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高中数学三轮复习讲义——两年高考一年模拟
第8讲 数列
从近三年高考情况来看，等差数列和等比数列一直是高考的热点，尤其是等差数列和等比数列的通项公式及其性质，等差数列和等比数列的前n项和等为考查重点，有时会将等差数列和等比的通项、前n项和及性质综合考查，题型有选择题、填空题，也有解答题，解题时要注意性质的应用，充分结合函数与方程、分类讨论、化归与方程等数学思想的运用.
1．（2022年全国高考乙卷数学（文）试题）记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．
2．（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
3．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）记为等比数列的前n项和.若，，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
4．（2021年北京市高考数学试题）已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
5．（2022年北京市高考数学试题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
7．（2021年北京市高考数学试题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位: cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则
A．64 B．96 C．128 D．160
8．（2022年北京市高考数学试题）已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：
①的第2项小于3； ②为等比数列；
③为递减数列； ④中存在小于的项．
其中所有正确结论的序号是__________．
9．（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（ ）
A． B． C． D．
10．（2021年全国新高考II卷数学试题）设正整数，其中，记．则（ ）
A． B．
C． D．
11．（内蒙古包头市2023届高三下学期一模文科数学试题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若，，则数列的公差为（ ）
A．2 B． C．4 D．
12．（青海省西宁市大通回族土族自治县2023届高三第二次模拟考试文科数学试题）在等比数列中，，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
13．（广西部分学校2023届高三下学期3月二轮复习阶段性测试数学（理）试题）已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．127 B．254 C．510 D．255
14．（陕西省渭南市韩城市新蕾中学2020-2021学年高二下学期第三次月考理科数学试题）在各项均为正数的等比数列中，，则的最大值是（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
15．（北京市清华附中2023届高三统练二数学试题）已知数列为等比数列，其前n项和为，，则“公比”是“对于任意，”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
16．（山西省三重教育2023届高三下学期3月联考数学试题）记为等差数列的前项和，若，，则（ ）
A． B． C． D．
17．（青海省西宁市大通回族土族自治县2023届高三第二次模拟考试文科数学试题）已知为等差数列的前项和.若，，则当取最大值时，的值为___________.
18．（北京市八一学校2023届高三模拟测试数学试题）已知为等差数列的前项和，满足，，则数列中（ ）
A．有最大项，无最小项 B．有最小项，无最大项
C．有最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
19．（湖北省武汉市东湖风景区2023届高三调研卷（四）数学试题）已知在正项等比数列中，，，则使不等式成立的正整数n的最小值为________．
20．（辽宁省部分学校2022-2023学年高三下学期高考适应性测试数学试题）已知数列满足，，则______．
21．（华大新高考联盟2023届高三下学期3月教学质量测评理科数学试题）南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为一阶等差数列），或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列是一阶等比数列，则该数列的第项是（ ）
A． B． C． D．
22．（中学生标准学术能力诊断性测试2023届高三下学期3月测试数学试题）已知等差数列的前n项和为，满足，，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．的最大值为 D．的前10项和为
23．（浙江省浙里卷天下2022-2023学年高三下学期3月百校联考数学试题）设是公差为的等差数列，是其前项的和，且，则（ ）
A． B．
C． D．
24．（2022年新高考原创密卷数学试题（四））已知等比数列的公比为q，前n项和为，且，下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若恒成立，则
C．若，，成等差数列，则
D．当时，不存在，使得，，成等差数列☆注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，用WPS等其他软件可能会出现乱码等现象.
高中数学三轮复习讲义——两年高考一年模拟
第8讲 数列
从近三年高考情况来看，等差数列和等比数列一直是高考的热点，尤其是等差数列和等比数列的通项公式及其性质，等差数列和等比数列的前n项和等为考查重点，有时会将等差数列和等比的通项、前n项和及性质综合考查，题型有选择题、填空题，也有解答题，解题时要注意性质的应用，充分结合函数与方程、分类讨论、化归与方程等数学思想的运用.
1．（2022年全国高考乙卷数学（文）试题）记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．
【答案】2
【详解】由可得，化简得，
即，解得.
故答案为：2.
2．（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
【答案】D
【详解】解：设等比数列的公比为，
若，则，与题意矛盾，
所以，
则，解得，
所以.
故选：D.
3．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）记为等比数列的前n项和.若，，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【详解】∵为等比数列的前n项和，
∴，，成等比数列
∴，
∴，
∴.
故选：A.
4．（2021年北京市高考数学试题）已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【详解】若要使n尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小，
不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为，
则，，
所以.
对于，，
取数列各项为(，,
则，
所以n的最大值为11．
故选：C．
5．（2022年北京市高考数学试题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数.
若为单调递增数列，则，
若，则当时，；若，则，
由可得，取，则当时，，
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；
若存在正整数，当时，，取且，，
假设，令可得，且，
当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列.
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”.
所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件.
故选：C.
6．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【详解】由题，当数列为时，满足，
但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件．
故选：B．
7．（2021年北京市高考数学试题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位: cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则
A．64 B．96 C．128 D．160
【答案】C
【详解】由题意，五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，设公差为，
因为，，可得，
可得，
又由长与宽之比都相等，且，可得，所以.
故选：C.
