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高中数学三轮复习讲义——两年高考一年模拟
第11讲 解析几何
从近三年高考情况来看，圆的标准方程的求法是命题的热点，求解时，常利用配方法把圆的一般方程转化为标准方程，并指出圆心坐标及半径；直线与圆的位置关系常结合其他知识点进行综合考查，求解时重点应用圆的几何性质，一般为选择题、填空题，难度中等，解题时应认真体会数形结合思想，培养充分利用圆的简单几何性质简化运算的能力．
从近三年高考情况来看，椭圆的定义、标准方程、几何性质一直是高考命题的热点，尤其是离心率问题是高考考查的重点，多在选择题、填空题中出现，考查直线与椭圆的位置关系，常与向量、圆等知识相结合，多以解答题的形式出现，解题时，以直线与椭圆的位置关系为主，充分利用数形结合思想，转化与化归思想．同时注重数学思想在解题中的指导作用，以及注重对运算能力的培养．
1．（2022年全国高考甲卷数学（文）试题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．
2．（2022年全国新高考II卷数学试题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．
3．（2021年天津高考数学试题）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________．
4．（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
5．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022年全国高考甲卷数学（理）试题）若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．
7．（2022年全国高考甲卷数学（文）试题）记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________．
8．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
9．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.
10．（2022年全国新高考I卷数学试题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．
11．（2022年全国新高考II卷数学试题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为___________．
12．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．
13．（2022年全国高考甲卷数学（文）试题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
14．（2022年全国高考甲卷数学（理）试题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
15．（2021年天津高考数学试题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
16．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
17．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
18．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知点在圆上，点、，则（ ）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
19．（2022年全国新高考II卷数学试题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为 B．
C． D．
20．（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
21．（天一大联考三晋名校联盟2022-2023学年高三下学期顶尖计划联考数学试题）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F且斜率为的直线与C交于A，B两点，D为AB的中点，且于点M，AB的垂直平分线交x轴于点N，四边形DMFN的面积为，则（ ）
A． B．4 C． D．
22．（陕西省榆林市神木中学2020-2021学年高二下学期第三次测试理科数学试题）已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为.若在双曲线的渐近线上存在点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
23．（山东省聊城市2023届高三第三次学业质量联合检测数学试题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，A为C上位于第一象限的一点，与y轴交于点B．若，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
24．（广东省汕头市金山中学2023届高三高考模拟数学试题）已知双曲线的右焦点为F，过点F且斜率为的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D. 若，则双曲线的离心率取值范围是（ ）
A． B． C． D．
25．（河南省开封高级中学2022-2023学年高三下学期核心模拟卷（中）理科数学（一）试题）已知双曲线的实轴为，对上任意一点，在上都存在点，使得，则的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
26．（江苏省南通市基地大联考2023届高三下学期3月重点热点诊断测试数学试题）已知是双曲线的左、右焦点，是C上一点，若C的离心率为，连结交C于点B，则（ ）
A．C的方程为 B．
C．的周长为 D．的内切圆半径为
27．（黑龙江省哈尔滨市第三中学校2023届高三第一次高考模拟考试数学试题）已知抛物线，O为坐标原点，F为抛物线C的焦点，点P在抛物线上，则下列说法中正确的是（ ）
A．若点，则的最小值为4
B．过点且与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有两条
C．若正三角形ODE的三个顶点都在抛物线上，则ODE的周长为
D．点H为抛物线C上的任意一点，，，当t取最大值时，GFH的面积为2
28．（湖南省张家界市2023届高三下学期3月高考模拟数学试题）过抛物线的焦点F的直线交抛物线E于A，B两点（点A在第一象限），M为线段AB的中点.若，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线E的准线方程为
B．过A，B两点作抛物线的切线，两切线交于点N，则点N在以AB为直径的圆上
C．若为坐标原点，则
D．若过点且与直线垂直的直线交抛物线于C，D两点，则
29．（广东省燕博园2023届高三下学期综合能力数学试题）已知双曲线：（，），的左、右焦点分别为，，为上一点，则以下结论中，正确的是（ ）
A．若，且轴，则的方程为
B．若的一条渐近线方程是，则的离心率为
C．若点在的右支上，的离心率为，则等腰的面积为
D．若，则的离心率的取值范围是
30．（四川省成都市2023届高三第二次诊断性检测文科数学试题）若直线与相交于点，过点作圆的切线，切点为，则|PM|的最大值为______．
31．（陕西省汉中市2023届高三下学期第二次教学质量检测理科数学试题）已知为坐标原点，抛物线的方程为，直线与交于两点，若，则面积的最小值为________.
