当取得最小值时，（ ）
A.4　　　　　　　B.5　　　　　　C.6　　　　　　　　D.7
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9．下列运算中正确的是(　　)
A. B．
C．()′＝ D．(cos x·sin x)′＝－sin 2x＋cos2x
10．下列说法正确的是（ ）
A．在统计学中，独立性检验是检验两个随机事件是否有关系的一种统计方法
B．在两个随机事件的样本数据的列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，两个事件有关系的可能性就越小
C．对随机事件X与Y的随机变量的，越小，“X与Y有关系”的可信程度越小
D．两个有线性相关关系的变量x，y的相关系数为r，则越接近于0，x与y之间的线性相关程度越强.
11.已知函数f（x）及其导数f′（x），若存在x0，使得f（x0）＝f′（x0），则称x0是f（x）的一个“青山点”．下列函数中，有“青山点”的是（　　）
A．f（x）＝x2 B．f（x）＝e﹣x C．f（x）＝Inx D．f（x）＝
12.设数列的前n项和为，且，若，则下列结论正确的有（ ）
A． B．数列单调递增
C．当时，取得最小值 D．时，n的最小值为7
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知变量和变量的三对随机观测数据,,，若，,,则成对样本数据的样本相关系数是__________。
14.对于三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f′′（x）是函数f（x）的导数y＝f'（x）的导数，若方程f′′（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现视为条件，若函数，则它的对称中心为 　 　；并计算＝　 　．
15.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为_____日．（结果保留一位小数，参考数据：，）
16.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前项和，则下列结论正确的是__________．
① ② ③ ④
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
18.商品流通费用率，又称为流通费用水平，是商品流通费用总额（商品在流通过程所耗费劳动与费用总和）对商品销售额的百分比．一定时期内，在实现的销售额一定的情况下，支出的费用越少，表明费用节约程度越高，体现为经济效益就越好．某企业收集了10个营业点的商品销售额x（万元）与商品流通费用率y（%）的有关数据，制作成散点图如图所示：
（Ⅰ）从这10个营业点中随机抽取3个，求至少抽到一个商品流通费用率不高于6%的营业点的概率；
（Ⅱ）为了研究y与x的相关关系，有四名同学通过计算得到y与x的相关系数分别为0.97，0.62，﹣0.32，﹣0.96，请你从中选出最有可能正确的结果，并以此求出y关于x的线性回归方程．
参考数据：，，，．
参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．
19.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝9，S5＝25．
(1)求数列{an}的通项公式及Sn；
(2)设bn＝(－1)nSn，求数列{bn}的前n项和Tn．
20.江西省新高考改革自2021年执行，在取消文理科后实行“3+1+2”考试模式，即除语数外三科，学生需从物理、历史2科中任选1科，化学、生物、政治、地理4科任选2科参加高考．某学校为了解学生对全理（选择物理、化学、生物）的选择是否与性别有关，从该校高一年级的500名男生和400名女生中按男女分层随机抽样抽取90人进行模拟选科，经统计，选择全理的人数比不选全理的人数多10人．
选择全理 不选择全理 合计
男生 15
女生
合计
（1）完成上面的2×2列联表并判断是否有99.5%的把握认为选择全理与性别有关；
（2）为了解学生选科的理由，随机选取了男生4名，女生2名进行座谈，再从中抽取2名代表作问卷调查，求至少抽到一名女生的概率．
附：，其中n＝a+b+c+d．
P（k2≥k） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
21.已知函数,g(x)=3x +6x+12 和直线m:y=kx+9,且
(1)求a的值;
(2)是否存在k的值,使直线m既是曲线y=f(x)的切线,又是曲线 y=g(x)的切线 如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.
22.已知数列{}，>0，其前n项和Sn满足Sn＝2－2n＋1，其中n∈N*.
(1)设＝，证明：数列{}是等差数列；
(2)设＝·，为数列{}的前n项和，求证：<3；
(3)设＝＋λ·(λ为非零整数，n∈N*)，试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有>成立。
2023年春期期中模拟高二年级
数 学 试 题 答 案
BABCB,CDB,9,ABD;10,AC;11,ACD;12,ABC.
11.A：f′（x）＝2x，由2x＝x2可得x＝0或x＝2，故符合题意；B：f′（x）＝﹣e﹣x，由﹣e﹣x＝e﹣x可知x不存在，B不符合题意；C：，由＝lnx可得xlnx﹣1＝0，令g（x）＝xlnx﹣1，则g′（x）＝lnx+1，
易得当x＞时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当0＜x＜时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
故当x＝时，函数取得极小值，也是最小值g（）＝﹣＜0，当x→+∞时，g（x）→+∞，故一定存在x0，使得g（x0）＝0，即存在x0，使得f（x0）＝f′（x0），C符合题意；D：，由得x＝﹣1，D符合题意．故选：ACD．
0.99；
（，2）,4042；
2.6；
②③④；
【分析】对①②，直接求出对应项及求和；对③④，由得， 化简即可；化简即可.
【详解】对①，，，①错；
对②，，故，②对；
对③，由得，
∴，③对
对④，，④对.
故答案为：②③④
18.解：（Ⅰ）由散点图可知，10个营业点中商品流通费用率不高于6%的有4个，
设事件A表示“至少抽到一个商品流通费用率不高于6%的营业点”，
则P（A）＝1﹣＝1﹣＝；
（Ⅱ）由散点图可知，y与x具有线性相关关系，且y随着x的增大而减少，
所以y与x的相关系数为负值，且绝对值接近于1，所以最有可能正确的结果为r＝﹣0.96，
所以b＝＝
＝r＝﹣0.96×＝﹣0.96×＝﹣0.96×0.06＝﹣0.0576，
所以a＝﹣b＝6.43+0.0576×67.5＝10.318，
所以y关于x的线性回归方程为y＝﹣0.0576x+10.318．
19.
20.解：（1）从500名男生和400名女生中按男女分层随机抽样抽取90人，男生抽取50人，女生抽取40人，
选择全理的人数比不选全理的人数多10人，所以选择全理的有50人，填写列联表如下：
选择全理 不选择全理 合计
男生 35 15 50
女生 15 25 40
合计 50 40 90
计算K2＝＝9.50625＞7.879，
所以有99.5%的把握认为选择全理与性别有关；
（2）记4名男生为a、b、c、d，2名女生为E、F，从中抽取2名，基本事件为：
ab、ac、ad、aE、aF、bc、bd、bE、bF、cd、cE、cF、dE、dF、EF共15种不同取法，
其中至少抽到一名女生的事件为aE、aF、bE、bF、cE、cF、dE、dF、EF共9种不同取法，
故所求的概率为P＝＝．