8．（2022年北京市高考数学试题）已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：
①的第2项小于3； ②为等比数列；
③为递减数列； ④中存在小于的项．
其中所有正确结论的序号是__________．
【答案】①③④
【详解】由题意可知，，，
当时，，可得；
当时，由可得，两式作差可得，
所以，，则，整理可得，
因为，解得，①对；
假设数列为等比数列，设其公比为，则，即，
所以，，可得，解得，不合乎题意，
故数列不是等比数列，②错；
当时，，可得，所以，数列为递减数列，③对；
假设对任意的，，则，
所以，，与假设矛盾，假设不成立，④对.
故答案为：①③④.
9．（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】[方法一]:常规解法
因为，
所以，，得到，
同理，可得，
又因为 ，
故，；
以此类推，可得，，故A错误；
，故B错误；
，得，故C错误；
，得，故D正确.
[方法二]：特值法
不妨设则
故D正确.
10．（2021年全国新高考II卷数学试题）设正整数，其中，记．则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】对于A选项，，，
所以，，A选项正确；
对于B选项，取，，，
而，则，即，B选项错误；
对于C选项，，
所以，，
，
所以，，因此，，C选项正确；
对于D选项，，故，D选项正确.
故选：ACD.
11．（内蒙古包头市2023届高三下学期一模文科数学试题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若，，则数列的公差为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【详解】设公差为，
则有整理得，
又由可得，
所以解得，
故选:B.
12．（青海省西宁市大通回族土族自治县2023届高三第二次模拟考试文科数学试题）在等比数列中，，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【详解】设等比数列的公比为，
所以，解得，
所以，
故选：A
13．（广西部分学校2023届高三下学期3月二轮复习阶段性测试数学（理）试题）已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．127 B．254 C．510 D．255
【答案】D
【详解】设等比数列的首项为，公比为，则显然，
因为
所以，解得，
由，得，
所以.
故选:D.
14．（陕西省渭南市韩城市新蕾中学2020-2021学年高二下学期第三次月考理科数学试题）在各项均为正数的等比数列中，，则的最大值是（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】B
【详解】各项均为正数的等比数列中，
由，则，
所以，当且仅当时等号成立，
故的最大值为8．
故选：B．
15．（北京市清华附中2023届高三统练二数学试题）已知数列为等比数列，其前n项和为，，则“公比”是“对于任意，”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】若，且公比，则，所以对于任意，成立，故充分性成立；
若，且，则，
所以由对于任意，，推不出，故必要性不成立；
所以“公比”是“对于任意，”的充分不必要条件.
故选:A
16．（山西省三重教育2023届高三下学期3月联考数学试题）记为等差数列的前项和，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，，又，等差数列的公差；
对于A，，，，符号不确定，则符号不确定，A错误；
对于B，符号不确定，，符号不确定，B错误；
对于C，，又符号不确定，大小不确定，C错误；
对于D， ，，D正确.
故选：D.
17．（青海省西宁市大通回族土族自治县2023届高三第二次模拟考试文科数学试题）已知为等差数列的前项和.若，，则当取最大值时，的值为___________.
【答案】6
【详解】因为，
所以，又，
所以0，所以，则，
故答案为：6.
18．（北京市八一学校2023届高三模拟测试数学试题）已知为等差数列的前项和，满足，，则数列中（ ）
A．有最大项，无最小项 B．有最小项，无最大项
C．有最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
【答案】C
【详解】在等差数列中，设首项为，公差为，
因为，
，
解得，
所以等差数列的通项公式为：
，
所以，
当时，，
当时，，
所以数列有最大项为第1项，有最小项第7或第8项，
故选：C.
19．（湖北省武汉市东湖风景区2023届高三调研卷（四）数学试题）已知在正项等比数列中，，，则使不等式成立的正整数n的最小值为________．
【答案】9
【详解】设等比数列的公比为，且，
因为，，所以，
所以，所以．
因为，即，
当时，；当时，，
所以正整数的最小值为9．
故答案为：9
20．（辽宁省部分学校2022-2023学年高三下学期高考适应性测试数学试题）已知数列满足，，则______．
【答案】
【详解】因为，即，
所以，等式两端同时除以，
整理得：，即为常数列．
因为，所以，
所以，所以．
故答案为：2022．
21．（华大新高考联盟2023届高三下学期3月教学质量测评理科数学试题）南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为一阶等差数列），或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列是一阶等比数列，则该数列的第项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】记数列为，设，
则，，，，，
数列是以为首项，为公比的等比数列，，
，.
故选：C.
22．（中学生标准学术能力诊断性测试2023届高三下学期3月测试数学试题）已知等差数列的前n项和为，满足，，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．的最大值为 D．的前10项和为
【答案】BCD
【详解】根据等差中项，，解得，，解得，设等差数列的公差为，则，于是等差数列的通项公式为：，故A选项错误；
根据等差数列前n项和公式，，B选项正确；
根据B选项可知，，最大值在取得，故C选项正确；
，故的前10项和为：，D选项正确.
故选：BCD
23．（浙江省浙里卷天下2022-2023学年高三下学期3月百校联考数学试题）设是公差为的等差数列，是其前项的和，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】，则，因为，所以，A正确，B错误；
，因为，所以在中，最小，C和D都正确；
故选：ACD
24．（2022年新高考原创密卷数学试题（四））已知等比数列的公比为q，前n项和为，且，下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若恒成立，则
C．若，，成等差数列，则
D．当时，不存在，使得，，成等差数列
【答案】BCD
【详解】当时，，即A错误；
当时，不恒成立，当时，，则，所以，若，上式整理得，不恒成立，若，上式整理得，则，所以，即B正确；
由题意可知，，所以，所以，所以，即C正确；
因为，所以，整理可得，又，所以不存在符合题意的k，即D正确．
故选：BCD