32．（广东省汕头市金山中学2023届高三高考模拟数学试题）已知点P是椭圆上一点，椭圆C在点P处的切线l与圆交于A，B两点，当三角形AOB的面积取最大值时，切线l的斜率等于_______☆注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，用WPS等其他软件可能会出现乱码等现象.
高中数学三轮复习讲义——两年高考一年模拟
第11讲 解析几何
从近三年高考情况来看，圆的标准方程的求法是命题的热点，求解时，常利用配方法把圆的一般方程转化为标准方程，并指出圆心坐标及半径；直线与圆的位置关系常结合其他知识点进行综合考查，求解时重点应用圆的几何性质，一般为选择题、填空题，难度中等，解题时应认真体会数形结合思想，培养充分利用圆的简单几何性质简化运算的能力．
从近三年高考情况来看，椭圆的定义、标准方程、几何性质一直是高考命题的热点，尤其是离心率问题是高考考查的重点，多在选择题、填空题中出现，考查直线与椭圆的位置关系，常与向量、圆等知识相结合，多以解答题的形式出现，解题时，以直线与椭圆的位置关系为主，充分利用数形结合思想，转化与化归思想．同时注重数学思想在解题中的指导作用，以及注重对运算能力的培养．
1．（2022年全国高考甲卷数学（文）试题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．
【答案】
【详解】[方法一]：三点共圆
∵点M在直线上，
∴设点M为，又因为点和均在上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴，
，解得，
∴，，
的方程为.
故答案为：
[方法二]：圆的几何性质
由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4与直线的交点(1,-1)., 的方程为.
故答案为：
2．（2022年全国新高考II卷数学试题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．
【答案】
【详解】解：关于对称的点的坐标为，在直线上，
所以所在直线即为直线，所以直线为，即；
圆，圆心，半径，
依题意圆心到直线的距离，
即，解得，即；
故答案为：
3．（2021年天津高考数学试题）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________．
【答案】
【详解】设直线的方程为，则点，
由于直线与圆相切，且圆心为，半径为，
则，解得或，所以，
因为，故.
故答案为：.
4．（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【详解】由题意得，，则，
即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，
不妨设点在轴上方，代入得，，
所以.
故选：B
5．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，由双曲线的定义可得，
所以，；
因为,由余弦定理可得，
整理可得，所以，即.
故选：A
6．（2022年全国高考甲卷数学（理）试题）若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．
【答案】
【详解】解：双曲线的渐近线为，即，
不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，
依题意圆心到渐近线的距离，
解得或（舍去）．
故答案为：．
7．（2022年全国高考甲卷数学（文）试题）记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________．
【答案】2（满足皆可）
【详解】解：，所以C的渐近线方程为,
结合渐近线的特点，只需，即，
可满足条件“直线与C无公共点”
所以，
又因为，所以，
故答案为：2（满足皆可）
8．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【详解】设点，因为，，所以
，
而，所以当时，的最大值为．
故选：A．
9．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.
【答案】
【详解】抛物线： ()的焦点,
∵P为上一点，与轴垂直，
所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,
不妨设,
因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，
又，
因为，所以 ,
，
所以的准线方程为
故答案为：.
10．（2022年全国新高考I卷数学试题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．
【答案】13
【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，
判别式，
∴，
∴ ， 得，
∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
故答案为：13.
11．（2022年全国新高考II卷数学试题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为___________．
【答案】
【详解】[方法一]：弦中点问题：点差法
令的中点为，设，，利用点差法得到，
设直线，，，求出、的坐标，
再根据求出、，即可得解；
解：令的中点为，因为，所以，
设，，则，，
所以，即
所以，即，设直线，，，
令得，令得，即，，
所以，
即，解得或（舍去），
又，即，解得或（舍去），
所以直线，即；
故答案为：
12．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．
【答案】
【详解】因为为上关于坐标原点对称的两点，
且，所以四边形为矩形，
设，则，
所以，
，即四边形面积等于.
故答案为：.
13．（2022年全国高考甲卷数学（文）试题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：因为离心率，解得，，
分别为C的左右顶点，则，
B为上顶点，所以.
所以，因为
所以，将代入，解得，
故椭圆的方程为.
故选：B.
14．（2022年全国高考甲卷数学（理）试题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】[方法一]：设而不求
设，则
则由得：，
由，得，
所以，即，
所以椭圆的离心率，故选A.
[方法二]：第三定义
设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：
故，
由椭圆第三定义得：，
故
所以椭圆的离心率，故选A.
15．（2021年天津高考数学试题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【详解】设双曲线与抛物线的公共焦点为，
则抛物线的准线为，
令，则，解得，所以,
又因为双曲线的渐近线方程为，所以，
所以，即，所以，
所以双曲线的离心率.
故选：A.
16．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设，由，因为 ，，所以
，
因为，当，即 时，，即 ，符合题意，由可得，即 ；
当，即时， ，即，化简得， ，显然该不等式不成立．
故选：C．
17．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【答案】ABD
【详解】圆心到直线l的距离，
若点在圆C上，则，所以，
则直线l与圆C相切，故A正确；
若点在圆C内，则，所以，
则直线l与圆C相离，故B正确；
若点在圆C外，则，所以，
则直线l与圆C相交，故C错误；
若点在直线l上，则即，
所以，直线l与圆C相切，故D正确.
故选：ABD.
18．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知点在圆上，点、，则（ ）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
【答案】ACD
【详解】圆的圆心为，半径为，
直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：
当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，
，，由勾股定理可得，CD选项正确.
故选：ACD.
19．（2022年全国新高考II卷数学试题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为 B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，
代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；
对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，
设，则，则，代入抛物线得，解得，则，
则，B错误；
对于C，由抛物线定义知：，C正确；
对于D，，则为钝角，
又，则为钝角，
又，则，D正确.
故选：ACD.
20．（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用
情况一
M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B，
所以，因为，所以在双曲线的左支，
，， ，设，由即，则，
选A
情况二
若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支，
所以，， ，设，
由，即，则，
所以，即，
所以双曲线的离心率
选C
21．（天一大联考三晋名校联盟2022-2023学年高三下学期顶尖计划联考数学试题）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F且斜率为的直线与C交于A，B两点，D为AB的中点，且于点M，AB的垂直平分线交x轴于点N，四边形DMFN的面积为，则（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【详解】由题意知，直线AB的方程为．
设，由，得，
所以，所以，
由，得．
如图所示，作轴于点E，则．
因为，
故，，
又，故，
又，得四边形DMFN为平行四边形．
所以其面积为，解得．
故选：A
22．（陕西省榆林市神木中学2020-2021学年高二下学期第三次测试理科数学试题）已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为.若在双曲线的渐近线上存在点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】双曲线的右顶点，渐近线方程为，
抛物线的焦点为，
设，则，，
由可得：，
整理可得：，
，
，
，
则：，
由可得：.
故选：B.
23．（山东省聊城市2023届高三第三次学业质量联合检测数学试题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，A为C上位于第一象限的一点，与y轴交于点B．若，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解析：如图，由，得为等边三角形，结合对称性及椭圆的定义，得，则B为的中点，从而OB为的中位线，，所以，
所以，即，
则，
故选:A．
24．（广东省汕头市金山中学2023届高三高考模拟数学试题）已知双曲线的右焦点为F，过点F且斜率为的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D. 若，则双曲线的离心率取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设双曲线的右焦点为，则直线，
联立方程，消去y得：，
则可得，
则，
设线段的中点，则，
即，
且，线段的中垂线的斜率为，
则线段的中垂线所在直线方程为，
令，则，解得，
即，则，
由题意可得：，即，
整理得，则，
注意到双曲线的离心率，
∴双曲线的离心率取值范围是.
故选：A.
25．（河南省开封高级中学2022-2023学年高三下学期核心模拟卷（中）理科数学（一）试题）已知双曲线的实轴为，对上任意一点，在上都存在点，使得，则的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】依题意，，
当在轴左侧，则在上任一点，都有；
当在轴右侧，则在上任一点，都有；
当在轴上，则在上任一点，都有；
因为对上任意一点P，在上都存在点Q，使得，
所以，即，即，
所以.
即.
故选；C.
26．（江苏省南通市基地大联考2023届高三下学期3月重点热点诊断测试数学试题）已知是双曲线的左、右焦点，是C上一点，若C的离心率为，连结交C于点B，则（ ）
A．C的方程为 B．
C．的周长为 D．的内切圆半径为
【答案】ABD
【详解】对A，将点A的坐标代入双曲线方程，并由 得下列方程组：
，解得，∴双曲线，A正确；
对B，，，，
，∴，B正确；
对C， ，
，，周长，C错误；
对D，令 ，则 ， ，在 中，
，∴，设 的周长为l，内切圆半径为r，则 ，
由三角形面积公式知： ，
，D正确；
故选：ABD．
27．（黑龙江省哈尔滨市第三中学校2023届高三第一次高考模拟考试数学试题）已知抛物线，O为坐标原点，F为抛物线C的焦点，点P在抛物线上，则下列说法中正确的是（ ）
A．若点，则的最小值为4
B．过点且与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有两条
C．若正三角形ODE的三个顶点都在抛物线上，则ODE的周长为
D．点H为抛物线C上的任意一点，，，当t取最大值时，GFH的面积为2
【答案】AD
【详解】A选项，过P点做准线的垂线，垂足为.则由抛物线定义，有.则，则当三点共线时，有最小值4.故A正确；
B选项，当过点B直线斜率不存在时，直线方程为，此时直线与抛物线只有一个交点；当过点B直线斜率存在时，设直线方程为：，将直线方程与抛物线方程联立，则.令或
，则直线或为抛物线切线.综上，过点且与抛物线只有一个公共点的直线有3条，故B错误；
C选项，设，因三角形ODE为正三角形，
则 ，又，
则.
因，则.又由图可得.
则，则.
得ODE的周长为.故C错误；
D选项，设，则，当取最大值时，
.取，则此时GFH的面积为.
故D正确.
故选：AD
28．（湖南省张家界市2023届高三下学期3月高考模拟数学试题）过抛物线的焦点F的直线交抛物线E于A，B两点（点A在第一象限），M为线段AB的中点.若，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线E的准线方程为
B．过A，B两点作抛物线的切线，两切线交于点N，则点N在以AB为直径的圆上
C．若为坐标原点，则
D．若过点且与直线垂直的直线交抛物线于C，D两点，则
【答案】BC
【详解】对于A项，方法一：由题意可设过点的直线l的方程为，，设，，
联立方程组消去x整理得，可得.
因为，所以则，解得，所以抛物线，故抛物线E的准线方程为，故A项错误；
方法二：∵，∴，，
又∵，∴，解得：，
所以抛物线E：，故抛物线E的准线方程为，故A项错误；
对于B项，设，，抛物线，，，
易得，，所以，
所以直线NA，NB垂直，所以点N在以AB为直径的圆上，故B项正确；
对于C项，由A项知，抛物线E：，则直线l的方程为，，设，，
，
所以，，
又因为，所以，，，
所以，解得：，
所以，所以，
所以，，即：，
所以，故C项正确；
对于D项，方法一：由C项知，，，
又因为直线l垂直于直线m ，
所以，
所以.故D项错误.
方法二：由题意知.设直线的倾斜角为，由，，
易得直线的方程为，，，
根据焦点弦长公式可得，
所以.故D项错误.
故选：BC.
29．（广东省燕博园2023届高三下学期综合能力数学试题）已知双曲线：（，），的左、右焦点分别为，，为上一点，则以下结论中，正确的是（ ）
A．若，且轴，则的方程为
B．若的一条渐近线方程是，则的离心率为
C．若点在的右支上，的离心率为，则等腰的面积为
D．若，则的离心率的取值范围是
【答案】AD
【详解】对于A，若，且轴，则，，
所以，则，所以，则的方程为，故A正确；
对于B，若的一条渐近线方程是，则，离心率，故B不正确；
对于C，若的离心率为，则，所以，若点在的右支上，为等腰三角形，则，连接，如图，
则是直角三角形，所以，故C不正确；
对于D，若，由正弦定理得，可知点在双曲线的左支上，故，
则，又，所以，整理得，解得，
所以的离心率的取值范围是，故D正确.
故选：AD.
30．（四川省成都市2023届高三第二次诊断性检测文科数学试题）若直线与相交于点，过点作圆的切线，切点为，则|PM|的最大值为______．
【答案】
【详解】直线过定点，直线过定点，
显然这两条直线互相垂直，因此在以为直径的圆上，设该圆的圆心为，
显然点的坐标为，所以该圆的方程为，
由圆的切线性质可知：，要想|PM|的值最大，只需的值最大，
当点在如下图位置时，的值最大，即，
所以|PM|的最大值为，
故答案为：
31．（陕西省汉中市2023届高三下学期第二次教学质量检测理科数学试题）已知为坐标原点，抛物线的方程为，直线与交于两点，若，则面积的最小值为________.
【答案】16
【详解】直线斜率显然存在，设，直线方程为，
由得，，，
，，
，则，
，或，
时，直线过原点，不合题意，
因此，满足，
，直线方程为，
，
原点到直线的距离为，
所以，所以时，取得最小值．
故答案为：16.
32．（广东省汕头市金山中学2023届高三高考模拟数学试题）已知点P是椭圆上一点，椭圆C在点P处的切线l与圆交于A，B两点，当三角形AOB的面积取最大值时，切线l的斜率等于_____
【答案】
【详解】∵圆的圆心，半径，
设，则，
当且仅当，即时，等号成立，
当时，是等腰三角形，此时点O到切线l的距离等于.
解法一：设切线l的方程为，即，
则有，整理得：
联立方程，消去y得：，
由相切得： 整理得：
由①②得：，解得.
解法二：设点P的坐标为，切线l的方程为，即
则有，整理得，
∵点P在椭圆上，则，
则，解得，
所以切线l的斜率.
故答案为：.
